计算题专项 —— 微观经济学全部计算题型

解法一（MRS法，推荐考试用）：

MUx = ∂U/∂x = 0.4x^{-0.6}y^{0.6} MUy = ∂U/∂y = 0.6x^{0.4}y^{-0.4}

MRS = MUx/MUy = (0.4/0.6)·(y/x) = (2/3)·(y/x)

最优条件：MRS = p_x/p_y (2/3)·(y/x) = 5/10 → (2/3)·(y/x) = 1/2 → y/x = 3/4 → y = 0.75x

预算约束：5x + 10y = 500 代入：5x + 10(0.75x) = 5x + 7.5x = 12.5x = 500 x* = 40

y* = 0.75 × 40 = 30

解法二（份额法，验算用）： Cobb-Douglas U = x^α y^β 且 α+β=1 时： x* = α·m/p_x = 0.4 × 500/5 = 40 y* = β·m/p_y = 0.6 × 500/10 = 30

最优消费束：(x, y) = (40, 30)**

本题用到的模板：Cobb-Douglas求解三步——①写出MRS ②令MRS=价格比得y/x关系 ③代入预算线求解。

🧠思路： 拿到这题先看效用函数形式——带 min 的就是完全互补偏好，L 形无差异曲线在折点没有平滑切点，所以不能走 MRS=价格比，正确做法是直接令花括号里两个量相等。想到的方法：配比条件 2x=y 得最优比例，再代入预算线。先做的事：写出配比；后做的事：把 y=2x 代入 4x+8y=200 解出 x、y。

第1步：确定最优比例条件。 完全互补型效用 U = min{ax, by} 的最优条件：ax = by（两种商品必须按固定比例搭配，多了浪费）。

本题 a=2, b=1，所以：2x = y → y = 2x

第2步：代入预算约束。 4x + 8y = 200 4x + 8(2x) = 4x + 16x = 20x = 200 x* = 10

y* = 2 × 10 = 20

验算：预算 4×10 + 8×20 = 40 + 160 = 200 ✓

易错点：min{2x, y} 的最优条件是 2x=y，不是 x=2y。判断方法——花括号里左边是2x、右边是y，配比相等就是2x=y。很多人看一眼"2x"就写成x=2y，方向反了。

本题用到的模板：完全互补——①比例条件 ax=by ②代入预算线 ③求解。

🧠思路： 拿到这题先看效用函数——"非线性部分 + 单独加的 y"是拟线性偏好的标志，最怕算完忘了检查角点解。想到的方法：拟线性下先用 MRS=价格比解出 x（本题 MRS 与 y 无关），再代预算线求 y，最后必须检查 y≥0。先做的事：MRS=x^{-0.5} 令它等于 1/2 得 x=4；后做的事：代入 1·x+2·y=50 得 y=23，确认两者都为正才是内点解。

第1步：求MRS。 MUx = x^{-0.5}，MUy = 1 MRS = MUx/MUy = x^{-0.5}

第2步：令MRS = p_x/p_y。 x^{-0.5} = 1/2 → x^{0.5} = 2 → x = 4

第3步：求y并判断是否为内点解。 预算约束：1·x + 2·y = 50 花在x上：1×4 = 4，剩下：50−4 = 46 y = 46/2 = 23

x=4>0，y=23>0，两者都为正 → 内点解。

最优消费束：(x, y) = (4, 23)**

补充——什么情况会出现角点解？ 如果 x^{-0.5} = p_x/p_y 解出的 x 对应的支出超过了收入，那就要设 y=0，把全部收入花在x上。例如本题若 m=3，算出的 x=4 需要花4元>3元收入，那就设 y=0，x=3/1=3。

易错点：拟线性偏好不能跳过"检查是否为内点解"这一步。MRS=价格比解出的x只是一个候选值，还必须验证y≥0。y<0→角点解，改设y=0重算。

本题用到的模板：拟线性——①MRS=价格比求x ②代入预算线求y ③检查y≥0？否→角点解。

🧠思路： 拿到这题先看效用函数——两项都是一次方直接相加，无差异曲线是直线、MRS 是常数，这就是完全替代偏好。想到的方法：完全替代的 MRS=价格比几乎永远不会相等（除非恰好撞上），正确做法是比较"每块钱的边际效用" MUx/p_x 与 MUy/p_y。先做的事：分别算两个比值；后做的事：哪个大就全买哪个（本题 x 更划算，全买 x 得 (30,0)）。

第1步：比较"每块钱的边际效用"。 MUx = 3，MUy = 2 花1块钱在x上获得的效用：MUx/p_x = 3/4 = 0.75 花1块钱在y上获得的效用：MUy/p_y = 2/3 ≈ 0.667

MUx/p_x > MUy/p_y，说明x"更划算"。

第2步：全部买x。 x* = m/p_x = 120/4 = 30 y* = 0

最优消费束：(x, y) = (30, 0)** —— 角点解。

补充——如果 MUx/p_x = MUy/p_y 怎么办？ 如果每块钱的边际效用相等，那么预算线上的任何组合都是最优的（无差异曲线和预算线重合）。

易错点：完全替代偏好的解几乎永远是角点解（只买一种商品），除非MUx/p_x恰好等于MUy/p_y。不要用MRS=价格比去解——完全替代的MRS是常数，不可能和价格比相等（除非正好撞上）。

本题用到的模板：完全替代——①比较MUx/p_x和MUy/p_y ②哪个大就全买哪个。

🧠思路： 拿到这题先看函数形式——(x^{0.5}+y^{0.5})² 直接求导会很繁琐，但平方在正数区域单调递增，先想"能不能去掉这层平方"。想到的方法：单调变换取 V=x^{0.5}+y^{0.5}（偏好排序不变），再对 V 做 MRS=价格比。先做的事：去掉平方、化简 MRS；后做的事：令 MRS=p_x/p_y 得 y 与 x 的关系，代入预算线 p_x·x+p_y·y=m 整理成用参数表达的需求函数。

第1步：识别可用的单调变换。 U = (x^{0.5} + y^{0.5})^2，因为平方函数在正数区域是单调递增的，可以取平方根得到等价的效用表示： V = x^{0.5} + y^{0.5}（与U代表相同的偏好排序）

第2步：用V求MRS。 MUx = 0.5x^{-0.5}，MUy = 0.5y^{-0.5} MRS = MUx/MUy = (x^{-0.5})/(y^{-0.5}) = (y/x)^{0.5}

第3步：MRS = p_x/p_y。 (y/x)^{0.5} = p_x/p_y y/x = (p_x/p_y)^2 y = x·(p_x/p_y)^2

第4步：代入预算约束。 p_x·x + p_y·y = m p_x·x + p_y·x·(p_x/p_y)^2 = m p_x·x + p_y·x·(p_x^2/p_y^2) = m p_x·x + x·(p_x^2/p_y) = m x·p_x·(1 + p_x/p_y) = m x·p_x·(p_y + p_x)/p_y = m

x*(p_x, p_y, m) = (m·p_y) / (p_x·(p_x + p_y))

同理： y*(p_x, p_y, m) = (m·p_x) / (p_y·(p_x + p_y))

检验：p_x=2, p_y=8, m=100时，x*=100·8/(2·10)=40，y*=100·2/(8·10)=2.5。预算：2×40+8×2.5=80+20=100✓

易错点：CES函数不要硬用原形式求导——先取单调变换简化。平方和平方根互为反函数，偏好排序不变。如果忘了单调变换，直接对(x^{0.5}+y^{0.5})^2求导会很繁琐，容易算错。

本题用到的模板：CES（Constant Elasticity of Substitution，不变替代弹性）——①单调变换简化 ②MRS=价格比 ③代入预算线 ④整理为以参数表示的需求函数。

🧠思路： 拿到这题先看题干里有没有"初始禀赋"——出现 (ω_x, ω_y) 就说明预算线右边不是直接给的 m，而是禀赋的市场价值。想到的方法：先算禀赋总值 p_x·ω_x+p_y·ω_y 当"收入"，套 Cobb-Douglas 份额法求毛需求，再用"毛需求−禀赋"得净需求。先做的事：算 2×10+1×5=25；后做的事：x*=6.25、y*=12.5，净需求 x 为负（卖出3.75）、y 为正（买进7.5）。

(1) 毛需求（最优总消费量）

第1步：写预算线（禀赋收入）。 禀赋的总市场价值 = p_x·ω_x + p_y·ω_y = 2×10 + 1×5 = 25 预算约束：2x + 1y = 25

第2步：Cobb-Douglas U=x·y（α=β=0.5）。 由份额法（或MRS法）： x* = 0.5 × 25/2 = 6.25 y* = 0.5 × 25/1 = 12.5

(2) 净需求

x的净需求 = x* − ω_x = 6.25 − 10 = −3.75（出售3.75单位x） y的净需求 = y* − ω_y = 12.5 − 5 = +7.5（购买7.5单位y）

解释：消费者初始有较多的x（10单位）和较少的y（5单位），但偏好是对称的。在价格p_x=2, p_y=1下，x相对较贵——所以她选择卖出一些x、买入更多y，最终消费(6.25, 12.5)。

易错点：预算线右边是禀赋的总价值(p_x·ω_x + p_y·ω_y)，不是题目直接给的一个叫m的数字。很多人看到"禀赋(10,5)"就写2x+y=10+5=15，漏了乘以价格。另外，净需求可以是负数——负数=出售，正数=购买。

本题用到的模板：禀赋经济——①算禀赋总值 ②用该值当"收入"套入普通需求 ③净需求=毛需求−禀赋。

🧠思路： 拿到这题先看关键词"斯勒茨基"——它的补偿依据是"按新价格买回原来的消费束"，不是维持原效用（那是希克斯）。想到的方法：四步模板——旧最优→新最优（得总效应）→算补偿收入 m'→补偿后最优（得替代效应），收入效应=总效应−替代效应。先做的事：算新旧最优 (50,100) 和 (25,100)；后做的事：m'=4×50+1×100=300，x_s=37.5，SE=−12.5、IE=−12.5，验证相加等于总效应−25。

第1步：求初始最优（旧价格）。 U=x·y，α=β=0.5。p_x=2, p_y=1, m=200。 x₀ = 0.5×200/2 = 50 y₀ = 0.5×200/1 = 100 初始效用：U₀ = 50×100 = 5000

第2步：求最终最优（新价格）。 p_x'=4, p_y=1, m=200（收入不变）。 x₁ = 0.5×200/4 = 25 y₁ = 0.5×200/1 = 100 最终效用：U₁ = 25×100 = 2500

总效应 TE（Total Effect，总效应） = x₁ − x₀ = 25 − 50 = −25（x的消费减少了25单位，注意y的消费没变——这是因为Cobb-Douglas中y的支出份额固定且p_y没变）

第3步：斯勒茨基补偿——按新价格买回旧消费束需要多少钱？ m' = p_x'·x₀ + p_y·y₀ = 4×50 + 1×100 = 300 补偿收入比原来多了100元（因为x变贵了，要维持原消费束需要更多钱）。

第4步：替代效应——按新价格+补偿收入求最优。 x_s = 0.5×300/4 = 37.5 y_s = 0.5×300/1 = 150

替代效应 SE（Substitution Effect，替代效应） = x_s − x₀ = 37.5 − 50 = −12.5

第5步：收入效应。 收入效应 IE = x₁ − x_s = 25 − 37.5 = −12.5

验证：TE = 25−50 = −25。SE = −12.5，IE = −12.5。−12.5 + (−12.5) = −25 ✓

总结：

易错点：斯勒茨基补偿收入 m' = 新价格 × 旧消费束，不是旧价格×旧消费束。很多人顺手写成m' = 2×50+1×100=200，等于没补偿。

本题用到的模板：斯勒茨基四步——①旧价格→旧最优 ②新价格→新最优(TE) ③算补偿收入→补偿后最优→SE ④IE=TE−SE。

🧠思路： 拿到这题先看关键词"希克斯"——和斯勒茨基只有一个差别：补偿目标是维持"效用水平"而不是"消费束"，所以它是一个支出最小化问题。想到的方法：在新价格下 min 4x+y 使 xy=5000，用 MRS=价格比（或拉格朗日）解希克斯需求。先做的事：MRS=y/x=4 得 y=4x，代入 xy=5000 解 x_h≈35.36；后做的事：SE=x_h−x₀，IE=x₁−x_h，验证相加等于总效应。

前面已验证：初始(x₀, y₀)=(50, 100)，U₀=5000；最终(x₁, y₁)=(25, 100)。

希克斯补偿的核心：按新价格，需要多少收入才能维持原来的效用水平 U₀=5000？（和斯勒茨基不同——斯勒茨基是维持原消费束，希克斯是维持原效用水平）

第1步：在U₀=5000和新价格 p_x'=4, p_y=1 下求希克斯需求。 方法：最小化支出 4x + y，满足 xy = 5000。

拉格朗日：L = 4x + y + λ(5000 − xy)（L为拉格朗日函数） ∂L/∂x = 4 − λy = 0 → λ = 4/y ∂L/∂y = 1 − λx = 0 → λ = 1/x ∂L/∂λ = 5000 − xy = 0

令 4/y = 1/x → y = 4x 代入 xy = 5000：x(4x) = 4x² = 5000 → x² = 1250 → x_h ≈ 35.36（精确值：√1250 = 25√2 ≈ 35.36） y_h = 4×35.36 ≈ 141.42

第2步：算希克斯补偿收入。 m_h = 4×35.36 + 1×141.42 ≈ 282.84

第3步：替代效应（希克斯版本）。 SE_Hicks = x_h − x₀ ≈ 35.36 − 50 = −14.64

第4步：收入效应（希克斯版本）。 IE_Hicks = x₁ − x_h ≈ 25 − 35.36 = −10.36

验证：SE_Hicks + IE_Hicks ≈ −14.64 + (−10.36) = −25 = TE ✓

对比斯勒茨基和希克斯：

希克斯的替代效应更大——因为在维持同样效用时，消费者有更大的灵活性调整消费组合（不必死守原来的消费束），所以能更多地用y替代变贵的x。

易错点：希克斯补偿不是算"买回原消费束要多少钱"（那是斯勒茨基），而是算"达到原效用水平最少花多少钱（按新价格）"——这是一个支出最小化问题，不是直接乘。

本题用到的模板：希克斯分解——①旧最优+旧效用 ②支出最小化→希克斯需求（新价格+旧效用）③SE=希克斯需求−旧需求 ④IE=新需求−希克斯需求。

🧠思路： 拿到这题先看关键词"CV/EV"——最容易乱的是谁用新价、谁用旧价：CV 按新价格最小支出回到"旧效用"，EV 按旧价格最小支出达到"新效用"。想到的方法：先算出新旧最优和效用，再分别做两个支出最小化；本题是拟线性偏好（y 的边际效用恒为 1），没有收入效应，CV=EV，算一个就能核对另一个。先做的事：算 U₀=100.25、U₁=100.125；后做的事：CV 在新价下回到旧效用，EV 在旧价下达到新效用。

(1) 求初始最优和效用

拟线性 U = x^{0.5} + y。MUx = 0.5x^{-0.5}，MUy = 1。

MRS = 0.5x^{-0.5} = p_x/p_y

初始（p_x=1）：0.5x^{-0.5}=1 → x^{-0.5}=2 → x₀=0.25 花在x上：1×0.25=0.25，y₀=(100−0.25)/1=99.75 U₀ = 0.25^{0.5} + 99.75 = 0.5 + 99.75 = 100.25

最终（p_x'=2）：0.5x^{-0.5}=2 → x^{-0.5}=4 → x₁=0.0625 花在x上：2×0.0625=0.125，y₁=(100−0.125)/1=99.875 U₁ = 0.0625^{0.5} + 99.875 = 0.25 + 99.875 = 100.125

(2) CV（补偿变化）

问题：价格涨了以后，给消费者多少钱才能让她回到原来的效用水平 U₀=100.25？（事后补偿，按新价格 p_x'=2）

相当于问：按新价格(p_x'=2, p_y=1)，要花多少钱才能达到U₀=100.25？

支出最小化：min 2x + y s.t. x^{0.5} + y = 100.25 由 MRS = 0.5x^{-0.5} = 2/1=2 → x^{-0.5}=4 → x=0.0625 y = 100.25 − 0.0625^{0.5} = 100.25 − 0.25 = 100 最小支出 = 2×0.0625 + 1×100 = 100.125

CV = 最小支出 − 原收入 = 100.125 − 100 = 0.125

解释：x涨价后，只要补贴0.125元，消费者就能回到原来的幸福程度。注意x只占消费的极小部分，所以影响很小。

(3) EV（等价变化）

问题：价格还没涨的时候，拿走多少钱能让消费者"相当于"经历了这次涨价？（事前等价，按旧价格 p_x=1）

按旧价格(p_x=1, p_y=1)，要花多少钱达到最终效用水平 U₁=100.125？

由 MRS = 0.5x^{-0.5} = 1/1=1 → x^{-0.5}=2 → x=0.25 y = 100.125 − 0.25^{0.5} = 100.125 − 0.5 = 99.625 最小支出 = 1×0.25 + 1×99.625 = 99.875

EV = 原收入 − 最小支出 = 100 − 99.875 = 0.125

发现：CV = EV = 0.125。这是因为拟线性偏好没有收入效应（y的边际效用恒为1，收入变化只影响y的消费、不影响x），所以CV和EV必然相等。

易错点：CV和EV在拟线性偏好下相等，在一般偏好下不等（CV>EV还是CV<EV取决于商品是正常品还是劣等品）。别因为此题CV=EV就以为所有情况下都相等。CV用的是新价格算最小支出回到旧效用；EV用的是旧价格算最小支出达到新效用——方向不一样。

本题用到的模板：CV/EV——①新旧最优+新旧效用 ②CV：新价格下min支出回到旧效用−原收入 ③EV：原收入−旧价格下min支出达到新效用。

🧠思路： 拿到这题先看关键词"一次总付原则"——它在比较"征同样一笔税，从量税 vs 所得税谁让消费者更难受"。想到的方法：先算从量税下的均衡拿到税额 R，再让所得税也收 R、价格不变重算最优，最后比两种税下的效用。先做的事：从量税新价格 p_x'=1+1=2 求最优，得税收 R=1×25=25；后做的事：所得税下 m'=100−25=75、价格不变求最优 (37.5,37.5)，效用 1406.25>1250。

(1) 从量税

税前：p_x=1, p_y=1, m=100。x₀=50, y₀=50, U₀=2500。

税后：p_x'=2, p_y=1, m=100。x₁=25, y₁=50, U₁=1250。

政府税收 R = t×x₁ = 1×25 = 25。 消费者效用 U₁ = 1250。

(2) 一次总付税（所得税）征同样金额25元

征25元一次总付税后，可支配收入 m' = 100−25 = 75。 价格不变（p_x=1, p_y=1），最优： x₂ = 0.5×75/1 = 37.5 y₂ = 0.5×75/1 = 37.5 U₂ = 37.5×37.5 = 1406.25

(3) 对比

所得税下效用1406.25 > 从量税下效用1250。

为什么？ 从量税不仅让消费者变穷了（收入效应），还扭曲了相对价格让人少买x多买y（替代效应）——双重打击。所得税只让消费者变穷（纯收入效应），不扭曲价格——同样的税收负担，消费者可以用自己最喜欢的方式调整消费，福利损失更小。这就是"一次总付原则"：对一笔固定金额的税收来说，不扭曲相对价格的税种效率最高。

易错点：所得税下的m'=m−R，而R是从量税下的税收，不是随便减一个数。另外，所得税下的价格是不含税的原始价格，因为所得税不改变商品价格。

本题用到的模板：一次总付对比——①从量税：新价格=原价+税，求新最优+税收 ②所得税：m'=m−R（R取从量税下的税额），价格不变求最优 ③比较两种税下的效用。

🧠思路： 拿到这题先看"求条件要素需求"——这是成本最小化问题（产量 q 当给定），和消费者那边的"MRS=价格比"完全同构，这里换成"MRTS=w/r"。想到的方法：由 MRTS=K/L=w/r 得要素比例，再代入生产函数把 K、L 都用 q 表达。先做的事：K/L=4/9 得 K=(4/9)L；后做的事：代入 q=K^{0.5}L^{0.5} 解出 K*=2q/3、L*=3q/2，最后 C=rK*+wL*=12q。

(1) 条件要素需求

成本最小化：min 9K + 4L，s.t. K^{0.5}L^{0.5} = q

拉格朗日：L = 9K + 4L + λ(q − K^{0.5}L^{0.5})

∂L/∂K = 9 − λ(0.5K^{-0.5}L^{0.5}) = 0 → λ = 18K^{0.5}L^{-0.5} = 18(K/L)^{0.5} ∂L/∂L = 4 − λ(0.5K^{0.5}L^{-0.5}) = 0 → λ = 8K^{-0.5}L^{0.5} = 8(L/K)^{0.5}

令两式相等：18(K/L)^{0.5} = 8(L/K)^{0.5} 18(K/L) = 8 → K/L = 8/18 = 4/9 K = (4/9)L → L = (9/4)K

代入产量约束：K^{0.5}·((9/4)K)^{0.5} = K·(9/4)^{0.5} = K·(3/2) = q K*(w,r,q) = (2/3)·q = q·(2/3)

L*(w,r,q) = (9/4)·(2/3)q = (3/2)·q

更通用的写法（带入w=4, r=9的具体值）： K* = q·(w/r)^{0.5} = q·(4/9)^{0.5} = q·(2/3) L* = q·(r/w)^{0.5} = q·(9/4)^{0.5} = q·(3/2)

(2) 长期成本函数

C(w,r,q) = r·K* + w·L* = 9·(2q/3) + 4·(3q/2) = 6q + 6q = 12q

边际成本 MC = dC/dq = 12（常数，说明规模报酬不变）

易错点：推导条件要素需求时，从MRTS=w/r得到K/L的比例关系后，要代入生产函数（不是预算线！）。很多人在消费者问题里习惯了代入预算线，到生产者这里顺手写错。

本题用到的模板：成本最小化——①MRTS=w/r求要素比 ②代入产量约束q=f(K,L)求条件需求 ③C=rK*+wL*。

🧠思路： 拿到这题先看生产函数带 min——固定比例技术，和消费者那边的完全互补同构，要素没有替代可能，不能走 MRTS=w/r 的切线条件。想到的方法：令括号里两个量相等 K=2L 得配比，此时 q=K=2L。先做的事：写配比 K=2L；后做的事：用 q 表示 K=q、L=q/2，代入 C=rK+wL=6q+3·(q/2)=7.5q。

第1步：确定要素的最优配比。 生产函数 q = min{K, 2L} 意味着K和L必须按K = 2L的比例搭配（括号里两边相等：K = 2L，此时q = K = 2L）。

第2步：用q表示K和L。 q = K → K = q q = 2L → L = q/2

第3步：代入成本。 C = r·K + w·L = 6·q + 3·(q/2) = 6q + 1.5q = 7.5q

成本函数：C(q) = 7.5q，MC = AC（Average Cost，平均成本） = 7.5（常数）。

易错点：min{K, 2L}的最优配比是K=2L，不是2K=L。判断方法——两个括号里分别是K和2L，令它们相等：K=2L。如果写反了K=L/2，代进去成本会算错。

本题用到的模板：固定比例技术——①要素配比条件 ②用q表示每种要素 ③C=rK*+wL*。

🧠思路： 拿到这题先看"求短期供给函数"——立即想到模板"MC 在 AVC 以上的上升段"。想到的方法：P=MC 解出 q，但前提是价格能盖住平均可变成本——短期固定成本 20 已沉没，停业点是 AVC 最低点而不是 AC 最低点。先做的事：拆 FC=20、VC=q³−4q²+10q，求 MC=3q²−8q+10 和 AVC=q²−4q+10；后做的事：求 AVC 最低点得停业价 6，解 P=MC 的二次方程取较大根。

第1步：分解成本。 固定成本 FC（Fixed Cost，固定成本） = 20（常数项） 可变成本 VC（Variable Cost，可变成本） = q^3 − 4q^2 + 10q

第2步：求边际成本MC。 MC = d(STC)/dq = 3q^2 − 8q + 10

第3步：求平均可变成本AVC。 AVC（Average Variable Cost，平均可变成本） = VC/q = q^2 − 4q + 10

第4步：求AVC的最低点（停业点）。 d(AVC)/dq = 2q − 4 = 0 → q = 2 AVC_min = AVC(2) = 4 − 8 + 10 = 6

第5步：短期供给函数。 P = MC 且 P ≥ AVC_min = 6（厂商在P≥6时生产，P<6时停产q=0）

由 P = 3q^2 − 8q + 10 解出 q： 3q^2 − 8q + (10−P) = 0

q = [8 ± √(64 − 12(10−P))] / 6 = [8 ± √(64 − 120 + 12P)] / 6 = [8 ± √(12P − 56)] / 6

供给量取较大根（MC上升段）： q^S(P) = [8 + √(12P − 56)] / 6，当 P ≥ 6；q^S(P) = 0，当 P < 6。

易错点：短期停业条件是 P < AVC_min（不是 P < AC_min）。固定成本20已经沉没了，只要价格能覆盖可变成本就继续生产。另外，P=MC有两个解（二次方程两根），取MC上升的那根（较大的q）。

本题用到的模板：短期供给——①MC=dTC/dq ②AVC=VC/q ③停业点=AVC最低点 ④供给：P=MC（取上升段），P≥AVC_min。

🧠思路： 拿到这题先看两个要求——求长期成本函数 + 包络定理验证。想到的方法：长期没有固定要素，直接成本最小化（MRTS=w/r 得 K/L，代入生产函数求 K*、L*）；包络定理 ∂C/∂w=L* 用来交叉验证条件劳动需求算得对不对。先做的事：令 MRTS=w/r 得 K=(4/3)L，代入 q=2K^{0.25}L^{0.75} 求 K*、L*；后做的事：C=rK*+wL*，再单独按公式算 L* 与 ∂C/∂w 对一对。

(1) 长期成本函数

成本最小化：min 2K + 8L，s.t. 2K^{0.25}L^{0.75} = q

拉格朗日：L = 2K + 8L + λ(q − 2K^{0.25}L^{0.75})

∂L/∂K = 2 − λ(2×0.25K^{-0.75}L^{0.75}) = 0 → 2 = λ·0.5·(L/K)^{0.75} ∂L/∂L = 8 − λ(2×0.75K^{0.25}L^{-0.25}) = 0 → 8 = λ·1.5·(K/L)^{0.25}

两式相除（∂L/∂L ÷ ∂L/∂K）： 8/2 = [1.5(K/L)^{0.25}] / [0.5(L/K)^{0.75}] 4 = 3·(K/L)^{0.25}·(K/L)^{0.75} = 3·(K/L) K/L = 4/3 → K = (4/3)L

代入生产函数： 2·((4/3)L)^{0.25}·L^{0.75} = 2·(4/3)^{0.25}·L^{0.25}·L^{0.75} = 2·(4/3)^{0.25}·L = q L* = q / [2·(4/3)^{0.25}]

令 A = 2·(4/3)^{0.25} = 2·(1.333)^{0.25} = 2×1.07457 ≈ 2.149。所以 L* ≈ q/2.149 = 0.465q

K* = (4/3)L* ≈ (4/3)×0.465q = 0.62q

更精确地：L* = q/[2(4/3)^{1/4}] = q/[2·4^{1/4}·3^{-1/4}] = q·3^{1/4}/[2·4^{1/4}]

K* = (4/3)·L* = (4/3)·q·3^{1/4}/[2·4^{1/4}] = q·4·3^{1/4}/[6·4^{1/4}] = q·2·3^{1/4}/[3·4^{1/4}] = q·2/[3·(4/3)^{1/4}]

成本：C = r·K* + w·L* = 2K* + 8L*。把上面解出的 L*、K* 精确表达式代入： L* = q/[2(4/3)^{1/4}]，K* = (4/3)L*

C = 2·(4/3)L* + 8L* = (8/3 + 8)L* = (32/3)·L* = (32/3)·q/[2·(4/3)^{1/4}] = (16/3)·q/(4/3)^{1/4}

数值：(4/3)^{1/4} ≈ 1.0746 → C ≈ (16/3)·q/1.0746 ≈ 4.963q

（也可用标准C-D成本函数公式快速核对：对 q=A·K^α·L^β（α+β=1）， C = (q/A)·(r/α)^α·(w/β)^β = (q/2)·(2/0.25)^{0.25}·(8/0.75)^{0.75} = (q/2)·8^{0.25}·(32/3)^{0.75} ≈ 4.963q，结果一致 ✓）

长期成本函数：C(q) ≈ 4.963q ≈ 5q（简单好记）。 边际成本 MC = dC/dq ≈ 4.963（常数，说明规模报酬不变）。

(2) 包络定理验证

包络定理说：∂C/∂w = L*（成本函数对工资求偏导，等于条件劳动需求）。

对于Cobb-Douglas生产函数 q = A·K^α·L^β（α+β=1, A=2）： 条件劳动需求 L* = (q/A)·(β/α)^α·(r/w)^α

代入α=0.25, β=0.75, A=2, r=2, w=8： L* = (q/2)·(0.75/0.25)^{0.25}·(2/8)^{0.25} = (q/2)·3^{0.25}·(0.25)^{0.25} = (q/2)·(0.75)^{0.25}

3^{0.25} ≈ 1.316, 0.25^{0.25} = (1/4)^{0.25} = 1/√2 ≈ 0.707 L* ≈ (q/2)·1.316×0.707 = (q/2)·0.93 ≈ 0.465q ✓（与上面用拉格朗日算的一致）

把 C 写成 w 的显式函数（保持 r=2, α=0.25, β=0.75, A=2）： C(w) = (q/2)·8^{0.25}·(w/0.75)^{0.75}

对 w 求偏导（d/dw[(w/0.75)^{0.75}] = (w/0.75)^{-0.25}）： ∂C/∂w = (q/2)·8^{0.25}·(w/0.75)^{-0.25}

在 w=8 处代入： ∂C/∂w = (q/2)·8^{0.25}·(8/0.75)^{-0.25} = (q/2)·8^{0.25}·8^{-0.25}·(0.75)^{0.25} = (q/2)·(0.75)^{0.25}

(0.75)^{0.25} ≈ 0.93 → ∂C/∂w ≈ (q/2)×0.93 ≈ 0.465q

这正是上面算出的 L* ≈ 0.465q。所以 ∂C/∂w = L* ✓，包络定理成立。

关键理解：包络定理不是巧合——它是一个深刻的数学结果：在最优化问题中，值函数对参数的偏导数等于拉格朗日函数对同一参数的偏导数。应用到成本最小化：∂C/∂w = ∂L/∂w = L*（因为在最优处∂L/∂w = L）。这提供了一个"交叉验证"工具——如果你算出了C和L*，可以用∂C/∂w=L*来检验是否一致。

本题用到的模板：Cobb-Douglas成本函数公式 + 包络定理验证（∂C/∂w=L*, ∂C/∂r=K*）。

🧠思路： 拿到这题先看"垄断"——垄断者用 MR=MC，不是 P=MC；对线性需求 P=a−bQ，MR=a−2bQ（斜率是需求的两倍）。想到的方法：一题三问对应三步——①MR=MC 求垄断解 ②对比完全竞争解算 DWL 死三角 ③勒纳指数 L=(P−MC)/P。先做的事：写出 TR=200Q−3Q² 得 MR=200−6Q；后做的事：MR=MC 得 Q_m=30、P_m=110，再求 Q_c=60 算 DWL=1350，最后算勒纳指数 9/11。

(1) 垄断最优

总收入 TR（Total Revenue，总收益） = P·Q = (200−3Q)Q = 200Q − 3Q² 边际收益 MR（Marginal Revenue，边际收益） = d(TR)/dQ = 200 − 6Q

边际成本 MC = d(TC（Total Cost，总成本）)/dQ = 20

MR = MC：200 − 6Q = 20 → 6Q = 180 → Q_m = 30 P_m = 200 − 3×30 = 200 − 90 = 110

利润 π = TR − TC = 110×30 − (20×30+500) = 3300 − 1100 = 2200

(2) 无谓损失

先求完全竞争产量（P=MC）：200 − 3Q = 20 → 3Q = 180 → Q_c = 60 竞争价格 P_c = 20

DWL = 死三角面积 = ½ × (Q_c − Q_m) × (P_m − MC) = ½ × (60−30) × (110−20) = ½ × 30 × 90 = 1350

(3) 勒纳指数

L = (P − MC)/P = (110 − 20)/110 = 90/110 = 9/11 ≈ 0.818

解释：价格超出边际成本的比例约82%。直觉上，勒纳指数 L = (P−MC)/P 衡量的是"价格超出成本的比例"，垄断势力越强超价越狠；它与需求弹性互为倒数，关系是 L = 1/|ε|。验证：对线性需求 P=a−bQ，在垄断最优点：ε = −P/(a−P) = −110/(200−110) = −110/90 ≈ −1.22，勒纳指数 L = 1/|ε| = 1/1.22 ≈ 0.82 ✓

易错点：(1) MR的斜率是需求曲线斜率的两倍——对线性需求P=a−bQ，MR=a−2bQ。很多人写成MR=a−bQ。(2) DWL是比较垄断和完全竞争，不是比较垄断和"不生产"。

本题用到的模板：垄断定价——①TR=P·Q→MR ②MR=MC求Q_m ③代入需求求P_m ④DWL=½(Q_c−Q_m)(P_m−MC)。

🧠思路： 拿到这题先看"两个市场 + 同一成本函数"——三级价格歧视，最优条件是 MR₁=MR₂=MC，不是 P₁=P₂（价格相等只会让低需求市场白赚）。想到的方法：分别算两个市场的 TR、MR，令各自等于 MC 解出 q₁、q₂，再代回各自需求定价。先做的事：MR₁=100−2q₁、MR₂=60−q₂；后做的事：MR₁=MC=10 得 q₁=45、MR₂=MC 得 q₂=50，再算 P₁=55、P₂=35 和总利润 3075。

(1) 求各市场的MR

市场1：TR₁ = (100−q₁)q₁ = 100q₁ − q₁²，MR₁ = 100 − 2q₁ 市场2：TR₂ = (60−0.5q₂)q₂ = 60q₂ − 0.5q₂²，MR₂ = 60 − q₂

MC = d(TC)/dQ = 10（常数）

(2) 最优条件：MR₁ = MR₂ = MC

MR₁ = MC：100 − 2q₁ = 10 → 2q₁ = 90 → q₁ = 45 MR₂ = MC：60 − q₂ = 10 → q₂ = 50

(3) 定价

P₁ = 100 − 45 = 55 P₂ = 60 − 0.5×50 = 60 − 25 = 35

(4) 利润

TR = 55×45 + 35×50 = 2475 + 1750 = 4225 TC = 10×(45+50) + 200 = 950 + 200 = 1150 π = 4225 − 1150 = 3075

对比——如果统一定价（不分市场）： 总需求 Q = q₁+q₂，但两个市场需求函数不同... 统一定价时，需要把两个市场的需求水平相加：Q = (100−P) + (120−2P) = 220−3P（当P≤60）。反需求 P = (220−Q)/3，MR = (220−2Q)/3。令MR=MC=10 → 220−2Q=30 → Q=95。但此时P=(220−95)/3≈41.67，市场1需求q₁=100−41.67≈58.33，市场2需求q₂=120−2×41.67≈36.67。利润会低于3075——这就是价格歧视的利润提升效果。

易错点：MR₁=MR₂必须同时等于MC。如果MR₁=MC求出的q₁代入发现MR₂≠MC，说明需要调整——不是每个市场单独算就完事了，最终要MR₁=MR₂=MC同时成立。另外注意检查"价格较低的市场的需求量是否为正"。

本题用到的模板：三级价格歧视——①各市场MR ②MR₁=MR₂=MC求各市场q ③代回需求求各市场P ④总利润=Σ(Pᵢqᵢ)−TC(Σqᵢ)。

🧠思路： 拿到这题先看"会员费+单价"——两部收费，最反直觉的是单价要压到 MC（不是抬高价格），利润靠会员费把消费者剩余全拿走。想到的方法：p*=MC=20，此价格下解需求量，消费者剩余三角形就是会员费上限。先做的事：令 p=MC 求 q*=160；后做的事：CS=½×(100−20)×160=6400 当会员费，总利润=nF，再和单一定价 3200 对比。

(1) 最优单价

在最优两部收费中，单价 = MC。因为压低单价到边际成本能最大化消费者剩余，然后通过会员费把全部剩余收走。

p* = MC = 20

(2) 此时每个消费者的消费量

P = 100 − 0.5q，当 P = 20：20 = 100 − 0.5q → 0.5q = 80 → q = 160*

(3) 消费者剩余（=会员费上限）

CS（Consumer Surplus，消费者剩余） = ½ × (100 − 20) × 160 = ½ × 80 × 160 = 6400

会员费 F = 6400*（把全部消费者剩余转化为会员费）

(4) 总利润

每消费者：利润 = F + (p−MC)·q = 6400 + (20−20)×160 = 6400 （单价等于MC，卖球不赚不亏，全靠会员费盈利）

对比——如果不用两部收费，只用单一定价： P = 100 − 0.5q → q = 200 − 2P。MR = 100 − q → MR=MC → 100−q=20 → q=80, P=60。利润 = (60−20)×80 = 3200。两部收费的利润(6400)是单一定价(3200)的两倍。

经济直觉：两部收费的精髓是"把单价压到成本价→让消费者尽情消费→把产生的大量消费者剩余通过会员费一次拿走"。这比抬高价格限制消费再从中赚差价，能榨出多得多的利润。迪士尼乐园就是这个逻辑——门票（会员费）很贵，进去后每个项目（单价=MC≈0）免费。

本题用到的模板：两部收费——①设p=MC ②求此价格下每个消费者的需求量 ③算消费者剩余=F ④总利润=nF（n为消费者人数）。

🧠思路： 拿到这题先看"两个厂商同时决定产量"——古诺模型，先写每家利润、对自家产量求导得反应函数。想到的方法：两家成本相同所以反应函数对称，可设 q₁=q₂ 直接联立；第(2)问卡特尔则把两家当一家垄断者。先做的事：写 π₁，FOC 得 q₁=(120−q₂)/2；后做的事：对称解出 q=40、P=70、各赚 1600；卡特尔 max (150−Q)Q−30Q 得 Q=60、总利润 3600。

(1) 古诺均衡

厂商1的利润：π₁ = (150 − q₁ − q₂)q₁ − 30q₁ = (120 − q₁ − q₂)q₁ = 120q₁ − q₁² − q₁q₂

FOC（First-Order Condition，一阶条件）：∂π₁/∂q₁ = 120 − 2q₁ − q₂ = 0 → 厂商1的反应函数：q₁ = (120 − q₂)/2

由对称性，厂商2的反应函数：q₂ = (120 − q₁)/2

联立求解：q₁ = (120 − q₂)/2，q₂ = (120 − q₁)/2 代入：q₁ = (120 − (120−q₁)/2)/2 = (240 − 120 + q₁)/4 = (120 + q₁)/4 4q₁ = 120 + q₁ → 3q₁ = 120 → q₁ = 40，q₂ = 40

总产量 Q = 80，P = 150 − 80 = 70 π₁ = π₂ = (70−30)×40 = 40×40 = 1600 总利润 = 3200。

(2) 卡特尔（合谋）

合谋最大化总利润：Π = (150−Q)Q − 30Q = 120Q − Q²

FOC：dΠ/dQ = 120 − 2Q = 0 → Q_m = 60 P_m = 150 − 60 = 90 总利润 Π_m = (90−30)×60 = 60×60 = 3600

卡特尔的总利润(3600)高于古诺(3200)，但每个厂商有背叛动机——给定对方生产30（卡特尔各一半），自己偷偷增产到45能获得更高利润。

易错点：(1) 推导反应函数时别忘了∂(q₁q₂)/∂q₁ = q₂。(2) 古诺的均衡产量（每家40）大于卡特尔（每家30）——竞争使产量更高、价格更低、总利润更少。这和直觉一致。

本题用到的模板：对称古诺——①写出πᵢ ②FOC得反应函数qᵢ=R(qⱼ) ③利用对称性q₁=q₂=q*=q*求解 ④代入价格和利润。

🧠思路： 拿到这题先看成本——c₁=20≠c₂=30，这是 Q18 的变体，不能用对称性假设 q₁=q₂，必须分别写两个反应函数再联立。想到的方法：每家利润=收入−自家成本，FOC 得各自反应函数，截距由自家成本决定（成本低截距大、更"激进"）。先做的事：写 π₁、π₂ 分别求导；后做的事：联立 q₁=20−0.5q₂ 和 q₂=17.5−0.5q₁ 解出 q₁=15、q₂=10，再算价格 50 和各自利润。

(1) 推导反应函数

厂商1的利润：π₁ = [100 − 2(q₁+q₂)]q₁ − 20q₁ = 80q₁ − 2q₁² − 2q₁q₂ FOC：∂π₁/∂q₁ = 80 − 4q₁ − 2q₂ = 0 → q₁ = 20 − 0.5q₂（厂商1的反应函数）

厂商2的利润：π₂ = [100 − 2(q₁+q₂)]q₂ − 30q₂ = 70q₂ − 2q₂² − 2q₁q₂ FOC：∂π₂/∂q₂ = 70 − 4q₂ − 2q₁ = 0 → q₂ = 17.5 − 0.5q₁（厂商2的反应函数）

(2) 联立求解

将q₂代入q₁： q₁ = 20 − 0.5(17.5 − 0.5q₁) = 20 − 8.75 + 0.25q₁ = 11.25 + 0.25q₁ 0.75q₁ = 11.25 → q₁ = 15

q₂ = 17.5 − 0.5×15 = 17.5 − 7.5 = 10

(3) 结果

总产量 Q = 25，P = 100 − 2×25 = 50 π₁ = (50−20)×15 = 30×15 = 450 π₂ = (50−30)×10 = 20×10 = 200

结论：成本低的厂商1产量更大(15>10)、利润更高(450>200)——成本优势在古诺竞争中直接转化为市场份额和利润优势。

易错点：不对称古诺不能假设q₁=q₂！必须分别推导两个不同的反应函数然后联立求解。反应函数的截距项不同——成本低的厂商截距更大（q₁截距20>q₂截距17.5），位置更"靠外"。

本题用到的模板：不对称古诺——①分别写π₁,π₂ ②分别FOC得两个反应函数 ③联立二元一次方程组求解 ④各自利润。

🧠思路： 拿到这题先看"厂商1先动"——斯塔克伯格，核心是逆向归纳：先解后动的跟从者反应函数，再把它代进先动者的利润。想到的方法：第二阶段 q₂=(120−q₁)/2；第一阶段把反应函数代入 P 得到领导者面对的"有效需求"，再对其做利润最大化——不要直接用原始市场需求。先做的事：从最后阶段开始求 q₂ 的反应函数；后做的事：代进领导者利润，FOC 得 q₁=60，回代得 q₂=30，再和古诺对比看先动优势。

逆向归纳法：从后往前解。

(1) 第二阶段：厂商2（跟从者）的最优反应

给定q₁已选，厂商2的利润： π₂ = [120 − (q₁+q₂)]q₂ − 0 = 120q₂ − q₁q₂ − q₂²

FOC：∂π₂/∂q₂ = 120 − q₁ − 2q₂ = 0 → q₂ = (120 − q₁)/2（厂商2的反应函数）

(2) 第一阶段：厂商1（领导者）预判厂商2的反应

厂商1知道厂商2会按 q₂ = (120−q₁)/2 回应，因此厂商1面临的需求： P = 120 − q₁ − q₂ = 120 − q₁ − (120−q₁)/2 = 120 − q₁ − 60 + q₁/2 = 60 − q₁/2

厂商1的利润： π₁ = (60 − q₁/2)·q₁ = 60q₁ − q₁²/2

FOC：∂π₁/∂q₁ = 60 − q₁ = 0 → q₁ = 60

(3) 均衡结果

q₁ = 60 q₂ = (120−60)/2 = 30 Q = 90，P = 120 − 90 = 30

π₁ = 30×60 = 1800 π₂ = 30×30 = 900

对比古诺（c=0, P=120−Q）： 古诺均衡 q₁=q₂=40, Q=80, P=40, π₁=π₂=1600。

斯塔克伯格中，领导者利润(1800) > 古诺(1600)，跟从者利润(900) < 古诺(1600)。 这就是"先动优势"——先承诺产量的人能抢占更大的市场份额。

易错点：领导者利润最大化时，是把跟从者的反应函数代入P得到"领导者面对的有效需求"，然后对这个有效需求做MR=MC——不是直接用原始市场需求。另外，不要忘了第二阶段厂商2的条件是给定q₁下的最优，q₁不是决策变量。

本题用到的模板：斯塔克伯格逆向归纳——①第二阶段：跟从者反应函数q₂=R(q₁) ②第一阶段：领导者把R(q₁)代入自己的利润 ③领导者FOC求q₁ ④回代R(q₁)求q₂。

🧠思路： 拿到这题先看"一般参数 a、b、c + N 个厂商"——这是把古诺抽象成通式，思路和两厂商一样：每家对自家产量求导，只是其余 N−1 家的总产量要写成 Q_{−i}。想到的方法：FOC 得 q_i=(a−c)/(2b)−Q_{−i}/2，再用对称性 Q_{−i}=(N−1)q* 解出 q*。先做的事：写厂商 i 的利润并求导；后做的事：对称代入解 q*、Q*、P*，最后看 N→∞ 时 P*→c，并用 N=1、N=2 验证。

(1) 单个厂商的利润最大化

设厂商i的产量为q_i，其余(N−1)个厂商的总产量为Q_{−i} = Σ_{j≠i} q_j。 总产量 Q = q_i + Q_{−i}。

厂商i的利润：π_i = [a − b(q_i + Q_{−i})]q_i − c·q_i = aq_i − bq_i² − bq_i·Q_{−i} − cq_i

FOC：∂π_i/∂q_i = a − 2bq_i − bQ_{−i} − c = 0 → 2bq_i = a − c − bQ_{−i} → q_i = (a − c)/(2b) − Q_{−i}/2

(2) 利用对称性

所有N个厂商相同，对称均衡中所有厂商产量相等：q₁ = q₂ = ... = q_N = q*。 则 Q_{−i} = (N−1)q*。

代入反应函数：q* = (a−c)/(2b) − (N−1)q*/2 两边乘以2：2q* = (a−c)/b − (N−1)q* 2q* + (N−1)q* = (a−c)/b (N+1)q* = (a−c)/b → q = (a − c) / [b(N + 1)]*

(3) 市场均衡

总产量：Q = Nq = N(a−c) / [b(N+1)]**

价格：P = a − bQ = a − N(a−c)/(N+1) = [a(N+1) − N(a−c)] / (N+1)** = [aN + a − aN + Nc] / (N+1) = (a + Nc) / (N+1)

也可写作：P* = c + (a−c)/(N+1)，价格超过边际成本的幅度为 (a−c)/(N+1)。

(4) 极限分析：N → ∞

当N→∞： q* → 0（每家产量趋近于零） Q* = N(a−c)/[b(N+1)] → (a−c)/b（完全竞争产量） P* = c + (a−c)/(N+1) → c（价格趋近边际成本）

结论：当厂商数量趋近无穷大时，古诺均衡趋近于完全竞争均衡（P→MC）。这是微观经济学最漂亮的一个极限结论——它用数学证明了"竞争来自厂商数量的增加"。

(5) 代入N=1和N=2验证

N=1（垄断）：Q* = (a−c)/(2b)，P* = (a+c)/2 ✓ N=2（双寡头）：q* = (a−c)/(3b)，Q* = 2(a−c)/(3b)，P* = (a+2c)/3 ✓（与Q18结果一致）

易错点：反应函数里的Q_{−i}是除自己外的总产量，代入对称条件时 Q_{−i} = (N−1)q*。如果搞混成 Q = Nq*，系数就错了。另外注意推导中 FOC 的 −bQ_{−i} 项：在利润函数 ∂/∂q_i [−b q_i Q_{−i}] = −bQ_{−i}（Q_{−i}不含q_i，所以偏导很简单）。

本题用到的模板：N厂商古诺——①单个厂商利润最大化→反应函数 ②对称性qᵢ=q代入 ③解出q, Q*, P* ④极限分析。

🧠思路： 拿到这题先看"两人两商品纯交换"——一般均衡里只有相对价格有意义，必须先标准化（设 p_y=1），否则方程比未知数多、解不出来。想到的方法：把每人禀赋的市场价值当"收入"写马歇尔需求，再令一个市场出清解出价格比（瓦尔拉斯法则保证另一个市场自动出清）。先做的事：设 p_x=p，算 m_A=8p+2、m_B=2p+8；后做的事：写 A、B 两人的需求，用 x 市场出清 5+5/p=10 解出 p=1，代回得两人都消费 (5,5)。

(1) 标准化价格

设y为计价物：p_y = 1。令 p_x = p（待求）。

(2) 每个人的预算约束

A的禀赋价值：m_A = p×8 + 1×2 = 8p + 2 B的禀赋价值：m_B = p×2 + 1×8 = 2p + 8

(3) 每个人的马歇尔需求

Cobb-Douglas α=β=0.5（对称）：

A：x_A = 0.5·m_A/p = (8p+2)/(2p) = 4 + 1/p y_A = 0.5·m_A/1 = (8p+2)/2 = 4p + 1

B：x_B = 0.5·m_B/p = (2p+8)/(2p) = 1 + 4/p y_B = 0.5·m_B/1 = (2p+8)/2 = p + 4

(4) 市场出清条件

x商品市场出清：x_A + x_B = ω_x^A + ω_x^B = 8 + 2 = 10

(4 + 1/p) + (1 + 4/p) = 10 5 + 5/p = 10 5/p = 5 p = 1

y商品市场出清（验证）：y_A + y_B = (4p+1) + (p+4) = 5p+5 = 5×1+5 = 10 = 2+8 ✓

(5) 竞争均衡分配

p = 1时： x_A = 5, y_A = 5 x_B = 5, y_B = 5

均衡价格比 p_x/p_y = 1。最终分配：每人消费(5, 5)。

解读：初始时A有(8,2)（x多y少），B有(2,8)（x少y多），两人偏好相同。在均衡价格 p_x/p_y=1下，两人都选择消费(5,5)——A卖掉3单位x买入3单位y，B卖掉3单位y买入3单位x。这个均衡分配既是有效率的（在契约曲线上），也是"公平"的（两人完全平等——因为初始禀赋总值相同）。

易错点：(1) 标准化时只能固定一个价格，另一个价格是待求的变量。如果两个价格都设死了，就求不出均衡价格比了。(2) 验证时两个市场出清条件只需要验证一个（瓦尔拉斯法则：如果一个市场出清了，另一个自动出清）。

本题用到的模板：纯交换经济——①标准化p_y=1 ②每人禀赋价值=收入 ③每人需求（Marshallian）④市场出清条件解p ⑤代回需求得均衡分配。

🧠思路： 拿到这题先看"边际损害 MD"——这是外部性，关键在于私人用 MB=PMC，社会要用 MB=SMC=PMC+MD。想到的方法：三步——①MB=PMC 求私人最优 ②MB=SMC 求社会最优 ③庇古税 t=MD(Q_social)。先做的事：私人解 Q_p=10、社会解 Q_s=7.5；后做的事：DWL=½×(Q_p−Q_s)×(SMC(Q_p)−MB(Q_p))=12.5，庇古税取社会最优处的边际损害 t=7.5。

(1) 私人最优（厂商不考虑外部损害）

MB（Marginal Benefit，边际收益） = PMC：30 − Q = 2Q → 3Q = 30 → Q_p = 10 P = 30 − 10 = 20

(2) 社会最优（考虑外部损害）

社会边际成本 SMC（Social Marginal Cost，社会边际成本） = PMC + MD = 3Q

MB = SMC：30 − Q = 3Q → 4Q = 30 → Q_s = 7.5 P = 30 − 7.5 = 22.5

(3) 无谓损失（私人过量生产造成的福利损失）

在 Q_p=10 和 Q_s=7.5 之间，SMC > MB（每多生产一单位，社会成本大于社会收益）。 DWL = ½ × (10 − 7.5) × (SMC(10) − MB(10)) SMC(10) = 3×10 = 30, MB(10) = 30−10 = 20 DWL = ½ × 2.5 × (30−20) = ½ × 2.5 × 10 = 12.5

(4) 最优庇古税

庇古税使厂商面临的私人边际成本等于社会边际成本：PMC + t = SMC 在最优产量 Q_s=7.5 处：t = MD(Q_s) = Q_s = 7.5

验证：税后厂商的边际成本 = 2Q + 7.5。在Q=7.5处，PMC+t=2×7.5+7.5=22.5=SMC ✓ MB(7.5)=30−7.5=22.5=SMC ✓

易错点：庇古税税率 = 社会最优产量处的边际损害 MD(Q_s)，不是私人最优产量处的 MD(Q_p)。很多人直接取 MD(10)=10 当税率——这虽然也能减少产量，但不是"最优"税率。另注意庇古税不是产量税——它是对每单位产量征固定税额t，和从量税机制相同但经济含义不同。

本题用到的模板：外部性——①MB=PMC求私人最优 ②SMC=PMC+MD，MB=SMC求社会最优 ③DWL=½(Q_p−Q_s)(SMC(Q_p)−MB(Q_p)) ④庇古税=MD(Q_s)。

🧠思路： 拿到这题先看"公共物品"——最关键的区分：公共品同一单位被所有人同时消费，所以效率条件是边际评价"垂直加总" ΣMRS=MC；私人物品才水平加总。想到的方法：社会最优直接 ΣMRS=MC 解 G*；私人分散决策则看博弈——每人把对方贡献当给定，谁想要的总量小谁搭便车。先做的事：垂直加总 (100−G)+(50−0.5G)=30 解 G*=80；后做的事：分别解私人贡献，B 想要 40 少于 A 想要的 70，B 搭便车、A 单独提供，G_private=70<80。

(1) 社会最优（萨缪尔森条件）

公共物品的效率条件：所有人的MRS之和 = MC（垂直加总） MRS_A + MRS_B = MC (100 − G) + (50 − 0.5G) = 30 150 − 1.5G = 30 1.5G = 120 G = 80*

(2) 私人分散决策（搭便车问题）

如果每人独立决定自己出钱买多少G（假设G是私人购买然后加总），每个人只考虑自己的边际收益。

A的私人最优：MRS_A = MC（如果A自己买单） 但MC=30 > 0，而A只有在G≤100时MRS_A≥0... 实际上这是一个博弈问题。

更标准的分析：在纳什均衡中，每人把对方的贡献当作给定，选择自己的贡献g_i使得 MRS_i(g_A+g_B) = MC（如果内点解）。

对A：100 − (g_A+g_B) = 30 → g_A+g_B = 70。给定g_B，g_A = max(0, 70−g_B) 对B：50 − 0.5(g_A+g_B) = 30 → 0.5(g_A+g_B) = 20 → g_A+g_B = 40。给定g_A，g_B = max(0, 40−g_A)

B想要的总量(40)小于A想要的(70)，所以均衡中B搭便车（g_B=0），A独自提供g_A满足MRS_A=30： 100 − g_A = 30 → g_A = 70。总G=70。

私人提供 G_private = 70 < G = 80*——搭便车导致公共物品供给不足。

关键理解：为什么公共物品用"垂直加总"而私人物品用"水平加总"？因为同样一单位公共物品（比如路灯、国防）可以同时被所有人消费——每个人消费的是"同一单位"。所以社会从这"同一单位"中获得的总收益是每个人边际评价的累加。而私人物品（比如面包）我吃了一个你就不能吃同一个——不同人消费的是"不同单位"，所以按数量水平加总。

本题用到的模板：公共物品——①萨缪尔森条件 ΣMRSᵢ=MC 求G* ②私人博弈：每人选gᵢ使MRSᵢ=MC（搭便车导致G<G*）。

🧠思路： 拿到这题先看"排污+谈判+两种产权"——科斯定理，无论产权归谁，谈判都收敛到最大化联合剩余，也就是社会最优。想到的方法：先求社会最优 max(π−D)=40x−3x²；再分别设工厂有排污权、渔民有清洁水权，用"各方接受条件"框出贿赂 T 的范围。先做的事：40−6x=0 得社会最优 x=20/3≈6.67；后做的事：两种产权分配各求 T 的范围（[177.78,711.11] 和 [88.89,222.22]），对比产量一致来验证科斯定理。

(1) 社会最优产量

社会福利 = 工厂利润 − 损害 = (40x − x²) − 2x² = 40x − 3x²

FOC：40 − 6x = 0 → x = 20/3 ≈ 6.67*

（私人最优：工厂 max 40x−x² → 40−2x=0 → x=20——远远超过社会最优，因为工厂不考虑损害）

(2) 工厂有排污权（渔民贿赂工厂）

现状（不谈判）：x=20，渔民损害 D=2×400=800。

谈判：渔民给工厂钱T，换工厂减产到x。工厂接受的条件：π(x)+T ≥ π(20)=40×20−400=400。 渔民愿意支付的条件：−D(x)−T ≥ −D(20)=−800，即 T ≤ 800−2x²。

双方都能接受的条件：T ≥ 400−(40x−x²) 且 T ≤ 800−2x²。 所以必须：400−(40x−x²) ≤ 800−2x² → 400−40x+x² ≤ 800−2x² → 3x²−40x−400 ≤ 0。

这个不等式的最大值在x取何值时T的范围最大？实际上，纳什谈判解（对称）会最大化联合剩余： 联合剩余 = [π(x)+T−π(20)] + [−D(x)−T−(−D(20))] = π(x)−D(x) − [π(20)−D(20)]

最大化联合剩余等价于最大化 π(x)−D(x) = 40x−x²−2x² = 40x−3x²，即社会最优问题。 → x = 20/3 ≈ 6.67（社会最优产量）

此时 π(20/3) = 40×(20/3) − (20/3)² = 800/3 − 400/9 = 2400/9 − 400/9 = 2000/9 ≈ 222.22 D(20/3) = 2×(20/3)² = 2×400/9 = 800/9 ≈ 88.89

工厂利润变化：222.22 − 400 = −177.78（需要至少补偿这么多） 渔民损害变化：800 − 88.89 = 711.11（渔民最多愿意付这么多）

T的范围：[177.78, 711.11]（贿赂金额落在此区间内，具体值取决于谈判力量对比）

(3) 渔民有清洁水权（工厂贿赂渔民）

现状（不谈判）：x=0（渔民有权禁止排污），工厂利润=0，渔民损害=0。

谈判：工厂给渔民钱T，换允许排污x单位。 工厂接受条件：π(x)−T ≥ 0 → T ≤ 40x−x²。 渔民接受条件：T−D(x) ≥ 0 → T ≥ 2x²。

所以：2x² ≤ T ≤ 40x−x²。必要条件：2x² ≤ 40x−x² → 3x²−40x ≤ 0 → x(3x−40) ≤ 0 → x ≤ 40/3 ≈ 13.33。

最大化联合剩余：π(x)−D(x) = 40x−3x² → x = 20/3 ✓

x = 20/3 ≈ 6.67（与社会最优相同！）

此时 T 范围：[88.89, 222.22]

(4) 科斯定理验证

产权分配不影响最终产量（都是社会最优的20/3），只影响谁给谁付钱和付多少钱。 这就是科斯定理的核心结论：在零交易成本下，无论初始产权怎么分，谈判都能达到有效率的结果；产权只影响财富分配，不影响资源配置效率。

易错点：(1) 科斯定理成立的前提是零交易成本——如果谈判有成本（律师费、信息不对称等），产权分配就可能影响最终产量。(2) 无论产权分配给谁，最优产量都是社会最优产量——不要因为"工厂有排污权"就以为工厂会维持x=20。在渔民愿意给钱的情况下，减产对双方都有利。

本题用到的模板：科斯定理——①社会最优：max π−D ②两种产权分配分别求谈判结果（纳什谈判→联合剩余最大化→社会最优）③对比产量验证科斯定理。

🧠思路： 拿到这题先看结构——前半是消费者（效用最大化）、后半是生产者（成本最小化），最后让你发现两者的对称性。想到的方法：消费者用份额法（或 MRS=价格比）求比例，生产者用 MRTS=w/r 求比例，两个都是"比率"问题。先做的事：消费者解出 y/x=p_x/p_y=4/9；后做的事：厂商解出 K/L=w/r=9/4，发现恰好互为倒数。

(1) 消费者 x* = 0.5×720/4 = 90，y* = 0.5×720/9 = 40 y/x = 40/90 = 4/9

(2) 厂商 MRTS（Marginal Rate of Technical Substitution，边际技术替代率） = K/L = w/r = 9/4 → K/L = 9/4

(3) 互为倒数 消费者：MRS = y/x = p_x/p_y = 4/9 厂商：MRTS = K/L = w/r = 9/4

(4/9) = 1/(9/4)。原因是消费者和厂商面对的价格比正好"反过来"（p_x/p_y=4/9对消费者，w/r=9/4对厂商）——两者解出的最优比率自然互为倒数。更深层地，消费者用价格比决定x和y的比例，厂商用工资-租金比决定K和L的比例，两者在数学结构上完全对称。

考点判断：跨专题（效用最大化 + 成本最小化 + 结构对称性）

🧠思路： 拿到这题先看综合度——一题同时考斯勒茨基、希克斯、CV、EV，最容易乱，先把四个工具的分工理清：斯勒茨基按"买回旧消费束"、希克斯按"回到旧效用"、CV 按新价补回旧效用、EV 按旧价等价到新效用。想到的方法：先算新旧最优打底，再逐项套模板。先做的事：初始 (100,50)、最终 (25,50)；后做的事：分别算两种 SE（−37.5 和 −50）、CV=200、EV=100，最后"补贴回原效用"对应的是 CV。

(1) 斯勒茨基SE 初始：(x₀,y₀)=(100,50)，U₀=5000 最终：(x₁,y₁)=(25,50) 斯勒茨基补偿收入 m' = 4×100+2×50 = 500 x_s = 0.5×500/4 = 62.5 SE_Slutsky = 62.5−100 = −37.5

希克斯补偿： 最小化 4x+2y s.t. xy=5000 MRS = y/x = 4/2=2 → y=2x x(2x)=2x²=5000 → x²=2500 → x_h≈50（精确50） 实际上 x_h=50，此时 y_h=100 希克斯补偿收入 = 4×50+2×100 = 400 SE_Hicks = 50−100 = −50

(2) CV（新价格回到旧效用）：需要400收入→CV=400−200=200 EV（旧价格等价于新效用）：按旧价格达到U₁=1250需 min x+2y s.t. xy=1250。MRS=y/x=1/2→y=x/2。x(x/2)=x²/2=1250→x²=2500→x=50, y=25。支出=50+50=100。EV=200−100=100。

CV=200 > EV=100（对于正常品，CV>EV）。

(3) 最少补贴 = CV = 200元。CV衡量的是"价格变化后，要维持原效用需要补多少钱"——正是这个政策问题的定义。

考点判断：专题2综合（斯勒茨基+希克斯+CV+EV+政策应用）

🧠思路： 拿到这题先看"一级价格歧视"——它和单一定价的最大区别：垄断者对每单位收保留价格，边际收益曲线就是需求曲线本身，所以产量一直推到 P=MC，DWL=0。想到的方法：单一定价用 MR=MC；一级价格歧视下总收益=需求曲线下的面积 ∫₀^Q(100−q)dq。先做的事：单一定价解 Q=40、P=60、DWL=800；后做的事：一级歧视解 Q=80、利润 3200、DWL=0，对比解释"效率最优但公平最差"。

(1) 单一定价 MR = 100−2Q = 20 → Q=40, P=60 π = (60−20)×40 = 1600 完全竞争：100−Q=20 → Q_c=80 DWL = ½×(80−40)×(60−20) = ½×40×40 = 800

(2) 一级价格歧视 垄断者对每单位收取消费者的保留价格（沿需求曲线收费）。每单位价格不同，总收益 = ∫₀^Q (100−q)dq = 100Q−Q²/2。 MR（对Q）= 100−Q（恰好就是需求曲线本身！） 100−Q = 20 → Q=80（和竞争产量一样！） 总收益 = 100×80−80²/2 = 8000−3200 = 4800 总成本 = 20×80 = 1600 π = 4800−1600 = 3200 CS = 0（全部剩余被垄断者拿走）

(3) 比较

一级价格歧视下DWL=0，因为垄断者生产到了P=MC的竞争产量。但全部消费者剩余被转化为垄断利润——效率最优但公平最差。

考点判断：专题4（垄断+价格歧视+DWL）

🧠思路： 拿到这题先看第(2)问的"厂商1先动"——它把算法从"联立反应函数"换成"逆向归纳"；第(3)问的 R&D 激励就看"把成本从 40 降到 20 后自己利润涨多少"。想到的方法：分三块，前两问套对应模板，第(3)问分别算古诺和斯塔克伯格下 c₂=20 对称情形的利润差。先做的事：解古诺均衡 q₁=100/3、q₂=70/3；后做的事：逆向归纳解斯塔克伯格 q₁=50、q₂=15，再算两种市场结构下的 R&D 收益 711 与 562.5。

(1) 古诺 π₁ = (200−2q₁−2q₂)q₁−20q₁ = 180q₁−2q₁²−2q₁q₂ FOC₁：180−4q₁−2q₂=0 → q₁=45−0.5q₂

π₂ = (200−2q₁−2q₂)q₂−40q₂ = 160q₂−2q₂²−2q₁q₂ FOC₂：160−4q₂−2q₁=0 → q₂=40−0.5q₁

联立：q₁=45−0.5(40−0.5q₁)=45−20+0.25q₁=25+0.25q₁ 0.75q₁=25 → q₁=100/3≈33.33 q₂=40−0.5×33.33≈23.33 P=200−2×56.67≈86.67（精确：200−2×170/3=200−340/3=260/3≈86.67） π₁=(260/3−20)×100/3=(200/3)×(100/3)=20000/9≈2222 π₂=(260/3−40)×70/3=(140/3)×(70/3)=9800/9≈1089

(2) 斯塔克伯格（厂商1先动） 跟从者2的反应函数：q₂=40−0.5q₁ 领导者1：P=200−2q₁−2(40−0.5q₁)=200−2q₁−80+q₁=120−q₁ π₁=(120−q₁)q₁−20q₁=100q₁−q₁² 100−2q₁=0 → q₁=50 q₂=40−25=15 P=200−2×65=70 π₁=(70−20)×50=2500 π₂=(70−40)×15=450

(3) R&D激励 如果c₂降到20（对称，c₁=c₂=20）：

古诺对称解：q₁=q₂=30, P=200−120=80, π₁=π₂=(80−20)×30=1800

斯塔克伯格对称（厂商1先动，c₁=c₂=20）： 厂商2反应函数：π₂=(200−2q₁−2q₂)q₂−20q₂=180q₂−2q₁q₂−2q₂² ∂π₂/∂q₂=180−2q₁−4q₂=0 → q₂=45−0.5q₁ （注意截距从原来的40升到45，因为c₂从40降到20，厂商2变得更"激进"） 领导者1预判厂商2会按此反应：P=200−2q₁−2(45−0.5q₁)=200−2q₁−90+q₁=110−q₁ π₁=(110−q₁)q₁−20q₁=90q₁−q₁² ∂π₁/∂q₁=90−2q₁=0 → q₁=45 q₂=45−22.5=22.5 P=200−2×67.5=65 π₁=(65−20)×45=2025 π₂=(65−20)×22.5=1012.5

厂商2的R&D收益（只计自身利润变化）： 古诺下：1800−1089=711（R&D降成本后利润增加） 斯塔克伯格下：1012.5−450=562.5

先动者优势削弱了跟从者R&D的激励（562.5<711）——这就是为什么市场结构会影响创新激励。

考点判断：专题5综合（不对称古诺+斯塔克伯格+R&D激励）

🧠思路： 拿到这题先看"征税+全额返还"——返还的税收又变成收入、进而影响消费量，所以税收和返还互为因果，必须用固定点方程联立解。想到的方法：设 R=(p_x'−5)x 为税收，且收入 m=1000+R，代入份额法 x=0.3(1000+R)/6。先做的事：写 x=0.3(1000+R)/6 和 R=x 两个方程；后做的事：解 5.7x=300 得 x≈52.63、R≈52.63，算新效用与税前比，解释为什么全额返还仍有"税收楔子"损失。

(1) 税前最优 x₀ = 0.3×1000/5 = 60 y₀ = 0.7×1000/10 = 70 U₀ = 60^{0.3}×70^{0.7}

(2) 征税+全额返还 新价格 p_x'=6，同时把税收按一次总付全额返还。返还金额 R 又变成收入、进而影响购买量——所以返还 R 和购买量 x 互相决定，是一个固定点问题。

设返还金额为 R。每单位 x 的税收为 6−5=1，全额返还则 R = 1×x = x；返还后收入 m = 1000+R。代入份额法需求： x = 0.3(1000+R)/6 且 R = x → x = 0.3(1000+x)/6 → 6x = 300 + 0.3x → 5.7x = 300 → x ≈ 52.63，R ≈ 52.63，m ≈ 1052.63 y = 0.7×1052.63/10 ≈ 73.68

U₁ = 52.63^{0.3}×73.68^{0.7}

(3) 效用比较 U₁ < U₀（因为含税价格扭曲了消费选择，尽管全额返还，替代效应仍然造成福利损失）。这就是"税收楔子"——即使政府把税全部还给你，征税本身改变了相对价格，让你偏离了最优消费组合。

考点判断：跨专题（效用最大化+税收效应+税收楔子）

🧠思路： 拿到这题先看跟从者成本是二次的 q₂²——边际成本递增，但不能偷懒，照常写利润函数求导得反应函数。想到的方法：(1) 对 π₂ 求导得反应函数；(2) 逆向归纳，把反应函数代入领导者利润；(3) 合谋时按提示 MC₁=MC₂=MR。先做的事：π₂ 对 q₂ 求导得 q₂=(150−q₁)/4；后做的事：代入领导者利润解 q₁=55，再由 30=2q₂ 得 q₂=15、对总利润求导得 Q=60，算出合谋总利润 3825。

(1) 厂商2的反应函数 π₂ = (150−q₁−q₂)q₂ − q₂² = 150q₂ − q₁q₂ − q₂² − q₂² = 150q₂ − q₁q₂ − 2q₂² ∂π₂/∂q₂ = 150 − q₁ − 4q₂ = 0 → q₂ = (150 − q₁)/4

(2) 斯塔克伯格 领导者预判 q₂=(150−q₁)/4： P = 150 − q₁ − (150−q₁)/4 = 150 − q₁ − 37.5 + q₁/4 = 112.5 − 0.75q₁

π₁ = (112.5−0.75q₁)q₁ − 30q₁ = 82.5q₁ − 0.75q₁²

∂π₁/∂q₁ = 82.5 − 1.5q₁ = 0 → q₁ = 55 q₂ = (150−55)/4 = 95/4 = 23.75 Q = 78.75，P = 150−78.75 = 71.25

π₁ = 71.25×55−30×55 = 41.25×55 = 2268.75 π₂ = 71.25×23.75 − (23.75)² = 1692.19 − 564.06 = 1128.13

(3) 合谋 MC₁ = 30, MC₂ = 2q₂。合谋时 MC₁=MC₂：30 = 2q₂ → q₂=15。 总产量Q，其中q₁+15=Q → q₁=Q−15。

总利润 Π = P·Q − 30q₁ − q₂² = (150−Q)Q − 30(Q−15) − 15² = 150Q − Q² − 30Q + 450 − 225 = 120Q − Q² + 225

dΠ/dQ = 120 − 2Q = 0 → Q=60 q₁ = 60−15 = 45

P = 150−60 = 90 π₁ = 90×45−30×45 = 60×45 = 2700 π₂ = 90×15−15² = 1350−225 = 1125 总利润 = 2700+1125 = 3825

合谋通过限制产量抬高价格，总利润显著高于斯塔克伯格竞争。

考点判断：专题5（斯塔克伯格+二次成本+卡特尔）