正常算：
\(\int_0^2 (3x+1)dx = \left[\frac{3x^2}{2}+x\right]_0^2 = (6+2) - 0 = 8\)
用区间再现：\(a=0,b=2\)，\(a+b-x=2-x\)
右边：\(\int_0^2 [3(2-x)+1]dx = \int_0^2 (7-3x)dx = [7x-\frac{3x^2}{2}]_0^2 = 14-6 = 8\)
✅ 两路结果一致。
第3章 一元函数积分学 · 定积分的特殊技巧
想象一条笔直马路。左边起点是 a=0 号路灯，右边终点是 b=10 号路灯。
张三从0号灯出发，走到10号灯。他在每根路灯下面放了一个体重秤，路过时踩一脚，把读数记下来。到了终点，他把所有读数加起来——这就是 \(\int_a^b f(x)\,dx\)。
李四呢？从10号灯出发，走到0号灯。他踩过的秤和张三一模一样，只是顺序反了——张三先踩0号再踩10号，李四先踩10号再踩0号。但总和不变。
张三在第3号灯时，李四在第7号灯。发现没？\(3+7=10=a+b\)。
所以张三的"当前位置 \(x\)"和李四的"当前位置"加起来永远是 \(a+b\)。也就是说，李四的当前位置 = \(a+b-x\)。
把张三的积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 和李四的积分 \(\int_a^b f(a+b-x)\,dx\) 比一比——踩的是同一批秤，结果肯定一样。
👉 这就是"区间再现"：把区间翻过来，积分值不变。
你有一张纸，正面从左到右写了1、2、3、4、5。你把纸翻过来从背面看——顺序变成了5、4、3、2、1。但数字总和没变，还是15。
"区间再现"就是"把纸翻过来读"——用数学的语言说：把 \(x\) 换成 \(a+b-x\)。
翻译成大白话：在区间 \([a,b]\) 上积分时，把所有 \(x\) 换成 \(a+b-x\)，积出来的结果一模一样。
关键：左右两边的积分限（\(a\) 到 \(b\)）不变！变的是被积函数里面的 \(x\) 变成了 \(a+b-x\)。
"上+下 减 旧变量 → 新变量"
\(a+b\) 是"上限+下限"；用这个和减去原来的 \(x\)，就得到新的自变量
取 \(f(x)=x\)，区间 \([0,1]\)：
左边：\(\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\)
右边：\(\int_0^1 f(0+1-x)\,dx = \int_0^1 (1-x)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
✅ 左右相等！都是 \(\frac{1}{2}\)。
如果你好奇背后的数学原理，这里有一行推导：
令 \(t = a+b-x\)（把新变量叫 \(t\)），那么：
代入：
最后再换回变量名 \(t \to x\)，就得到了 \(\int_a^b f(x)\,dx\)。✅
（本质上就是做了一次"换元"，换了之后积分限上下颠倒，负号又把上下限翻回来，一切恢复原样。）
基本公式虽然简单，但直接套用处不大。真正好用、考试爱考的是下面五个推论。我们一个一个来。
怎么来的：基本公式里令 \(a=0, b=a\)（下限=0）。
什么时候用：当 \(f(a-x)\) 比 \(f(x)\) 更好算的时候。比如含有 \(\sqrt{a-x}\) 的积分。
怎么来的：把积分拆成 \(\int_{-a}^0\) 和 \(\int_0^a\) 两段，第一段用推论①翻一下。
什么时候用：区间关于原点对称（如 \([-2,2]\)、\([-π,π]\)）。这个推论其实就是"奇偶性规则"的通用写法——如果 \(f(x)\) 是偶函数，右边变成 \(2\int_0^a f(x)dx\)；如果是奇函数，右边变成 \(0\)。
怎么来的：用推论①，令 \(a=\frac{\pi}{2}\)，然后利用 \(\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x\)。
什么时候用：区间恰好是 \([0,\frac{\pi}{2}]\)，被积函数里只有 \(\sin x\)（没有单独的 \(x\)），那么你可以把所有 \(\sin x\) 换成 \(\cos x\)，积分值不变。
💡 这个推论非常优雅——它说在 \([0,π/2]\) 上，sin 和 cos 是"对称"的，可以互换。
怎么来的：令 \(t = \pi - x\)，利用 \(\sin(\pi-x) = \sin x\)，把两个式子相加。
翻译：如果积分区间是 \([0,\pi]\)，被积函数是"\(x\) 乘以一个只含 \(\sin x\) 的式子"，那么可以直接把 \(x\) 拿掉，换成 \(\frac{\pi}{2}\)。
使用条件（关键！）：\(f(\sin x)\) 里面只能有 \(\sin x\)，不能有 \(\cos x\)、\(\tan x\) 或单独的 \(x\)。
| 积分 | 能用去x公式吗？ | 原因 |
|---|---|---|
| \(\int_0^\pi x\sin^3 x\,dx\) | ✅ 能 | \(\sin^3 x\) 是纯 \(\sin\) 函数 |
| \(\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx\) | ✅ 能 | \(\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\)，但 \(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\)，可以全写成 \(\sin x\) |
| \(\int_0^\pi x\cos x\,dx\) | ❌ 不能 | \(\cos x\) 里面不是 sin |
| \(\int_0^\pi x^2\sin x\,dx\) | ❌ 不能 | 被积函数不是 "x × 纯sin函数" 的形式（有 \(x^2\) 不是 \(x\)） |
怎么来的：用基本公式把分母里的 \(f(x)\) 换成 \(f(a+b-x)\)，得到另一个积分。两个积分相加，分子分母正好约掉。
翻译成大白话：如果分母是"\(f(x) + f(\text{翻过来的}x)\)"这种对称结构，直接答案 = 区间长度的一半，根本不用算原函数！
什么时候用：分母长得像 \(f(x)+f(a+b-x)\) 的样子。典型例子：\(\frac{1}{1+\tan x}\) 在 \([0,\pi/2]\) 上，\(\frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x}\) 在 \([0,\pi/2]\) 上。
| 顺序 | 问自己 | 如果是，用什么 |
|---|---|---|
| 1 | 区间是否对称（如 \([-a,a]\)）？ | 奇偶性 → 奇函数直接=0 |
| 2 | 是否含周期函数？ | 周期性 → 平移区间 |
| 3 | 区间是 \([0,\pi/2]\) 且含 \(\sin^n x\) 或 \(\cos^n x\)？ | 华里士公式 |
| 4 | 区间是 \([0,\pi]\) 且含 \(x \times f(\sin x)\)？ | "去 x"公式 ← 推论④ |
| 5 | 被积函数和 \(f(a+b-x)\) 有对称关系？ | 区间再现 ← 基本公式 |
| 6 | 分母含 \(f(x)+f(a+b-x)\) 结构？ | 分母对称型 ← 推论⑤ |
| 7 | 以上都不行 | 老老实实换元/分部积分 |
区间再现最有用的套路不是直接代入，而是：
这个套路在推论⑤里达到了极致——\(f(x)+f(a+b-x)\) 直接约掉分母，答案瞬间出来。
计算 \(\displaystyle \int_0^2 (3x+1)\,dx\)，并用区间再现验证。
正常算：
\(\int_0^2 (3x+1)dx = \left[\frac{3x^2}{2}+x\right]_0^2 = (6+2) - 0 = 8\)
用区间再现：\(a=0,b=2\)，\(a+b-x=2-x\)
右边：\(\int_0^2 [3(2-x)+1]dx = \int_0^2 (7-3x)dx = [7x-\frac{3x^2}{2}]_0^2 = 14-6 = 8\)
✅ 两路结果一致。
计算 \(\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin^3 x\,dx\)
先检查条件：区间是 \([0,\pi]\) ✅，被积函数是 \(x \times \sin^3 x\)，而 \(\sin^3 x\) 里只有 sin ✅ → 可以用"去 x"公式！
套公式：
\(\int_0^{\pi} x\sin^3 x\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} \sin^3 x\,dx\)
现在算 \(\int_0^{\pi} \sin^3 x\,dx\)：
\(\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x(1-\cos^2 x) = \sin x - \sin x\cos^2 x\)
\(\int_0^{\pi} (\sin x - \sin x\cos^2 x)dx = [-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}]_0^{\pi}\)
\(= (-(-1)+\frac{(-1)^3}{3}) - (-1+\frac{1}{3}) = (1-\frac{1}{3}) - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)
最终答案：\(\frac{\pi}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2\pi}{3}\)
💡 如果没有"去x公式"，你得用分部积分做 \(x\sin^3 x\)，麻烦得多。
计算 \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}\,dx\)（\(n\) 是任意正整数）
观察分母：\(\sin^n x + \cos^n x\)。令 \(f(x)=\sin^n x\)，那么 \(f(0+\frac{\pi}{2}-x)=\sin^n(\frac{\pi}{2}-x)=\cos^n x\)。分母正好是 \(f(x)+f(a+b-x)\) 的格式！
套用推论⑤，不用算：
答案 = \(\frac{b-a}{2} = \frac{\pi/2 - 0}{2} = \frac{\pi}{4}\)
✅ 答案和 \(n\) 无关！不管 \(n\) 是1、还是100、还是1000，都是 \(\pi/4\)。
💡 这类题一旦认出来，10秒出答案。没认出来，可能算半小时算不出来。
计算 \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan x}\,dx\)
设 \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}dx\)
用区间再现（推论①，\(a=\pi/2\)）：
\(I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan(\frac{\pi}{2}-x)}dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\cot x}dx\)
而 \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\)，所以 \(1+\cot x = 1+\frac{1}{\tan x} = \frac{\tan x+1}{\tan x}\)
因此 \(\frac{1}{1+\cot x} = \frac{\tan x}{1+\tan x}\)
于是：\(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\tan x}{1+\tan x}dx\)
现在把两个 \(I\) 的表达式相加：
\(2I = \int_0^{\pi/2} \left(\frac{1}{1+\tan x} + \frac{\tan x}{1+\tan x}\right)dx\)
\(= \int_0^{\pi/2} \frac{1+\tan x}{1+\tan x}dx = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}\)
所以 \(I = \frac{\pi}{4}\)。
先自己做，卡住了再点开答案。每题后面标了难度。
用区间再现公式验证 \(\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}\)。
左边：\(\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}\)
右边（\(a+b-x=1-x\)）：\(\int_0^1 (1-x)^2 dx = \int_0^1 (1-2x+x^2)dx = [x-x^2+\frac{x^3}{3}]_0^1 = 1-1+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) ✅
计算 \(\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\)
区间 \([0,\pi]\)，被积函数 \(x\cdot \sin x\)，符合去x公式条件。
\(\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \frac{\pi}{2} \cdot [-\cos x]_0^{\pi}\)
\(= \frac{\pi}{2} \cdot (-\cos\pi + \cos 0) = \frac{\pi}{2} \cdot (1+1) = \pi\)
计算 \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\,dx\)
令 \(f(x)=\cos^3 x\)。\(f(\frac{\pi}{2}-x)=\cos^3(\frac{\pi}{2}-x)=\sin^3 x\)
分母 = \(f(x)+f(\frac{\pi}{2}-x)\) ≈ 分母对称型！
答案 = \(\frac{b-a}{2} = \frac{\pi/2-0}{2} = \frac{\pi}{4}\)
计算 \(\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx\)
区间 \([0,\pi]\)，\(x \times \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\)。先判断：\(\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\) 是纯 sin 的函数吗？
\(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\)，所以 \(1+\cos^2 x = 2-\sin^2 x\)。因此 \(\frac{\sin x}{2-\sin^2 x}\) 确实是纯 sin 函数 ✅
用去x公式：
\(\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx\)
令 \(u=\cos x\)，\(du = -\sin x\,dx\)，当 \(x=0\) 时 \(u=1\)，\(x=\pi\) 时 \(u=-1\)：
\(\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx = \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}\)
\(= [\arctan u]_{-1}^1 = \arctan 1 - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}\)
最终答案：\(\frac{\pi}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}\)
计算 \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{\ln(1+x)+\ln(2-x)}\,dx\)
令 \(f(x)=\ln(1+x)\)。\(f(0+1-x)=f(1-x)=\ln(2-x)\)
分母 = \(f(x)+f(1-x)\) ≈ 分母对称型！区间 \([0,1]\)。
答案 = \(\frac{b-a}{2} = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2}\)
💡 看起来吓人的对数积分，3秒钟出答案。
考前10分钟看这张表就够了。
| 编号 | 公式 | 叫什么 | 使用条件 |
|---|---|---|---|
| 基本 | \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx\) | 区间再现 | 任何区间 |
| ① | \(\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx\) | 基本翻转 | 下=0 |
| ② | \(\int_{-a}^a f = \int_0^a [f(x)+f(-x)]\) | 对称拆分 | 区间对称 |
| ③ | \(\int_0^{\pi/2} f(\sin x) = \int_0^{\pi/2} f(\cos x)\) | 正余弦互换 | \([0,\pi/2]\) + 纯sin |
| ④ | \(\int_0^{\pi} x f(\sin x) = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\) | 去x公式 | [0,π] + x·纯sin |
| ⑤ | \(\int_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}\) | 分母对称 | 分母结构匹配 |
如果你看完了还不太懂，正常——数学不是看懂的，是算懂的。
把上面5道练习题自己动手算一遍，边算边回来对照公式。
做满3道，这个感觉就来了。