近10年真题解析 —— 人大802微观经济学（2015-2024）

整理日期：2026年7月22日 说明：本文件整理人大802经济学综合中微观经济学部分近10年真题（2015-2024），逐题给出完整解析。802微观自2012年改革后题型稳定，每年约4道大题，全部为计算/证明题，无选择、无简答。 特别提醒：由于真题版权原因，题目表述已做改写（保留考点和计算结构，调整具体数字和表述），标注"改编自20XX年真题"。

⚠️ 先看坑，再做题——人大802微观常见易错点

📝 说明：以下不是零散的"注意点"，而是按主题分类的高频错误。每次出错回来翻对应的类别。

一、计算操作类（会做但算错）

二、概念判断类（理解偏差）

三、审题陷阱类

2024年真题

🔔 课前激活（动笔写30秒再往下读）

你去超市买两种东西：大米和肉。大米从2块涨到3块一斤，你买的大米少了、肉多了——这属于正常的"换着买"。但问题是：你买的大米减少，有多少是因为"大米贵了所以少买"（替代效应），有多少是因为"大米贵了等于你变穷了"（收入效应）？斯勒茨基分解就是帮你把这两个原因拆开。这一年还考了古诺模型——两个老板互相盯着对方卖多少来决定自己卖多少，像下棋一样。

📌 这节学完你就能回答： 2024年四道题覆盖了消费者理论+古诺+外部性+成本供给，代表了802最核心的四大方向。第1题消费者理论需要完整掌握斯勒茨基分解的计算——这是每年必考的核心技能。第2题古诺模型是不对称成本版本，比对称版本多一步。第3题外部性要求计算最优庇古税。第4题长期均衡需要理解零利润条件。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——效用最大化+斯勒茨基分解（改编自2024年真题）

题目：某消费者效用函数为 u(x₁, x₂) = x₁^(1/2)x₂^(1/2)，收入 m=100。初始价格 p₁=2, p₂=1。后来 p₁ 上涨到 p₁'=4，p₂ 不变。 （1）求价格变化前后两种商品的最优消费量（马歇尔需求）。 （2）用斯勒茨基分解法，将商品1的需求变化分解为替代效应和收入效应。 （3）计算价格变化引起的消费者剩余变化（CV）。

👁️ 出声思考示范

👁️ 审题——我第一眼看什么： C-D效用（柯布-道格拉斯），收入100，p₁从2涨到4。第（1）问求前后最优量——这是基础的马歇尔需求。第（2）问斯勒茨基分解——用新价格、补偿到原购买力的收入，买回原最优消费束。第（3）问CV——用支出函数算。

🧠 判断——我想到什么方法： C-D效用的马歇尔需求有固定公式：x₁=αm/((α+β)p₁)，x₂=βm/((α+β)p₂)，其中α=β=1/2。斯勒茨基分解需要两步：先算出"中间点"（用新价格、按补偿到原购买力的收入 m* 求新价格下的最优消费束），再和旧最优比较得替代效应。

✍️ 执行——我一步步做：

（1）马歇尔需求

C-D效用 u=x₁^a x₂^b 的马歇尔需求公式：x₁=a·m/((a+b)p₁), x₂=b·m/((a+b)p₂)

这里 a=b=1/2:

• 初始（p₁=2, p₂=1, m=100）： x₁° = (1/2)·100/(1·2) = 50/2 = 25 x₂° = (1/2)·100/(1·1) = 50

• 新价格（p₁'=4, p₂=1, m=100）： x₁' = (1/2)·100/(1·4) = 50/4 = 12.5 x₂' = (1/2)·100/(1·1) = 50

总变化：Δx₁ = 12.5 − 25 = −12.5（减少了12.5单位）

（2）斯勒茨基分解

第一步：计算需要补偿多少收入才能维持"原来的购买力"。

• 原来买了 (25, 50)，按新价格需要：m* = 4×25 + 1×50 = 150
• 补偿金额 Δm = 150 − 100 = 50

第二步：在补偿后收入 m*=150、新价格下求最优量（中间点）。 x₁^s = (1/2)·150/(1·4) = 75/4 = 18.75

第三步：分解。

• 替代效应（SE（Substitution Effect，替代效应）） = x₁^s − x₁° = 18.75 − 25 = −6.25 含义：p₁涨了，虽然补了钱维持原购买力，但x₁贵了所以用x₂替代x₁，x₁减少6.25
• 收入效应（IE（Income Effect，收入效应）） = x₁' − x₁^s = 12.5 − 18.75 = −6.25 含义：补偿拿走后（回到实际收入100），变穷了，x₁又减少6.25
• 总效应 = SE + IE = −6.25 + (−6.25) = −12.5 ✓

注意：C-D效用中，替代效应和收入效应恰好各占一半（因为α=β=1/2）。

（3）CV（补偿变化）

CV = 价格变化后，需要补偿消费者多少钱才能让他回到原来的效用水平。

原效用：u° = 25^(1/2)·50^(1/2) = √(25×50) = √1250 = 25√2 ≈ 35.355

C-D效用的支出函数：e(p₁,p₂,u) = 2·u·p₁^(1/2)·p₂^(1/2)（推导：由x₁=u·(p₂/p₁)^(1/2), x₂=u·(p₁/p₂)^(1/2) 代入p₁x₁+p₂x₂）

在新价格下达到原效用所需最小支出： e(4,1,u°) = 2·35.355·4^(1/2)·1^(1/2) = 2·35.355·2·1 = 141.42

CV = e(新价格, 原效用) − m = 141.42 − 100 = 41.42

💡 验证：也可以用积分。C-D效用下希克斯需求 h₁(p,u)=u·(p₂/p₁)^(1/2)。CV = ∫[2→4] h₁(p₁,1,u°) dp₁ = ∫[2→4] 35.355·(1/p₁)^(1/2) dp₁ = 35.355·[2√p₁]₂⁴ = 35.355·(4−2√2) = 35.355×(4−2.828) ≈ 41.42 ✓

⚠️ 易错点：

1. 斯勒茨基分解中"中间点"用的收入是维持原购买力（m* = p₁'x₁° + p₂x₂°），不是直接给50
2. CV和斯勒茨基补偿是两回事：斯勒茨基补偿是补偿"购买力"（50元），CV补偿的是"效用"（约41.42元）
3. 替代效应永远是负的（价格涨→需求量减），收入效应可为正（劣等品/吉芬品时）

考点归纳：C-D效用马歇尔需求公式、斯勒茨基分解两步法、支出函数与CV计算 同类题提醒：2015-2024每年都考消费者理论，C-D效用出现频率最高。斯勒茨基分解在2018/2024都出现过。

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：古诺模型——不对称成本双寡头（改编自2024年真题）

题目：市场反需求函数 P=120−Q，Q=q₁+q₂。企业1成本 C₁=20q₁，企业2成本 C₂=30q₂（注意：成本不对称）。 （1）求古诺均衡下两企业的产量、价格和利润。 （2）如果企业1先决定产量（斯塔克伯格领导者），求均衡结果。 （3）比较两种情况下总产量和总福利（用消费者剩余+总利润近似）。

👁️ 审题：P=120−Q线性需求，两个企业边际成本不同（20 vs 30）。问古诺和斯塔克伯格两种情况。

🧠 判断：古诺=同时决策，各写利润函数→求导→联立反应函数。斯塔克伯格=企业1先选产量（把企业2的反应函数代入自己利润函数）。

✍️ 执行：

（1）古诺均衡

企业1利润：π₁ = (120−q₁−q₂)q₁ − 20q₁ = (100−q₁−q₂)q₁ 一阶条件：∂π₁/∂q₁ = 100 − 2q₁ − q₂ = 0 → 反应函数 R₁: q₁ = (100−q₂)/2

企业2利润：π₂ = (120−q₁−q₂)q₂ − 30q₂ = (90−q₁−q₂)q₂ 一阶条件：∂π₂/∂q₂ = 90 − q₁ − 2q₂ = 0 → 反应函数 R₂: q₂ = (90−q₁)/2

联立：q₁=(100−(90−q₁)/2)/2 → q₁=(100−45+q₁/2)/2 → q₁=(55+q₁/2)/2 → 2q₁=55+q₁/2 → 4q₁=110+q₁ → 3q₁=110 → q₁=110/3≈36.67 q₂=(90−110/3)/2=(160/3)/2=80/3≈26.67

市场价格：P = 120 − (110/3+80/3) = 120 − 190/3 = 170/3 ≈ 56.67

利润： π₁ = (170/3−20)×110/3 = (110/3)×110/3 = 12100/9 ≈ 1344.44 π₂ = (170/3−30)×80/3 = (80/3)×80/3 = 6400/9 ≈ 711.11

（2）斯塔克伯格（企业1为领导者）

企业1知道企业2按反应函数 q₂=(90−q₁)/2 决定产量。

企业1利润：π₁ = (120−q₁−(90−q₁)/2)q₁ − 20q₁ = (120−q₁−45+q₁/2)q₁ − 20q₁ = (75−q₁/2)q₁ − 20q₁ = (55−q₁/2)q₁

一阶条件：∂π₁/∂q₁ = 55 − q₁ = 0 → q₁=55 代入：q₂ = (90−55)/2 = 17.5 Q = 72.5, P = 47.5

利润： π₁ = (47.5−20)×55 = 27.5×55 = 1512.5 π₂ = (47.5−30)×17.5 = 17.5×17.5 = 306.25

（3）比较

斯塔克伯格总产量更大、价格更低、总福利更高。企业1获得先发优势（利润从1344升到1513），企业2受损（从711降到306）。

⚠️ 易错点：

1. 反应函数推导时注意 MC 不同，两个反应函数的截距不同
2. 斯塔克伯格领导者的利润函数中已代入跟随者的反应函数，再对q₁求导
3. 二阶条件：古诺中 ∂²π₁/∂q₁²=−2<0 ✓ 利润函数是凹的

考点归纳：古诺反应函数、不对称成本、斯塔克伯格先发优势 同类题提醒：寡头模型在2015/2016/2017/2019/2021/2022/2024都考过，古诺出现频率最高

⭐⭐⭐ ### 第3题：外部性——庇古税计算（改编自2024年真题）

题目：某竞争性行业，企业私人边际成本 PMC（Private Marginal Cost，私人边际成本）=2Q，市场需求 P=100−Q。生产过程中每单位产出产生外部边际损害 MD=Q（即第Q单位造成Q元污染）。 （1）求私人最优产量和价格。 （2）求社会最优产量和价格。 （3）政府征收庇古税以实现社会最优，每单位产品应征多少税？

👁️ 审题：PMC=2Q，需求P=100−Q，外部损害MD=Q。三个问层层递进。

🧠 判断：私人最优→PMC=需求价格；社会最优→SMC（Social Marginal Cost，社会边际成本）=PMC+MD=需求价格；庇古税→税率=社会最优产量处的外部边际损害。

✍️ 执行：

（1）私人最优 竞争市场中 P=MC：100−Q = 2Q → 3Q=100 → Q_p=100/3≈33.33 P = 100−100/3 = 200/3≈66.67

（2）社会最优 社会边际成本 SMC = PMC + MD（Marginal Damage，边际损害） = 2Q + Q = 3Q 社会最优：P=SMC → 100−Q = 3Q → 4Q=100 → Q_s=25 P = 100−25 = 75

（3）庇古税 在 Q_s=25 处：MD = Q = 25 所以每单位产品应征税 t=25。

验证：征税后企业面对的实际MC' = PMC + t = 2Q + 25 P=MC' → 100−Q = 2Q+25 → 3Q=75 → Q=25 ✓ 正好达到社会最优产量

注意：庇古税税率 = 社会最优产量处的外部边际损害MD(Q_s)，而不是随便什么产量处的MD。

⚠️ 易错点：

1. SMC=PMC+MD，不是减去——外部损害是额外成本
2. 庇古税是每单位征固定的t，不是按产量变化的税率
3. 检验：征税后产量恰好等于社会最优产量

考点归纳：外部性的社会最优条件、庇古税计算 同类题提醒：外部性在2017/2018/2019/2021/2024都考过，核心都是求庇古税税率

⭐⭐⭐ ### 第4题：成本与供给——长期均衡（改编自2024年真题）

题目：完全竞争行业中每个企业有相同长期成本函数 C(q)=q³−10q²+40q（q≥0）。市场需求 Q_D=2000−20P。 （1）求单个企业的长期均衡产量和价格。 （2）长期均衡时行业内有多少家企业？ （3）如果市场需求变为 Q_D=3000−20P，新的长期均衡企业数量是多少（假设成本不变行业）？

👁️ 审题：三次成本函数，完全竞争长期均衡。

🧠 判断：长期均衡条件：P=min LAC（价格等于长期平均成本最低点），且每个企业在LAC最低点生产。LAC=C(q)/q=q²−10q+40，求导找最低点。同时长期均衡利润为0→P=LACmin。

✍️ 执行：

（1）长期均衡产量和价格

LAC = C(q)/q = q² − 10q + 40

d(LAC)/dq = 2q − 10 = 0 → q=5*

LAC_min = 25 − 50 + 40 = 15

长期均衡：P=LAC_min=15*，每个企业产量 q=5*。

验证：在该点 LMC（Long-run Marginal Cost，长期边际成本）=3q²−20q+40|_{q=5}=75−100+40=15=LAC_min ✓（LMC穿过LAC最低点）

（2）企业数量

Q_D = 2000 − 20×15 = 2000 − 300 = 1700 n = 1700/5 = 340家

（3）新市场需求

Q_D' = 3000 − 20×15 = 3000 − 300 = 2700 n' = 2700/5 = 540家（增加了200家）

因为是成本不变行业，长期供给曲线是P=15的水平线，新进入企业不影响要素价格。

⚠️ 易错点：

1. 长期均衡产量由 LAC 最低点决定，不是由 P=LMC 单独决定（P=LMC=LAC_min 三个等式同时成立）
2. LAC最低点处LMC=LAC——可以用来验证
3. 如果题目说是"成本递增行业"，则长期供给曲线向上倾斜，需要重新求解

考点归纳：长期竞争均衡三条件、LAC曲线最低点、成本不变行业的长期供给 同类题提醒：成本与供给在2015/2018/2019/2020/2024都考过，长期均衡条件必须烂熟

💡 阅读思考（2024年总结）

解题复盘：第1题斯勒茨基分解是最完整的消费者理论题——马歇尔需求→斯勒茨基分解→CV，三步骤环环相扣。第2题不对称成本古诺比对称版本多一步。第4题长期均衡条件 LAC_min 是核心——位置找对后面就顺了。

命题趋势：2024年题型分布均衡——消费者理论+寡头+外部性+成本，四大方向各一题。消费者理论仍然是最重头的题（分值最高、计算量最大）。

备考建议：C-D效用的所有公式（马歇尔需求、间接效用、支出函数、希克斯需求）必须随手能写。古诺+斯塔克伯格+伯特兰德三个模型要能在一个题里切换。庇古税的计算只有三步：SMC→Q_s→t=MD(Q_s)。

2023年真题

🔔 课前激活

两个小孩分糖果。A小朋友最喜欢按1:1吃（一颗糖必须配一块巧克力），B小朋友却很灵活——糖多就多吃糖、巧克力多就多吃巧克力。他们俩凑在一起交换，最终会怎么分？2023年第二题一般均衡问的就是这个。第一题是完全互补效用——像左脚鞋和右脚鞋，必须配对消费。

📌 这节学完你就能回答： 2023年四道题——完全互补消费者理论（分段求解是关键）、纯交换经济一般均衡（2023年重新考到，意义重大）、三级价格歧视（垄断定价经典题型）、成本最小化（C-D生产函数的条件要素需求）。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——完全互补效用分段求解（改编自2023年真题）

题目：消费者效用函数 u(x₁,x₂)=min(2x₁, x₂)，收入 m=60，p₁=2, p₂=3。 （1）求最优消费量（马歇尔需求）。 （2）若政府给x₁提供从量补贴 s=1（即消费者实际支付p₁−s=1），求新的最优消费量。 （3）计算补贴的消费者剩余增加量（用CV）。

👁️ 审题：min(2x₁, x₂)是完全互补偏好——需要 2x₁=x₂ 才能不"浪费"。

🧠 判断：完全互补不能用MRS法——直接用"最优比例"加预算约束求解。CV也用支出函数。

✍️ 执行：

（1）初始最优

最优条件：2x₁ = x₂（两个方括号里的东西相等，消费才有效） 预算约束：2x₁ + 3x₂ = 60 代入：2x₁ + 3(2x₁) = 60 → 8x₁ = 60 → x₁°=7.5, x₂°=15

原效用：u° = min(2×7.5, 15) = min(15, 15) = 15

（2）补贴后

x₁的实际价格变为 2−1=1。 预算约束：1x₁ + 3x₂ = 60 最优条件：2x₁ = x₂ 代入：x₁ + 3(2x₁) = 60 → 7x₁ = 60 → x₁'=60/7≈8.571, x₂'=120/7≈17.143

新效用：u' = min(2×60/7, 120/7) = min(120/7, 120/7) = 120/7 ≈ 17.143

（3）补偿变化CV

CV = 消费者在新价格下为达到原效用水平需要的最小支出 − 实际收入

完全互补效用 u=min(ax₁, bx₂) 的支出函数：在最优比例 ax₁=bx₂ 下，x₂=(a/b)x₁, u=ax₁。所以 x₁=u/a, x₂=u/b。 支出：e = p₁(u/a) + p₂(u/b)

原效用 u°=15，在新价格 p₁=1, p₂=3 下： e(新价格, u°) = 1×(15/2) + 3×(15/1) = 7.5 + 45 = 52.5

CV = 52.5 − 60 = −7.5（负值表示消费者变好了——不需要补偿，反而可以拿走7.5元仍维持原效用）

也可以理解为：补贴让消费者"赚了"7.5元的福利。

⚠️ 易错点：

1. min(ax₁, bx₂)的最优条件是 ax₁=bx₂（不是 x₁=x₂）——注意系数！
2. 完全互补没有替代效应（SE=0），全部是收入效应
3. CV为负=消费者福利提高（补贴让他变好了）

考点归纳：完全互补效用最优条件、支出函数 同类题提醒：完全互补在2016/2019/2023出现过，每次都要注意系数

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：一般均衡——纯交换经济（改编自2023年真题）

题目：纯交换经济，两人（A和B）、两种商品（1和2）。初始禀赋：A有(ω₁ᴬ, ω₂ᴬ)=(10,0)，B有(ω₁ᴮ, ω₂ᴮ)=(0,10)。效用函数分别为： uᴬ = (x₁ᴬ)^(1/3)(x₂ᴬ)^(2/3)，uᴮ = (x₂ᴮ)^(2/3)(x₁ᴮ)^(1/3) （由于B用x₂交换x₁的意愿不同，实际效用形式对称但系数互换） 令 p₂=1 为计价物（numeraire），求： （1）竞争均衡的相对价格 p₁/p₂。 （2）均衡时每人消费量。 （3）验证均衡是否帕累托最优（MRS是否相等）。

👁️ 审题：两人禀赋恰好互补——A只有商品1，B只有商品2。效用都是C-D形式。

🧠 判断：一般均衡求解步骤——写出每人需求→市场出清条件→求相对价格。纯交换经济中收入来自禀赋价值。

✍️ 执行：

（1）竞争均衡

令 p₂=1, p₁=p。

A的收入：mᴬ = 10p + 0×1 = 10p A的C-D需求（α=1/3, β=2/3）： x₁ᴬ = (1/3)×10p/p = 10/3 x₂ᴬ = (2/3)×10p/1 = 20p/3

B的收入：mᴮ = 0×p + 10×1 = 10 B的C-D需求（α=1/3, β=2/3）： x₁ᴮ = (1/3)×10/p = 10/(3p) x₂ᴮ = (2/3)×10/1 = 20/3

市场出清条件（商品1市场）： x₁ᴬ + x₁ᴮ = 10 10/3 + 10/(3p) = 10 10/(3p) = 10 − 10/3 = 20/3 1/p = 2 → p = 1/2

所以相对价格 p₁/p₂ = 1/2（商品1比商品2便宜一半）

（2）均衡消费量

x₁ᴬ = 10/3 ≈ 3.333, x₂ᴬ = 20×(1/2)/3 = 10/3 ≈ 3.333 x₁ᴮ = 10/(3×1/2) = 20/3 ≈ 6.667, x₂ᴮ = 20/3 ≈ 6.667

验证：x₁ᴬ+x₁ᴮ=10 ✓, x₂ᴬ+x₂ᴮ=10 ✓

（3）MRS验证

A的MRSᴬ = (∂uᴬ/∂x₁)/(∂uᴬ/∂x₂) = (1/3·x₂^(2/3)/x₁^(2/3))/(2/3·x₁^(1/3)/x₂^(1/3)) = x₂ᴬ/(2x₁ᴬ) = (10/3)/(2×10/3) = 1/2

B的MRSᴮ = x₂ᴮ/(2x₁ᴮ) = (20/3)/(2×20/3) = 1/2

MRSᴬ = MRSᴮ = p₁/p₂ = 1/2 ✓ 帕累托最优

⚠️ 易错点：

1. 收入mi=禀赋价值=p₁ω₁ⁱ+p₂ω₂ⁱ，不是直接给数字
2. 只用一个市场出清条件即可（瓦尔拉斯法则保证另一个自动出清）
3. MRS验证是检查你的均衡价格是否正确的"保险丝"

考点归纳：纯交换经济竞争均衡、C-D超额需求函数、瓦尔拉斯法则 同类题提醒：一般均衡在2016/2018/2023年考过，核心是"收入来自禀赋"这一设定

⭐⭐⭐⭐ ### 第3题：垄断定价——三级价格歧视（改编自2023年真题）

题目：垄断企业面对两个分割市场，需求分别为 Q₁=40−P₁，Q₂=100−2P₂。总成本 C(Q)=10Q+100（Q=Q₁+Q₂）。 （1）求三级价格歧视下两个市场的价格和产量。 （2）求统一垄断定价（禁止价格歧视）时的价格和产量。 （3）比较两种情况下企业利润和消费者总剩余。

👁️ 审题：两个市场需求函数斜率不同→弹性不同→可以价格歧视。

🧠 判断：三级价格歧视→MR₁=MR₂=MC。统一垄断→先求总需求（水平加总），再令MR=MC。

✍️ 执行：

（1）三级价格歧视

反需求函数：P₁=40−Q₁, P₂=50−Q₂/2（由Q₂=100−2P₂反解）

线性反需求 P=a−bQ 的边际收益是 MR=a−2bQ（MR 的斜率正好是需求斜率的两倍——垄断题最常用的速记，直接写不用再推导）： MR₁ = 40−2Q₁, MR₂ = 50−Q₂ MC = dC/dQ = 10

令 MR₁=MC：40−2Q₁=10 → Q₁=15, P₁=25 令 MR₂=MC：50−Q₂=10 → Q₂=40, P₂=50−40/2=30

利润：π=(25−10)×15+(30−10)×40−100=225+800−100=925 CS₁=(40−25)×15/2=112.5, CS₂=(50−30)×40/2=400, 总CS=512.5

（2）统一垄断

总需求：Q₁+Q₂=(40−P)+(100−2P)=140−3P（当P≤40时） P=(140−Q)/3，还是一样的招——斜率翻倍得 MR（Marginal Revenue，边际收益）=(140−2Q)/3

令MR=MC：(140−2Q)/3=10 → 140−2Q=30 → 2Q=110 → Q=55, P=(140−55)/3=85/3≈28.33

在各市场的分配（按需求函数回代）： Q₁=40−85/3=35/3≈11.667, Q₂=100−2×85/3=100−170/3=130/3≈43.333

利润：(85/3−10)×55−100=(55/3)×55−100=3025/3−100≈908.33 CS₁=(40−85/3)×(35/3)/2=(35/3)×(35/3)/2=1225/18≈68.06 CS₂=(50−85/3)×(130/3)/2=(65/3)×(130/3)/2=8450/18≈469.44 总CS≈537.5

（3）比较

结论：产量恰好相同（本题特例，由线性需求+线性MC导致），但价格歧视让利润更高、总福利略低——因为分配效率下降（两个市场的最后一单位边际价值不同：P₁=25≠P₂=30）。

⚠️ 易错点：

1. 两个市场的MR必须相等（MR₁=MR₂=MC），不是各自独立等于MC
2. 统一垄断时总需求是水平加总（不是纵向加总），注意需求函数的"分段"特性
3. 价格歧视不一定降低总产量——本题中产量相同

考点归纳：三级价格歧视条件、总需求水平加总、价格歧视的福利效应 同类题提醒：垄断+价格歧视在2017/2020/2023考过，三级价格歧视出现频率最高

⭐⭐⭐ ### 第4题：成本最小化（改编自2023年真题）

题目：企业生产函数 F(K,L)=K^(1/3)L^(2/3)，资本价格 r=2，劳动价格 w=1。 （1）求条件要素需求函数 K(q) 和 L(q)（成本最小化下）。 （2）求长期总成本函数 LTC(q) 和长期平均成本 LAC(q)。 （3）验证成本函数满足谢泼德引理。

👁️ 审题：C-D生产函数，规模报酬不变（1/3+2/3=1），给定要素价格求成本函数。

🧠 判断：拉格朗日法求条件要素需求→代入成本方程得LTC→LAC=LTC/q。

✍️ 执行：

（1）条件要素需求

成本最小化拉格朗日：min L = rK+wL+λ(q−K^(1/3)L^(2/3))

一阶条件： ∂L/∂K = r − λ(1/3)K^(−2/3)L^(2/3) = 0 → λ = 3rK^(2/3)L^(−2/3) ∂L/∂L = w − λ(2/3)K^(1/3)L^(−1/3) = 0 → λ = (3/2)wK^(−1/3)L^(1/3)

两式相等：3rK^(2/3)L^(−2/3) = (3/2)wK^(−1/3)L^(1/3) → 2rK = wL → K/L = w/(2r)

代入r=2,w=1：K/L = 1/4 → L=4K

代入生产函数：q = K^(1/3)(4K)^(2/3) = K^(1/3)·4^(2/3)·K^(2/3) = 4^(2/3)·K

K(q) = q/4^(2/3) = q·4^(−2/3) L(q) = 4q·4^(−2/3) = q·4^(1/3)

（2）成本函数

LTC = rK(q) + wL(q) = 2·q·4^(−2/3) + 1·q·4^(1/3) = q·[2·4^(−2/3) + 4^(1/3)]

2·4^(−2/3) = 2·(2²)^(−2/3) = 2·2^(−4/3) = 2^(1−4/3) = 2^(−1/3) 4^(1/3) = (2²)^(1/3) = 2^(2/3)

LTC = q·(2^(−1/3) + 2^(2/3)) = q·(1/∛2 + ∛4) ≈ q·(0.7937 + 1.5874) ≈ 2.381q

精确值：2^(−1/3)+2^(2/3)=2^(−1/3)(1+2)=3·2^(−1/3)=3/∛2≈2.381

LAC = LTC/q = 3·2^(−1/3) ≈ 2.381（常数——因为规模报酬不变） LMC = d(LTC)/dq = 3·2^(−1/3) = LAC ✓

（3）谢泼德引理验证

谢泼德引理：∂LTC/∂w = L(q), ∂LTC/∂r = K(q)

LTC = q·(r/3)^(1/3)(2w/3)^(2/3)·3...

更直接的方法——用C-D成本函数的通用公式： LTC(q,w,r) = q·(r/α)^α·(w/β)^β·(α+β) 其中 α=1/3, β=2/3, α+β=1

LTC = q·(r/(1/3))^(1/3)·(w/(2/3))^(2/3)·1 = q·(3r)^(1/3)·(3w/2)^(2/3)

∂LTC/∂w = q·(3r)^(1/3)·(2/3)·(3w/2)^(−1/3)·(3/2) = q·(3r)^(1/3)·(3w/2)^(−1/3) = L(q) ✓ ∂LTC/∂r = q·(1/3)·(3r)^(−2/3)·3·(3w/2)^(2/3) = q·(3r)^(−2/3)·(3w/2)^(2/3) = K(q) ✓

⚠️ 易错点：

1. TRS=w/r → (∂F/∂L)/(∂F/∂K)=w/r，注意L和K的偏导位置不要搞反
2. 规模报酬不变时LAC=LMC=常数，且LAC是平坦的（不是U型）
3. 谢泼德引理验证的是成本最小化的一致性——考试中可以快速自检

考点归纳：条件要素需求推导、C-D成本函数通用公式、谢泼德引理 同类题提醒：成本最小化在2015/2019/2021/2023都考过，C-D生产函数出现最多

💡 阅读思考（2023年总结）

解题复盘：第2题一般均衡是2023年最大的亮点——纯交换经济在沉寂多年后重新考到。核心思路：每人收入=禀赋价值→个人需求→市场出清→相对价格。第1题完全互补的分段求解（最优比例直接代入预算线）跟C-D完全不同，别混淆方法。

命题趋势：2023年一般均衡的回归意味着"不会因为某考点多年不考就可以跳过"。三级价格歧视从2017/2020延续到2023，是垄断定价中最常考的形式。

备考建议：完全互补和C-D的公式要形成条件反射——看到效用形式就自动匹配求解方法。纯交换经济一般均衡建议用一个固定流程：令numeraire→写超额需求→令z(p)=0→解p。

2022年真题

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你每个月工资到账后，一部分固定花在吃饭上（必需开支），剩下来的钱再按比例分配到看电影和买书上。这种"先解决必需、再按比例分配"的消费模式，在经济学里叫"拟线性偏好"——2022年第一道题考的就是它。这一年还考到了要素市场（跟2022年诺贝尔经济学奖主题相关——劳动市场与最低工资）。

📌 这节学完你就能回答： 2022年四道题——拟线性效用+税收福利分析、长期成本推导、要素市场（劳动供求）、寡头模型。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——拟线性效用+税收福利分析（改编自2022年真题）

题目：消费者效用函数 u(x,y)=ln x + y（拟线性），x>0, y≥0。收入 m=100，初始 p_x=2, p_y=1。 （1）求马歇尔需求函数 x(p_x, m) 和 y(p_x, m)。 （2）若政府对x征收从量税 t=1（即p_x变为3），求税收引起的CV和EV。 （3）计算税收的DWL（无谓损失）。

👁️ 审题：ln x + y是拟线性——y是线性项。x需求与m无关（超过门槛后）。

🧠 判断：拟线性效用的特殊性质：x的MRS只取决于x本身（MRS（Marginal Rate of Substitution，边际替代率）=1/x），x的马歇尔需求与收入无关（零收入效应），希克斯需求=马歇尔需求（CV=EV）。

✍️ 执行：

（1）马歇尔需求

MRS = MU_x/MU_y = (1/x)/1 = 1/x

内点解（y>0）：MRS = p_x/p_y → 1/x = p_x/1 → x = 1/p_x

预算约束：p_x·x + y = m → y = m − p_x·(1/p_x) = m − 1

角点检查：当 m<1 时 y 可能为负，此时角点解（x=m/p_x, y=0）。本题 m=100≫1，内点解。

初始（p_x=2）：x°=1/2=0.5, y°=100−1=99, u°=ln(0.5)+99=−0.693+99=98.307 新价格（p_x=3）：x'=1/3≈0.333, y'=100−1=99, u'=ln(1/3)+99=−1.099+99=97.901

（2）CV和EV

拟线性效用下CV=EV（因为收入效应为零）。

CV = 从p_x°到p_x'的希克斯需求积分（希克斯=马歇尔因为无收入效应） CV = ∫[2→3] x(p_x) dp_x = ∫[2→3] (1/p_x) dp_x = [ln p_x]₂³ = ln 3 − ln 2 = ln(3/2) ≈ 0.405

同理 EV = ln(3/2) ≈ 0.405

（3）DWL

税收收入 T = t×x' = 1×(1/3) = 1/3 ≈ 0.333

消费者的损失（CV）= 0.405，其中 T=0.333 是转移给了政府，剩下的才是净损失： DWL = CV − T = 0.405 − 0.333 = 0.072 ≈ ln(3/2) − 1/3

⚠️ 易错点：

1. 拟线性效用的收入效应为零——所以CV=EV=∆CS（消费者剩余变化）
2. x需求与m无关——这是个很强的性质，验证：x=1/p_x完全不依赖m
3. DWL=CV−T（在有税收时），不是CV本身

考点归纳：拟线性效用特性、CV/EV等价条件、税收DWL计算 同类题提醒：拟线性效用2017/2022都出现过，特色考点是"收入效应为零"

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：成本函数——长期成本推导（改编自2022年真题）

题目：生产函数 F(K,L)=[min(K, L)]^(1/2)（注意：里昂惕夫形式的嵌套）。r=4, w=1。 （1）求条件要素需求。 （2）求长期总成本LTC(q)和长期平均成本LAC(q)。 （3）该成本函数的规模经济特征是什么？

👁️ 审题：里昂惕夫（完全互补）生产函数——最优时K=L。外面套了平方根。

🧠 判断：里昂惕夫生产函数最优条件：资本和劳动等比例使用（K=L）。这是关键。

✍️ 执行：

（1）条件要素需求

最优条件：K = L（两个"方括号"内容相等）

生产函数：q = [min(K,L)]^(1/2) = K^(1/2) = L^(1/2)（因为最优时K=L）

所以：K = q², L = q²

条件要素需求：K(q)=q², L(q)=q²

（2）成本函数

LTC(q) = rK(q) + wL(q) = 4q² + 1q² = 5q²

LAC(q) = LTC/q = 5q LMC(q) = d(LTC)/dq = 10q

（3）规模经济特征

LAC=5q 是递增的（随q增加而增加）→ 规模不经济（diseconomies of scale）

为什么？因为min(K,L)^(1/2)其实是K^(1/2)（当K=L时），这是一个边际报酬递减的生产函数（指数1/2<1），所以平均成本随产量上升。

验证：规模弹性 ε = LAC/LMC = 5q/10q = 1/2 < 1 → 规模不经济

⚠️ 易错点：

1. 里昂惕夫的最优条件不是MRS=价格比，而是直接令两个"方括号"相等
2. 嵌套函数先处理内层的min，再处理外层的幂函数
3. LAC递增=规模不经济（不是规模经济），和直觉相反——多生产反而平均成本更高

考点归纳：里昂惕夫生产函数、条件要素需求、规模经济判断 同类题提醒：生产函数从C-D到里昂惕夫到CES，各种形式都可能在成本题中出现

⭐⭐⭐ ### 第3题：要素市场——劳动供求与最低工资（改编自2022年真题）

题目：完全竞争劳动市场，劳动需求 L_D=120−2w，劳动供给 L_S=3w（w为工资率）。 （1）求均衡工资和就业量。 （2）政府设定最低工资 w_min=30，求此时的就业量和失业量。 （3）如果劳动需求变为 L_D=150−2w（劳动生产率提高），最低工资w_min=30下的就业量变为多少？

👁️ 审题：简单的劳动市场供求模型，三条线：需求向下倾斜，供给向上倾斜，最低工资是价格下限。

🧠 判断：均衡→令L_D=L_S。最低工资→在w=30处比较需求和供给的量。

✍️ 执行：

（1）均衡

120−2w = 3w → 5w=120 → w=24, L=3×24=72**

验证：L_D=120−48=72 ✓

（2）最低工资 w_min=30

在w=30处： 劳动需求 L_D = 120−60 = 60 劳动供给 L_S = 3×30 = 90

就业量 = min(L_D, L_S) = 60（"短边规则"——企业只雇这么多人） 失业量 = L_S − L_D = 90−60 = 30（想工作但找不到工作的人）

（3）需求提高后

新劳动需求 L_D' = 150−2×30 = 150−60 = 90 劳动供给 L_S = 90

就业量 = 90，失业量 = 0（恰好回到均衡！）

启示：最低工资的负面影响（失业）取决于需求弹性。需求提高后，同样30的最低工资可能刚好等于新的均衡工资，就不会造成失业。

⚠️ 易错点：

1. 最低工资下就业量=需求量（短边决定），不是供给量
2. 失业≠L_S−L*（不是均衡就业的差），而是L_S(w_min)−L_D(w_min)
3. 如果w_min低于均衡工资，最低工资无效——就业量仍是均衡量

考点归纳：劳动市场均衡、最低工资的就业效应、短边规则 同类题提醒：要素市场2015/2022考过，劳动市场是主要考查形式

⭐⭐⭐ ### 第4题：寡头——卡特尔与背叛（改编自2022年真题）

题目：同质产品市场，P=100−Q。两个企业有相同成本 C(q)=20q。 （1）如果两企业组成卡特尔（合谋），求总产量、价格和各企业利润。 （2）如果企业1遵守卡特尔产量，企业2偷偷多生产（背叛），求两企业的产量和利润。 （3）写出古诺均衡，并和卡特尔比较。

👁️ 审题：对称双寡头，比较三种情况——卡特尔、背叛、古诺。这是经典的"囚徒困境"结构。

🧠 判断：卡特尔→垄断产量平分。背叛→企业1产量=一半垄断量，企业2以此为给定求最优反应。古诺→对称反应函数联立。

✍️ 执行：

（1）卡特尔（合谋）

合并利润：Π = (100−Q)Q − 20Q = (80−Q)Q 一阶条件：80−2Q=0 → Q=40（垄断产量） 每家企业：q₁=q₂=20 P=60 π₁=π₂=(60−20)×20=800 总利润=1600

（2）企业2背叛

企业1仍生产 q₁=20。 企业2把q₁当做给定，选择q₂最大化： π₂ = (100−20−q₂)q₂ − 20q₂ = (60−q₂)q₂ 一阶条件：60−2q₂=0 → q₂=30

总Q=50, P=50 π₁ = (50−20)×20 = 600（受损！） π₂ = (50−20)×30 = 900（多赚了！）

（3）古诺均衡

对称反应函数：q₁=(80−q₂)/2, q₂=(80−q₁)/2 联立得：q₁=q₂=80/3≈26.667

P=100−160/3=140/3≈46.667 π₁=π₂=(140/3−20)×80/3=(80/3)×(80/3)=6400/9≈711.11

💡 这是典型的囚徒困境：都遵守卡特尔对两人最好（各800），但都有背叛的诱惑（背叛者得900）。最终古诺均衡（各711）是纳什均衡——给定对方策略，自己没有动力改变。

⚠️ 易错点：

1. 卡特尔产量 = 垄断产量（不是平分市场），因为双方合并利润最大化
2. 背叛时，背叛者的最优反应不是古诺反应函数——因为对方被假定仍按卡特尔产量
3. 古诺均衡是唯一的纳什均衡——双方都没有单方面改变产量的动力

考点归纳：卡特尔vs古诺、囚徒困境、纳什均衡稳定性 同类题提醒：寡头卡特尔/背叛分析在2016/2022出现，关键是理解"合谋不稳定"的逻辑

💡 阅读思考（2022年总结）

解题复盘：第1题拟线性效用的CV=EV性质是考试常用"捷径"——一旦确认无收入效应，直接用马歇尔需求积分。第3题要素市场与2022年诺奖（劳动市场）主题相关——802有时会"蹭"当年的经济学热点。第4题卡特尔vs古诺展示寡头核心矛盾。

命题趋势：2022年要素市场的出现说明冷门考点需要覆盖。背叛分析是寡头题的常见变体。

备考建议：拟线性、完全替代、完全互补、C-D四种效用形式的公式全部烂熟。要素市场虽低频但一旦考了就是送分题（模型简单）。

2021年真题

📌 这节学完你就能回答： 2021年四道题——CV/EV计算（消费者理论经典题型）、外部性计算证明、古诺模型、成本最小化。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——CV/EV计算（改编自2021年真题）

题目：效用函数 u=x₁^(1/4)x₂^(3/4)，m=200，p₁=4, p₂=2。后p₁涨到p₁'=9。 （1）求价格变化前后的最优消费量。 （2）计算CV（补偿变化）和EV（等价变化）。 （3）比较CV和EV的大小，解释为何不同（不能用拟线性所以不等）。

👁️ 审题：C-D效用，CV/EV计算——需要通过支出函数。

🧠 判断：C-D效用的支出函数 e(p₁,p₂,u)=u·(p₁/α)^α·(p₂/β)^β·(α+β)，其中α=1/4, β=3/4, α+β=1。CV用旧效用+新价格；EV用新效用+旧价格。

✍️ 执行：

（1）最优消费量

α=1/4, β=3/4: x₁° = (1/4)×200/4 = 50/4 = 12.5 x₂° = (3/4)×200/2 = 150/2 = 75 u° = 12.5^(1/4) × 75^(3/4)

x₁' = (1/4)×200/9 = 50/9 ≈ 5.556 x₂' = (3/4)×200/2 = 75 u' = (50/9)^(1/4) × 75^(3/4)

计算效用值： u° = (12.5)^0.25 × (75)^0.75 ln(u°) = 0.25·ln(12.5) + 0.75·ln(75) = 0.25(2.526) + 0.75(4.317) = 0.6315 + 3.238 = 3.8695 u° ≈ e^(3.8695) ≈ 47.92

u' = (50/9)^0.25 × (75)^0.75 ln(u') = 0.25·ln(50/9) + 0.75·ln(75) = 0.25(1.7148) + 0.75(4.317) = 0.4287 + 3.238 = 3.6665 u' ≈ e^(3.6665) ≈ 39.12

（2）CV和EV

C-D支出函数（α+β=1时）：e = u·(p₁/α)^α·(p₂/β)^β

在新价格下达到原效用： e(p₁', p₂, u°) = u° × (9/0.25)^0.25 × (2/0.75)^0.75 = 47.92 × 36^0.25 × (8/3)^0.75 = 47.92 × 36^0.25 × (8/3)^0.75

36^0.25 = √6 ≈ 2.449 (8/3)^0.75 = (8/3)^(3/4) — 令x=(8/3)^(3/4), ln x = 0.75·ln(8/3) = 0.75(0.981) = 0.7356, x≈2.086

e(p₁', p₂, u°) ≈ 47.92 × 2.449 × 2.086 ≈ 244.7 CV = e(新价格,旧效用)−m = 244.7−200 = 44.7

在旧价格下达到新效用： e(p₁°, p₂, u') = u' × (4/0.25)^0.25 × (2/0.75)^0.75 = 39.12 × 16^0.25 × (8/3)^0.75 = 39.12 × 2 × 2.086 ≈ 163.2

EV = m − e(旧价格,新效用) = 200 − 163.2 = 36.8

（3）CV vs EV

CV ≈ 44.7 > EV ≈ 36.8

原因：x₁是正常品（C-D效用中所有商品都是正常品），p₁涨价让消费者变穷。CV问的是"涨价后要补多少钱"（以新价格为基准），EV问的是"涨价前拿走多少钱相当于涨价"（以旧价格为基准）。因为x₁是正常品且旧价格下x₁消费更多，所以CV>EV。

⚠️ 易错点：

1. C-D效用支出函数 e = u·∏(p_i/α_i)^α_i（当∑α_i=1），注意α_i在分母
2. CV和EV方向：CV是新价格下回到旧效用需要的钱；EV是旧价格下等效新效用的钱
3. 正常品时CV>EV，劣等品时CV<EV——这是个快速检查

考点归纳：C-D支出函数、CV/EV计算、福利比较 同类题提醒：CV/EV是消费者理论最高频的考点之一，2015/2017/2020/2021/2024都出现过

⭐⭐⭐ ### 第2题：外部性——计算证明（改编自2021年真题）

题目：企业生产函数 F(L)=2√L，产品价格 p=10。但生产伴随污染，外部损害 D(L)=L（L为劳动投入）。工资率 w=2。 （1）求私人最优劳动投入和利润。 （2）求社会最优劳动投入。 （3）证明：征收从量税 t 可恢复社会最优，并求 t。

👁️ 审题：生产函数+外部损害，找私人最优vs社会最优的劳动投入。

🧠 判断：私人最优→MRP_L=w（边际收益产品=工资）。社会最优→MRP_L=w+MD_L（含外部边际损害）。

✍️ 执行：

（1）私人最优

生产函数：q=2√L MP_L = dq/dL = 1/√L MRP_L = p×MP_L = 10/√L

私人最优：MRP_L = w → 10/√L = 2 → √L = 5 → L_p=25 q = 2×5 = 10 利润 = p·q − w·L = 10×10 − 2×25 = 100−50 = 50

（2）社会最优

外部边际损害：MD_L = dD/dL = 1（每单位L造成1单位损害）

社会最优：MRP_L = w + MD_L → 10/√L = 2+1=3 → √L = 10/3 → L_s=100/9≈11.11

q = 2×√(100/9) = 2×10/3 = 20/3 ≈ 6.667 社会净福利 = p·q − w·L − D(L) = 66.67−22.22−11.11 = 33.33

（对比：私人最优下社会净福利 = 100−50−25 = 25 < 33.33）

（3）庇古税

征税 t 后企业面对的有效工资变为 w+t。 要使得私人最优 L_p' = 社会最优 L_s： 10/√L = 2+t，且L=100/9

10/√(100/9) = 2+t → 10/(10/3) = 2+t → 3 = 2+t → t=1

验证：t=1 恰好等于 L_s 处的外部边际损害 MD_L(L_s)=1 ✓

⚠️ 易错点：

1. MRP_L=p×MP_L，不要漏乘p
2. 社会最优的边际成本 = 私人边际成本 + 外部边际成本，是加法不是乘法
3. 最优税率 = 社会最优投入量处的外部边际损害，不是随便哪个L处

考点归纳：MRP与要素需求、庇古税推导、外部性的效率损失 同类题提醒：外部性在2017/2018/2019/2021/2024出现过，庇古税是最常见的出题形式

⭐⭐⭐ ### 第3题：古诺模型（改编自2021年真题）

题目：市场 P=a−bQ，n个完全相同的企业，每个成本 C(q_i)=cq_i。 （1）求古诺均衡下单个企业的产量、价格、利润（用n, a, b, c表示）。 （2）证明当n→∞时，均衡趋近完全竞争。 （3）n=2, a=100, b=1, c=40，求具体均衡值。

👁️ 审题：n个企业的广义古诺模型——字母推导+极限分析+数值代入。

🧠 判断：对称古诺→每个企业q相同→总产量Q=nq→反应函数对称→直接解。

✍️ 执行：

（1）广义古诺均衡

企业i的利润：π_i = (a−bQ)q_i − cq_i = (a−c−bQ)q_i Q = q_i + Q_−i（Q_−i为其他企业产量之和）

一阶条件：∂π_i/∂q_i = a−c−bQ − bq_i = 0 由于对称，Q=nq, q_i=q： a−c−b·nq − bq = 0 → a−c = b(n+1)q

q = (a−c)/[b(n+1)]* Q = n(a−c)/[b(n+1)]* P = a − b·n(a−c)/[b(n+1)] = [a(n+1)−n(a−c)]/(n+1) = (a+nc)/(n+1)* π_i = (P−c)q* = [(a+nc)/(n+1)−c]·(a−c)/[b(n+1)] = (a−c)²/[b(n+1)²]**

（2）n→∞的极限

q* → 0（每个企业产量趋近于零） Q* → (a−c)/b（总产量趋近完全竞争水平） P* → c（价格趋近边际成本） π_i* → 0（利润趋近于零）

这就是完全竞争的结果 ✓

（3）具体数值（n=2, a=100, b=1, c=40）

q* = (100−40)/(1×3) = 60/3 = 20 Q* = 2×20 = 40 P* = (100+2×40)/3 = 180/3 = 60 π_i* = (100−40)²/(1×9) = 3600/9 = 400

验证：古诺反应函数 q₁=(60−q₂)/2, q₂=(60−q₁)/2，联立得q₁=q₂=20 ✓

⚠️ 易错点：

1. 一阶条件中别忘了bq_i项——因为q_i既在自己产量中也在Q中
2. n→∞时价格→c（MC），不是→0
3. 利润公式中分母是(n+1)²不是n²——很多同学这里写错

考点归纳：n企业古诺一般公式、垄断→古诺→完全竞争的连续谱 同类题提醒：n企业古诺推导在2017/2021考过，字母推导能力是802考查重点

⭐⭐ ### 第4题：成本最小化（改编自2021年真题）

题目：生产函数 F(K,L)=K^(1/2)L^(1/2)，r=1, w=4。 （1）短期K固定为K̄=4，求短期总成本STC(q)。 （2）求长期总成本LTC(q)。 （3）q=4时，短期和长期总成本差多少？解释原因。

👁️ 审题：C-D生产函数，短期K固定，长期K可变——经典的短长期成本对比。

✍️ 执行：

（1）短期成本（K̄=4）

q = 4^(1/2)·L^(1/2) = 2√L → L = q²/4 STC(q) = rK̄ + wL(q) = 1×4 + 4×q²/4 = 4 + q² SFC=4, SVC（Short-run Variable Cost，短期可变成本）=q²

（2）长期成本

长期里资本 K 也能自由调整了——最优要素比例由"技术替代率=要素价格比"决定（TRS=w/r，即两种要素的边际产量之比等于价格之比）。先算 TRS： TRS = MP_L/MP_K = (K^(1/2)·(1/2)L^(−1/2))/((1/2)K^(−1/2)L^(1/2)) = K/L 最优条件：K/L = w/r = 4/1 = 4 → L = K/4

代入生产函数：q = K^(1/2)(K/4)^(1/2) = K^(1/2)·K^(1/2)/2 = K/2 → K(q) = 2q, L(q) = K/4 = q/2

LTC(q) = rK + wL = 1×2q + 4×q/2 = 2q + 2q = 4q LAC = 4, LMC = 4（常数——规模报酬不变）

（3）q=4时比较

STC(4) = 4 + 16 = 20 LTC(4) = 4×4 = 16 差额 = 4 = 短期固定成本（K̄=4时的沉没成本）

长期的优势在于可以调整K，当q=4时长期最优K=2q=8，而不是被锁在K̄=4。

⚠️ 易错点：

1. 短期成本中固定成本是 rK̄，不管产量多少都要付
2. 短期和长期成本在特定产量处可能相等——当K̄恰好等于长期最优K时
3. STC(q)≥LTC(q)对所有q成立——长期总是能做的不比短期差

考点归纳：短期vs长期成本、资本固定下的短期成本函数 同类题提醒：成本函数短长期对比在2015/2020/2021出现过

💡 阅读思考（2021年总结）

解题复盘：第1题CV/EV的完整计算是消费者理论的高阶考法——通过支出函数绕一圈。第3题n企业古诺字母推导是证明题典型格式。

命题趋势：CV/EV+外部性+古诺+成本——四大核心方向稳定覆盖。字母推导（含n的公式）是802区分度最高的题型。

备考建议：C-D效用的支出函数公式必须默写。n企业古诺的一般公式 q*=(a−c)/[b(n+1)] 建议记住结论以便快速检查。

2020年真题

📌 这节学完你就能回答： 2020年四道题——效用最大化+间接效用、垄断价格歧视、成本函数、寡头（伯特兰德模型）。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——效用最大化+间接效用（改编自2020年真题）

题目：效用函数 u(x₁,x₂)=x₁^(1/3)x₂^(2/3)，m=300，p₁=3, p₂=6。 （1）求马歇尔需求和最优消费量。 （2）求间接效用函数 v(p₁,p₂,m)。 （3）用罗伊恒等式验证马歇尔需求。

👁️ 审题：标准C-D效用三步——马歇尔需求→间接效用→罗伊恒等式。

✍️ 执行：

（1）马歇尔需求

α=1/3, β=2/3: x₁ = (1/3)×300/3 = 100/3 ≈ 33.33 x₂ = (2/3)×300/6 = 200/6 = 100/3 ≈ 33.33

（2）间接效用函数

将马歇尔需求代入效用函数： v(p₁,p₂,m) = [(αm/p₁)^α][(βm/p₂)^β] = m·(α/p₁)^α·(β/p₂)^β

v = 300 × (1/3 ÷ 3)^(1/3) × (2/3 ÷ 6)^(2/3) = 300 × (1/9)^(1/3) × (1/9)^(2/3) = 300 × (1/9)^(1) = 300/9 = 100/3 ≈ 33.33

（3）罗伊恒等式

x₁(p,m) = −(∂v/∂p₁)/(∂v/∂m)

v = m·(α/p₁)^α·(β/p₂)^β ∂v/∂p₁ = m·α·(α/p₁)^(α−1)·(−α/p₁²)·(β/p₂)^β = −mα·(α/p₁)^α·(1/p₁)·(β/p₂)^β = −(α/p₁)·v ∂v/∂m = (α/p₁)^α·(β/p₂)^β = v/m

x₁ = −(−αv/p₁)/(v/m) = αm/p₁ = (1/3)×300/3 = 100/3 ✓

同理 x₂ = βm/p₂ = (2/3)×300/6 = 100/3 ✓

⚠️ 易错点：

1. 间接效用函数是u(x*(p,m))，把最优量代进去
2. 罗伊恒等式中分子偏导带负号（价格涨→效用降），负负得正
3. 罗伊恒等式是核实马歇尔需求推导的"验算工具"

考点归纳：间接效用、罗伊恒等式、对偶关系 同类题提醒：间接效用+罗伊恒等式在2020/2023出现过

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：垄断——价格歧视（改编自2020年真题）

题目：垄断企业总成本 C(Q)=20Q，面对两个市场：市场1需求 Q₁=200−5P₁，市场2需求 Q₂=160−4P₂。 （1）实施三级价格歧视，求各市场价格和产量。 （2）若只能统一定价，求最优统一价格。 （3）消费者总剩余在哪种定价下更大？

👁️ 审题：与2023年第3题类似，三级价格歧视vs统一定价。

✍️ 执行：

（1）三级价格歧视

反需求：P₁=40−Q₁/5, P₂=40−Q₂/4 线性反需求 P=a−bQ 的 MR=a−2bQ（斜率翻倍），所以直接写出： MR₁=40−2Q₁/5, MR₂=40−Q₂/2 MC=20

令 MR₁=MC：40−2Q₁/5=20 → Q₁=50, P₁=40−10=30 令 MR₂=MC：40−Q₂/2=20 → Q₂=40, P₂=40−10=30

巧合：两个市场恰好价格相同（P₁=P₂=30），但产量不同。因为需求弹性相同（各自标准化后）。

（2）统一定价

总需求 Q=200−5P+160−4P=360−9P（P≤40时） P=40−Q/9, MR=40−2Q/9（同样斜率翻倍） 令MR=MC：40−2Q/9=20 → Q=90, P=40−10=30

和价格歧视结果完全一致！原因是两个市场在最优处恰好MR相等（需求结构巧合）。

（3）消费者剩余

两种情况下价格和产量分配完全相同，所以CS也一样。 CS₁ = (40−30)×50/2 = 250 CS₂ = (40−30)×40/2 = 200 总CS = 450

注：此题特例——两个市场弹性恰好相同导致价格歧视=统一定价。如果需求弹性不同，价格歧视下两个市场价格不同。

⚠️ 易错点：

1. 三级价格歧视的条件是MR₁=MR₂=MC，注意是先决定总产量再分配
2. 反需求函数要从需求函数正确反解（P=...）
3. 此题是特例——一般来说价格歧视下价格不同

考点归纳：三级价格歧视、总需求水平加总、需求弹性与定价 同类题提醒：垄断+价格歧视2020和2023可以对照练习

⭐⭐⭐ ### 第3题：成本函数（改编自2020年真题）

题目：生产函数 q=min(2K, 3L)，r=6, w=3。 （1）求条件要素需求。 （2）求LTC(q)和LAC(q)。 （3）若r上涨到12，长期成本如何变化？

👁️ 审题：里昂惕夫生产函数，注意系数2和3。

✍️ 执行：

（1）条件要素需求

最优条件：2K = 3L（两组"方括号"相等） q = 2K = 3L → K(q)=q/2, L(q)=q/3

（2）成本函数

LTC(q) = rK + wL = 6(q/2) + 3(q/3) = 3q + q = 4q LAC = 4, LMC = 4（常数——相当于规模报酬不变）

（3）r涨到12

LTC'(q) = 12(q/2) + 3(q/3) = 6q + q = 7q LAC' = 7（成本上升75%）

要素替代：里昂惕夫函数没有替代可能——K和L比例固定，r涨了也不能多用L少用K。所以成本直接按比例上涨（K的成本从3q涨到6q，L的成本不变=1q）。

⚠️ 易错点：

1. min(2K, 3L)的最优条件是2K=3L（不是K=L）——系数很重要
2. 里昂惕夫函数的替代弹性=0——要素价格变化不影响要素比例
3. q=2K=3L，所以K和L都是q的线性函数

考点归纳：里昂惕夫成本函数、替代弹性为零 同类题提醒：非C-D生产函数（里昂惕夫）在2020/2022出现

⭐⭐⭐ ### 第4题：寡头——伯特兰德模型（改编自2020年真题）

题目：两个企业生产同质产品，边际成本相同 MC=10，市场需求 P=70−Q。企业选择价格（伯特兰德竞争）。 （1）求伯特兰德均衡价格和利润。 （2）如果企业1的MC降为8，均衡又如何？ （3）如果产品差异化——需求变为 q₁=40−2p₁+p₂, q₂=40−2p₂+p₁，求伯特兰德均衡价格（MC=10）。

👁️ 审题：三个场景——同质伯特兰德、不对称成本伯特兰德、差异化伯特兰德。

✍️ 执行：

（1）同质伯特兰德

经典结论：p₁=p₂=MC=10 Q=60, 各企业q=30（平分市场） π₁=π₂=0（价格=MC，没有利润）

这是"伯特兰德悖论"——两个企业就足以产生完全竞争结果。

（2）不对称成本（MC₁=8, MC₂=10）

企业1可以把价格定在略低于10的地方（如9.99），抢走全部市场。 均衡：p₁≈10（略低于10），p₂=10 q₁≈60, q₂=0（企业2被挤出市场） π₁≈(10−8)×60=120, π₂=0

精确地说：如果价格是连续变量，唯一的纳什均衡是 p₁=10−ε, p₂=10，但企业1有动机定在(8,10)之间。实际上均衡是p₁∈(8,10], p₂=10...更严谨的讨论涉及混合策略。

简化结论：企业1利用成本优势将价格定在企业2成本以下=独占市场。

（3）差异化产品伯特兰德

企业1利润：π₁=(p₁−10)(40−2p₁+p₂) 一阶条件：∂π₁/∂p₁=(40−2p₁+p₂)+(p₁−10)(−2)=0 → 40−2p₁+p₂−2p₁+20=0 → 60−4p₁+p₂=0 → 反应函数 p₁=(60+p₂)/4

对称地：p₂=(60+p₁)/4

联立：p₁=(60+(60+p₁)/4)/4 → 16p₁=240+60+p₁ → 15p₁=300 → p₁=p₂=20

各企业：q₁=40−40+20=20 π₁=(20−10)×20=200

💡 差异化打破了伯特兰德悖论——产品不完全替代，价格高于MC，利润为正。

⚠️ 易错点：

1. 同质伯特兰德：p=MC，不是因为合谋，而是因为价格竞争
2. 差异化伯特兰德：反应函数是价格上升的（策略互补），不同于古诺（产量下降，策略替代）
3. 一阶条件求导时注意需求函数中p_j是给定的（纳什均衡假设）

考点归纳：伯特兰德悖论、差异化产品价格竞争、策略互补 同类题提醒：伯特兰德在2020年出现过，寡头三种模型（古诺/斯塔克伯格/伯特兰德）都需掌握

💡 阅读思考（2020年总结）

解题复盘：第2题价格歧视的特例（两市场弹性相同→统一定价=歧视定价）是个很好的"陷阱检验"。第4题伯特兰德是寡头分析的重要补充。

命题趋势：2020年出现了伯特兰德（而非古诺），提醒你寡头模型三种都要会。

备考建议：古诺（产量竞争）vs 伯特兰德（价格竞争）的均衡差异要清楚：同质产品古诺→P>MC；同质产品伯特兰德→P=MC。

2019年真题

📌 这节学完你就能回答： 2019年四道题——消费者理论、古诺模型（广义n企业）、生产与成本（短期利润最大化）、外部性。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——CES效用（改编自2019年真题）

题目：效用函数 u(x₁,x₂)=(x₁^ρ + x₂^ρ)^(1/ρ)，ρ=0.5。m=100，p₁=p₂=2。 （1）求马歇尔需求函数（用MRS法）。 （2）ρ→0时该效用趋近于什么形式？此时的需求是多少？ （3）ρ=1和ρ→−∞时分别趋近什么偏好？

👁️ 审题：CES（常替代弹性）效用——802有时考C-D以外的效用形式。ρ=0.5是中间情况。

✍️ 执行：

（1）ρ=0.5时的需求

MRS = (∂u/∂x₁)/(∂u/∂x₂) = (x₁^(ρ−1))/(x₂^(ρ−1)) = (x₁/x₂)^(ρ−1) = (x₂/x₁)^(1−ρ)

ρ=0.5: MRS = (x₂/x₁)^0.5 = √(x₂/x₁)

内点解：MRS = p₁/p₂ → √(x₂/x₁) = 2/2 = 1 → x₂ = x₁

代入预算：2x₁+2x₁=100 → x₁=x₂=25 u = (25^0.5+25^0.5)^(1/0.5) = (5+5)² = 100

（2）ρ→0

CES效用当ρ→0时趋近于C-D效用：u=x₁^α x₂^β（其中α+β=1，各占一半）。 实际上 lim[ρ→0] (x₁^ρ+x₂^ρ)^(1/ρ) = x₁^(1/2)x₂^(1/2)（经过适当的单调变换）。

此时 x₁=x₂=25（和ρ=0.5相同——因为价格相等时两种CES和C-D的结果一样）。

（3）ρ=1和ρ→−∞

ρ=1：u=x₁+x₂（完全替代）。MRS=1恒定。若p₁<p₂则只买x₁。 ρ→−∞：u=min(x₁,x₂)（完全互补/里昂惕夫）。MRS要么无穷要么0。

💡 CES的替代弹性 σ=1/(1−ρ)：

• ρ=1 → σ=∞（完全替代）
• ρ=0 → σ=1（C-D）
• ρ→−∞ → σ=0（完全互补）

⚠️ 易错点：

1. 两种写法等价——(x₁/x₂)^(ρ−1) = (x₂/x₁)^(1−ρ)，别因为看到ρ−1或1−ρ的不同就以为算错
2. ρ→0时CES→C-D（不是完全替代）——这是经典结论
3. 替代弹性σ=1/(1−ρ)是CES名字的由来（Constant Elasticity of Substitution）

考点归纳：CES效用、替代弹性、不同ρ对应的偏好类型 同类题提醒：非C-D效用在2019年出现过CES，说明不能只练C-D

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：古诺模型——广义n企业（改编自2019年真题）

题目：与2021年第3题结构类似。市场P=150−Q，n个相同企业，每个MC=30。 （1）求古诺均衡 q*(n), Q*(n), P*(n)。 （2）n=1（垄断）和n=2（双寡头）的具体结果。 （3）求使得P=MC的最小n（近似完全竞争）。

✍️ 执行：

（1）n企业古诺

q* = (150−30)/(1·(n+1)) = 120/(n+1) Q* = 120n/(n+1) P* = (150+30n)/(n+1) = 30 + 120/(n+1) π_i = 14400/(n+1)²

（2）n=1（垄断）

q=60, Q=60, P=90, π=3600

n=2（双寡头） q=40, Q=80, P=70, π_i=1600, 总π=3200

（3）接近完全竞争

令P≈MC=30：30+120/(n+1)≈30 → 120/(n+1)≈0 → n→∞

实际上想让P−MC<ε（如<1）：120/(n+1)<1 → n>119。n=120时P≈30.99。

⚠️ 易错点：同2021年第3题的易错点

考点归纳：n企业古诺、从垄断到完全竞争的连续过渡 同类题提醒：2019和2021的古诺题高度相似，核心公式一样

⭐⭐⭐ ### 第3题：生产与成本——短期利润最大化（改编自2019年真题）

题目：企业短期生产函数 q=3√L，固定成本FC=50。产品价格P=15，工资w=9。 （1）求短期利润最大化的劳动投入和产量。 （2）求利润。 （3）低于什么价格企业会停产（停产条件）？

✍️ 执行：

（1）利润最大化

利润：π = 15×(3√L) − 9L − 50 = 45√L − 9L − 50 一阶条件：dπ/dL = 45/(2√L) − 9 = 0 → 45/(2√L) = 9 → √L = 45/18 = 2.5 → L=6.25 q = 3×2.5 = 7.5

二阶条件：d²π/dL² = −45/(4L^(3/2)) < 0 ✓

（2）利润

π = 45×2.5 − 9×6.25 − 50 = 112.5 − 56.25 − 50 = 6.25

（3）停产条件

短期内只要 P ≥ AVC_min 就继续生产（即使亏损，只要收入能覆盖可变成本）。

AVC（Average Variable Cost，平均可变成本） = wL/q = 9L/(3√L) = 3√L L和q的关系：L=(q/3)²=q²/9 AVC = 3√(q²/9) = 3×(q/3) = q → AVC=q，AVC_min→0（当q→0时）

实际上，如果P≤0企业才停产...但P>0。更准确地说： VC（Variable Cost，可变成本） = wL = 9×(q/3)² = q² AVC = q, MC = d(VC)/dq = 2q AVC最小值为0（在q=0处），所以只要P>0就应该继续生产。

P=min(AVC)=0→停产价格=0。但实际上P=15>0，所以继续生产。

注：这个生产函数没有AVC的最低正值——AVC从0开始单调递增。更典型的题目会有U型AVC。

⚠️ 易错点：

1. 停产条件：P<AVC_min（不是P<ATC_min）
2. 固定成本在短期不影响产量决策（已经沉没了）
3. 一阶条件等价于P×MP_L=w，即MRP_L=w

考点归纳：短期利润最大化、停产条件、MRP与要素需求 同类题提醒：生产决策+停产条件在2015/2019出现过

⭐⭐⭐ ### 第4题：外部性——科斯定理（改编自2019年真题）

题目：工厂排污影响下游渔场。工厂生产q的利润为 π_F=120q−q²。渔场利润 π_Fish=80−2q（q为污染量，即工厂产量）。 （1）工厂不考虑渔场时的最优q和各自利润。 （2）社会最优q和各自利润。 （3）如果渔场拥有"清洁水权"（工厂需补偿渔场才能排污），自愿谈判达到社会最优时，补偿金额范围是多少？

👁️ 审题：科斯定理的应用——外部性+产权分配+谈判。

✍️ 执行：

（1）私人最优

工厂最大化：dπ_F/dq = 120 − 2q = 0 → q=60 π_F = 120×60 − 3600 = 7200 − 3600 = 3600 π_Fish = 80 − 2×60 = 80 − 120 = −40（亏损！）

（2）社会最优

社会总福利 W = π_F + π_Fish = 120q−q²+80−2q = 80+118q−q² dW/dq = 118 − 2q = 0 → q=59*

π_F = 120×59 − 59² = 7080−3481 = 3599 π_Fish = 80−118 = −38 总福利 = 3599−38 = 3561

（对比q=60时总福利=3600−40=3560，q=59多了1单位福利）

（3）补偿范围（科斯谈判）

渔场有清洁水权→工厂不生产（q=0）是基准。 在q=0时：π_F=0, π_Fish=80。

如果工厂想生产q*=59，必须补偿渔场。渔场接受的条件：补偿后利润≥基准利润80。 工厂的条件：补偿后利润≥0（不生产的利润）。

在q*=59处：补偿前 π_F=3599, π_Fish=−38。 渔场需要的补偿至少为：80−(−38)=118 工厂愿意支付的最多为：3599−0=3599

补偿金额范围：118 ≤ 补偿 ≤ 3599

双方有巨大的谈判空间→科斯定理预测会达成社会最优。

⚠️ 易错点：

1. 社会最优是最大化总福利（不是两个各自最大化）
2. 科斯谈判中基准是"产权方在对方不活动时的利润"
3. 补偿区间的下限=产权方受损额，上限=侵权方获益额

考点归纳：外部性的社会最优、科斯定理、谈判补偿 同类题提醒：科斯定理+谈判在2018/2019考过，核心是计算补偿区间

💡 阅读思考（2019年总结）

解题复盘：第1题CES效用突破了C-D的舒适区——提醒你效用形式可以多样。第4题科斯定理的关键是"补偿区间"的计算——下限和上限分别从受害方和受益方的角度出发。

命题趋势：2019年n企业古诺和2021年高度重复。科斯定理是外部性的另一个重要考查角度（除了庇古税）。

备考建议：CES效用至少掌握ρ=0.5, ρ=0(C-D), ρ=1(完全替代), ρ→−∞(完全互补)四种情况。科斯定理要会算补偿区间。

2018年真题

📌 这节学完你就能回答： 2018年四道题——消费者理论、垄断定价+DWL、外部性、一般均衡（纯交换经济）。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论（改编自2018年真题）

题目：效用函数 u=x₁^(1/2)+x₂^(1/2)（拟线性变体，但两个变量对称），m=120，p₁=3, p₂=2。 （1）求马歇尔需求。 （2）若p₁下降到2，用斯勒茨基分解分析。

👁️ 审题：u=x₁^(1/2)+x₂^(1/2)是两个变量对称的"拟线性式"——但两个变量都是凹函数，有内点解。

✍️ 执行：

（1）马歇尔需求

MRS = (1/(2√x₁))/(1/(2√x₂)) = √(x₂/x₁) 令MRS=p₁/p₂=3/2 → √(x₂/x₁)=1.5 → x₂/x₁=2.25 → x₂=2.25x₁

预算：3x₁+2(2.25x₁)=120 → 3x₁+4.5x₁=120 → 7.5x₁=120 → x₁°=16 x₂°=2.25×16=36

u° = 4+6 = 10

（2）p₁降到2

新条件：MRS=2/2=1 → √(x₂/x₁)=1 → x₂=x₁ 预算：2x₁+2x₁=120 → x₁'=x₂'=30 u' = √30+√30 = 2√30 ≈ 10.954

斯勒茨基分解： 维持原购买力：m_s=2×16+2×36=104（注意新价格都是2） 在新价格和m_s下的中间点：2x₁+2x₂=104, x₂=x₁ → x₁=x₂=26 SE = 26−16 = +10（替代效应：x₁便宜了，用x₁替代x₂） IE = 30−26 = +4（收入效应：实际收入增加了，多买x₁） 总效应 = 14 ✓

⚠️ 易错点：

1. 这种效用函数的MRS=√(x₂/x₁)，注意根号
2. 预算约束中p₁和p₂的位置不要搞反
3. 斯勒茨基分解时两个价格都变了的话需要同时调整

考点归纳：非C-D效用的MRS求解、斯勒茨基分解的通用方法 同类题提醒：2018/2024都考过斯勒茨基分解

⭐⭐⭐ ### 第2题：垄断定价+DWL（改编自2018年真题）

题目：垄断企业需求 P=80−Q/2，成本 C(Q)=Q²。 （1）求垄断价格和产量。 （2）求完全竞争价格和产量（P=MC）。 （3）计算垄断的DWL。

✍️ 执行：

（1）垄断

MR = 80−Q（因为P=80−Q/2→总收益=80Q−Q²/2→MR=80−Q） MC = 2Q 令MR=MC：80−Q=2Q → Q_M=80/3≈26.67, P_M=80−40/3=200/3≈66.67

（2）完全竞争

P=MC：80−Q/2=2Q → 80=2.5Q → Q_C=32, P_C=80−16=64

（3）DWL

DWL = ∫[Q_M→Q_C] (P(Q)−MC(Q)) dQ = ∫[80/3→32] (80−Q/2−2Q) dQ = ∫[80/3→32] (80−2.5Q) dQ = [80Q−1.25Q²]_{80/3}^{32} = (2560−1280) − (6400/3−1.25×6400/9) = 1280 − (2133.33−888.89) = 1280 − 1244.44 = 35.56

⚠️ 易错点：

1. DWL积分从垄断量到竞争量，不是从0开始
2. MR的求导：TR（Total Revenue，总收益）=P(Q)·Q，注意需求函数的系数
3. 验证：完全竞争时P=MC=64，垄断时P=66.67>MC=53.33，产生了效率损失

考点归纳：垄断DWL计算、MR推导、竞争vs垄断效率比较

⭐⭐⭐ ### 第3题：外部性（改编自2018年真题）

题目：与2024年第3题结构相似——PMC、SMC、庇古税的基本计算。此处略（参考2024年第3题）。

对答案要点：三步和2024年第3题完全一样——①P=PMC 求私人产量；②SMC=PMC+MD 求社会产量；③税率=社会最优产量处的外部边际损害 t=MD(Q_s)。本题数字不同，做完拿"征税后回到社会最优产量"验证。

说明：2018年外部性题为基本庇古税计算，结构和方法与2024年第3题高度一致。练习时参考2024年第3题。

⭐⭐⭐⭐ ### 第4题：一般均衡——纯交换经济（改编自2018年真题）

题目：两人两商品纯交换经济。A的禀赋(8,0)，效用 uᴬ=x₁ᴬx₂ᴬ。B的禀赋(0,6)，效用 uᴮ=x₁ᴮx₂ᴮ。令p₂=1。 （1）求竞争均衡。 （2）验证均衡的帕累托最优性。 （3）如果A的禀赋变为(12,0)，均衡价格如何变化？

👁️ 审题：两人都是C-D效用（α=β=1/2），初始禀赋互补。

✍️ 执行：

（1）竞争均衡

A的收入：mᴬ=8p（p₁=p, p₂=1） A的需求：x₁ᴬ=mᴬ/(2p)=8p/(2p)=4, x₂ᴬ=mᴬ/2=4p

B的收入：mᴮ=6 B的需求：x₁ᴮ=6/(2p)=3/p, x₂ᴮ=3

商品1市场出清：x₁ᴬ+x₁ᴮ=8 → 4+3/p=8 → 3/p=4 → p=3/4

均衡价格：p₁/p₂=3/4

均衡消费：A(4, 3), B(4, 3)（每人恰好一样——因为效用函数相同+禀赋价值经均衡价格调整后分配）

验证商品2出清：3+3=6 ✓

（2）帕累托最优验证

MRSᴬ=x₂ᴬ/x₁ᴬ=3/4=p₁/p₂ ✓ MRSᴮ=x₂ᴮ/x₁ᴮ=3/4=p₁/p₂ ✓

MRS相等→帕累托最优 ✓

（3）禀赋变化

A的禀赋变为(12,0)：mᴬ=12p x₁ᴬ=12p/(2p)=6, x₂ᴬ=6p

B不变：x₁ᴮ=3/p, x₂ᴮ=3

商品1出清：6+3/p=12 → 3/p=6 → p=1/2

p₁/p₂从3/4降到1/2——因为商品1变得相对更充裕了（禀赋从8增到12），所以价格下降。

⚠️ 易错点：

1. C-D效用x₁=αm/p₁=(1/2)m/p₁——不要漏了1/2
2. 禀赋变化直接影响相对价格——商品越充裕越便宜
3. 纯交换经济中总消费=总禀赋（没有生产）

考点归纳：纯交换经济、竞争均衡价格、禀赋变化的比较静态 同类题提醒：2018/2023纯交换经济，核心都是"C-D效用+互补禀赋"

💡 阅读思考（2018年总结）

解题复盘：第4题纯交换经济是2023年一般均衡题的"前身"——结构几乎一样，只是效用参数不同。

命题趋势：2018年DWL计算是垄断题的高阶要求——不仅要会定价，还要会算效率损失。

备考建议：DWL积分公式∫(P(Q)−MC)dQ要能快速写出。纯交换经济的一般均衡建议形成固定解题套路。

2017年真题

📌 这节学完你就能回答： 2017年四道题——消费者理论、垄断+价格歧视、外部性、古诺（含n企业推导）。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——拟线性效用（改编自2017年真题）

题目：效用函数 u=x^(1/2)+y，m=50，p_x=1, p_y=2。 （1）求马歇尔需求（注意角点解可能性）。 （2）若p_x涨到2，求CV和EV并比较。

👁️ 审题：拟线性——x^(1/2)+y，y是线性项。x的MRS只取决于x。

✍️ 执行：

（1）马歇尔需求

MRS = (1/(2√x))/1 = 1/(2√x)

内点解：1/(2√x) = p_x/p_y = 1/2 → √x=1 → x=1 y = (m−p_x·x)/p_y = (50−1×1)/2 = 49/2 = 24.5

角点检查：y=24.5>0 ✓

如果收入太低(m<p_x·x=m_min=1)，则角点解x=m/p_x, y=0。

（2）p_x涨到2

新条件：1/(2√x)=2/2=1 → √x=1/2 → x'=0.25 y'=(50−2×0.25)/2=(50−0.5)/2=24.75

拟线性下CV=EV=ΔCS： CV = ∫[1→2] x(p_x) dp_x = ∫[1→2] 1/(4p_x²)... 等等

x的需求函数（来自MRS条件）：1/(2√x)=p_x/2 → √x=1/p_x → x=1/p_x²

CV = ∫[1→2] (1/p_x²) dp_x = [−1/p_x]₁² = (−1/2)−(−1) = 0.5

EV同样是0.5（因为无收入效应）。

⚠️ 易错点：

1. 拟线性x需求与m无关（只要y>0），所以CV=EV
2. 积分用的需求函数是x(p_x)=1/p_x²——直接从MRS条件推导
3. 验证内点解是否成立(m>p_x·x)

考点归纳：拟线性效用性质、CV=EV条件 同类题提醒：2017/2022都考了拟线性，核心是"收入效应为零"

⭐⭐⭐⭐ ### 第2题：垄断+价格歧视（改编自2017年真题）

题目：与2020年第2题/2023年第3题结构类似，三级价格歧视标准计算。此处略（参考2020年第2题或2023年第3题）。

对答案要点：核心方程 MR₁=MR₂=MC——让两个市场的 MR 各自等于 MC 解出两市场产量，再回代反需求函数得两个价格。做完用"两个市场的 MR 是否相等"自检。

⭐⭐⭐ ### 第3题：外部性（改编自2017年真题）

题目：与2021年第2题/2024年第3题结构类似。略——参考2024年第3题。

对答案要点：私人最优令 MRP_L=私人边际要素成本，社会最优把外部边际损害加进去（MRP_L=私人边际+外部边际），庇古税=社会最优投入处的外部边际损害。完整步骤见2021年第2题。

⭐⭐⭐⭐ ### 第4题：古诺模型（改编自2017年真题）

题目：与2019年第2题结构类似——n企业古诺推导。略——参考2019年第2题或2021年第3题。

对答案要点：结果是 n 企业古诺字母通式 q*=(a−c)/[b(n+1)]，n→∞ 时价格趋近边际成本、利润趋零。本题正是2019/2021同类题的前身，代入具体数值即可。

说明：2017年第4题是n企业古诺的字母推导，是2019/2021同类题的前身。

2016年真题

📌 这节学完你就能回答： 2016年四道题——消费者理论、一般均衡（含生产）、完全竞争市场、寡头。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论（改编自2016年真题）

题目：效用函数 u=min(x₁, 2x₂)，m=180，p₁=6, p₂=3。 （1）求最优消费量。 （2）若p₁降到4，做斯勒茨基分解（注意完全互补下SE=0）。

👁️ 审题：完全互补，系数不同(x₁=2x₂)。

✍️ 执行：

（1）最优消费

最优条件：x₁ = 2x₂ 预算：6x₁ + 3x₂ = 180 代入：6(2x₂) + 3x₂ = 180 → 15x₂ = 180 → x₂°=12, x₁°=24 u° = min(24,24) = 24

（2）p₁降到4

新预算：4x₁ + 3x₂ = 180, x₁=2x₂ 4(2x₂) + 3x₂ = 180 → 11x₂ = 180 → x₂'≈16.364, x₁'≈32.727

斯勒茨基分解： 原购买力补偿：m_s = 4×24 + 3×12 = 96+36 = 132 在m_s和新价格下：4(2x₂) + 3x₂ = 132 → 11x₂ = 132 → x₂^s = 12, x₁^s = 24

SE = 24−24 = 0（完全互补下替代效应为零！） IE = 32.727−24 = 8.727

💡 完全互补下所有需求变化都来自收入效应——因为两种商品必须按固定比例消费，价格再变也"没法替代"。

⚠️ 易错点：

1. min(x₁, 2x₂)最优条件 = x₁ = 2x₂，不是 x₁=x₂
2. 完全互补的SE=0——这是重要特征

考点归纳：完全互补的斯勒茨基分解、SE=0 同类题提醒：2016/2023都考了完全互补，SE=0每次都要明确指出

⭐⭐⭐ ### 第2题：一般均衡——含生产（改编自2016年真题）

题目：纯交换经济加生产。消费者A和B效用均为 u=x₁x₂。A禀赋劳动L̄=24小时且拥有全部企业股权；B无劳动禀赋、无股权。企业用劳动生产x₁：x₁=2√L。x₂由禀赋外生给定：每人6单位（共12单位）。价格以p₁=1为计价单位，工资w与x₂价格p₂由市场出清内生决定。 （1）求竞争均衡。 （2）验证均衡的帕累托最优性。

💡 改写说明：原改编稿设定"令p₁=1, w=1"把w也固定了，导致劳动市场（企业只雇L=1）与商品市场（总x₁需求远超产量2）无法同时出清，计算中途自相矛盾而放弃。此处改写为自洽简化模型：只让A拥有劳动禀赋与企业股权（利润全归A），w、p₂由市场内生决定。

👁️ 审题：含生产的一般均衡——生产（利润）→收入→需求→劳动、x₁、x₂三市场同时出清。

✍️ 执行：

（1）竞争均衡

第一步 生产决策： 企业max π = p₁·2√L − wL = 2√L − wL 一阶条件：1/√L = w → 劳动需求 L^d = 1/w² 利润：π = 2·(1/w) − w·(1/w²) = 1/w

第二步 收入： 利润全归A，劳动收入归A，x₂禀赋按市价p₂计价： mᴬ = w·24 + π + p₂·6 = 24w + 1/w + 6p₂ mᴮ = p₂·6

第三步 需求（C-D u=x₁x₂：每种商品花一半收入）： x₁^A = mᴬ/2，x₂^A = mᴬ/(2p₂) x₁^B = mᴮ/2，x₂^B = mᴮ/(2p₂)

第四步 市场出清：

劳动市场：效用不含闲暇→劳动全部供给=24；劳动需求=1/w²。 24 = 1/w² → w = 1/√24 = 1/(2√6) ≈ 0.204

x₁市场：x₁^A + x₁^B = (mᴬ+mᴮ)/2 = 2√L = 2/w → (24w + 1/w + 12p₂)/2 = 2/w → 24w + 1/w + 12p₂ = 4/w → 12p₂ = 3/w − 24w 代入 w=1/(2√6)：12p₂ = 3·(2√6) − 24·(1/(2√6)) = 6√6 − 2√6 = 4√6 → p₂ = √6/3 ≈ 0.816

x₂市场（瓦尔拉斯定律保证自动出清，可直接验算）： 总需求 = (mᴬ+mᴮ)/(2p₂) = (4/w)/(2p₂) = 2/(w·p₂) = 2/(1/6) = 12 = 总供给 ✓

第五步 均衡数量汇总： L = 24（全部劳动投入生产） x₁ = 2√24 = 4√6 ≈ 9.80 π = 1/w = 2√6 ≈ 4.90 mᴬ = 24w + π + 6p₂ = 2√6 + 2√6 + 2√6 = 6√6 ≈ 14.70 mᴮ = 6p₂ = 2√6 ≈ 4.90 A的消费：(x₁^A, x₂^A) = (3√6, 9) ≈ (7.35, 9) B的消费：(x₁^B, x₂^B) = (√6, 3) ≈ (2.45, 3) 验算：x₁合计 = 3√6+√6 = 4√6 ✓；x₂合计 = 9+3 = 12 ✓

（2）帕累托最优验证

凸经济（C-D效用、凹生产函数）中竞争均衡自动帕累托最优（第一福利定理）。逐条验证：

1. 消费效率（两人MRS相等且等于价格比）： MRSᵢ = x₂ᵢ/x₁ᵢ MRS_A = 9/(3√6) = 3/√6，MRS_B = 3/√6 → MRS_A = MRS_B ✓ 且 p₁/p₂ = 1/(√6/3) = 3/√6 → MRS = p₁/p₂ ✓

2. 生产效率（劳动被有效利用）： MRP_L = p₁·MP_L = 1·(1/√L) = 1/√24 ≈ 0.204 = w ✓（利润最大化的雇用条件成立） 无闲暇偏好，24小时劳动全部投入生产，x₁=4√6落在生产可能性边界上。

3. 结论：MRS_A = MRS_B = p₁/p₂ 且 MRP_L = w、劳动全利用 → 该竞争均衡是帕累托最优 ✓

⚠️ 易错点：

1. 含生产的一般均衡必须三市场全查（劳动、x₁、x₂）；劳动出清决定w，再回代商品市场
2. 效用不含闲暇时，劳动供给=全部禀赋，是一条垂直线，由需求方决定w
3. 不要像原改编那样把w预先固定——w必须由劳动市场内生决定，否则三市场无法同时出清

考点归纳：含生产的一般均衡、第一福利定理、瓦尔拉斯定律 同类题提醒：一般均衡（含生产）在2016年考过，是802少有的考生产的均衡题，先解生产再回代需求

⭐⭐⭐ ### 第3题：完全竞争市场（改编自2016年真题）

题目：行业需求 Q_D=2000−50P。每个企业成本 C(q)=2q²+10q+72。 （1）求单个企业的短期供给函数。 （2）行业有100个相同企业，求短期市场供给和均衡价格。 （3）长期均衡价格和每个企业产量是多少？

✍️ 执行：

（1）短期供给

对总成本 C(q)=2q²+10q+72 求导得 MC=4q+10（短期供给曲线就是 MC 在 AVC 最低点以上的部分）。 短期供给（P≥AVC_min处）：P=MC → q=P/4−2.5（P≥10时） 停产条件：AVC=2q+10, min AVC=10(q→0)，所以P<10时q=0。

（2）市场供给

Q_S = 100q = 100(P/4−2.5) = 25P−250（P≥10）

均衡：25P−250 = 2000−50P → 75P=2250 → P=30* Q*=2000−1500=500, 每企业q=5

（3）长期均衡

长期中企业可自由进入，均衡条件：P=min LAC。 LAC = C(q)/q = 2q+10+72/q dLAC/dq = 2−72/q² = 0 → q²=36 → q=6 LAC_min = 2×6+10+72/6 = 12+10+12 = 34

长期均衡：P=34, q=6** Q_D = 2000−50×34 = 2000−1700 = 300 企业数 n = 300/6 = 50家

⚠️ 易错点：

1. 短期供给是MC曲线在AVC以上的部分
2. 长期均衡q在LAC最低点，不是SAC最低点
3. q²−10q+40这类函数的LAC最低点求导要仔细

考点归纳：短期供给曲线、长期均衡、自由进入 同类题提醒：2016/2024都有长期均衡，LAC最低点是核心

⭐⭐⭐ ### 第4题：寡头——斯塔克伯格（改编自2016年真题）

题目：结构参考2024年第2题的斯塔克伯格部分。此处略。

对答案要点：领导者（先动者）把跟随者的反应函数代入自己的利润函数再求导——结果必然是领导者产量更大、总产量比古诺更多、价格更低，且领导者利润高于古诺（先发优势）。步骤对照2024年第2题第（2）问。

2015年真题

📌 这节学完你就能回答： 2015年四道题——消费者理论（起点年，基础题型）、要素市场、古诺模型、成本+供给。

⭐⭐⭐⭐⭐ ### 第1题：消费者理论——基础效用最大化（改编自2015年真题）

题目：效用函数 u=x₁x₂，m=100，p₁=5, p₂=2。 （1）求最优消费量。 （2）若政府征收所得税T=20（一次性扣除收入），求新最优消费量。 （3）若征收从量税t=2（只对x₁），使政府获得同样的税收收入20，哪种税对消费者伤害更小？（用效用比较）

👁️ 审题：C-D效用基础题+税收比较。所得税vs从量税的经典对比。

✍️ 执行：

（1）初始最优

α=β=1/2（C-D u=x₁x₂）： x₁° = 100/(2×5) = 10 x₂° = 100/(2×2) = 25 u° = 10×25 = 250

（2）所得税T=20

m'=80： x₁=80/(2×5)=8, x₂=80/(2×2)=20 u₁ = 8×20 = 160

（3）从量税t=2（只对x₁）

x₁的价格变为7。要获得20税收：t×x₁' = 20 → 2x₁'=20 → x₁'=10。 但x₁'在价格为7时会是多少？ x₁' = 100/(2×7) = 50/7 ≈ 7.143 < 10 → 税收=2×7.143≈14.29<20，不够！

要达到税收20，需要更多的x₁，但这由消费者在p₁=7下的选择决定——实际上税收是个内生结果。

更合理的分析：在从量税让p₁变成7后，新消费x₁=100/(2×7)=50/7≈7.143, x₂=25。 税收=2×7.143≈14.29, u₂=(50/7)×25=1250/7≈178.57。

比较：u₁=160（所得税）< u₂≈178.57（从量税14.29）。但税收不一样——不公平的比较。

公平比较：让从量税的税率设计为恰好收到20税收。即 t×x₁(t)=20。 x₁(t) = 100/(2(5+t)) = 50/(5+t) t×50/(5+t) = 20 → 50t = 100+20t → 30t = 100 → t=100/30≈3.333

在t=3.333时：p₁=8.333, x₁=50/8.333≈6, x₂=25 u₂' = 6×25 = 150 税收=3.333×6≈20 ✓

u₁=160 > u₂'=150 → 所得税比从量税对消费者更好（等额税收下效用更高）。

💡 直观解释：所得税只拿走收入但不改变相对价格；从量税不仅拿走钱，还扭曲了消费选择（x₁/x₂的比例变了）→造成额外负担。

⚠️ 易错点：

1. 等额税收比较是关键——不同税额的比较没有意义
2. 所得税保持相对价格不变，从量税改变相对价格——后者多了一重扭曲
3. x₁在C-D中需求价格弹性=1

考点归纳：所得税vs从量税的福利比较、超额负担 同类题提醒：税收福利比较在2015/2022出现

⭐⭐⭐ ### 第2题：要素市场——劳动需求（改编自2015年真题）

题目：企业生产函数 q=4√L（L为劳动），产品价格P=20。劳动供给 w=2+0.5L。 （1）求企业的劳动需求函数。 （2）买方垄断下（企业是唯一雇主）的均衡工资和就业量。 （3）完全竞争劳动市场下的均衡工资和就业量，并比较。

👁️ 审题：劳动市场，区分买方垄断和完全竞争。

✍️ 执行：

（1）劳动需求

MP_L = 2/√L MRP_L = P×MP_L = 20×(2/√L) = 40/√L

劳动需求由MRP_L = w决定：w = 40/√L → L_D = 1600/w²

（2）买方垄断

企业选择L最大化：π = 20×(4√L) − w(L)×L 其中 w(L) = 2+0.5L（劳动供给曲线=平均要素成本AFC）

总劳动成本 TLC = (2+0.5L)L = 2L+0.5L² 边际要素成本 MFC（Marginal Factor Cost，边际要素成本） = d(TLC)/dL = 2+L

令 MRP_L = MFC：40/√L = 2+L √L = t → L=t²：40/t = 2+t² → 40 = 2t+t³ → t³+2t−40=0

试t=3: 27+6−40=−7 t=4: 64+8−40=32>0 t=3.2: 32.768+6.4−40=−0.832 t=3.25: 34.328+6.5−40=+0.828>0

真根在3.2~3.25之间，再细分： t=3.22: 33.386+6.44−40=−0.174 t=3.23: 33.698+6.46−40=+0.158>0

真根在3.22~3.23之间，插值取 t≈3.225 L≈t²=3.225²≈10.40

w = 2+0.5×10.40 ≈ 7.20

（3）完全竞争劳动市场

劳动需求=劳动供给：40/√L = 2+0.5L 令√L=t：40/t = 2+0.5t² → 40 = 2t+0.5t³ → 0.5t³+2t−40=0 → t³+4t−80=0

试t=4: 64+16−80=0 ✓

t=4 → L=16 w = 2+0.5×16 = 10

比较：

买方垄断下就业更少、工资更低——雇主利用其市场力量压低了工资和就业量。

⚠️ 易错点：

1. 买方垄断下MFC>w（AFC（Average Factor Cost，平均要素成本）），因为要多雇一单位需要提高所有工人的工资
2. MRP_L=MFC≠w——买方垄断者不会让MRP=w
3. 劳动供给曲线w(L)是AFC，MFC=AFC+L×d(AFC)/dL

考点归纳：劳动需求、买方垄断、MFCvsAFC 同类题提醒：2015/2022考过要素市场，买方垄断是2015年特色

⭐⭐⭐ ### 第3题：古诺模型（改编自2015年真题）

题目：基本对称古诺。P=100−Q，两个企业，MC=0。 （1）求古诺均衡。 （2）若企业合并为垄断，求产量和价格。 （3）比较消费者剩余。

✍️ 执行：

（1）古诺均衡

反应函数：q₁=(100−q₂)/2, q₂=(100−q₁)/2 q₁=q₂=100/3≈33.33 P=100−200/3=100/3≈33.33 CS = (100−100/3)×(200/3)/2 = (200/3)×(200/3)/2 = 20000/9≈2222.22

（2）垄断

总利润：Π=(100−Q)Q 一阶条件：100−2Q=0 → Q=50, P=50 CS = (100−50)×50/2 = 1250

（3）比较

古诺CS（2222）>垄断CS（1250）——双寡头比垄断给了消费者更多好处（价格更低、产量更大）。

⚠️ 易错点：

1. MC=0时古诺反应函数简化为q_i=(a−Q_−i)/2
2. 对称古诺可以直接用公式 q*=(a−c)/[b(n+1)]
3. CS=(a−P)×Q/2（线性需求下三角形面积）

考点归纳：MC=0的特殊古诺、垄断vs古诺 同类题提醒：MC=0的古诺在2015年出现，简化计算但要小心除零

⭐⭐ ### 第4题：成本+供给（改编自2015年真题）

题目：基本完全竞争供给分析。参考2016年第3题和2024年第4题的结构。此处略。

对答案要点：短期供给=MC 在 AVC 最低点以上的部分；长期均衡价格=长期平均成本最低点 LAC_min，每企业产量=LAC 最低点对应的 q，企业数=市场均衡量÷单企业产量。参照2016年第3题和2024年第4题。

附：考点频率统计表（2015-2024微观）

消费者理论（⭐⭐⭐⭐⭐ 每年必考，10/10）

寡头模型（⭐⭐⭐⭐ 约1-2年考一次）

垄断与价格歧视（⭐⭐⭐⭐）

成本与生产（⭐⭐⭐⭐ 高频）

外部性（⭐⭐⭐ 约2-3年考一次）

一般均衡（⭐⭐⭐）

要素市场（⭐⭐）

附：答题规范与时间分配

微观部分考试概览

• 总题数：4道大题
• 总时间建议：80-90分钟（政经留60-70分钟）
• 每题时间：20-25分钟
• 每题分值：约10-15分

计算题答题格式（规范步骤）

第1步：写已知条件（函数形式、参数值）
第2步：写核心公式/一阶条件
第3步：代入数值计算
第4步：得出结果（带单位）
第5步：（可选）验证——代入原条件检查

证明题格式

第1步：写出假设条件
第2步：写出待证明的命题
第3步：逻辑推导（每一步标注依据）
第4步：得出结论

考场时间管理

考试策略

1. 先做会的——遇到卡住的题先跳过，把四道题都扫一遍
2. 消费者理论放最后——如果需要精细计算（斯勒茨基/CV/EV），留足时间
3. 寡头/成本/外部性放前面——公式相对固定，计算量适中
4. 写步骤得步骤分——即使最后结果错了，正确的一阶条件也能拿大半分数
5. 二阶条件检查——每个优化问题结束前花30秒验证

概念速查表（微观真题反复出现的核心公式）

📋 记忆卡片（微观10张核心卡片）

📅 建议复习节奏：当天→第3天→第7天→第14天→考前。

|||CARD_START||| Q: C-D效用 u=x₁^α x₂^β（α+β=1）的马歇尔需求公式是什么？ A: x₁ = αm/p₁, x₂ = βm/p₂。支出函数：e = u·(p₁/α)^α·(p₂/β)^β。间接效用：v = m·(α/p₁)^α·(β/p₂)^β。这三个公式是消费者理论的基础，必须随手能写。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 斯勒茨基分解的两步分别做什么？ A: 第一步（替代效应）：用新价格+维持原购买力的收入(m_s=p₁'x₁°+p₂x₂°)求"中间消费量"x^s。SE=x^s−x°。第二步（收入效应）：用新价格+实际收入求新消费量x'。IE=x'−x^s。总效应=SE+IE。替代效应永远与价格变化方向相反。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: CV和EV的区别？什么时候CV=EV？ A: CV=新价格下回到旧效用需要补偿的钱 = e(p',u°)−m。EV=旧价格下达到新效用等效的钱 = m−e(p°,u')。正常品涨价时CV>EV。两者只在拟线性效用（收入效应为零）时相等。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: n个相同企业的古诺均衡产量公式是什么？ A: q* = (a−c)/[b(n+1)], Q* = n(a−c)/[b(n+1)], P* = (a+nc)/(n+1), π_i* = (a−c)²/[b(n+1)²]。当n=1→垄断，n=2→双寡头，n→∞→完全竞争(P→c)。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 完全互补效用 u=min(ax₁, bx₂) 的最优条件是什么？替代效应是多少？ A: 最优条件：ax₁ = bx₂（不是x₁=x₂）。替代效应SE=0——因为两种商品必须按固定比例消费，价格变化无法产生替代。所有需求变化都是收入效应。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 拟线性效用 u=v(x)+y 的核心性质是什么？ A: x的马歇尔需求与收入无关（当y>0时），收入效应为零。因此希克斯需求=马歇尔需求，CV=EV=ΔCS。计算CV时可以直接用马歇尔需求积分，不需要求支出函数。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 庇古税怎么求？ A: 三步：①求社会边际成本 SMC=PMC+MD；②令 P=SMC 求社会最优产量 Q_s；③税率 t=MD(Q_s)——等于社会最优产量处的外部边际损害。验证：征税后企业面对MC+t，重新优化得Q=Q_s。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 长期竞争均衡的三个条件是什么？ A: ①P=LMC（利润最大化）；②P=LAC_min（零利润，自由进入）；③LMC=LAC_min（在LAC最低点生产）。三个等式同时成立决定了长期均衡价格和每个企业的产量。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 三级价格歧视的条件和核心方程？ A: 条件：两个市场需求弹性不同（否则歧视无意义）。核心方程：MR₁(Q₁)=MR₂(Q₂)=MC(Q₁+Q₂)。先确定总产量MC=MR₁=MR₂，再分配给两个市场。不是两个市场各自独立MR=MC。 |||CARD_END|||

|||CARD_START||| Q: 纯交换经济一般均衡的求解步骤？ A: ①令一个商品为numeraire(p₂=1)；②计算每人收入mⁱ=p₁ω₁ⁱ+ω₂ⁱ；③求每人需求xⁱ(p₁)；④任一市场出清条件 x₁ᴬ+x₁ᴮ=ω₁ᴬ+ω₁ᴮ；⑤解出相对价格p₁；⑥验证另一个市场自动出清（瓦尔拉斯法则）。 |||CARD_END|||

🧪 学完自测（8道题，检测微观计算核心能力）

一、计算题

1. 某消费者 u=x₁^(1/2)x₂^(1/2), m=200, p₁=2, p₂=4。p₁涨到p₁'=8。求斯勒茨基分解的替代效应和收入效应。

2. n个相同企业, P=200−Q, MC=20。求n=1,2,3,∞时的均衡价格和总产量。

3. 垄断企业市场需求 Q=120−2P, MC=10。求垄断定价和DWL。

4. 外部性：PMC=2Q, MD=Q, P=120−Q。求庇古税税率。

二、简答题（口头回答）

5. 拟线性效用下为什么CV=EV？ 6. 完全互补效用下为什么SE=0？ 7. 同质产品伯特兰德均衡为什么P=MC？ 8. 三级价格歧视的核心条件是什么？

资料声明：以上真题题目均为考研论坛、豆瓣、知乎等公开平台的考生回忆版，经多个来源交叉验证。题目具体措辞已做改写（保留考点和计算结构），标注"改编自20XX年真题"。分值分布参考历年考生反馈，部分年份为估算值。 建议：真题解析配合高鸿业《西方经济学（微观部分）》第8版、尼科尔森《微观经济理论》第12版、平新乔《微观经济学十八讲》使用。