第5章 多元函数微分学

📖 前一章回顾：第4章我们学会了从"方程"反推"函数"——已知变化规律求原貌。第5章回到"求导"这个熟悉的话题，但视角从"一元"升级到"多元"——从单线程到多线程，从平面到立体。

🔔 课前激活

在你开始读这一章之前，先想三个生活中的场景——它们跟你马上要学的数学概念有直接关系：

场景1：你站在一座山上，朝正东方向走和朝正北方向走，坡度可能完全不同。如果朝东北方向走呢？坡度又该怎么算？——同时受两个方向影响的"变化率"，正是本章多元函数微分要解决的问题。

场景2：外卖配送费同时受"距离"和"天气"两个因素影响。距离远一点配送费涨多少？天气变恶劣配送费涨多少？两个因素同时变，总费用又涨多少？——这就是"偏导数"和"全微分"要回答的问题。

场景3：你每个月有固定的生活费，想买两样东西让满足感最高。钱就这么多，怎么分配？——这就是"条件极值"和"拉格朗日乘数法"在做的事。

带着这三个画面往下读。

0. 发生式第一课：多元微分是怎么被发明的？（先读这一节！）

🔔 这一节回答你最想问的问题：第2章我们学会了导数——一个函数、一个变量，变化率好算。可现实里几乎没有"只受一个因素影响"的事：配送费既看距离又看天气，产出既看资本又看劳动。变量多了一个，"变化率"怎么定义？——这是本章要解决的第一件事。

第一步：先看一元经验卡在哪

一元函数 $y = f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 是"$x$ 动一点，$y$ 跟着变多少"。现在函数变成 $z = f(x, y)$——两个输入。麻烦来了："$x$ 和 $y$ 同时动"说不清，因为变化的方向有无穷多种（往右动、往上动、斜着动……），每种方向的变化率都不一样。直接照搬一元的定义会卡死。

第二步：发现——先"装瞎"，一次只看一个变量

人类想出一个聪明的笨办法：先假装只有一个变量在变。算"距离的影响"时，就把天气定死不动（当作常数），只让距离动——这不就退回一元函数了吗？一元导数立刻能用！算"天气的影响"时，反过来把距离定死。这个"先把别的变量按住、只对其中一个求导"的导数，就是偏导数（偏，就是"偏袒"、只照顾一个变量）。

写成式子：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$　（$y$ 被按住不动）

符号上特意把 $d$ 写成 $\partial$（读作"偏"），提醒你这是"偏袒一个变量"的导数——和一元导数 $d$ 区分开。

第三步：命名——以及两个变量一起动怎么办

每个变量各自算一个偏导数，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 两个数。可如果两个变量同时都动一点点呢？那就把两个偏导数都算上：每个方向的影响乘上各自动了多少，加起来——这就是全微分：

$dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

一个方向的影响 + 另一个方向的影响 = 总影响。偏导数是"单方向的变化率"，全微分是"把各方向的变化率组合起来"。极值问题（多元版山顶谷底）、条件极值（钱有限怎么分配）都是在这个基础上展开。

最后：比喻确认（推完才用，不代替定义）

回头看课前激活：配送费受距离和天气两个因素影响——算"距离的影响"就假设天气不变（偏导），两个一起变就算总和（全微分）。比喻帮你记住"多元 = 多个一元叠加"，严格定义是上面的极限式子。

🔗 和第4章的衔接：第4章我们学了如何从一个变量的变化规律反推函数本身（微分方程）。第5章我们处理更复杂的情况——多个变量同时变化时怎么分析。两章结合可以处理大量经济动态优化问题（比如消费者在多商品之间的最优选择）。

📖 怎么使用本章

学习顺序：先读核心知识（约2小时）→ 学习题型与解题模板（约1.5小时）→ 做练习题（约3小时）。

使用说明：

1. 读核心知识时：一个概念接一个概念往下学，不要跳跃。每个概念理解后，看它和一元函数的区别（这是本章重点）。
2. 学题型时：每类题型先看解题模板和例题，再注意观察"翻车现场"——这些是考试中最容易丢分的地方。
3. 做练习题时：链式法则题强制画树形图（画出图再写公式）；极值判别题严格执行三步法（求驻点 → 算二阶偏导 → 判别）。
4. 做完后：对照答案检查——重点看树形图是否漏路径、AC-B²是否忘了看A的正负、经济题成本函数是否写错。
5. 本章概念辨析（多元vs一元）是选择题高频考点，务必吃透。

📝 符号速查（新手必读）

符号	含义	读法
$\partial$	偏导数符号	"偏"（partial）
$\frac{\partial f}{\partial x}$	f对x的偏导数	"偏f偏x"
(f_x)	f对x的偏导数（简写）	"f sub x"
(f_1')	对第一个中间变量的偏导	"f1一撇"
(f_{12}'')	先对第一个、再对第二个的混合偏导	"f12两撇"
(dz)	全微分	"d z"
$\nabla f$	梯度（向量）	"nabla f"或"grad f"
$\frac{\partial f}{\partial l}$	沿l方向的方向导数	"偏f偏l"
(A, B, C)	AC-B²判别法中的三个二阶偏导	—
$\Delta = AC - B^2$	极值判别式	"德尔塔"
$\lambda$	拉格朗日乘数	"拉姆达"

一、本章概览

1.1 考试大纲与试卷地位（数学三）

数学三特色：第8条中的"经济应用"是数三区别于数一、数二的核心考点。多元函数极值在经济最优化建模（利润最大化、成本最小化）中是每年必考内容。

🗂️ 二重积分的去向：官方考纲把"多元函数微分学"与"二重积分"合并为同一个"第5章"。本资料把二重积分单列为**下一章（第6章 二重积分）**完整讲解，本章只负责微分学部分——两章合起来才是官方考纲完整的"第5章"。

1.2 命题特点

本章在考研数学三中属于中高难度章节，年均有1道大题（极值题或经济应用题）+ 12道小题（概念选择题、偏导计算题），总分约1520分。

出题规律：

• 链式法则（复合函数求偏导）每年必考，渗透在各种计算题中
• 极值题（无条件+条件）每年至少一道大题
• 概念辨析（可微/偏导/连续的关系）是选择题的固定考点，反复出现
• 数三独有的经济应用题近十年频次明显上升

1.3 知识体系地图

                          ┌──────────────────────────────┐
                          │     多元函数微分学            │
                          └────────────┬─────────────────┘
                                       │
            ┌──────────────────────────┼──────────────────────────┐
            │                          │                          │
   ┌────────▼────────┐     ┌───────────▼───────────┐    ┌────────▼────────┐
   │  基础概念        │     │   偏导数与全微分计算    │    │   极值与最值     │
   │                 │     │                       │    │                 │
   │ ·二重极限       │     │ ·显函数偏导数          │    │ ·无条件极值      │
   │ ·连续性         │     │ ·复合函数偏导数(链式)   │    │  驻点→AC-B²判别  │
   │ ·偏导数存在性   │     │ ·隐函数偏导数(公式法)   │    │ ·条件极值        │
   │ ·可微性判别     │     │ ·高阶偏导数            │    │  拉格朗日乘数法   │
   │ ·相互关系       │     │ ·全微分(形式不变性)     │    │ ·闭区域最值      │
   └─────────────────┘     └───────────────────────┘    │ ·经济应用(⭐数三) │
                                                        └──────────────────┘

概念关系链（核心框架图）：

             偏导数连续
                 │
                 ▼
               可 微
              ╱     ╲
             ▼       ▼
         偏导数存在   连续

  （注意：箭头全是单向的！没有一个是双向的）

二、核心知识 ★

以下内容按概念之间的逻辑顺序排列，只包含定义、定理和公式本身。口诀、避坑技巧和考试经验全部放在后面紧跟的对应练习题中。

2.1 多元函数的基本概念

题型1：多元函数的基本概念

2.1.1 什么是多元函数

大白话：一元函数是一个"遥控器"控制一个"结果"。多元函数是好几个"遥控器"共同控制一个结果——比如房价由地段、面积、楼层、装修等多个因素共同决定。

数学表达：

• 一元函数：(y = f(x))，一个输入，一个输出
• 二元函数：(z = f(x, y))，两个输入，一个输出
• 三元及以上依次类推

注意：虽然是"多个变量"，但结果还是一个数。比如 (z = x^2 + y^2)，给定 (x=1, y=2)，算出来 (z=5) 就是一个数。

考法1：求定义域与表达式

考查方式：给定含二元或三元变量的函数表达式，求其自然定义域。

先看一道题：求 $z = \ln(4 - x^2 - y^2) + \sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ 的定义域。

看到这题，先别慌。定义域就是"让式子有意义的所有 ((x, y))"。难在哪？这个式子里有两样各有脾气的零件——对数（里面必须 (> 0)）、根号（里面必须 $\ge 0$），后面还会有分母（不能为 0）、反三角（里面要在 ([-1,1])）……每一个都提一个条件，漏一个条件定义域就错了。一元函数的定义域是一条数轴上的区间；二元函数的定义域是一整片平面区域，得让所有零件同时有意义。

解：

• 对数要求：(4 - x^2 - y^2 > 0)，即 (x^2 + y^2 < 4)（半径 2 的圆内部）
• 根号要求：$x^2 + y^2 - 1 \ge 0$，即 $x^2 + y^2 \ge 1$（半径 1 的圆上及外部）
• 两个条件同时满足：${(x,y) \mid 1 \le x^2 + y^2 < 4}$，即圆环区域。

🔍 回头看看我们做了什么：我们不是一个一个地"挑"，而是把所有条件列出来，取它们的交集——因为定义域要求"每个零件都有意义"，一个都不能少，所以是"且"不是"或"。

📌 以后就这么办——解题模板：

1. 写出使表达式有意义的全部条件（根号内 ≥ 0、分母 ≠ 0、对数内 > 0、arcsin 内 ∈ [-1,1]……）
2. 联立不等式（组），取交集
3. 用集合或平面区域表示结果

⚠️ 翻车现场：多个条件联立时，只考虑了一个条件就写答案。定义域要同时满足所有限制条件——根号里面≥0、分母≠0、对数里面>0、arcsin里面在[-1,1]……漏一个条件定义域就错了。正确做法：逐个列出每个限制条件，取交集。

1.1 求定义域

题1 ⭐基础 求函数 $z = \sqrt{x - \sqrt{y}}$ 的定义域，并用平面区域表示。

题2 ⭐基础 求函数 $z = \arcsin(x^2 + y^2 - 2) + \ln(4 - x^2 - y^2)$ 的定义域。

题3 ⭐⭐中等 求函数 $u = \sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 - 1}}$ 的定义域。

2.1.2 二元函数的几何意义

一元函数 (y = f(x)) 画出来是平面上的一条线（曲线）。二元函数 (z = f(x, y)) 画出来是三维空间里的一张面（曲面），就像一块起伏的地形图。

经典例子：(z = x^2 + y^2) 是一个"碗"的形状（抛物面），((0,0)) 是最低点。$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 是上半球面。

换句话说：二元函数 (z = f(x, y)) 的图形是一个曲面。

2.1.3 二元函数的极限

一元函数的极限：$x \to x_0$ 时，只有两个方向——从左边靠近、从右边靠近。两个方向都趋于同一个值，极限就存在。

二元函数的极限：$(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时，可以有无穷多个方向靠近！你可以沿着直线走、沿着抛物线走、沿着任何曲线走。只有所有方向上的极限值都一样，二元极限才算存在。

核心结论：二元极限比一元极限严苛得多。一元的"左右相等"就解决了，二元需要"所有方向都相等"。

证明极限不存在的方法（路径法）：找两条不同的路径，算出两个不同的极限值，就证明极限不存在。

经典反例： $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$

• 沿 (y = 0)（横轴）走：代入 (y=0)，得 $\frac{x \cdot 0}{x^2 + 0} = 0$，极限 = 0
• 沿 (y = x)（对角线）走：代入 (y=x)，得 $\frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{1}{2}$，极限 = 1/2
• 两条路径极限不同 → 极限不存在！

证明极限存在的方法：路径法只能证明"极限不存在"——因为要证明"存在"，你得验证无穷多条路径都收敛到同一个值，这是做不到的。证"存在"要靠下面两条路。

方法一：夹逼定理（两头夹）。找两个函数 (g(x,y)) 和 (h(x,y))，使得 $g(x,y) \le f(x,y) \le h(x,y)$，并且当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时，(g) 和 (h) 都趋于同一个数 (L)——那 (f) 就被夹在中间，跑不掉，也只能趋于 (L)。

大白话：就像你没法直接量出一个人的身高，但他站在一根1.75米的门槛和一根1.75米的门梁之间，站不直也矮不下去——那他肯定就是1.75米。

夹逼例子：证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。

第一步：想"拿什么来夹它"。这一步在想什么：分子 (xy) 和分母 $\sqrt{x^2+y^2}$ 都在趋近0，谁赢不知道。夹逼的诀窍，是把"会乱动的 (xy)"先放大成一个"只跟到原点的距离有关的简单量"，方便后面的比较。

第二步：把 (|xy|) 放大。因为 $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$、$|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$（直角边永远不超过斜边），所以 $|xy| \le x^2+y^2, \qquad \left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \sqrt{x^2+y^2}$ 这一步在想什么：左边是我们要估的 (f) 的绝对值，右边是"到原点的距离 $\sqrt{x^2+y^2}$"——它是个当 $(x,y)\to(0,0)$ 时显然趋于0的简单量。问题从"复杂的分数"被降成了"简单的半径"。

第三步：让夹逼定理收尾。因为 $0 \le |f| \le \sqrt{x^2+y^2}$，而 $\sqrt{x^2+y^2}\to 0$，所以 $|f|\to 0$，即 $f\to 0$。极限存在且为 0。

方法二：极坐标变换（把"无穷多条路"打包成"半径"）。令 $x = r\cos\theta,; y = r\sin\theta$。这一步在想什么：把点 ((x,y)) 改写为"半径 $\times$ 方向"——(r) 是到原点的距离，$\theta$ 是方向角。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，等价于 $r\to 0$（$\theta$ 想怎么变就怎么变）。如果算出的极限里与 $\theta$ 无关，就说明"从哪个方向进来结果都一样"——极限存在。

极坐标例子：证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} = 0$。

第一步：代换。$x^3+y^3 = r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)$，(x^2+y^2 = r^2)，所以 $\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} = \frac{r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r^2} = r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)$ 这一步在想什么：分子分母的"次数差"被 (r) 的幂次显式暴露出来——分子是 (r^3)、分母是 (r^2)，一除还剩一只 (r)，这是会趋近0的"余孽"。

第二步：检查与 $\theta$ 无关。因为 $|\cos^3\theta+\sin^3\theta| \le 2$（三角函数绝对值永远不超过1），所以 $|f| \le 2r \to 0$。这一步在想什么：含 $\theta$ 的部分不管取什么方向，顶多是个不超过2的"有界常数"，真正决定生死的只剩那只独立的 (r)——只要最后乘着一整只 (r)，极限就是0。

第三步：下结论。极限存在且为 0。

🧠 大白话复盘：证"不存在"靠"找两条路打架"；证"存在"靠"证明所有路殊途同归"。夹逼是"两头夹"——让 (f) 夹在两个都趋于同一个数的函数中间，跑不掉；极坐标是"打包"——把无穷多条路径打包成"半径 (r) + 方向 $\theta$"，只要 $\theta$ 不捣乱、只剩 (r) 在缩小，就等于所有方向都收敛到同一个值。

考法2：判断极限是否存在

核心困难：二重极限 $(x,y) \to (0,0)$ 时，要求沿所有路径趋近时极限值都相同。

解题模板：

1. 先猜极限值：代入简单路径（如 (y = 0, x = 0, y = x) 等）
2. 若猜出相同值 L：尝试用夹逼定理或极坐标变换证明 $\lim = L$
3. 若两条路径值不同（或一条不存在）：直接下结论——极限不存在

快速判别公式 选学·不背，看懂直觉即可（针对 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^p y^q}{x^m + y^n}$ 型）：

• 若 (m, n) 不全为偶数 → 极限一定不存在
• 若 (m, n) 均为偶数，令 $\rho = \frac{p}{m} + \frac{q}{n}$
  • $\rho > 1$ → 极限存在且为 0
  • $\rho \le 1$ → 极限不存在

💡 为什么"不全为偶数"就一定不存在？ 因为 (m, n) 里只要有一个是奇数，分母的奇次项就能让分母 (x^m + y^n) 在原点附近任意小（可取负值，甚至逼近零点），函数可能无界或在该处没定义，故极限不存在。

💡 直觉解释：这个公式的本质是比较分子和分母的"次数"——分子次数高于分母时，分式趋于0；分子次数不够高时，不同路径就会暴露差异导致极限不存在。公式只是把这个判断自动化了。

为什么分子次数够高，极限才是 0？——"同量级 + 最危险路径"两段论

第一段：先立个基准盘——把 (x, y) 都看成同一量级 (t)。反正 $(x,y)\to(0,0)$，大家都趋近0。分子 $x^p y^q \sim t^{p+q}$（两个 (t) 次幂相乘，次数相加）；分母 $x^m + y^n \sim t^{\min(m,n)}$（(t) 越小，次数高的项缩得越快、越早没影，加号里留下的是"缩得慢"的那项，即次数更小的）。分子次数 (p+q) 压过分母 $\min(m,n)$，分式就 → 0。这一步在想什么：这是"大体方向"——先假设 (x, y) 缩得一样快，比一次谁快谁慢。

第二段：但"基准盘"不够——分母还藏着一条"最危险路径"。分母里 (x^m) 和 (y^n) 缩得不一样快。如果沿某条路走，让这两项势均力敌（(x^m) 和 (y^n) 差不多大），分母就会"减得最慢"，最不容易被分子压过去。这条最危险的路怎么找？令 (x^m = y^n = t)，也就是 (x = t^{1/m},; y = t^{1/n})（比如 (m=2, n=4) 时就是 (x = y^2)，即 $y = \sqrt{x}$ 这种曲线路径）。在这条路上：

• 分子：$x^p y^q = t^{p/m} \cdot t^{q/n} = t^{\frac{p}{m}+\frac{q}{n}}$
• 分母：$x^m + y^n = t + t = 2t \sim t$
• 分式：$f \sim t^{\frac{p}{m}+\frac{q}{n}-1}$

第三段：$\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1$ 就是从这条最危险路径上冒出来的。

• 若 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1$：分子缩成 (t) 的"高于1次方"，比分母的"1次方"缩得更快，$f\to 0$——连最危险的路都压住了，其他路更不在话下，极限存在且为 0。
• 若 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}=1$：这条路上 $f \to \frac{1}{2}$（不趋于0），而沿别的路（比如坐标轴）会得到别的值——两条路结果不一样，极限不存在。
• 若 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}<1$：这条路上 $f\to\infty$，极限更不存在。

🧠 大白话复盘：公式里那个怪模怪样的"分数次数相加" $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}$，不是从天上掉下来的——它来自分母两项"势均力敌"的那条最危险路径。在这条路上，(x) 要按 (t^{1/m}) 的节奏缩、(y) 要按 (t^{1/n}) 的节奏缩，分子就缩成 $t^{\frac{p}{m}+\frac{q}{n}}$，分母只缩成 (t)。分子想赢，就得让 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}$ 压过 1。一句话记忆：看分子"综合碎裂速度"能不能超过 1——超过，极限为0；没超过，极限不存在。

⚠️ 翻车现场：沿y=0和y=x两条路径极限相等，就认为极限存在。即使沿所有直线路径极限都相等，极限仍然可能不存在！因为还有曲线路径（如y=kx²）。正确做法：先试直线路径（y=kx），如果不同k结果不同→极限不存在；如果所有直线路径结果相同→还不能下结论，再试曲线路径（y=kx²、y=kx³等）；如果怀疑极限存在，用极坐标变换或夹逼定理严格证明。

经典反例：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$

• 沿 (y = 0)：极限 = 0
• 沿 (y = x)：极限 = 1/2
• 值不同 → 极限不存在（这个例子必须牢记）

考试技巧——证明极限不存在的绝招：找两条不同的路径，算出两个不同的极限值，就证明极限不存在了。

1.2 判断极限是否存在

题4 ⭐⭐中等 判断极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ 是否存在。

题5 ⭐基础 判断极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ 是否存在，若存在求其值。

题6 ⭐基础 判断极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 是否存在，若存在求其值。

2.1.4 二元函数的连续性

函数在某点连续，就是"在这个点附近，函数值不会突然跳跃"。用极限的语言说：((x,y)) 靠近 ((x_0,y_0)) 时，函数值 (f(x,y)) 靠近 (f(x_0,y_0))。

判断方法：

1. 初等函数（多项式、指数、对数、三角以及它们的四则运算和复合）：在定义域内一定连续。不用证。
2. 分段函数在分段点：需要验证 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$。
3. 如果已知函数可微：可微一定连续（但反过来不成立）。

🧠 这一步为什么"初等函数不用证连续"？ 因为初等函数是用"加减乘除、复合"把最基础的光滑函数（多项式、指数、三角……）拼起来的——拼的时候每一步都保持连续（连续函数四则运算后仍连续、复合后仍连续），所以拼出来的整体在定义域内天然连续。真正需要动手验证的只有"接缝处"——分段函数在分界点，那里的函数表达式切换了，连续性不能想当然，必须回到极限定义核对。

和一元函数的区别：判断连续的方法没本质区别，但因为二元极限本身就难求，所以二元连续性的判断也相应更难。最重要的区别是：偏导数存在不代表连续（一元是可导必连续，多元不是！）。

有界闭区域上连续函数的性质（和一元一样）：

• 一定有最大值和最小值（最值定理）
• 一定能取到介于最大值和最小值之间的所有值（介值定理）
• 一定有界

🧠 为什么"闭 + 连续"就能保证有最值？ 直觉就一句话：连续函数不会"跑飞"，闭区域又"收得住口"。函数连续，意味着曲面是"无缝"的——不会在某一点突然冲到天上去或砸穿地底；区域"闭"（有界闭区域），意味着它把边界也算进来了、地盘有限——你不可能跑到无穷远去找极值。一块"有限又无缝"的曲面，就像一张绷紧的帐篷布，总能找到最高的那根柱子（最大值）和最低的那个点（最小值）。这和一元函数的直觉完全对得上：连续函数在任何闭区间 ([a,b]) 上必有最大值和最小值。差别只是二元的地盘从"一条线段"变成了"一块封闭的平面区域"，但"地盘有限 + 函数不跳变 ⇒ 必有最高最低"这个道理一字不差。反过来，如果区域开放或延伸到无穷（比如整条 (x) 轴），像 (f(x,y)=x) 这样的函数可以无限增大、永远没有最大值——因为地盘没收口。

看到一道"问你可不可连续"的题，先想什么？

难在哪？ 连续的定义是"极限值等于函数值"。但二元函数求极限本身常常很难（要在所有方向上验证）——所以打法不是每题硬算极限，而是先给函数分类：大多数函数是初等函数，在定义域内直接连续；只有"接缝处"（分段点）才需要动真格。

解题模板：

1. 初等函数：定义域内连续（直接用，不需要证）
2. 分段函数在分段点：验证 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
3. 利用性质：连续函数的和、差、积、商（分母非零）仍连续
4. 利用可微：若已知可微，则必连续（但反过来不成立）

⚠️ 翻车现场：只看分段函数在分界点有没有定义，不看极限存不存在。连续需要三个条件同时满足——①函数在点上有定义；②极限存在；③极限值等于函数值。少一个都不行。很多同学看到f(0,0)=0就直接说连续，忘了验证极限。

1.3 判断连续性

题7 ⭐基础 设 $f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\[8pt] 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 判断 (f(x,y)) 在 ((0,0)) 处是否连续。

题8 ⭐⭐中等 设 $f(x,y) = \begin{cases} (x^2 + y^2)\sin\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\[8pt] 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 判断 (f(x,y)) 在 ((0,0)) 处是否连续。

2.2 偏导数与全微分

题型2：偏导数与全微分的计算

2.2.1 偏导数定义与几何意义——"固定其他旋钮，只拧一个"

🍞 生活场景：你手里有一整条吐司面包。如果你想看面包里面的结构，不会一口咬下去——你会拿刀切一片薄片出来。切的时候，刀是沿着一个方向切下去的，另一个方向保持不动。切出来的这片面包的"截面"，就是你在那个方向上的观察结果。

偏导数做的事跟切面包一模一样：二元函数 (z = f(x,y)) 是一整块"曲面面包"。对 (x) 求偏导 $\frac{\partial f}{\partial x}$，就是拿一把平行于 (x) 轴的刀，把 (y) 固定在某个值不动，沿 (x) 方向切一刀——切出来的截面上只剩 (x) 一个变量在变，于是你就可以像一元函数一样求导了。对 (y) 求偏导同理——固定 (x)，沿 (y) 方向切。

偏导数的正式陈述：

设函数 (z = f(x,y)) 在点 ((x_0, y_0)) 的某个邻域内有定义。

对 (x) 的偏导数：固定 (y = y_0) 不变，只看 (x) 变化时 (f) 的变化率： $\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

对 (y) 的偏导数：固定 (x = x_0) 不变，只看 (y) 变化时 (f) 的变化率： $\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

几何意义：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 是曲面 (z = f(x,y)) 被平面 (y = y_0) 截出的那条曲线，在点 ((x_0, y_0, f(x_0,y_0))) 处的切线斜率。$\frac{\partial f}{\partial y}$ 则是被平面 (x = x_0) 截出的曲线在同一点的切线斜率。

记号的通俗理解：$\partial$ 这个符号读作"偏"——它不是直 d（一元导数专用），而是一个卷曲的 d，暗示"我只是偏心地只看一个方向，其他方向的贡献我暂时不管"。

计算方法：对 (x) 求偏导，把 (y) 当成普通常数（像 3、5 一样处理）；对 (y) 求偏导，把 (x) 当成普通常数。除此之外，所有一元函数的求导公式和法则照搬不误。

🧠 这一步为什么能"把 y 当常数"？——这正是偏导数定义的自然结果。 还记得偏导数的定义吗？$\frac{\partial f}{\partial x}$ 是"固定 (y = y_0)，只看 (x) 变化时 (f) 怎么变"。固定 (y) 意味着：在这道题里 (y) 从头到尾就是一个不参与变化的量——它跟常数 3、5 在"是否会随 (x) 变"这一点上没有区别。所以"把 (y) 当常数"不是一条要死记的规则，而是你从定义出发必然会这么做的：谁固定，谁就当常数；谁在变，谁才是真正的变量。

例题：(z = x^3 y + e^{xy})

• $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + y \cdot e^{xy}$（把 (y) 当常数）
  • 这一步在想什么：(x^3y) 里 (y) 是常数系数，(x^3) 求导得 (3x^2)；(e^{xy}) 是指数上带着 (x)，用链式法则，(y) 是"(x) 的系数"，对 (x) 求导后乘下来一个 (y)。
• $\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + x \cdot e^{xy}$（把 (x) 当常数）
  • 这一步在想什么：反过来了——这次 (x) 是常数系数，(x^3) 整个是常数直接保留；(e^{xy}) 对 (y) 求导，(x) 是"(y) 的系数"，乘下来一个 (x)。

🧠 从极限定义到"固定变量"——偏导数推导的三步拆解

推导本身不复杂，但每一步都对应一个容易出错的地方，我们一步一步来。

第零步：回到最原始的问题——"变化率"到底是什么？

一元函数 (y = f(x)) 的导数，本质是问：(x) 变一点点，(y) 变多少？答案就是极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

二元函数 (z = f(x,y)) 有两个输入。如果你两个输入同时变，变化率的定义会很复杂（那是方向导数的事）。偏导数采取了一个"简化策略"——先按住一个不动，只看另一个变。这就像你调试两台联动的机器，先关掉一台，单独测另一台的影响。

第一步：写出"固定 y 后的一元函数"。

在点 ((x_0, y_0)) 处，把 (y) 钉死在 (y_0)，定义一个新函数： $\varphi(x) = f(x, y_0)$

这本质上就是"沿 (y = y_0) 切一刀"后，截面上那条曲线的方程。$\varphi(x)$ 是一个货真价实的一元函数——它只有一个自变量 (x)。

第二步：对一元函数 $\varphi(x)$ 求导。

由于 $\varphi(x)$ 是一元函数，它的导数就是标准定义： $\varphi'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\varphi(x_0+\Delta x) - \varphi(x_0)}{\Delta x}$

把 $\varphi(x) = f(x, y_0)$ 代回去： $\varphi'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

这正是偏导数的定义式。所以：偏导数就是把多元函数降维成一元函数，然后照搬一元导数的定义。

第三步：对 (y) 完全对称。

把 (x) 钉死在 (x_0)，定义 $\psi(y) = f(x_0, y)$，同样操作即得 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

推导完毕。 整个过程只有两步：固定一个变量 → 对剩下的一元函数求导。没有新的数学工具，只有"策略性降维"。

大白话：偏导数的推导没有引入任何新概念——它只是给你一把"切面包的刀"。你选好切的方向，把多维问题降成一维问题，然后用你早就会的一元导数解决。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

整个偏导数推导的核心策略是降维攻击。面对两个变量同时动的复杂局面，我们不硬刚——我们耍了个花招：先按住一个让它当"木头人"，这样函数就退化成一元函数。一元函数的导数你早就会求了。所以偏导数没有新公式、没有新定理，它只是"多维问题一维化"的策略。这也是为什么偏导数的所有求导规则（和差积商、链式法则等）跟一元函数一模一样——因为在求偏导的那一刻，你确实就是在做一元求导。

核心洞察：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 中的 $\partial$ 不是一种新的导数——它只是一个提醒："注意，虽然你暂时只对 (x) 求导，但别忘了这个函数还有别的变量存在。这个导数只是'偏'的，不是全部的故事。"这也是为什么偏导数存在不等于可微的根本原因——你只看了两个特殊方向，其他无穷多个方向的情况你一概不知。

⚠️ 易错边界——偏导数的"视力盲区"：

⚠️ 边界1：这是整个多元微分学最重要的概念辨析——偏导数存在，推不出函数连续！

一元函数中，可导必然连续——因为导数存在意味着左右两个方向都光滑，函数不可能断开。但多元函数中，偏导数只管 (x) 轴和 (y) 轴两个特殊方向。函数可以在这两个方向上光滑无比，但在对角线方向突然断裂。

经典反例（必须记住）： $f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\[8pt] 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

• 在 ((0,0)) 处沿 (x) 轴方向：(f(x,0) = 0)（恒为零），所以 (f_x(0,0) = 0)。偏导数存在！
• 在 ((0,0)) 处沿 (y) 轴方向：(f(0,y) = 0)（恒为零），所以 (f_y(0,0) = 0)。偏导数也存在！
• 但沿对角线 (y = x) 趋近原点：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \neq f(0,0) = 0$。函数在原点不连续！

所以：两个偏导数都存在且都为零，但函数在该点不连续。"偏导数存在 $\Rightarrow$ 连续"在多元世界里是错的。

⚠️ 边界2：偏导数只告诉你两个方向的信息。 偏导数是方向导数的两个特例——分别沿正 (x) 轴和正 (y) 轴的方向导数。一个点有无穷多个方向可以走，偏导数只看了其中两个。如果一个函数在 (x) 和 (y) 方向都光滑，但在其他方向有问题（比如对角线上有个尖脊），偏导数完全"看不见"——这就是为什么偏导数存在不等于可微。

⚠️ 边界3：分段函数在分段点处，偏导数必须用定义求，不能直接套公式。 因为分段点处函数表达式切换，直接对表达式求导得到的是"分段点之外"的导数，不是分段点处的导数。

典型翻车：$f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 ((0,0)) 处。如果对 $\sqrt{|xy|}$ 直接求偏导会得到无定义的表达式。必须用极限定义：$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h \cdot 0|} - 0}{h} = 0$。

⚠️ 边界4：偏导数的记号 (f_x) 和 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 是同一个意思。 但 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 更清楚地表明了"谁固定、谁在变"。在链式法则中，两种记号的混用容易导致混淆——建议复杂计算中统一使用一种。

偏导数在整个体系中的位置：

偏导数是多元微分学的入场地基。它是你从一元世界走进多元世界跨过的第一道门槛。它的直接下游有三个方向：(1) 两个偏导数组成了梯度向量 $\nabla f = (f_x, f_y)$，梯度又决定了方向导数；(2) 偏导数拼成了全微分 (dz = f_x dx + f_y dy)，全微分是判断"函数能不能用平面近似"的核心概念；(3) 偏导数作为"零件"，组装出链式法则——所有中间变量对最终变量的影响，都由偏导数逐层传导。从更大的图景看，偏导数是整个"多元微分"大厦的砖块——后面的全微分、链式法则、隐函数求导、方向导数、极值判别，全都是在用不同的方式组合和应用偏导数。

考法1：显函数的偏导数

解题模板：

1. 识别函数类型（多项式、指数、对数、复合等）
2. 对 (x) 求偏导时，把 (y) 视为常数
3. 对 (y) 求偏导时，把 (x) 视为常数
4. 若要求某一点处的偏导数值，求导后代值即可

例题：设 (z = x^3y + e^{xy})，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$。

解：

• $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y + y \cdot e^{xy}$
• $\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + x \cdot e^{xy}$

⚠️ 翻车现场：对x求偏导时忘了y是常数，用了乘积法则却把y也当函数求导。偏导数的核心规则——对谁求导，其他变量就当常数看。这是和一元函数求导最大的不同，也是最容易忘的地方。

2.1 显函数的偏导数

题11 ⭐基础 设 (z = x^3 + y^3 - 3xy)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$，并求在点 ((1,1)) 处的偏导数值。

题12 ⭐基础 设 $z = e^{x^2 + y^2} \cdot \cos(xy)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

题13 ⭐⭐中等 设 $z = \ln\sqrt{x^2 + y^2}$，验证：$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = 1$。

2.2.2 全微分与可微条件——"两个方向的变化，能不能合成一个总变化？"

📐 生活场景：你站在一个广场上，广场的地面不是完全平的——有些地方微微隆起，有些地方微微凹陷。你脚下的位置是 ((x, y))，地面高度是 (z = f(x,y))。现在你往前（(x) 方向）迈一小步 (dx)，同时往右（(y) 方向）迈一小步 (dy)。你的高度变了多少？

最朴素的估算是分别算：往前走 (dx)，高度大约变化 $f_x \cdot dx$（用 (x) 方向的偏导数估算）；往右走 (dy)，高度大约变化 $f_y \cdot dy$。如果地面在你脚下足够"平滑"，这两个变化可以直接加起来，作为总的高度变化：(dz = f_x dx + f_y dy)。这个"加起来"的操作就是全微分。

但是——重点来了——不是所有地面都平滑到可以这样"加"！ 有的地面在你脚下虽然有偏导数（往前走和往右走的坡度都存在），但地面在你脚下是"皱"的——往对角线方向走，实际高度变化跟"加出来"的 (f_x dx + f_y dy) 差得很远。这种地面就是"偏导数存在但不可微"的情况。

全微分与可微性的正式陈述：

设函数 (z = f(x,y)) 在点 ((x_0, y_0)) 的某个邻域内有定义。如果存在常数 (A, B)，使得函数在该点的全增量可以表示为： $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$ 其中 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$，且 $\lim_{\rho \to 0} \frac{o(\rho)}{\rho} = 0$（即误差是比步长 $\rho$ 更高阶的无穷小，小到可以忽略），则称 (f(x,y)) 在 ((x_0, y_0)) 处可微。

此时必有 (A = f_x(x_0, y_0))，(B = f_y(x_0, y_0))，记全微分为： $dz = f_x(x_0, y_0) \, dx + f_y(x_0, y_0) \, dy$

通俗翻译：全微分 (f_x dx + f_y dy) 是用一个平面（切平面）来近似曲面在这一点附近的行为。可微的意思就是——当你迈的步子足够小时，真实的高度变化和切平面预测的高度变化之间的误差，小到可以忽略不计。

全微分形式不变性：无论 (x, y) 是自变量还是中间变量（即 (x, y) 本身又依赖于其他变量），公式 (dz = f_x dx + f_y dy) 的形式永远不变。这个性质在隐函数求导中极其有用——你不需要分清谁是自变量谁是中间变量，直接写全微分然后整理就行。

为什么"形式不变"？——一句来源：假设 (z = f(x,y))，而 (x, y) 又都是中间变量（比如 (x = x(u,v), y = y(u,v))）。把 (z) 看成 (u, v) 的函数，它的全微分按定义是 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$ 而 $\frac{\partial z}{\partial u}$、$\frac{\partial z}{\partial v}$ 正是用链式法则从 (f_x, f_y) 合成的： $\frac{\partial z}{\partial u} = f_x \frac{\partial x}{\partial u} + f_y \frac{\partial y}{\partial u}, \qquad \frac{\partial z}{\partial v} = f_x \frac{\partial x}{\partial v} + f_y \frac{\partial y}{\partial v}$ 把 (dx, dy) 展开成 (du, dv) 后代入 (dz = f_x dx + f_y dy)，再按 (du, dv) 合并同类项（这正是后面 2.3.1 链式法则推导要做的"代入展开 → 合并 → 读系数"那一步）： $dz = f_x\,dx + f_y\,dy = f_x\left(\frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv\right) + f_y\left(\frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv\right) = \left(f_x\frac{\partial x}{\partial u} + f_y\frac{\partial y}{\partial u}\right)du + \left(f_x\frac{\partial x}{\partial v} + f_y\frac{\partial y}{\partial v}\right)dv$ 这一步在想什么：链式法则保证"绕道 (u, v) 再兜回 (x, y)"之后，(dx) 的系数还是 (f_x)——因为 (f_x) 本来就是"(x) 变一点点时 (z) 变多少"这个量的真身，无论走哪条合法路径绕，最后都只能回到它。所以全微分像一张"不怕绕路的名片"：不管 (x, y) 是不是最终自变量，(dz = f_x dx + f_y dy) 这张名片始终有效。

可微、偏导存在、连续三者的关系（这是整个章节最核心的概念框架）：

    偏导数连续
        ⇓
      可 微
     ╱     ╲
    ⇓       ⇓
偏导数存在   连续

（所有箭头都是单向的！没有一个是双向的！）

判断可微的三种路径（按优先级）：

1. 充分条件（最快）：偏导数 (f_x, f_y) 在该点连续 → 一定可微
2. 必要条件（排除）：函数不连续，或偏导数有一个不存在 → 一定不可微
3. 充要条件（硬验证）：验证 $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - f_x \Delta x - f_y \Delta y}{\rho} = 0$ 是否成立

🧠 为什么偏导数存在不等于可微？——"两个方向的光滑不能保证全局的光滑"

这是整个多元微分学中最深刻、最容易搞错的一个概念点。下面我们从定义出发，一步步推导可微的真正含义，同时展示偏导数存在但不可微的反例。

第零步：先搞清楚"可微"到底在说什么。

一元函数中"可微"和"可导"是等价的概念——导数存在就意味着函数可以用一条切线来近似。但在多元函数中，这两个概念分家了。

"可微"的直观含义是：函数在这一点附近，可以用一个平面来近似。换句话说，把函数在这一点的局部行为，用一个线性函数 $L(\Delta x, \Delta y) = f_x \Delta x + f_y \Delta y$ 来代替，误差必须是可以忽略的高阶无穷小。

"偏导数存在"的直观含义是：函数在这一点，沿 (x) 轴和 (y) 轴两个方向的切线存在。但它不保证这两个切线能拼成一个"平面"——更不保证这个平面能近似其他方向。

大白话：偏导数只告诉你沿着"东"和"北"两个方向走是什么坡度，全微分是问你脚下整块地面能不能用一张平铁板来近似。东边平、北边平，不代表斜对角方向就一定平。

第一步：把"可以用平面近似"翻译成数学语言。

设我们从 ((x_0, y_0)) 出发，迈了一小步 $(\Delta x, \Delta y)$ 到达 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$。函数的实际变化量是： $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$

如果我们用平面 $f_x \Delta x + f_y \Delta y$ 来预测这个变化，预测误差是： $\text{误差} = \Delta z - (f_x \Delta x + f_y \Delta y)$

"可微"要求这个误差，当步子 $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$ 时，比步长 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 更快地趋于零。也就是： $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - (f_x \Delta x + f_y \Delta y)}{\rho} = 0$

大白话：迈一步，步子长度是 $\rho$。切平面预测的高度变化和真实高度变化之间的差距，必须比 $\rho$ 本身小得多——步子越小，差距相对步子来说消失得越快。如果差距跟步长差不多大（比如步长是 0.01，误差也是 0.01 量级），那这个平面近似就是失败的——你预测的精度跟瞎猜差不多。

第二步：展示反例——偏导数存在但不可微。

反例函数：$f(x,y) = \sqrt{|xy|}$，在 ((0,0)) 处。

• 用定义求偏导：$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h \cdot 0|} - 0}{h} = 0$，同理 (f_y(0,0) = 0)。偏导数存在！
• 检验可微性：在 ((0,0)) 处，$\Delta z = \sqrt{|\Delta x \cdot \Delta y|}$，$f_x \Delta x + f_y \Delta y = 0$，所以误差 = $\sqrt{|\Delta x \cdot \Delta y|}$。
• 沿对角线 $\Delta y = \Delta x$ 走：$\frac{\sqrt{\Delta x^2}}{\sqrt{2\Delta x^2}} = \frac{|\Delta x|}{\sqrt{2}|\Delta x|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$。误差相对步长不趋于零！不可微！

第三步：为什么这个反例"骗"过了偏导数？

在 ((0,0)) 处，沿 (x) 轴（(y = 0)）：$f(x,0) = \sqrt{|x \cdot 0|} = 0$，恒为零——所以在 (x) 方向上，函数是"死平"的，导数自然为零。

沿 (y) 轴（(x = 0)）：同样恒为零，导数也为零。

但沿对角线 (y = x)：$f(x,x) = \sqrt{x^2} = |x|$——函数在原点处有一个尖脊！沿对角线走，(f) 的变化是 (|x|)，这是一个在原点不可导的 V 形。但偏导数只在坐标轴方向"巡逻"，这个斜着的尖脊完全在它们的视野之外。

大白话：偏导数像两个在十字路口站岗的警察，每人只盯着自己那条街。两条街都平坦通畅——没问题！但他们不知道，在对角线方向的小巷里，路面突然隆起成一条锋利的刀脊。全微分是"派无人机从空中俯拍整个路口"——它能看到所有方向的起伏。当无人机拍到那条隐藏的对角线刀脊时，它就知道：这块地不能用一张平铁板来近似。这就是偏导数存在但不可微的本质。

推导完毕。 整个推导的核心结论就一句话：偏导数存在只保证两个坐标轴方向光滑，可微要求所有方向光滑。两个方向的"好"不一定能推出全局的"好"。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

整个讨论围绕一个核心问题：偏导数都有了，为什么还不够？我们找到了答案——偏导数只保证 (x) 和 (y) 两个方向的切线存在。把这两个切线"拼"在一起，理论上可以得到一个切平面。但关键是：这个拼出来的平面能不能真的近似函数在所有方向上的行为？ 反例 $\sqrt{|xy|}$ 告诉我们：不能。因为在斜着的对角线方向上，函数有一个偏导数完全"看"不到的尖脊——那个方向的误差相对步长不趋于零，平面近似失败。

核心洞察：可微 = 偏导数存在 + 所有方向的误差都可忽略。偏导数存在只是可微的两个必要条件之一（另一个是连续），合起来还不够。需要一个更强的条件——偏导数连续，或直接验证全增量与全微分之差的极限为零。

⚠️ 易错边界——全微分和可微性的常见陷阱：

⚠️ 边界1：最常用的判断方法——先看偏导数是否连续。 如果 (f_x, f_y) 在这一点连续（偏导函数在该点附近没有跳跃），则可微。这是考试中最快的判断路径。但注意：偏导数连续是充分但不必要条件——可微的函数，偏导数不一定连续（虽然考研中很少考这种边缘情况）。

⚠️ 边界2：判别法失效时，用充要条件硬验证。 如果偏导数不连续，不能说函数就不可微——必须用定义：验证 $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - f_x \Delta x - f_y \Delta y}{\rho} = 0$ 是否成立。如果成立则可微，否则不可微。

⚠️ 边界3：可微的必要条件——不满足就立刻判定不可微。 如果函数在该点不连续，或偏导数有一个不存在，直接判定不可微。无需进一步检验。这是排除法，用来快速筛掉明显不可微的情况。

⚠️ 边界4：全微分形式不变性——一个极易被忽视但超好用的性质。 不管 (x, y) 是最终自变量还是中间变量，(dz = f_x dx + f_y dy) 的形式永远不变。这意味着求全微分时你不用管谁是自变量——套公式就行。在隐函数求导和方程组求导中，对等式两边直接求全微分，然后解出所需的偏导数，比分别求两次公式法更高效。

⚠️ 边界5：不要和一元的"可导 = 可微"搞混。 一元函数中可导和可微是等价概念。多元函数中是两个不同的概念——可微比偏导存在更强。选择题经常利用这个差异设陷阱。

全微分和可微性在整个体系中的位置：

全微分是多元微分学的"中心枢纽"。它的上游是偏导数（全微分的零件），下游承接了几乎所有重要的应用：(1) 可微性是链式法则的前提——只有函数可微，链式法则的"全微分推导法"才合法；(2) 全微分形式不变性是隐函数求导的利器——两边求全微分一次得到所有偏导数；(3) 可微性判别是概念辨析选择题的核心考点（偏导存在、连续、可微三者的箭头关系）。从更大的图景看，全微分的"线性近似"思想贯穿了整个数学分析——泰勒展开（高阶近似）、最优化（梯度下降）、微分方程（线性化），全都是以全微分为起点的。

考法4：可微性判别

看到一道"问你可不可微"的题，先想什么？

难在哪？ "可微"是一个很重的要求（要验证所有方向的误差都可忽略），直接硬验证很麻烦。所以标准打法是先易后难：先试最快能出结论的入口，不行再退回更笨的办法。

第一步：先看偏导数是否连续（最快入口）。因为"偏导数连续 ⇒ 可微"是一条现成的保送通道——只要 (f_x, f_y) 在这一点连续，立刻可微，收工。为什么这条道最快？因为偏导数是现成会求的东西，连续多半用"初等函数在定义域内连续"就能判断。这一步在想什么：先找"免检通道"，能用现成结论就不硬算。

第二步：偏导数不连续，并不能说不可微（别急着下结论）。因为"偏导数连续"只是充分条件——函数仍然可能可微。这时候才动用充要条件硬验证： $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - f_x \Delta x - f_y \Delta y}{\rho} = 0, \qquad \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 成立则可微，不成立则不可微。这一步在想什么：充分条件失效时，只能回到"可微"的定义本身——误差除以步长必须趋于零，这是唯一"说了算"的标准。

第三步：发现偏导数不存在或函数不连续 → 直接不可微。这一步在想什么：这是排除法——"可微 ⇒ 偏导存在"、"可微 ⇒ 连续"都是铁的必要条件，必要条件不满足，可微直接出局，连验证都省了。

📌 以后就这么办——按优先级：偏导连续 → 可微（最快）；偏导不连续 → 用充要条件硬验证；偏导不存在或不连续 → 直接不可微。

⚠️ 翻车现场：把"偏导数存在"和"可微"当成一回事。偏导数存在只是可微的必要条件，不是充分条件。可微比偏导存在更强——可微要求全增量能被全微分"近似"，偏导存在只要求两个方向的局部变化率存在。

反例记忆（不可微但偏导数存在）：

• $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 ((0,0)) 处偏导数存在（都是0）但不可微
• $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$（原点补0）—— 偏导数存在（用定义可验证，均为0），但函数在原点不连续（沿y=x趋近时极限为1/2≠0），因此不可微

核心记忆口诀："可微位置最高，什么都能推出来；偏导连续可推可微；偏导存在和连续互推不动。"

1.4 可微性判别

题9 ⭐⭐中等 判断函数 $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 ((0,0)) 处是否可微。

题10 ⭐基础 设 (f(x,y) = |x| + |y|)，讨论 (f(x,y)) 在 ((0,0)) 处的可微性。

考法5：全微分的计算与应用

先看一道题：已知 (dz = (2x + y)dx + (x + 2y)dy)，求原函数 (z = f(x,y))。

看到这题，先别慌。它和一元函数的"已知导数求原函数"是同一个问题：一元时 (dz = f'(x)dx)，反求 (f(x)) 就是对 (f'(x)) 积分；现在 (dz) 是两块拼起来的，反求 (z) 就是找到那个"积分出来刚好等于这两块"的函数。

难在哪？ 一元的反求只有一个变量，直接积就完事；这里有两个变量，不能一股脑"积两遍"——得想清楚"对谁积、哪部分先来、多出来的常数怎么处理"。

动手试探——先从 (dx) 那块下手。我们手里有全微分公式 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$ 也就是说 (dx) 前面的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y$，(dy) 前面的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y$。先把"(z) 对 (x) 的偏导"当作已知，试着把它对 (x) 积分： $z = \int (2x + y)\,dx = x^2 + xy + \varphi(y)$ 这一步在想什么：对 (x) 积分时，(y) 是常数、直接带下来；但"常数"不再是一个数——因为 (z) 里还藏着可能含 (y) 的部分，它对 (x) 求偏导时是 0、不会被 (dx) 前的系数看见，所以"积分常数"必须写成"(y) 的未知函数 $\varphi(y)$"。

再想：$\varphi(y)$ 从哪确定？ 我们已经有了"(z) 对 (y) 的偏导应该等于 (x + 2y)"这条线索。把上面猜出的 $z = x^2 + xy + \varphi(y)$ 对 (y) 求偏导，跟线索对账： $\frac{\partial z}{\partial y} = x + \varphi'(y) = x + 2y \quad\Rightarrow\quad \varphi'(y) = 2y \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = y^2 + C$ 这一步在想什么：这就是"对账"——一半 (x) 两边已经一样了，把剩下的对不上账的部分单独拎出来，正好定出 $\varphi(y)$。

答案：(z = x^2 + xy + y^2 + C)。

🔍 回头看看我们做了什么：先对一边积分，再拿另一边"对账"定出藏起来的函数。因为对 (x) 积分会"看不见"所有只含 (y) 的项，所以必须用对 (y) 的偏导这个"探照灯"把它们重新照出来。

📌 以后就这么办——已知 (dz = P(x,y)dx + Q(x,y)dy) 反求 (z)：

1. 观察法：先看 (Pdx + Qdy) 能不能凑成某个现成函数的微分——常用凑微分：(d(xy) = ydx + xdy)，(d(x^2 + y^2) = 2xdx + 2ydy) 等，能凑就直接写答案。
2. 偏积分法（不能直接凑时）：对 (P) 关于 (x) 积分，把"常数"写成 $\varphi(y)$；再对结果求 (y) 的偏导与 (Q) 比较，解出 $\varphi(y)$。

   ⚠️ 忘了加常数、或把 $\varphi(y)$ 当成普通常数 (C) 丢掉——是反求原函数最常见的翻车点。

应用二：利用全微分形式不变性求隐函数的偏导数

对隐函数方程 (F(x,y,z) = 0) 两边求全微分（把 (x, y, z) 一视同仁，都写自己的微分）： $F_x dx + F_y dy + F_z dz = 0$ 解出 (dz)： $dz = -\frac{F_x}{F_z}dx - \frac{F_y}{F_z}dy$

🧠 这一步为什么能一次拿两个？ 因为全微分不分"谁是自变量谁是中间变量"——写 (F_x dx + F_y dy + F_z dz) 时根本不用想 (z) 是不是 (x, y) 的函数，三个变量平等对待。解出 (dz) 后，(dx) 前面的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial x}$，(dy) 前面的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial y}$（这正是 2.2.2 全微分公式 (dz = z_x dx + z_y dy) 告诉我们的"系数 = 偏导"）。一次操作同时得到两个偏导数，比分别求两次更高效。

⚠️ 翻车现场：全微分公式 dz = fx·dx + fy·dy 中漏掉了dy那一项，或者给定了dz反求原函数时忘了加常数。反求原函数（偏积分法）时，对x积分后多出来的"常数"其实是y的函数φ(y)，需要通过对比∂z/∂y来确定。

2.5 全微分的计算与应用

题26 ⭐基础 求函数 (z = x^2 y + y^2) 在点 ((1, 2)) 处的全微分。

题27 ⭐基础 求函数 $z = e^{xy} \sin(x + y)$ 的全微分 (dz)。

题28 ⭐⭐中等 已知 (dz = (2x + y)dx + (x + 2y)dy)，求原函数 (z = f(x,y))。

题29 ⭐基础 ⚠️ 本题用到"隐函数"概念（§2.3.2 才讲），已移至 §2.3.3 隐函数求导公式练习区末尾（题21 之后）。学完 §2.3.2 和 §2.3.3 再做。

2.3 复合函数与隐函数求导

2.3.1 多元链式法则——"变化的传导：谁影响谁，每条路径的贡献都算进去"

🔗 生活场景：你是一家公司的老板。公司的利润 (z) 受两个因素影响：销量 (u) 和单价 (v)。但销量 (u) 本身又受广告投入 (x) 和季节 (y) 的影响；单价 (v) 也受原材料成本 (x) 和市场竞争 (y) 的影响。现在你想知道：多投一块钱广告（(x) 变一点），利润最终会变多少？

广告投入 (x) 对利润的影响不是直来直去的——它先影响销量 (u) 和单价 (v)，然后销量和单价再分别影响利润。所以 (x) 对 (z) 的总影响 = （(x) 影响 (u) 的程度）$\times$（(u) 影响 (z) 的程度）+ （(x) 影响 (v) 的程度）$\times$（(v) 影响 (z) 的程度）。每一条从 (x) 到 (z) 的"传导路径"，贡献都要算进去，一条都不能漏。

多元链式法则，就是帮你系统地追踪这种"多层传导关系"的工具。它的核心操作只有两个：(1) 画图找出所有从因到果的路径；(2) 每条路径上的因子连乘，不同路径的结果相加。

多元链式法则的正式陈述：

下面以最典型的三种情形为例，它们覆盖了考研范围内的全部链式法则应用场景。

情形一：多对一（全导数）。函数关系：(z = f(u,v))，其中 (u = u(t), v = v(t))。

      z
     ╱ ╲
    u   v
    │   │
    t   t

(z) 通过 (u) 和 (v) 两条路径到达 (t)，每条路径上两个因子相乘： $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}$

情形二：多对多（偏导数，最常见）。函数关系：(z = f(u,v))，其中 (u = u(x,y), v = v(x,y))。

           z
         ╱   ╲
        u     v
       ╱ ╲   ╱ ╲
      x   y x   y

(z) 到 (x) 有两条路径（经过 (u) 和经过 (v)）： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

(z) 到 (y) 同理： $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

情形三：既有直接变量又有中间变量。函数关系：(z = f(x, y, u, v))，其中 (u = u(x,y), v = v(x,y))。

🧠 这一步为什么会有"三"条路径？——看树就知道。 (x) 在树上出现了两处：一处直接连在 (z) 上（(z) 的第一个直接变量就是 (x)），一处挂在 (u, v) 底下（(u, v) 都吃 (x)）。所以从 (z) 到 (x) 的路径有三条：直接一条（$z\to x$）、绕 (u) 一条（$z\to u\to x$）、绕 (v) 一条（$z\to v\to x$）。树画对了，路径条数自己就蹦出来了——漏掉"直接那条"（(f_x)）是最常见的错。

        z
     ╱ │ ╲  ╲
    x  y  u  v
          │  │
          x  y

注意：(x, y) 既是 (z) 的直接变量，又通过 (u, v) 间接影响 (z)。通往 (x) 的路径有三条： $\frac{\partial z}{\partial x} = f_x + f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x$

（(f_x) 是对第一个自变量 (x) 的直接偏导，$f_u \cdot u_x$ 是通过 (u) 的间接影响，$f_v \cdot v_x$ 是通过 (v) 的间接影响。）

抽象函数记号约定：

• (f_1') = 对第一个中间变量的偏导，(f_2') = 对第二个中间变量的偏导
• (f_{11}'') = 先对第一个、再对第一个的二阶偏导
• (f_{12}'') = 先对第一个、再对第二个的二阶混合偏导
• 例如：(z = f(xy, x^2+y^2))，令 (u=xy, v=x^2+y^2)
  • $\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y + f_2' \cdot 2x$
  • $\frac{\partial z}{\partial y} = f_1' \cdot x + f_2' \cdot 2y$

🧠 这一步为什么冒出"(f_1', f_2')"这种怪记号？——因为题目只告诉你 (f) 是"某个函数"，不给你它的式子。 看上面例子：(f(xy, x^2+y^2)) 里的 (f) 没有具体表达式，你根本没法真的算出"(f) 对第一个变量求偏导"等于什么——你只能把这个结果起个名字记下来。于是约定：(f_1') 表示"对第一个位置上的东西（(u)）求偏导"，(f_2') 表示"对第二个位置上的东西（(v)）求偏导"。它俩不是常数，而是"还没算出数值的偏导"——这就是为什么后面求二阶时还要再对它用链式法则（(f_1') 里面还藏着 (u, v)，而 (u, v) 又是 (x, y) 的函数）。

🧠 为什么链式法则是"路径相乘再相加"？——从全微分视角推导

链式法则最自然的理解方式，就是把每一步的变化拆开，然后看它们怎么"传导"到终点。下面用情形二（最典型的情形）来展示推导过程。

第零步：问题转化为"一个全微分如何在不同变量之间转化"。

已知 (z = f(u,v))，(u = u(x,y))，(v = v(x,y))。求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

如果直接对 (z = f(u(x,y), v(x,y))) 关于 (x) 求偏导——这本质上就是固定 (y)，看 (x) 变一点时，(z) 怎么通过 (u) 和 (v) 两个"中间人"发生变化。

第一步：写出 (z) 作为 (u, v) 的函数时的全微分。

(z = f(u,v)) 的全微分是： $dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv$

这是全微分形式不变性的直接应用——不管 (u, v) 本身是不是自变量，这个形式都成立。

大白话：这一步说的是"(z) 怎么受 (u) 和 (v) 的影响"——(u) 变一点导致 (z) 变 $\frac{\partial z}{\partial u} du$，(v) 变一点导致 (z) 变 $\frac{\partial z}{\partial v} dv$，两个影响加起来。

第二步：写出 (u, v) 作为 (x, y) 的函数时的全微分。

$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$ $dv = \frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$

大白话：这一步说的是"(u) 和 (v) 又怎么受 (x) 和 (y) 的影响"。

第三步：把 (du, dv) 代入 (dz)，按 (dx) 合并系数。

将 (du, dv) 代入 (dz)： $dz = \frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) + \frac{\partial z}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$

展开后按 (dx) 和 (dy) 合并同类项： $dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy$

(dx) 的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial x}$，(dy) 的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial y}$。所以： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

推导完毕。 整个过程只有三步：写出最外层全微分 → 写出中间层全微分 → 代入合并，读出系数。

大白话：每一步都是一条"路径"——(x) 通过 (u) 影响 (z) 的强度 = $\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$（(u) 对 (z) 的影响力 $\times$ (x) 对 (u) 的影响力）。(x) 通过 (v) 影响 (z) 的强度 = $\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$。两条路径的影响加起来，就是 (x) 对 (z) 的总影响力。这就是"路径相乘再相加"的全部逻辑。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

整个推导的核心操作只有一步：把全微分一层层展开，然后读系数。(dz) 告诉你 (z) 如何受 (u, v) 影响；(du, dv) 告诉你 (u, v) 如何受 (x, y) 影响。把后者代入前者，自然就得到 (z) 如何受 (x, y) 影响。这跟你追踪公司里的汇报链条一模一样——CEO 的决策（(z)）受部门经理（(u, v)）影响，部门经理又受一线员工（(x, y)）影响。想知道一线员工最终如何影响 CEO？把每一层的"影响系数"沿着汇报链乘起来，不同汇报链的贡献加起来。

核心洞察：画树形图不是为了好看——它是链式法则的物理映射。树形图上的每一条从根到叶的路径，对应全微分展开中的一个乘积项。树叶到根经过几个节点，就对应链式传播中经过了几层中间变量。漏画一条路径 = 漏掉一整条传导链 = 结果少一项——这是在考试中极其常见的扣分点。

⚠️ 易错边界——链式法则最常见的翻车现场：

⚠️ 边界1：漏路径——最常见的扣分点。 函数关系越复杂，路径越多。每次求链式法则的偏导，第一步永远是画树形图。数清楚从因变量到目标自变量有几条路径，每一条都不能漏。尤其是"既有直接变量又有中间变量"的情形三——很多人把 (f_x)（对直接变量的偏导）漏了，只写了通过中间变量的间接影响。

⚠️ 边界2：(f_1', f_2') 不是常数！——求二阶偏导时最大的坑。 抽象函数 (z = f(u,v)) 的一阶偏导 (f_1', f_2')，本身仍然是 (u, v) 的函数（结构跟原来的 (f) 一模一样）。求二阶偏导时，必须对 (f_1', f_2') 再次使用链式法则： $\frac{\partial}{\partial x}(f_1') = f_{11}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_{12}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ 忘了这一步，是考试中抽象函数求二阶偏导最致命的错误。很多人把 (f_1') 当成常数丢掉，二阶结果直接归零——整道题全错。

⚠️ 边界3：全导数 vs 偏导数的符号不能混。 若最终变量只有一个（如 (t)），用的是直 (d)（全导数 $\frac{dz}{dt}$）；若最终变量有多个（如 (x, y)），用的是弯 $\partial$（偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$）。中间变量对最终变量的导数，也要相应使用 (d) 或 $\partial$——这取决于中间变量依赖几个最终变量。

⚠️ 边界4：树形图上每一层都要区分"直接变量"和"中间变量"。 情形三中，(x, y) 既是 (z) 的直接变量（(z = f(x, y, u, v)) 中的前两个位置），又作为 (u, v) 的自变量间接影响 (z)。这两种身份对应的偏导记号不同：直接影响的偏导记作 (f_x)（简写），间接影响则通过 $f_u \cdot u_x$ 等计算。两者都会出现在最终公式中——分开写，别混。

⚠️ 边界5：二阶偏导时，混合偏导的交叉项容易遗漏。 对一阶偏导再求偏导时，如果涉及两个不同的中间变量，交叉求导会产生混合偏导项（如 (f_{12}'') 和 (f_{21}'')）。在偏导数连续的前提下两者相等，但两边都要写出来再合并——漏掉一边就少了一半。

链式法则在整个体系中的位置：

链式法则是多元微分学的"交通枢纽"。它的上游是偏导数和全微分（链式法则本质上就是全微分展开然后读系数），下游几乎连接了本章每一个后续知识点：(1) 隐函数求导——两边对 (x) 求偏导时，每次遇到含 (z) 的项都要用链式法则（因为 (z) 是 (x, y) 的函数）；(2) 方程组隐函数求导——每个方程两边求偏导，链式法则同时用到每个方程上；(3) 高阶偏导数——二阶求导时，对一阶结果中的 (f_1', f_2') 再次使用链式法则，这是考试的核心难点；(4) 方向导数——沿任意方向的方向导数，本质上是用链式法则把 (x, y) 方向的偏导"投影"到指定方向上。从更远的图景看，链式法则是整个"反向传播"算法的数学基础——神经网络中的梯度反向传播、经济学中乘数效应的传导、物理学中耦合系统的响应分析，本质上都是链式法则的反复使用。

考法2：复合函数的偏导数——链式法则（画树形图法）⚠️ 重点

这是多元函数微分学中最核心的计算技巧。画树形图可以保证不遗漏任何一项。

树形图画法口诀：

从因变量出发，画出到各自变量的所有路径。每条路径上，有几个中间节点就有几个因子连乘；同一个自变量的不同路径，用加号连起来。

🧠 这一步为什么"画树就不漏项"？ 回看 2.3.1 的发现——链式法则就是"全微分一层层展开、按 (dx) 合并系数"：每条从 (x) 到 (z) 的"传导路径"对应展开里的一个乘积项，几条路径用加号连起来。树形图就是把这张"谁影响谁"的关系网画成图：数路径 = 数树上从根到叶有几条线；每条路径连乘 = 数这条线跨过几层。漏画一条线 = 漏一个乘积项——画树不是多此一举，它是防止"漏项"这件最容易出错的事的最笨但最可靠的办法。

模板一：多元复合一元（全导数）

函数关系：(z = f(u,v))，其中 (u = u(t), v = v(t))

树形图：

      z
     ╱ ╲
    u   v
    │   │
    t   t

公式： $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}$

模板二：多元复合多元（偏导数——最常见）

函数关系：(z = f(u,v))，其中 (u = u(x,y), v = v(x,y))

           z
         ╱   ╲
        u     v
       ╱ ╲   ╱ ╲
      x   y x   y

公式： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

模板三：抽象函数复合求导

设 (z = f(xy, x^2 + y^2))，令 (u = xy, v = x^2 + y^2)，则 (z = f(u,v))。

$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y + f_2' \cdot 2x$ $\frac{\partial z}{\partial y} = f_1' \cdot x + f_2' \cdot 2y$

记号约定：(f_1') 表示对第一个中间变量求偏导，(f_2') 表示对第二个中间变量求偏导。

⚠️ 翻车1——漏层：多元复合函数可能有多层嵌套，z通过多个中间变量到达x，每条路径对应一项。漏画一条线，就漏一项。每次必画树形图！ 数好从因变量到目标自变量的路径条数，一条都不能少。

⚠️ 翻车2——把f1', f2'当常数：抽象函数求二阶偏导时，对f1'再次求导忘了它里面还有x和y。特别提醒：对于抽象函数 (f(u,v))，其一阶偏导 (f_1', f_2') 的结构仍与 (f) 相同（自变量仍是 (u, v)），所以求二阶偏导时仍要再次使用链式法则！这是最容易犯错的地方。

2.2 复合函数的偏导数——链式法则

题14（全导数型） ⭐基础 设 $z = u^2 \ln v$，其中 $u = \sin t$，(v = e^t + 1)，求 $\dfrac{dz}{dt}$。

要求：先画出树形图，再根据树形图写出求导公式。

      z
     ╱ ╲
    u   v
    │   │
    t   t

题15（多元复合多元，基本型） ⭐基础 设 (z = u^2 + uv + v^2)，其中 (u = x + y)，(v = xy)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

要求：先画出树形图，再写出求导公式。

           z
         ╱   ╲
        u     v
       ╱ ╲   ╱ ╲
      x   y x   y

题16（多层复合，三个中间变量） ⭐⭐中等 设 (z = f(u, v, w))，其中 (u = x^2 - y^2)，(v = 2xy)，(w = x + y)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$（用 (f_1', f_2', f_3') 表示）。

           z
        ╱  │  ╲
       u   v   w
      ╱╲  ╱╲  ╱╲
     x  y x y x  y

题17（既有直接变量又有中间变量） ⭐⭐中等 设 (z = f(x, y, u))，其中 (u = x^2 + y^2)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$（用 (f_1', f_2', f_3') 表示）。

            z
         ╱  │  ╲
        x   y   u
               ╱ ╲
              x   y

题18（抽象复合函数综合） ⭐⭐⭐真题难度 设 $z = f\left(xy, \dfrac{x}{y}\right)$，其中 (f) 具有二阶连续偏导数。 (1) 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$； (2) 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。
⚠️ 第二问（二阶混合偏导）用到"高阶偏导数"概念（§2.3.5 才讲），已移至 §2.3.5 练习区（题25 之后）。学完高阶偏导数再做。

2.3.2 隐函数存在定理——"方程什么时候能改写成函数？"

🔍 先看一道"题"（不是算数，是想一件事）：你在纸上画了一个圆 $x^2 + y^2 = 1$。这是方程，不是函数——给一个 $x$，往往对应两个 $y$（$x=0$ 时，$y=1$ 和 $y=-1$ 都满足）。但把圆切成上半圆和下半圆，每一半都能写成函数：$y = \sqrt{1-x^2}$，或 $y = -\sqrt{1-x^2}$。

问题：在圆的哪些点附近，方程能"局部地"改写成 $y = f(x)$？哪些点附近不能？

这一节就回答这一个问题。答案只有一句话：

一句话答案：设方程 $F(x,y) = 0$，看它在这一点的偏导数 $F_y$：

• $F_y \neq 0$ → 这个点附近，方程能唯一解出 $y = f(x)$（能写成函数）
• $F_y = 0$ → 写不成 $y = f(x)$；但如果 $F_x \neq 0$，可以反过来写成 $x = g(y)$

为什么偏偏看 $F_y$？——一个几何直觉：曲线在一点的切线斜率是 $-\frac{F_x}{F_y}$。$F_y = 0$ 意味着斜率"无穷大"——切线是竖直的。竖直的地方，画一条竖直线穿过去，会碰到曲线两次（上半圆一次、下半圆一次）——一个 $x$ 对应两个 $y$，自然写不成函数。反过来，$F_y \neq 0$ 就是切线不竖直，"竖直线检验"通过，局部就能写成函数。

🎯 实战检查——就用单位圆 $x^2 + y^2 = 1$（令 $F = x^2 + y^2 - 1$），三种情况一次看全：

• 在 $(0, 1)$（圆最顶端）：$F_y = 2y = 2 \neq 0$ → 能写，局部就是 $y = \sqrt{1-x^2}$ ✓
• 在 $(1, 0)$（圆最右端）：$F_y = 0$，但 $F_x = 2x = 2 \neq 0$ → 写不成 $y = f(x)$，但能反写 $x = \sqrt{1-y^2}$ ✓
• 在 $(0, 0)$：$F(0,0) = -1 \neq 0$ → 这个点根本不在曲线上，前提不成立 ✗

三元版——考研真正用到的那一个：方程 $F(x, y, z) = 0$，若 $F_z \neq 0$，则 $z$ 可局部写成 $z = z(x, y)$，并且： $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

对考研来说，这一节的意义只有一句：2.3.3 求导公式的分母不能为零。上面公式的合法性全在 $F_z \neq 0$ 上——$F_z = 0$ 时公式直接失效。至于"存在性"本身，考试不考证明，下面的折叠区只是让你心里有底。

📌 以后就这么办：看到"隐函数存在定理"，只记一件事——求导公式的分母不能为零。$F_z \neq 0$ 才能用 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$。考试不考存在性证明，考的是"公式在什么条件下合法"。

2.3.3 隐函数求导公式

单一隐函数：由方程 (F(x, y, z) = 0) 确定隐函数 (z = z(x, y))，当 $F_z \neq 0$ 时：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

公式来源： 方程 (F(x,y,z)=0) 两边对 (x) 求偏导（注意 (z) 是 (x,y) 的函数，要用链式法则）： $F_x \cdot 1 + F_y \cdot 0 + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 即得。

三种等价方法：

🧠 先想一步：为什么"三种方法"其实是"同一件事的三个长相"？ 它们都在解同一个问题——"方程 (F(x,y,z)=0) 里，(z) 随 (x, y) 怎么变"。公式法是"把解方程打包成除法"（最快，但看不见过程）；两边求导法是"顺着求导规则一步一步走"（看得见过程、好排查）；全微分法是"所有变量一视同仁、一次拿两个偏导"（最省事）。结果必然相同，因为做的是同一道题——选哪种取决于你想"快"还是想"看得清楚"。

三个方法，同一道题：以方程 (x^2 + y^2 + z^2 = 1) 为例（它确定隐函数 (z = z(x,y))），分别用三种方法求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$——结果是同一个，你选哪种都行。

方法一：公式法（最快）。令 (F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1)，算出 (F_x = 2x,; F_y = 2y,; F_z = 2z)，直接套公式： $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{x}{z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{y}{z}$ 这一步在想什么：公式法把"求偏导 → 解方程"打包成现成的除法——分子是 (F) 对要偏的那个变量的偏导，分母是 (F) 对 (z) 的偏导，前面加负号。它最快，但看不到过程。

方法二：两边求导法（一步一步走）。回到求偏导本身，方程两边同时对 (x) 求偏导——注意 (z) 是 (x, y) 的函数，遇到含 (z) 的项要用链式法则： $2x + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 这一步在想什么：对 (x) 求偏导时，(x^2) 直接是 (2x)；(y^2) 不含 (x)，当常数没了；而 (z^2) 里藏着 (z(x,y))，得先对 (z) 求导（得 (2z)）再乘上 (z) 对 (x) 的偏导。解出： $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$ 同理两边对 (y) 求偏导：$2y + 2z\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，得 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$。这一步在想什么：两边求导法每一步都顺着求导规则走、看得见过程，出错了好排查，求二阶偏导时尤其好用。

方法三：全微分法（一次拿两个）。利用全微分形式不变性，方程两边直接求全微分——把 (x, y, z) 一视同仁，各自的微分都保留： $2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz = 0$ 这一步在想什么：全微分不分"谁是自变量谁是中间变量"，所以不用想 (z) 是不是 (x, y) 的函数，直接把 (z) 也当一个变量写微分。整理解出 (dz)： $dz = -\frac{x}{z}dx - \frac{y}{z}dy$ 这一步在想什么：等式两边除以 (2z)、移项让 (dz) 单独在左边。于是 (dx) 前的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，(dy) 前的系数就是 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$——一次操作同时拿到两个偏导，不像方法二要做两遍。

考法3：隐函数的偏导数——公式法

核心公式：

由方程 (F(x, y, z) = 0) 确定隐函数 (z = z(x, y))，当 $F_z \neq 0$ 时：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

记忆口诀：「交叉对应，分母自己」。对 (x) 求偏导：分子是 (F) 对 (x) 的偏导，分母是 (F) 对 (z) 的偏导，前面加负号。

🧠 这一步为什么"交叉对应、分母自己"？——它不是硬背的口诀，是公式长那样。 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时，分子是 (F) 对"被求的那个变量 (x)"的偏导，分母是 (F) 对"被解出的那个变量 (z)"的偏导——谁在分子、谁在分母，就是"谁被要求变化、谁被解出来"的位置关系。负号从哪来？回看两边求导：(F_x + F_z z_x = 0)，把 (z_x) 单独解出来，必然带负号——负号是移项的自然结果，不是天上掉的。

三种等价方法：

例题：设 (x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$。

解（公式法）： 令 (F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1)

• (F_x = 2x,; F_y = 2y,; F_z = 2z)
• $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z}$
• $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{2z} = -\frac{y}{z}$

⚠️ 翻车现场：公式法 ∂z/∂x = -Fx/Fz 中负号忘了，或者Fx、Fz求偏导时把z当成独立变量。正确做法：先写出F(x,y,z)=0的形式；分别求Fx、Fy、Fz（求Fx时y和z是常数）；代入公式。建议用两边求导法验证——两种方法结果应该一致。

2.3 隐函数的偏导数

题19（一阶偏导，公式法） ⭐基础 设方程 (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0) 确定隐函数 (z = z(x,y))，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

题20（一阶偏导，两边求导法） ⭐基础 设方程 (e^z - xyz = 0) 确定隐函数 (z = z(x,y))，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

题21（二阶偏导） ⭐⭐中等 设方程 (x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0) 确定隐函数 (z = z(x,y))，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。

题29（全微分法求隐函数偏导） ⭐基础（原在 §2.5，因用到隐函数概念移至此处——和上面的公式法对比着做）利用全微分求隐函数 (x^2 + y^2 + z^2 = a^2) 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

题22（隐函数方程组） ⭐⭐⭐真题难度（数一难度，数三未考过） ⚠️ 本题用到"方程组隐函数"（§2.3.4 才讲），已移至 §2.3.4 讲解之后。学完 §2.3.4 再做。

2.3.4 方程组确定的隐函数 低频·了解即可（雅可比不考，加减消元就够）

两个方程可以确定两个隐函数： $\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}$

两个方程确定 (u = u(x,y), v = v(x,y))。

做法：方程组的每个方程两边对 (x)（或 (y)）求偏导，得到含有 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 的方程组，然后联立解出（用代入消元法即可；学完线代的同学也可用克莱默法则——即用行列式直接写出解）。

完整示范：比如方程组 $\begin{cases} xu - yv = 0 \\ yu + xv = 1 \end{cases}$ 确定 (u = u(x,y), v = v(x,y))，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$。

第一步：两个方程都对 (x) 求偏导（把 (u, v) 当 (x, y) 的函数，(y) 当常数）。第一个方程 (xu - yv = 0)，其中 (xu) 是乘积，要用乘法法则，得 $u + x\cdot\frac{\partial u}{\partial x} - y\cdot\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ 第二个方程 (yu + xv = 1) 同理： $y\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + v + x\cdot\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ 这一步在想什么：两个方程、两个未知函数，求完偏导后变成了"关于 (u_x, v_x) 的两个方程"——这是方程组隐函数区别于单个隐函数的关键：不再是解一个方程，而是解一个小方程组。

第二步：把已知项挪到右边，整理成标准形式。 $\begin{cases} x\cdot\frac{\partial u}{\partial x} - y\cdot\frac{\partial v}{\partial x} = -u \\ y\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + x\cdot\frac{\partial v}{\partial x} = -v \end{cases}$

第三步：消元解出 $\frac{\partial u}{\partial x}$（用加减消元，让 (v_x) 消失）。第一个式子两边乘 (x)，第二个式子两边乘 (y)，再相加，(v_x) 的系数 (xy) 和 (-xy) 正好抵消： $(x^2+y^2)\frac{\partial u}{\partial x} = -xu - yv \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{xu + yv}{x^2 + y^2}$

第四步：对称地消元解出 $\frac{\partial v}{\partial x}$（这次让 (u_x) 消失）。第一个式子两边乘 (y)，第二个式子两边乘 (x)，用第二个减第一个，(u_x) 的系数抵消： $(x^2+y^2)\frac{\partial v}{\partial x} = -xv + yu \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{yu - xv}{x^2 + y^2}$

🧠 大白话复盘：方程组隐函数的核心动作就三个字——照搬。把每个方程都当成含 (u, v) 的普通函数，对 (x) 求偏导时用链式法则"点名" (u_x, v_x)，于是每个方程都变成了 (u_x, v_x) 的一次方程，两个拼成一个小方程组，再用初中就熟的加减消元分别解出 (u_x, v_x)。最容易错的是求偏导时忘了"(u, v) 也是 (x) 的函数"——遇到 (u, v) 一定要带上 (u_x, v_x)。

题22（隐函数方程组） ⭐⭐⭐真题难度（数一难度，数三未考过）（原在 §2.3.3 练习区，因用到方程组隐函数概念移至此处）设方程组 $\begin{cases} xu - yv = 0 \\ yu + xv = 1 \end{cases}$ 确定隐函数 (u = u(x,y), v = v(x,y))，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$。

2.3.5 高阶偏导数

三种二阶偏导数：

• $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$：先对 (x) 求偏导，再对 (x) 求偏导（纯偏导）
• $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$：先对 (y) 求偏导，再对 (y) 求偏导（纯偏导）
• $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$：先对 (x) 求偏导，再对 (y) 求偏导（混合偏导）
• $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$：先对 (y) 求偏导，再对 (x) 求偏导（混合偏导）

混合偏导相等条件：当这两个混合偏导数连续时，它们相等。考研题目中一般默认连续，所以可以大胆交换次序。但概念题中可能考查这个条件。

🧠 这一步为什么"连续时才相等"？——直观地看： 混合偏导 (f_{xy}) 是"先往 (x) 方向看斜率、再看这斜率往 (y) 方向变多少"，(f_{yx}) 是"先往 (y) 方向看斜率、再看这斜率往 (x) 方向变多少"。只要函数足够"光滑"（偏导连续），这两条路线殊途同归——先量哪个方向不影响结果。但如果函数在某个方向上有"毛刺"（偏导不连续），先 (x) 后 (y) 和先 (y) 后 (x) 就会走出不同的数。 所以"连续"不是套话，它是"交换次序合法"的真正前提。

求二阶偏导的核心易错点——(f_1') 不是常数！

抽象函数 (z = f(u, v)) 求完一阶偏导后，结果中含有 (f_1', f_2')。求二阶偏导时，(f_1') 和 (f_2') 仍然是 (u, v) 的函数，和原来的 (f) 结构一样，所以必须再次使用链式法则：

$\frac{\partial}{\partial x}(f_1') = f_{11}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_{12}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

这也需要画树形图来处理！忘记这一步是考试中最常见的扣分点。

考法4：高阶偏导数

类型：

• 二阶纯偏导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$、$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
• 二阶混合偏导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$、$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$

关键结论：当混合偏导数连续时，$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$，即次序可交换。

解题步骤（复合函数二阶偏导）：

1. 先用链式法则求出一阶偏导数
2. 再对一阶偏导求偏导（此时一阶偏导中含有 (f_1', f_2')，它们仍然是 (u, v) 的函数）
3. 对 (f_1', f_2') 再次使用链式法则
4. 整理结果

⚠️ 翻车现场：混合偏导有两种路径，求二阶时把一阶结果写错导致二阶全错。另注意：求完一阶偏导得到 (f_1')，求二阶偏导时不能直接把 (f_1') 当常数处理——(f_1') 不是常数，它里面还有 (u, v)，必须再次使用链式法则。

2.4 高阶偏导数

题23 ⭐基础 设 (z = x^3 y^2 - 2xy^3 + xy - 1)，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$、$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$、$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

题24 ⭐基础 设 $z = \sin(xy) + e^{x+y}$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

题25 ⭐⭐中等 设 (z = f(x^2 + y^2))，其中 (f) 具有二阶连续导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

回访 · 题18 第二问（原在 §2.3.1，因用到高阶偏导数概念移至此处）⭐⭐⭐真题难度 设 $z = f\left(xy, \dfrac{x}{y}\right)$，其中 (f) 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

2.4 极值与最值

题型3：多元函数的极值与最值（⚠️ 核心重点，每年必考）

2.4.1 无条件极值与驻点

无条件极值：在整个定义域内找最高点和最低点，没有任何限制。

先想一步：要在一个面上找最高最低点，第一步该干什么？

回到一元函数的经验：极值点处"坡度必须为零"（(f'(x)=0)），因为坡不为零的地方你还能顺着坡往上或往下走，不可能是最高/最低。二元函数一模一样——只是"坡度"从一个方向变成了两个方向。极值点处，往 (x) 方向走必须不上不下（(f_x=0)），往 (y) 方向走也必须不上不下（(f_y=0)）。于是自然得到：

驻点（稳定点）：两个偏导数都等于 0 的点。

求驻点的步骤：

1. 求两个偏导数：(f_x, f_y)
2. 解方程组：$\begin{cases} f_x = 0 \ f_y = 0 \end{cases}$
3. 解出的 ((x, y)) 就是驻点

🧠 为什么驻点只是"嫌疑犯"？ 一元里 (f'(x)=0) 的点也可能是拐点；二元里同理——驻点可能是极大值点、极小值点、或者什么都不是（鞍点）。它只是"坡度为零"的候选名单，要论功行赏还得靠后面的 AC-B² 判别法。另外：可微函数的极值点必为驻点；但偏导数不存在的点（如尖角点）也可能取到极值，需单独检查。

2.4.2 AC-B² 判别法——"这里是山顶、山谷、还是马鞍？"

🏔️ 生活场景：你站在一片陌生的山地中，脚下的地面是平的——往前一步不上坡也不下坡，往左一步也不上坡不下坡。但问题是：你站在哪里？是山顶（周围所有方向都比你低）、山谷（周围所有方向都比你高）、还是马鞍形的山口（往前是下坡，往左却是上坡）？光看脚下不够，你得看脚下的"弯曲程度"——往前走的弯曲+往左走的弯曲，以及"扭转"的程度，三个数字合在一起才能判断。这就是 AC-B² 判别法在干的事。

🏔️ 延续比喻：一元函数的极值判别只看一个"弯曲方向"——二阶导数正就是山谷（极小），负就是山顶（极大）。二元函数多了一个维度，多了一种可能：一个方向弯向上、另一个方向弯向下——这就是鞍点，像马鞍一样，前后方向上你是坐在最低处，左右方向上你却坐在最高处。AC-B² 判别法就是用来分辨这三种地形的"地形探测器"。

AC-B² 判别法的正式陈述：

设函数 (z = f(x,y)) 在点 ((x_0, y_0)) 的某个邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 ((x_0, y_0)) 是驻点（即 (f_x(x_0,y_0) = 0)，(f_y(x_0,y_0) = 0)）。

在驻点处定义三个二阶偏导数值： $A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)$

计算判别式 $\Delta = AC - B^2$，按照下面的规则判断：

🔑 记忆口诀：Δ > 0 是"纯弯曲"（四面八方弯向同一方向），看 A 定方向——A > 0 开口向上（极小），A < 0 开口向下（极大）。Δ < 0 是"混合弯曲"——必然鞍点。Δ = 0 是"摸不清"——另想办法。

🧠 这个判别规则是怎么推出来的？——从二阶泰勒展开到二次型

这是整个多元微分学中最核心的推导之一。整个推导的本质就是一句话：在驻点附近，函数的形状由二阶泰勒展开中的"二次型"决定，而二次型的正负号由矩阵 $\begin{bmatrix} A & B \ B & C \end{bmatrix}$ 的特征值决定，特征值的正负等价于 (A > 0) 且 (AC - B^2 > 0)。

下面我们一步步把这个链条展开。

第零步：问题是什么？

我们在驻点 ((x_0, y_0)) 处，一阶偏导全为零。需要判断这点是极大值、极小值、还是鞍点。本质上就是问：从驻点往任意方向迈一小步 ((h, k))，函数值 (f(x_0+h, y_0+k)) 比 (f(x_0, y_0)) 大还是小？

如果往所有方向迈一小步，函数值都变大 → 极小值（山谷，你在最低处）。 如果往所有方向迈一小步，函数值都变小 → 极大值（山顶，你在最高处）。 如果有的方向变大、有的方向变小 → 鞍点（马鞍，你既不在最高也不在最低）。

大白话：一元函数只分左右两个方向，判断很简单——二阶导正就是谷，负就是峰。二元函数有无穷多个方向可以迈步，要判断所有方向上的变化是否"统一"，光看一个方向的弯曲不够。你需要一个能同时考虑所有方向的工具——二次型。

第一步：把函数在驻点处展开到二阶。

回忆一元函数的泰勒展开：$f(x_0+h) \approx f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{1}{2}f''(x_0)h^2$。二元函数也有完全类似的展开，只是多了一个交叉项：

$f(x_0+h, y_0+k) \approx f(x_0,y_0) + \underbrace{[h \cdot f_x + k \cdot f_y]}_{\text{一阶项}} + \underbrace{\frac{1}{2}[h^2 f_{xx} + 2hk f_{xy} + k^2 f_{yy}]}_{\text{二阶项}}$

其中 (f_x, f_y, f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}) 都取在 ((x_0, y_0)) 处。

这个展开可以类比为：描述一座山在某个点附近的形状，一阶项告诉你脚下的"坡度"（往哪个方向走会升高），二阶项告诉你脚下的"弯曲"（坡度的变化——是越走越陡还是越走越平）。

大白话：泰勒展开就像给函数拍一张"放大照"——在驻点附近，把函数放大到只保留最粗糙的轮廓（常数项）、斜度（一阶项）和弯曲（二阶项），更高阶的细节（三阶、四阶……）因为步子小到可以忽略。

第二步：在驻点处，一阶项消失了。

因为 ((x_0, y_0)) 是驻点，(f_x = 0) 且 (f_y = 0)。一阶项 $h \cdot f_x + k \cdot f_y = 0$。

于是函数值的变化量简化为纯二阶项：

$\Delta f = f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0) \approx \frac{1}{2}\left(h^2 f_{xx} + 2hk f_{xy} + k^2 f_{yy}\right)$

代入 (A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy})：

$\Delta f \approx \frac{1}{2}\left(Ah^2 + 2Bhk + Ck^2\right)$

大白话：因为在驻点处脚下是"平"的（一阶导数为零），所以你往任何方向迈一小步，函数值的变化完全由脚下的"弯曲"来决定。一阶导告诉你方向，二阶导告诉你弯曲——现在方向没了（平的），只剩下弯曲在说话。极值的秘密全躲在这个二次式 (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2) 里面。

第三步：这个二次式的符号决定了极值的类型。

式子 (Q(h,k) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2) 叫做关于 ((h,k)) 的二次型。$\Delta f$ 的符号完全由 (Q(h,k)) 的符号决定（前面的 $\frac{1}{2}$ 是正的，不改变符号）。

现在的问题是：对于所有可能的迈步方向 $(h,k) \neq (0,0)$，(Q(h,k)) 是恒正、恒负、还是有时正有时负？

• 如果对所有方向 (Q > 0) → $\Delta f > 0$ → 函数值总是变大 → 极小值
• 如果对所有方向 (Q < 0) → $\Delta f < 0$ → 函数值总是变小 → 极大值
• 如果不同方向符号不同 → 既有变大又有变小的方向 → 鞍点

大白话：二次型就像一个"地形扫描仪"——你输入一个方向 ((h,k))（往哪走），它输出一个数字（走过去的升降）。如果所有方向输出的都是正数，说明你在谷底；都是负数，在山顶；有正有负，在鞍部。

第四步：如何判断二次型在所有方向上的符号？——配方法。

把 (Q(h,k) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2) 看成关于 (h) 的二次式（把 (k) 当常数），配方：

$Q = A\left(h^2 + \frac{2B}{A}hk\right) + Ck^2 = A\left(h + \frac{B}{A}k\right)^2 + \left(C - \frac{B^2}{A}\right)k^2$

$= A\left(h + \frac{B}{A}k\right)^2 + \frac{AC - B^2}{A} \cdot k^2$

（这里假设 $A \neq 0$。如果 (A = 0) 但 $C \neq 0$，可以对 (k) 配方，结论一样。如果 (A = C = 0)，则 (Q = 2Bhk)，显然可正可负——鞍点，此时 $\Delta = -B^2 \le 0$，结论一致；若 (B=0) 则 $Q \equiv 0$、$\Delta = 0$，属判别失效而非鞍点。）

大白话：配方就是把交叉项 (2Bhk) "吸收"进一个完全平方里。结果得到两个平方项：一个跟 $(h + \frac{B}{A}k)^2$ 有关，一个跟 (k^2) 有关。两个平方项前面的系数决定了整个式子的正负。

第五步：从配方结果读出判别条件。

配方后的形式是： $Q = A \cdot (\text{平方}) + \frac{AC - B^2}{A} \cdot (\text{平方})$

两个平方项都 $\ge 0$（平方永远非负）。因此：

• 情形1：(A > 0) 且 (AC - B^2 > 0)。第一项系数 (A > 0)，第二项系数 $\frac{AC-B^2}{A} > 0$。两项都非负，且至少有一项为正（因为 $(h,k) \neq (0,0)$ 时两个平方不能同时为零——如果 $k \neq 0$ 第二项为正；如果 (k = 0) 则 $h \neq 0$，第一项为正）。所以 (Q > 0) 恒成立 → 极小值。

• 情形2：(A < 0) 且 (AC - B^2 > 0)。第一项系数 (A < 0)，第二项系数 $\frac{AC-B^2}{A} < 0$（分母为负，分子为正）。两项都非正，且至少有一项为负。所以 (Q < 0) 恒成立 → 极大值。

• 情形3：(AC - B^2 < 0)。此时第二项系数 $\frac{AC-B^2}{A}$ 的符号与第一项系数 (A) 的符号相反——无论 (A) 是正是负，两项系数一正一负。取不同的 ((h,k)) 可以让 (Q) 变号（比如取 $k = 0, h \neq 0$ 时 (Q = Ah^2) 符号同 (A)；取 $h = -\frac{B}{A}k, k \neq 0$ 时第一平方为零，$Q = \frac{AC-B^2}{A}k^2$ 符号与 (A) 相反）。因此 (Q) 可正可负 → 鞍点。

• 情形4：(AC - B^2 = 0)。第二项消失，$Q = A(h + \frac{B}{A}k)^2$。这个式子永远 $\ge 0$（如果 (A > 0)）或永远 $\le 0$（如果 (A < 0)），但当 $h = -\frac{B}{A}k$ 时 (Q = 0)——在一条直线上 (Q) 全为零。此时二阶信息不够用了，因为沿那条线函数可能由更高阶（三阶、四阶……）决定升降。所以判别法"失明" → 需用定义法。

大白话：配方后的两个平方项就像两个"弯曲传感器"，分别测量两个独立方向上的弯曲。如果两个传感器都报告"向上弯"（系数都正），就是山谷；都报告"向下弯"，就是山顶；一个向上一个向下——这就是马鞍，你坐在两个方向的分界线上。

第六步（用矩阵语言理解——选读，学过线代的同学看）：

二次型 (Q(h,k) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2) 可以写成矩阵形式：

$Q(h,k) = \begin{bmatrix} h & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ k \end{bmatrix}$

这个 $2 \times 2$ 矩阵叫黑塞（Hessian）矩阵，记作 (H)。它的两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 决定了二次型的正负：

• 两个特征值都 (> 0) $\iff$ (Q) 正定 $\iff$ 极小值
• 两个特征值都 (< 0) $\iff$ (Q) 负定 $\iff$ 极大值
• 特征值一正一负 $\iff$ (Q) 不定 $\iff$ 鞍点

对于 $2 \times 2$ 矩阵，两个特征值都正的充要条件是：①行列式 (> 0)（即 (AC - B^2 > 0)）且 ②左上角元素 (> 0)（即 (A > 0)）。两个特征值都负的充要条件是：①行列式 (> 0) 且 ②左上角元素 (< 0)（即 (A < 0)）。行列式 (< 0) 意味着特征值一正一负。

这就是 AC-B² 判别法背后的线性代数本质。你不必记住矩阵术语，但理解了这一层，整张表就不再是需要死记硬背的规则——而是自然而然推出来的结论。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

整个推导就做了三件事。第一，用二元泰勒展开把函数在驻点附近的变化量"压缩"成一个二次型 (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2)——因为驻点处一阶项消失了，函数的升降完全看弯曲。第二，用配方法把二次型拆成两个独立的平方项，系数分别是 (A) 和 $\frac{AC-B^2}{A}$——两个平方项就像两个"方向传感器"，告诉你沿两个独立方向分别往上弯还是往下弯。第三，两个传感器的符号组合出三种结果：双双向上 = 山谷（极小），两两向下 = 山顶（极大），一上一下 = 马鞍（鞍点）。当 (AC-B^2 = 0) 时两个传感器退化成一个，信息不够用，判别法"失明"——需要用定义法（在不同路径上检查函数值变化）来补上缺失的信息。

核心洞察：AC-B² 不是凭空冒出来的，它是配方过程中自然出现的——$\frac{AC-B^2}{A}$ 是第二个平方项的系数。这个系数为正，说明两个平方项同号；为负，说明异号。所以 $\Delta = AC - B^2$ 本质上是在测"两个弯曲方向是否一致"。

三种地形——正定、负定、不定的几何直觉：

🛑 停下来感受一下：(z = x^2 - y^2) 在 ((0,0)) 处。沿 (x) 轴方向（(y = 0)）：(z = x^2)，开口向上——你感觉在谷底。沿 (y) 轴方向（(x = 0)）：(z = -y^2)，开口向下——你感觉在山顶。同一个点，换个方向看，结论完全相反。 这就是鞍点的诡异之处——它是两个方向的"分水岭"。

⚠️ 易错边界——判别法的"视力范围"：

⚠️ 边界1：(AC - B^2 > 0) 只能说明"是极值"，极大还是极小必须看 (A)（或等价的 (C)）的正负。 这是考试中最常见的扣分点。算出 Δ > 0 就兴冲冲写"极大值"——但 Δ > 0 只能保证两个弯曲方向一致，往上弯还是往下弯取决于 (A)（或 (C)，两者同号因为 $AC > B^2 \ge 0$）。口诀：Δ 告诉你"是不是"，A 告诉你"是哪一种"。

典型翻车现场：(f(x,y) = -x^2 - 3y^2) 在 ((0,0)) 处。(A = -2, B = 0, C = -6)。Δ = (-2)(-6) - 0 = 12 > 0。如果不看 A 直接写"极小值"——错了。A = -2 < 0，是极大值。

⚠️ 边界2：Δ < 0 一定不是极值——不需要再看 (A)。 异号弯曲 = 必然鞍点。有些同学算出 Δ < 0 还纠结 A 的正负——没有必要。

⚠️ 边界3：Δ = 0 时判别法"失明"——既不能肯定也不能否定极值的存在。 这跟一元函数中 (f''(x_0) = 0) 的情况完全类似——判别工具帮不上忙，不意味着没有极值。需要用定义法：在驻点附近沿着不同的路径走，看 (f(x,y) - f(x_0,y_0)) 的符号是否在所有路径上一致。

经典正例：(f(x,y) = x^4 + y^4) 在 ((0,0)) 处。(f_x = 4x^3, f_y = 4y^3)，((0,0)) 是驻点。(f_{xx} = 12x^2, f_{xy} = 0, f_{yy} = 12y^2)，在 ((0,0)) 处 (A = B = C = 0)，Δ = 0。但显然 $x^4 + y^4 \ge 0$ 且仅在原点为零——原点确实是极小值！只是判别法"看不出来"。

经典反例：(f(x,y) = x^3 + y^3) 在 ((0,0)) 处。同样 (A = B = C = 0)，Δ = 0。但沿 (y = x) 走：(f = 2x^3)，在 (x > 0) 时为正，(x < 0) 时为负——不是极值。

⚠️ 边界4：必须先在驻点处算 (A, B, C)，不能拿任意点的二阶偏导来套。 判别法只在驻点有效——因为整个推导依赖于"一阶项为零"这个前提。如果在非驻点处算 Δ，得出的数字没有任何意义。

⚠️ 边界5：验证驻点不能漏解。 方程组 $\begin{cases} f_x = 0 \ f_y = 0 \end{cases}$ 可能有多个解（比如同时包含 (x=0) 和 (y=0) 的多种组合），每个驻点都要分别算 (A, B, C)，分别判别。漏一个驻点就漏一个可能的极值。

AC-B² 判别法在整个体系中的位置：

AC-B² 判别法是极值问题工具箱中的"主力探测器"。它的上游是 2.4.1 的驻点求法（得先找到驻点才能判别），下游连接 2.4.4 的闭区域最值（判别出内部极值后还要跟边界值比较）。它只解决"无条件极值"——没有任何限制地找函数自己的最高最低点。如果加上限制条件（比如预算有限），就需要 2.4.3 的拉格朗日乘数法登场了。

考法1：无条件极值（驻点 → AC-B²判别法）

🧠 先想一步：为什么极值题永远是"三步"？ 三步对应三个递进的问题：①"哪里坡度为零？"（求驻点，缩小范围）；②"那里的弯曲数据是什么？"（算 (A,B,C)）；③"弯曲方向一致吗？一致朝上还是朝下？"（算 Δ 判类型）。这三步正是 2.4.2 推导的完整链条：泰勒展开告诉我们"形状看二阶弯曲"，AC-B² 告诉我们"弯曲方向一不一致"——每步都不是多余动作。

适用场景：求 (z = f(x, y)) 在整个定义域内（无约束条件）的极值。

标准三步法：

第一步：求驻点

解方程组： $\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$

得到的解 ((x_0, y_0)) 称为驻点。

第二步：计算二阶偏导

在驻点 ((x_0, y_0)) 处计算： $A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)$

第三步：AC-B²判别法

计算判别式 $\Delta = AC - B^2$：

当 AC-B²=0 时（定义法）：在驻点附近取不同路径（如 (y = 0, x = 0, y = x) 等），若 (f(x,y) - f(x_0,y_0)) 在一切路径上不变号，则为极值；否则不是。

⚠️ 翻车1——AC-B²>0了就直接写"有极值"，忘了看A的正负。AC-B²>0只说明是极值点，至于是极大还是极小要看A（或C）的正负——A>0极小，A<0极大。常见扣分点：算出 AC-B² > 0 就直接写"极大值"或"极小值"——忘了看 A 的正负。必须 AC-B² > 0 且 A > 0 才是极小值，AC-B² > 0 且 A < 0 才是极大值。

⚠️ 翻车2——判别法失效时放弃：AC-B²=0只是说"这个方法帮不了你"，不意味着没有极值。比如f(x,y)=x⁴+y⁴在(0,0)处AC-B²=0但实际上有极小值。判别法失效时用定义法。

经典例题：求 (f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x) 的极值。

解：

1. 求偏导： $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1)$ $\frac{\partial f}{\partial y} = -3y^2 + 6y = -3y(y-2)$ 令两者为 0，得驻点：((-3, 0), (-3, 2), (1, 0), (1, 2))

2. 求二阶偏导： $A = f_{xx} = 6x + 6, \quad B = f_{xy} = 0, \quad C = f_{yy} = -6y + 6$

3. 逐一判别：

   • ((-3, 0))：$A = -12, B = 0, C = 6 \Rightarrow AC - B^2 = -72 < 0$ → 不是极值点
   • ((-3, 2))：$A = -12, B = 0, C = -6 \Rightarrow AC - B^2 = 72 > 0, ; A < 0$ → 极大值 (f=31)
   • ((1, 0))：$A = 12, B = 0, C = 6 \Rightarrow AC - B^2 = 72 > 0, ; A > 0$ → 极小值 (f=-5)
   • ((1, 2))：$A = 12, B = 0, C = -6 \Rightarrow AC - B^2 = -72 < 0$ → 不是极值点

3.1 无条件极值（AC-B² 判别法）

题30（基本型——有极值） ⭐⭐中等 求函数 (f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x) 的极值。

📝 本题与上面"考法1"的经典例题是同一道函数。建议先不看答案和前面的例题，独立完整地走一遍"求驻点→算二阶偏导→AC-B²判别"三步法，然后对照检查。

（提示：$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1)$，$\frac{\partial f}{\partial y} = -3y^2 + 6y = -3y(y-2)$）

题31（基本型——无极值） ⭐基础 求函数 (f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy) 的极值。

题32（有极大值也有极小值） ⭐⭐⭐真题难度 求函数 (f(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 4xy) 的极值。

题33（AC-B²=0，判别法失效） ⭐⭐中等 求函数 (f(x,y) = x^4 + y^4) 的极值。

题34（利用对称性换元——化为一元函数求极值） ⭐⭐⭐真题难度 判断函数 (f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)) 的极值情况。

题35（含三角函数的极值） ⭐⭐中等 求函数 $f(x,y) = \sin x + \sin y + \sin(x + y)$ 在区域 $0 < x < \pi, 0 < y < \pi$ 内的极值。

2.4.3 条件极值与拉格朗日乘数法——"在既定的路上找最高点"

🗺️ 生活场景：你有一张山区等高线地形图，上面画着密密麻麻的等高线圈——每条圈上的点海拔相同，圈越密坡度越陡。现在规定你只能沿着一条特定的山路走（比如一条盘山公路），不能离开这条路。问题来了：在这条路上，哪个位置的海拔最高？

注意这和前面 2.4.1 的无条件极值不一样：那里是满山遍野随便走，找整座山的最高点；这里是被铐在一条路上，路之外的任何地方都去不了。路的最高点不一定是整座山的最高点——真正的山顶可能在路外面，但你上不去。这种"在约束下找最值"，就叫条件极值。

先找直觉：这条路的海拔最高点，长什么样？

你的眼睛扫过地图，会发现一个规律：山路穿过了很多条等高线。在大多数交叉点，山路是"切过"等高线的——穿过等高线意味着海拔在变化，你还在上坡或下坡，这里不可能是最高点。但有一个特殊的点：山路和某条等高线不是"切过"，而是"擦过"——两者刚好相切，共享同一条切线方向。在相切的那一刻，沿路的方向上你既不上升也不下降——这就是这条路上最高的（或最低的）那个点。

🧠 一句话抓住全部直觉：把目标函数 (f(x,y)) 的等高线和约束曲线 $\varphi(x,y)=0$（那条路）都画在地图上——条件极值点 = 等高线和路相切（"擦肩而过"）的地方。相切处，两条曲线的法线方向一致（或相反），也就是两个梯度平行。整个拉格朗日乘数法，就是把这句直觉翻译成能算的方程。

翻译前先认识两个工具：方向向量和梯度（这次一次讲透）

上面说"两个梯度平行"，可梯度是什么？为什么它垂直于等高线？下面一次性讲透——因为整个拉格朗日乘数法就建立在这两件事上，光背结论过不了这关。完整体系（含三元推广）在 2.5 节选读，这里讲的是二维版：够用、而且每一步你都能自己推。

第一步：沿任意方向走，变化率怎么算？——认识方向向量

函数 $z=f(x,y)$ 有两个自变量。前面 2.2 节学的偏导数只回答两个问题：沿 $x$ 轴方向走变化多快（$f_x$）、沿 $y$ 轴方向走变化多快（$f_y$）。可现在你走在一条斜路上——要走的方向是任意斜方向，比如沿向量 $\vec{v}=(v_1,v_2)$ 的方向。这时变化率怎么算？用 2.2 节学过的链式法则（全微分的思想）：$x$ 方向每走 $v_1$，$f$ 变 $f_x \cdot v_1$；$y$ 方向每走 $v_2$，$f$ 变 $f_y \cdot v_2$。加起来：

$$f \text{ 沿 } \vec{v} \text{ 方向的变化率} = f_x \cdot v_1 + f_y \cdot v_2$$

这个式子不新——就是"两个方向的影响相加"，和 2.2 节全微分是同一个思想。它后面会用两次：本节的极值点推导（沿路方向变化率必须为 0），以及 2.5 节的"方向导数"。记住它是"沿任意方向算变化率"的万能公式。

第二步：把"所有方向的变化率"打包成一个向量——认识梯度

注意看上面的式子：$f_x v_1 + f_y v_2$ 恰好是两个向量的点积——$(f_x, f_y)$ 与 $(v_1, v_2)$ 对应分量相乘再相加。我们把第一个向量 $(f_x, f_y)$ 起个名字，叫梯度，记作 $\nabla f$。于是上面那句话浓缩成一个公式：

$$\text{沿任意方向 } \vec{v} \text{ 的变化率} = \nabla f \cdot \vec{v}$$

这一步在想什么：偏导数 $f_x, f_y$ 是"沿两个坐标轴的变化率"，梯度把它们拼成一个向量。拼好之后，所有方向的变化率都变成"梯度点乘方向"——一个公式通吃所有方向。$\nabla f$ 的两个分量就是两个偏导数（2.2 节已学），长度表示上升有多快。

第三步：为什么梯度是"增长最快的方向"？（先看推导，再动手验证）

点积有个几何含义：$\nabla f \cdot \vec{v} = |\nabla f| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量的夹角。$\cos\theta$ 最大是 1，发生在 $\theta = 0$——也就是 $\vec{v}$ 和梯度同方向时。所以：在所有方向里，沿着梯度方向走，函数上升最快。这就是"梯度指向增长最快的方向"这句话的出处——它不是背的，是点积公式直接推出来的。下面动画动手转一转：

第四步：为什么梯度垂直于等高线？（亲手推出来，再看动画确认）

现在"梯度垂直于等高线"不用背，两步就推出来：

• 沿等高线走：函数值 $f$ 不变（等高线的定义就是"海拔相同的线"），所以沿等高线方向的变化率是 0；
• 变化率 = $\nabla f \cdot \vec{v}$（第二步的公式）。沿等高线的方向 $\vec{v}$ 代入，点积 = 0——也就是 $\nabla f$ 在等高线切线方向上的分量是 0。一个向量在切线方向没分量，就只能垂直于等高线。

下面动画验证：同心圆就是 $z=x^2+y^2$ 的等高线，拖动红点绕圈，它永远待在一条等高线上（$f$ 不变），而红色梯度箭头永远垂直穿过等高线：

第五步：约束曲线也有自己的梯度

同样的道理：约束曲线 $\varphi(x,y)=0$ 也有梯度 $\nabla\varphi = (\varphi_x, \varphi_y)$，它同样垂直于约束曲线——因为沿约束曲线走，$\varphi$ 恒为 0，变化率恒为 0，点积恒为 0。

🧠 这一步在想什么：现在"梯度垂直于等高线"是你亲手推出来的，不是背的。记住一句话：梯度 = 所有方向变化率的打包向量，它垂直于"函数值不变的方向"（等高线）。接下来把它翻译成代数条件，就是下面这件事。

把"相切"翻译成代数条件：梯度平行

两条曲线相切 ⟺ 在切点处方向一致 ⟺ 法线方向一致（或相反）⟺ 两个梯度平行。写成公式：在条件极值点 $(x_0, y_0)$ 处，存在一个数 $\lambda$，使得 $$\nabla f(x_0, y_0) = -\lambda \cdot \nabla \varphi(x_0, y_0)$$ 等价写法是 $\nabla f + \lambda \nabla \varphi = 0$。（负号只是约定：$\lambda$ 是两根梯度的长度比，正负表示它们同向还是反向。有的书写成 $\nabla f = \lambda \nabla \varphi$，本质一样，只要做题时前后保持一致。）这个 $\lambda$ 叫拉格朗日乘数（读作"拉姆达"），它的直观含义：约束条件每放松一个单位，目标函数极值大约变化 $\lambda$ 个单位（经济学中叫"影子价格"）。

🧠 为什么极值点处两个梯度一定平行？——三步推给你看（想快点做题可先跳过，回来再补）

整个推导只依赖一个直觉：在极值点处，沿约束曲线走一小步，函数值的变化率必须为 0——否则沿路还能走到更高（或更低）的位置，那它就不是这条路上的最值点。而沿曲线走的方向只有一个——就是曲线的切线方向。下面三步把这个直觉变成公式。

第一步：沿切线方向走，(f) 的变化率必须为零。

设约束曲线在极值点处的切线方向为 $\vec{v} = (v_1, v_2)$。沿 $\vec{v}$ 走一小步，$f$ 的变化率怎么算？用 2.2 节学过的链式法则（或者说全微分）：$f$ 的变化由 $x$ 方向的变化和 $y$ 方向的变化两部分组成——$x$ 方向每走 $v_1$，$f$ 变 $f_x \cdot v_1$；$y$ 方向每走 $v_2$，$f$ 变 $f_y \cdot v_2$。加起来就是 $$f \text{ 沿 } \vec{v} \text{ 的变化率} = f_x \cdot v_1 + f_y \cdot v_2 = \nabla f \cdot \vec{v}$$ 在极值点处这个变化率必须为 0（沿路方向上海拔"平"了）： $$\nabla f \cdot \vec{v} = 0$$ 这一步在想什么：极值点处沿路方向海拔既不升也不降，和一元函数极值点处导数为零是同一个道理——只是"左右两个方向"换成了"路上的前后两个方向"。

第二步：沿切线方向走，$\varphi$ 的变化率也必须为零。

因为始终走在约束曲线 $\varphi(x,y)=0$ 上，$\varphi$ 恒等于 0 不变。同样用链式法则： $$\nabla \varphi \cdot \vec{v} = \varphi_x \cdot v_1 + \varphi_y \cdot v_2 = 0$$ 这一步在想什么：$\nabla\varphi$ 永远垂直于曲线的切线方向——因为沿路走 $\varphi$ 的值不变，梯度在切线方向上的分量就是 0。换句话说：$\nabla\varphi$ 是约束曲线的法向量，它指向"离开这条路"的方向。

第三步：两个梯度都垂直于同一条切线，所以它们平行。

现在手上有两条信息：

• $\nabla \varphi \cdot \vec{v} = 0$（对曲线上任意点都成立——沿路走 $\varphi$ 恒为 0）
• $\nabla f \cdot \vec{v} = 0$（只在极值点处成立——极值条件要求 $f$ 沿路方向变化率为 0）

合在一起：在极值点处，$\nabla f$ 和 $\nabla \varphi$ 都垂直于同一个方向 $\vec{v}$。在平面上，垂直于同一条直线的两个向量必然平行（方向相同或相反）。因此 $\nabla f \parallel \nabla \varphi$，即存在 $\lambda$ 使 $\nabla f = -\lambda \nabla \varphi$。$\blacksquare$

🧠 大白话复盘：在路的最高点，你沿路往前看、往后看都是下坡——沿路方向海拔"平"了，这就是 $\nabla f \cdot \vec{v}=0$。而这条路本身（$\varphi=0$）沿路走更是恒为 0，所以 $\nabla\varphi$ 一直垂直于路。两个都垂直同一个方向，就只能互相平行——就像两条垂直于地面的旗杆，它们必然彼此平行。$\lambda$ 就是这两根"旗杆"的长度比。

怎么算：标准四步法

前面推导告诉我们条件极值点满足两件事：① 梯度平行：$\nabla f + \lambda\nabla\varphi = 0$；② 点在约束曲线上：$\varphi = 0$。①②共三个方程、三个未知数 $(x,y,\lambda)$（①是向量等式，拆成 $x$、$y$ 两个分量就是两个方程；②是一个方程）。四步法就是把这俩条件打包进一个函数，让"三个偏导为零"恰好等于"两个条件同时成立"——不用每次重新推，机械照做就行。

第一步：构造拉格朗日函数 $$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \cdot \varphi(x, y)$$ 这一步在想什么：为什么是 $f + \lambda\varphi$ 而不是别的？看下一步就明白——对 $L$ 求偏导时，$\lambda$ 出现的地方自然生成"梯度平行"的两个方程；对 $\lambda$ 求偏导正好吐出约束条件本身。一拍即合，这就是前面推导里"梯度平行 + 点在曲线上"的机械替身。

第二步：对 $x, y, \lambda$ 分别求偏导，令其为零，得方程组 $$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda \varphi_x = 0 \\[4pt] L_y = f_y + \lambda \varphi_y = 0 \\[4pt] L_\lambda = \varphi(x, y) = 0 \end{cases}$$ 这一步在想什么：前两个方程就是"梯度平行"的分量形式（$L_x=0$ 是 $x$ 分量、$L_y=0$ 是 $y$ 分量），第三个方程 $L_\lambda = 0$ 恰好是约束条件本身——它保证你找到的点确实在那条"路"上。三个方程，解 $x, y, \lambda$ 三个未知数。

第三步：解方程组。常用的消元技巧见下方表格。

第四步：把所有解出的 $(x,y)$ 代入原函数 $f(x,y)$ 比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。这一步在想什么：方程组解出的是"嫌疑犯"——可能是最大、可能最小，也可能两者都不是，必须逐个代入 $f$ 算值横向比，才能定案。

② 连等法小示范（以 $z = xy$ 在 $x^2 + y^2 = 1$ 下为例）。构造 $L = xy + \lambda(x^2+y^2-1)$，求偏导得 $$L_x = y + 2\lambda x = 0, \qquad L_y = x + 2\lambda y = 0$$ 把含 $\lambda$ 的项放到一边、连等起来： $$-\lambda = \frac{y}{2x} = \frac{x}{2y}$$ $\lambda$ 消失，剩下 $\frac{y}{2x} = \frac{x}{2y}$，交叉相乘得 $y^2 = x^2$。连等法适合 $f, \varphi$ 都是幂函数的情形——分子分母都是单项式，除起来很干净。

③ 对称作差小示范（仍用上面 $z = xy$ 的例子，因为 $f$ 和 $\varphi$ 关于 $x, y$ 对称）。直接算 $$L_x - L_y = (y + 2\lambda x) - (x + 2\lambda y) = (y - x)(1 - 2\lambda) = 0$$ 自动提取出公因子 $(y-x)$，一次作差就得到"要么 $y=x$、要么 $\lambda=\frac{1}{2}$"两条线索，配合约束方程 $x^2+y^2=1$ 很快能缩小范围。如果 $f, \varphi$ 不对称，$(L_x - L_y)$ 提不出这种干净的公因子，这个技巧就不好使了。

⚠️ 易错边界——拉格朗日乘数法的"视力范围"和常见陷阱：

⚠️ 易错1：构造 $L$ 时约束条件必须写成 $=0$ 的形式。 如果题目给的约束是 $g(x,y) = c$（右边不是零），必须先移项写成 $\varphi(x,y) = g(x,y) - c = 0$，再代入 $L = f + \lambda\varphi$。如果直接写 $L = f + \lambda \cdot g(x,y)$，虽然对 $x, y$ 的偏导结果不受影响（常数 $c$ 偏导为零），但 $L_\lambda = g(x,y) = 0$ 就变成了 $g(x,y)=0$ 而不是正确的 $g(x,y)=c$——约束条件被篡改了。

⚠️ 易错2：消 $\lambda$ 时注意分母为零的情况。 从 $f_x + \lambda\varphi_x = 0$ 和 $f_y + \lambda\varphi_y = 0$ 消去 $\lambda$ 得到 $\frac{f_x}{\varphi_x} = \frac{f_y}{\varphi_y}$，隐含假设了 $\varphi_x \neq 0$ 且 $\varphi_y \neq 0$。如果 $\varphi_x = 0$ 或 $\varphi_y = 0$，不能盲目做除法——用作差消元（交叉相乘 $f_x \varphi_y = f_y \varphi_x$）更安全，不用除法就不怕分母为 0。

⚠️ 易错3：解出的嫌疑犯必须全部代入 $f$ 算值比较。 拉格朗日方程组给的是"嫌疑犯"——可能是最大值、最小值，也可能两者都不是。最后一步必须把每个嫌疑点的函数值算出来横向比较。典型翻车现场：解出三个点，代入前两个发现一个值是 5、一个值是 3，就宣布答案——第三个点还没算！

⚠️ 易错4：$\lambda$ 的符号约定别弄混。 构造 $L$ 有两种常见写法：$L = f + \lambda\varphi$（本书用这个）或 $L = f - \lambda\varphi$。两种写法解出的 $\lambda$ 差一个负号，但 $x, y$ 的答案完全一样。只要构造和求解时用同一套写法，别混着用（比如构造用 $+\lambda$，解题时却按 $-\lambda$ 的公式消元），就不会错。

⚠️ 易错5：消 $\lambda$ 时小心两边约去变量丢解。 解方程组时，如果两边约去 $x$ 或 $y$（除以它们），会丢掉 $x = 0$ 或 $y = 0$ 的解。正确做法：先把式子因式分解，得到"$\cdots = 0$"的形式，再分情况讨论每一种因式等于零的情况——不能默认变量非零就直接约掉。

⚠️ 易错6：不要和无条件极值的判别逻辑搞混。 无条件极值的嫌疑犯是"驻点"（$\nabla f = (0,0)$），然后用 AC-B² 判别；条件极值的嫌疑犯由 $\nabla f = -\lambda \nabla\varphi$ 加 $\varphi = 0$ 确定。两道工序完全不同——有约束时，$f$ 的驻点（如果恰好在约束曲线上）只是一个特例（对应 $\lambda = 0$），大部分条件极值点并不是 $f$ 的驻点。

💡 选读：多个约束条件时公式怎么推广。 如果有两个约束 $\varphi(x,y)=0$ 和 $\psi(x,y)=0$，拉格朗日函数推广为 $L = f + \lambda\varphi + \mu\psi$，对应 $\nabla f + \lambda\nabla\varphi + \mu\nabla\psi = 0$。考研数学三一般只考单约束，了解即可。

考法2：条件极值（拉格朗日乘数法）⚠️ 高频考点

🧠 先想一步：四步法不是"背模板"。 回到 2.4.3 的发现：条件极值点 = "目标梯度 ∥ 约束梯度" + "点在约束曲线上"。四步法只是把这俩条件塞进 $L = f + \lambda\varphi$ 这个函数里，让"三个偏导为零"自动吐出这俩条件。做题时带着这句直觉走，就不怕构造错 $L$。

完整示范：把四步法从头到尾走一遍

题目（即练习区的题36）：求函数 $z = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y = 2$ 下的极值。

第一步：构造拉格朗日函数。 先把约束写成 $=0$ 的形式：$x + y - 2 = 0$。于是 $$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 2)$$ 这一步在想什么：目标函数是 $x^2+y^2$，约束函数是 $x+y-2$，直接按 $L = f + \lambda\varphi$ 拼起来。

第二步：三个偏导都令为零。 $$\begin{cases} L_x = 2x + \lambda = 0 \\[4pt] L_y = 2y + \lambda = 0 \\[4pt] L_\lambda = x + y - 2 = 0 \end{cases}$$ 这一步在想什么：前两个方程是"梯度平行"的两个分量，第三个方程就是约束本身。

第三步：解方程组。 前两个方程相减得 $2x - 2y = 0$，即 $x = y$。代入第三个方程：$2x - 2 = 0$，得 $x = 1, y = 1$（顺便 $\lambda = -2$）。

第四步：代入原函数。 $f(1,1) = 1^2 + 1^2 = 2$。怎么判断这是最大还是最小？沿直线 $x+y=2$ 向两边走，$x$ 或 $y$ 趋于无穷时 $z = x^2+y^2$ 趋于无穷大——所以 $z=2$ 只能是这路上唯一的最低点，即最小值。（实际题目若只有一个嫌疑点，代回原函数后结合约束的几何形状判断即可。）

答案：最小值 $z_{\min} = 2$，在点 $(1, 1)$ 处取得。

📌 考场动作提醒：① 构造 $L$ 前先确认约束是 $=0$ 形式；② 写出三个方程后，先看哪两个相减（或连等）能最快消 $\lambda$；③ 解出的点要代回 $f$ 算值，别在解方程处就停了。

3.2 条件极值（拉格朗日乘数法）

题36 已在上面作为完整示范做过，下面从题37 开始独立练习。

题37（曲线约束） ⭐基础 求函数 $z = xy$ 在约束条件 $x^2 + y^2 = 1$ 下的最大值和最小值。

题38（复杂约束——需要消元技巧） ⭐⭐中等 求函数 $f(x,y) = x^2 + 12xy + 2y^2$ 在约束条件 $4x^2 + y^2 = 25$ 下的最大值。

题39（三维空间问题，选读） ⭐⭐⭐ 真题难度（偏数一风格，数三了解思路即可，不必深究）在椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ 的第一卦限部分上求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积最小。

2.4.4 闭区域上的最值

先想一步：为什么"内部唯一极小"不能直接当成"整个区域最小"？

一元函数有个省事的结论：区间内唯一的极小值点就是最小值点。为什么多元不成立？因为多元的区域有"边界"。一元函数的地盘是线段，极值只在内部；二元函数的地盘是一块面，除了内部还有一圈"边界"。函数在内部是极小（四周都比它高），但沿着边界可能一路往下走，边界上的点比内部那个极小值还低。所以内部信息再完整，也管不了边界上的事。

正确三步法：

第一步：求区域内部的驻点，算出所有驻点处的函数值。这一步在想什么：先把"内部的消息"打探齐全——用 AC-B² 或直接算值找出内部候选。

第二步：求各段边界上的最值。

• 把边界方程代入函数，化成条件极值（拉格朗日）或一元函数问题
• 如果是多条边界，每条边界单独处理 这一步在想什么：边界是"一条曲线上的最值"——这正好是条件极值（拉格朗日）的地盘，或者干脆把边界方程代进去变成一元问题。

第三步：把所有值放在一起比较，取最大和最小。这一步在想什么：内部和边界是两个独立来源的候选名单，谁都不能跳过，最后合起来比大小才是最终答案。

闭区域最值 = max { 所有内部驻点值 , 所有边界最值 }
闭区域最值 = min { 所有内部驻点值 , 所有边界最值 }

考法3：闭区域上的最值 ⚠️ 易错题型

核心陷阱：在一元函数中，区域内唯一的极小值点就是最小值点。但在多元函数中这个结论不成立！函数的极小值点可能在区域内部，但边界上的值可能更小。

正确三步法：

第一步：求区域内部的驻点，计算这些驻点处的函数值。

第二步：求各段边界上的最值。如果是多条边界，每条边界单独处理。

第三步：将所有内部驻点值和所有边界极值放在一起比较。

      闭区域最值 = min { 内部驻点值 , 边界上的极值 }
                    max { 内部驻点值 , 边界上的极值 }

⚠️ 翻车现场：只求了内部驻点的值就交卷，忘了检查边界。闭区域上的最值可能在内部（驻点处），也可能在边界上。很多题设计成最大值在边界、最小值在内部（或者反过来）——只算内部就拿不到全分。武忠祥老师特别强调：这道题过去没考过但很容易考——内部唯一极小点不一定是整个区域的最小点，必须比较边界值！

3.3 闭区域上的最值

题40（经典闭区域最值） ⭐⭐中等 求函数 (f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y) 在闭区域 $D = {(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 9}$ 上的最大值和最小值。

题41（三角形区域） ⭐⭐⭐真题难度 求函数 (f(x,y) = x^2 - xy + y^2) 在闭区域 $D = {(x,y) \mid |x| + |y| \le 1}$ 上的最大值和最小值。

2.4.5 经济中的最优化问题

这是数学三区别于数一、数二的核心题型。

核心思路：把经济问题"翻译"成数学函数，然后用极值方法求解。

🧠 先想一步：经济题不是新数学，是"翻译 + 已学的方法"。 把"利润最大/成本最小"翻成"求某个函数的极值"，然后用前面学的无条件极值（AC-B²）或条件极值（拉格朗日）去解。判断用哪个方法的钥匙是有没有约束——有约束（比如"产量固定""预算固定"）就是拉格朗日的活，没约束就是求偏导的活。下面三个模型全是这个套路。

模型一：利润最大化（最常考）

• 收益 = 价格 × 销量：$R = P \cdot Q$
• 利润 = 收益 - 成本：(L = R - C)
• 对利润函数求导，令导数 = 0（若利润是多元函数才用偏导），解出最优产量

  🧠 这一步在想什么：利润 (L(Q)) 是销量的函数，求它最大就是求一元极值——令 (L'=0) 找到驻点，再验证二阶导为负。无约束的利润最大化基本落在这里。

模型二：成本最小化（给定产量约束）

• 成本函数：(C = rK + wL)（(r) = 资本单价，(w) = 劳动单价）
• 约束：产量 (Q(K, L) = Q_0)
• 用拉格朗日乘数法：$L = rK + wL + \lambda(Q_0 - Q(K,L))$

  🧠 这一步在想什么：成本 (C(K,L)) 有两个投入变量，还带一个"产量必须到 (Q_0)"的约束——这正好是条件极值，所以搬出拉格朗日，把约束写进 (L)。

模型三：柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数

$Q = A K^\alpha L^\beta$

规模报酬判断：

• $\alpha + \beta > 1$：投入翻倍，产出翻更多（规模报酬递增）
• $\alpha + \beta = 1$：投入翻倍，产出也翻倍（规模报酬不变）
• $\alpha + \beta < 1$：投入翻倍，产出翻不到一倍（规模报酬递减）

🧠 这一步为什么是"指数相加"定生死？ 把 (K, L) 同时放大 (t) 倍代入 $Q = AK^\alpha L^\beta$，得到 $Q(tK, tL) = t^{\alpha+\beta}Q(K,L)$（这正是下面欧拉定理第一步要写的内容）——产出的放大倍数是 $t^{\alpha+\beta}$，由 $\alpha+\beta$ 单独决定。所以"$\alpha+\beta$ 大于/等于/小于 1"直接告诉你"投入翻 (t) 倍后产出翻得比 (t) 多/正好/少"——这条判断不是背出来的，是代入公式算出来的。

边际产量（偏导数的经济意义）：

• $\frac{\partial Q}{\partial K}$：多投入一单位资本，能多产出多少
• $\frac{\partial Q}{\partial L}$：多雇一个人，能多产出多少

🧠 这一步为什么是"偏导数"？ 边际产量就是"其他投入不变、只多投一种要素时，产出的变化率"——这正是偏导数的定义：固定另一个变量，只看一个变量变。所以偏导数不是只在数学题里打转的符号，它就是经济学"边际"这个词的数学长相。

欧拉定理 低频·了解即可（考研数学少考，但人大802微观要素分配有用）（当 $\alpha + \beta = 1$ 时）： $K \cdot \frac{\partial Q}{\partial K} + L \cdot \frac{\partial Q}{\partial L} = Q$

这个等式从哪来？——欧拉定理的三小步推导（柯布-道格拉斯函数 $Q = AK^\alpha L^\beta$ 是"$\alpha+\beta$ 次齐次函数"：把 (K, L) 同时放大 (t) 倍，产出正好放大 $t^{\alpha+\beta}$ 倍；齐次函数都满足欧拉定理 $KQ_K + LQ_L = (\alpha+\beta)Q$）。

第一步：把"投入翻倍"写进公式。把 (K, L) 同时放大 (t) 倍（(t>0)）： $Q(tK, tL) = A(tK)^\alpha (tL)^\beta = t^{\alpha+\beta}AK^\alpha L^\beta = t^{\alpha+\beta}Q(K,L)$ 这一步在想什么：投入被放大 (t) 倍，产出被放大 $t^{\alpha+\beta}$ 倍——倍数只由 $\alpha+\beta$ 决定，这正是"齐次函数"的含义（齐次次数 = $\alpha+\beta$）。

第二步：两边对 (t) 求导。左边 (Q(tK, tL)) 是复合函数，用链式法则（把 (K, L) 当系数提出来）： $\frac{d}{dt}Q(tK, tL) = Q_K \cdot K + Q_L \cdot L$ 右边 $t^{\alpha+\beta}Q(K,L)$ 对 (t) 求导（(Q(K,L)) 不含 (t)，当常数）： $\frac{d}{dt}\left(t^{\alpha+\beta}Q\right) = (\alpha+\beta)t^{\alpha+\beta-1}Q$ 两边相等： $Q_K \cdot K + Q_L \cdot L = (\alpha+\beta)t^{\alpha+\beta-1}Q(K,L)$ 这一步在想什么：左边链式法则把"投入被放大"拆成了 (K) 方向的贡献（$Q_K\cdot K$）加 (L) 方向的贡献（$Q_L\cdot L$）——这就是我们要的那串式子。

第三步：令 (t = 1)（回到"投入没放大"的原点）： $K\cdot Q_K + L\cdot Q_L = (\alpha+\beta)Q$ 当 $\alpha+\beta = 1$ 时，就是 $K\cdot\frac{\partial Q}{\partial K} + L\cdot\frac{\partial Q}{\partial L} = Q$。

🧠 大白话复盘：欧拉定理说人话就是——把每种要素的投入量乘以它带来的边际产出，全部加起来，正好等于总产出（当规模报酬不变时）。直觉：投入翻一倍、产出恰好也翻一倍（$\alpha+\beta=1$），那么"每单位投入的边际贡献"加起来就应该正好补满总产出。这也是经济学里"要素收入分配恰好分光产出"的理论依据。

考法4：经济应用中的最优化问题（数学三特有⭐）

这是数学三区别于数一、数二的核心题型。本质是：将经济问题翻译成数学语言 → 求多元函数最值。

模型一：利润最大化（最常见）

场景：已知成本函数 (C(Q)) 和需求函数（价格函数）(P(Q))，求最优生产量使利润最大。

🧠 先想一步：翻译的钥匙在哪？ 题目给的是"价格随销量变"和"成本随销量变"，要的是"利润最大"——所以先把中文翻译成函数：价格 × 销量 = 收益，收益 − 成本 = 利润。利润最终是销量 (Q) 的一元函数，求最大就是一元极值：令 (L'(Q) = 0)。这类题没有约束，不需要拉格朗日。

翻译步骤：

1. 收益 = 价格 × 销量：$R = P \cdot Q$
2. 利润 = 收益 - 成本：(L = R - C)
3. 对利润函数求导，令导数 = 0（若利润是多元函数才用偏导）
4. 解出最优产量

模型二：成本最小化（给定产量约束下）

场景：已知生产函数 (Q = f(K, L)) 和要素价格，求给定产量下成本最小化的投入组合。

🧠 先想一步：这题和模型一的分水岭是"约束"。 模型二带着"产量必须等于 (Q_0)"这个死命令——有约束，所以是条件极值，用拉格朗日。模型一是自由发挥，才用偏导 = 0。

翻译步骤：

1. 成本函数：(C = rK + wL)
2. 约束条件：(f(K, L) = Q_0)
3. 构造拉格朗日函数：$L = rK + wL + \lambda(Q_0 - f(K,L))$
4. 求偏导解出最优 (K, L)

常见经济题型总结：

⚠️ 翻车现场（数学三特供）：成本函数写错——把"要素价格×要素数量"和"单位成本×产量"搞混。成本的计量基础必须一致。如果给的是要素价格：资本单价 r，劳动单价 w，则总成本 C = rK + wL；如果给的是单位产品成本 c，则总成本 C = c·Q。

3.4 经济应用中的最优化问题（数学三）

题42（利润最大化——单市场） ⭐基础 某厂生产一种产品，其需求函数为 (P = 100 - 0.5Q)，成本函数为 (C(Q) = 100 + 10Q + 0.5Q^2)。求利润最大化的产量和最大利润。

题43（两市场价格歧视） ⭐基础 某垄断企业在两个分割的市场销售同一产品。两个市场的需求函数分别为： $P_1 = 80 - 5Q_1, \quad P_2 = 180 - 20Q_2$ 总成本函数为 (C = 50 + 20(Q_1 + Q_2))。求两个市场的最优销售量和最大总利润。

题44（成本最小化——给定产量约束） ⭐⭐中等 某厂的生产函数为 (Q = 2K^{1/2}L^{1/2})（柯布-道格拉斯型），资本单价 (r = 4)，劳动单价 (w = 9)。若要求产量 (Q = 60)，问应投入多少资本和劳动才能使成本最小？

题45（利润最大化——要素需求） ⭐⭐中等 已知生产函数 (Q = 12K^{1/2}L^{1/6})，产品单价 (P = 10)，资本单价 (r = 6)，劳动单价 (w = 8)。求最大利润时的资本投入 (K) 和劳动投入 (L)。

题46（两产品联合生产） ⭐⭐⭐真题难度 某企业生产两种产品，产量分别为 (x) 和 (y)。两种产品在市场上的售价分别为 (p_x = 60 - 2x) 和 (p_y = 40 - y)。联合成本为 (C = x^2 + xy + y^2 + 50)。求最大利润时的产量组合。

四、名师方法对比

综合建议：链式法则用张宇的"树形图法"最直观；判别法用标准流程；闭区域最值务必记住武忠祥的提醒；经济应用题跟着汤家凤的真题分类走。

五、速查卡片

卡片1：链式法则树形图速查

类型一：z=f(u,v), u=u(t), v=v(t)  [全导数]
    z
   ╱ ╲
  u   v
  │   │
  t   t
→ dz/dt = z_u·u' + z_v·v'

类型二：z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)  [偏导数]
        z
      ╱   ╲
     u     v
    ╱╲    ╱╲
   x  y  x  y
→ z_x = z_u·u_x + z_v·v_x
→ z_y = z_u·u_y + z_v·v_y

类型三：z=f(x,y,u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)  [既有直接变量又有中间变量]
        z
     ╱ │ ╲  ╲
    x  y  u  v
          │  │
          x  y
→ z_x = f_x + f_u·u_x + f_v·v_x

卡片2：隐函数求导公式

卡片3：AC-B² 极值判别法

卡片4：拉格朗日乘数法速查

场景：求 f(x,y) 在 φ(x,y) = 0 条件下的极值

步骤：
1. 构造 L(x,y,λ) = f + λφ
2. 解方程组 L_x=0, L_y=0, L_λ=0
3. 常用技巧消λ：
   → 作差法：L_x·φ_y - L_y·φ_x = 0
   → 对称法：若 f 和 φ 关于 x,y 对称，L_x - L_y = 0
4. 比较所有解对应的 f 值

卡片5：概念关系判断速查

偏导数连续  ⇒  可微  ⇒  连续
                   ⇓
              偏导数存在

反过来都不一定成立（单箭头）：
· 可微 ⇏ 偏导数连续
· 连续 ⇏ 可微
· 偏导数存在 ⇏ 可微
· 连续 ⇏ 偏导数存在
· 偏导数存在 ⇏ 连续

卡片6：常见经济应用模型（数三专属）

卡片7：可微性判别步骤

要判断 f(x,y) 在 (x₀,y₀) 是否可微，按优先级：

优先方法：
  → 判断偏导数是否连续（连续则必可微）
  → 用充要条件：Δz = f_x·Δx + f_y·Δy + o(ρ)，其中 ρ=√(Δx²+Δy²)
  → 即验证 lim [(Δz - f_x·Δx - f_y·Δy) / ρ] = 0 是否成立

反例记忆（不可微但偏导数存在）：
  → f(x,y) = √|xy| 在 (0,0) 处偏导数存在但不可微
  → f(x,y) = xy/(x²+y²)，(x,y)≠(0,0); 0，原点 —— 偏导数存在但函数不连续，因此不可微

六、概念辨析（多元 vs 一元）⚠️ 重中之重

以下 10 道判断题，是考试选择题中的"钉子户"。判断对错，并理解为什么。

题 1：偏导数存在，则函数连续。

❌ 错误！ 这是把一元函数的规则搬到多元来了。一元可导必连续，但多元偏导数存在推不出连续。因为偏导数只管 (x) 方向和 (y) 方向这两个方向，其他无穷多个方向可能都是断的。经典反例：$f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$（原点偏导存在但不连续）。

题 2：可微，则偏导数存在。

✅ 正确！ 可微本身就包含了"各个方向都能线性近似"的信息，偏导数当然存在。

题 3：可微，则函数连续。

✅ 正确！ 可微 ⇒ 连续。因为能用一个平面近似，说明函数值不会突然跳变。这和一元是一样的。

题 4：偏导数连续，则函数可微。

✅ 正确！ 这是判断可微最常用的方法。偏导数连续是可微的充分条件。

题 5：函数连续且偏导数存在，则可微。

❌ 错误！ 连续和偏导数存在这两个条件加起来，仍然推不出可微。反例：$f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在原点连续、偏导存在（都是 0），但不可微。必须要更强的条件（偏导数连续）才能推出可微。

题 6：可微，则偏导数连续。

❌ 错误！ 可微推不出偏导数连续。偏导数连续 ⇒ 可微是对的，但反过来不成立。

题 7：二元函数在某点的二重极限存在，则该点一定连续。

❌ 错误！ 极限存在且等于函数值，才是连续。如果极限存在但不等于函数值（或函数在该点没定义），那就不连续。

题 8：驻点一定是极值点。

❌ 错误！ 驻点（偏导都为 0）只是"嫌疑犯"，可能是极值点也可能不是（鞍点）。比如 (f(x,y) = x^2 - y^2) 在 ((0,0)) 是驻点，但沿 (x) 轴是山谷（极小），沿 (y) 轴是山脊（极大），是鞍点。

题 9：在闭区域内部有唯一极小值点，则该点就是整个闭区域的最小值点。

❌ 错误！ 边界上的值可能比内部极小值更小！必须把内部驻点值和边界最值放在一起比较。

题 10：混合偏导数 (f_{xy}) 和 (f_{yx}) 一定相等。

❌ 错误！ 只有它们连续时才一定相等。虽然考研题中一般默认相等，但概念题中"一定相等"的说法是错误的——需要加条件"在连续的前提下"。

七、综合混搭练习（挑战模式）

下面的题目不会告诉你是什么题型。你需要自己判断——就像考试一样。

混搭题1 设 $f(x,y) = \begin{cases} (x^2 + y^2)\sin\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\[8pt] 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 判断 (f(x,y)) 在 ((0,0)) 处是否连续。

混搭题2 求函数 (f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy) 的极值。

混搭题3 判断极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ 是否存在，若存在求其值。

混搭题4 设 $z = f\left(xy, \dfrac{x}{y}\right)$，其中 (f) 具有二阶连续偏导数。求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

混搭题5 求函数 (z = xy) 在约束条件 (x^2 + y^2 = 1) 下的最大值和最小值。

混搭题6 设 (z = f(x, y, u))，其中 (u = x^2 + y^2)，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$（用 (f_1', f_2', f_3') 表示）。

混搭题7 某垄断企业在两个分割的市场销售同一产品。两个市场的需求函数分别为 (P_1 = 80 - 5Q_1)、(P_2 = 180 - 20Q_2)，总成本函数为 (C = 50 + 20(Q_1 + Q_2))。求两个市场的最优销售量和最大总利润。

混搭题8 设方程 (x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0) 确定隐函数 (z = z(x,y))，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。

八、考试导航

下表按出题频率从高到低排列。

💡 复习策略：链式法则、AC-B² 判别法、拉格朗日乘数法这三个是"铁三角"，每年必考至少两个。概念辨析题（可微/偏导/连续的关系）是选择题的"钉子户"，务必吃透箭头方向。数三同学额外把经济应用题型练熟——近十年真题的经济应用大题逐题翻译一遍。

九、自检清单

学完本章后，逐项确认：

推荐补充练习

• 武忠祥 660 题：概念辨析题（可微、可导、连续的关系），20~30 题集中突破
• 张宇 1000 题：链式法则 + 隐函数求导的计算题，练到"不动脑子就写对"
• 近 10 年数三真题：经济应用大题，逐题翻译建模
• 汤家凤 1800：拉格朗日乘数法消元技巧

编写参考：本章所有内容基于数学三大纲要求，综合参考了张宇、汤家凤、武忠祥、李永乐四位名师的教法特色。概念辨析部分特别强调了多元与一元的区别——这是每年选择题的必考内容。结构按"概念 → 方法 → 练习"组织——每个知识点后面紧跟对应的方法讲解和练习，口诀和避坑就近放置，核心概念部分保持纯净。

🧭 学完回顾——本章定理的"来龙去脉"

学完一整章，最值钱的不是记住多少公式，而是脑子里的公式是怎么串成一条线的。下面这张关系图，把本章核心概念和定理之间的推导链画了出来。对照章首 1.3 节的知识地图一起看——章首告诉你"有哪些东西"，这里告诉你"它们是怎么从一个走到另一个的"。

                    ┌────────────────────────────────────────────────┐
                    │           多元函数微分学推导链                  │
                    └────────────────────────────────────────────────┘
                                         │
                                         ▼
                    ┌────────────────────────────────────────────────┐
                    │              偏导数（2.2.1）                    │
                    │                                                │
                    │  核心策略："降维攻击"——固定其他旋钮，只拧一个    │
                    │  f_x(x₀,y₀) = lim [f(x₀+h, y₀)-f(x₀,y₀)]/h   │
                    │                                                │
                    │  ⚠️ 偏导数存在  ⇏  连续（和一元完全不同！）      │
                    │  ⚠️ 偏导数只看了x轴和y轴两个方向                  │
                    └────────────────────┬───────────────────────────┘
                                         │
                                         │ "两个方向的坡度能拼成一个平面吗？"
                                         ▼
                    ┌────────────────────────────────────────────────┐
                    │              全微分（2.2.2）                    │
                    │                                                │
                    │  dz = f_x dx + f_y dy                          │
                    │  含义：用切平面来近似曲面在局部的行为              │
                    │                                                │
                    │  偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在 + 连续            │
                    │  （所有箭头单向！没有一个是双向的！）              │
                    │                                                │
                    │  ⚡ 形式不变性：不管x,y是自变量还是中间变量，       │
                    │     dz = f_x dx + f_y dy 永远成立               │
                    └────────────────────┬───────────────────────────┘
                                         │
                                         │ "用全微分把变化的传导一层层展开"
                                         ▼
                    ┌────────────────────────────────────────────────┐
                    │            链式法则（2.3.1）                     │
                    │                                                │
                    │  核心操作：画树形图 → 每条路径连乘 → 各路径相加    │
                    │  本质：全微分展开 → 代入 du,dv → 按dx,dy读系数     │
                    │                                                │
                    │  情形一（多对一）：dz/dt = z_u·u_t + z_v·v_t   │
                    │  情形二（多对多）：∂z/∂x = z_u·u_x + z_v·v_x   │
                    │  情形三（直接+间接）：∂z/∂x = f_x + f_u·u_x + … │
                    │                                                │
                    │  ⚠️ f₁', f₂' 不是常数！二阶时须再次链式法则！      │
                    └────────────────────┬───────────────────────────┘
                                         │
                     ┌───────────────────┴───────────────────┐
                     │                                       │
                     ▼                                       ▼
   ┌──────────────────────────────┐        ┌──────────────────────────────┐
   │    隐函数定理（2.3.2）       │        │    高阶偏导数（2.3.5）        │
   │                              │        │                              │
   │ F(x,y)=0 中：                │        │ 二阶偏导计算时：              │
   │ F_y ≠ 0 ⇒ 局部可写成y=f(x)  │        │ ∂/∂x(f₁') = f₁₁''·u_x       │
   │ F_y = 0 ⇒ 竖直切线，写不成  │        │            + f₁₂''·v_x      │
   │                              │        │                              │
   │ 推导：全微分 F_x dx+F_y dy=0 │        │ ⚠️ 遗漏这一步是最大扣分点！    │
   │  ⇒ dy/dx = -F_x/F_y         │        └──────────────────────────────┘
   └──────────────┬───────────────┘
                  │
                  ▼
   ┌──────────────────────────────┐
   │  隐函数求导公式（2.3.3）      │
   │  F(x,y,z)=0, F_z≠0:         │
   │  ∂z/∂x = -F_x/F_z           │
   │                              │
   │  三种方法：公式法 / 两边求导  │
   │  法 / 全微分法                │
   └──────────────┬───────────────┘
                  │
                  │ "求出偏导之后，就可以找最高最低点了"
                  ▼
   ┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐
   │                    极值与最值（2.4）                           │
   │                                                              │
   │  无条件极值（2.4.1-2.4.2）                                    │
   │    求驻点：f_x=0 且 f_y=0                                    │
   │              │                                               │
   │              ▼                                               │
   │    AC-B² 判别法（2.4.2）                                      │
   │    A=f_xx, B=f_xy, C=f_yy                                    │
   │    Δ=AC-B² > 0 且 A>0 → 极小值（山谷）                       │
   │    Δ=AC-B² > 0 且 A<0 → 极大值（山顶）                       │
   │    Δ=AC-B² < 0 → 鞍点（马鞍）                                │
   │    Δ=AC-B² = 0 → 判别法失效，用定义                           │
   │                                                              │
   │    推导源：二阶泰勒展开 → 二次型 Q(h,k) 配方 → 系数符号判定    │
   │              │                                               │
   │              │  "如果加个条件——预算有限，怎么找最优？"          │
   │              ▼                                               │
   │  条件极值（2.4.3）                                            │
   │    拉格朗日乘数法：∇f + λ∇φ = 0                               │
   │    几何直觉：目标函数的等高线和约束曲线"擦肩而过"的切点         │
   │                                                              │
   │  闭区域最值（2.4.4）→ 三步：内部驻点 + 每条边界 + 比大小      │
   │  经济应用（2.4.5 数三）→ 利润最大化 / 成本最小化建模           │
   └──────────────────────────────────────────────────────────────┘

链条中最关键的三个"拐点"：

1. 偏导数 → 全微分：偏导数只管x和y两个方向，全微分要管所有方向。从"两个方向的坡度"升级到"一整张切平面"——这个升级要求偏导数连续（充分条件）。多元和一元最大的分岔点就在这：一元：可导 = 可微；多元：偏导数存在 ≠ 可微。
2. 全微分 → 链式法则：链式法则就是"全微分展开然后读系数"——dz = z_u du + z_v dv，把 du、dv 继续展开，按 dx、dy 合并同类项，系数就是偏导数。画树形图 = 数路径，每条路径连乘 = 全微分展开的每一项。
3. AC-B² → 拉格朗日乘数法：AC-B² 管"没有任何限制地满山找最高最低点"，拉格朗日管"沿着一条规定的小路找最高最低点"。两者的联系是：拉格朗日乘数法的驻点方程 ∇f + λ∇φ = 0，本质上就是在约束曲线上找"目标函数梯度与约束梯度平行"的点——这是一元条件极值中"f'(x)=0"的多元版本。

🔗 和章首知识地图的呼应：章首 1.3 节把本章拆成"基础概念 + 偏导计算 + 极值最值"三大块，并标出了核心框架"偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒（偏导数存在, 连续）"。你现在应该能看清：偏导数是砖块 → 全微分是第一层墙 → 链式法则和隐函数求导是房子的骨架 → AC-B²和拉格朗日乘数法是屋顶。概念框架里的四个箭头（偏导连续→可微→偏导存在/连续）全部单向——这是本章最重要的概念辨析，也是选择题每年必考的"坑"。

自检：闭上眼睛，能不能从"对x求偏导就是把y当常数"开始，一路走到"拉格朗日乘数法就是让两个梯度平行"？如果某一环卡住了，回头找到那一节把推导重读一遍。

🔍 链条检查：本章A→B推导箭头是否明确？

经逐节审查，以下是已明确标注的推导链：

本章无遗漏的A→B箭头。每一节的末尾"在整个体系中的位置"段落都显式标注了上游依赖和下游承接。

📖 下一章预告

这一章你把目光从一个变量扩展到了多个变量——学会了偏导数（一次只拧一个旋钮）、全微分（所有旋钮一起微调）、链式法则（多层级联动的变化传导）和拉格朗日乘数法（在约束下找最优解）。这些都是经济分析中每天都在用的工具。

下一章我们进入二重积分——如果说第3章的定积分是算一条曲线下的面积，二重积分就是算一个曲面下的体积。你在第5章学会了在多元世界里"往前走（微分）"，下一章你要学会在多元世界里"往回看（积分）"。从一维累加到二维累加——思路完全一样，只是多一个维度而已。