模拟卷 —— 人大802微观经济学考前实战

👁️ 审题——我第一眼看什么

拿到Cobb-Douglas效用函数，脑子里弹出四个公式抽屉：①马歇尔需求 x = αm/p_x（α=0.3）②间接效用函数 ③罗伊恒等式 ④希克斯需求。题目要前三样。Cobb-Douglas是最好算的——直接用公式，不需要拉格朗日法从头推（当然用拉格朗日也不会错，就是多写字）。

🧠 判断——我想到什么方法

第（1）问：Cobb-Douglas U = x^α·y^β 的马歇尔需求公式为 x = (α/(α+β))·m/p_x。这里 α=0.3, β=0.7, α+β=1（一次齐次），所以直接 x=0.3·m/p_x, y=0.7·m/p_y。代数字就行。

（这个公式哪来的？——把"最后一块钱花在 x 和 y 上的效用相等"即 MRS=价格比，和预算线联立，消去 y，解出来就是 x 恒占收入 α/(α+β) 的份额。α+β=1 时更简单，x 直接拿走收入的 α 份。背不出公式时，现场推这一步就能救场。）

第（2）问：间接效用函数就是把马歇尔需求代回效用函数——V(p,m) = U(x*(p,m), y*(p,m))。经济含义：给定价格和收入，消费者最多能获得多少效用。

第（3）问：罗伊恒等式 x(p,m) = −(∂V/∂p_x)/(∂V/∂m)，用第（2）问的结果验证第（1）问。这是"倒推法"——从间接效用反推需求。

✍️ 执行——我一步步做

第（1）问：

Cobb-Douglas 需求公式：x = α·m/p_x = 0.3 × 1000/10 = 30；y = β·m/p_y = 0.7 × 1000/20 = 35。

验证预算约束：10×30 + 20×35 = 300 + 700 = 1000 = m。通过。

第（2）问：

V = (0.3m/p_x)^{0.3} · (0.7m/p_y)^{0.7} = 30^{0.3} · 35^{0.7}。

这个数值不需要算出来（留着指数形式就行）。经济含义：V 随收入 m 增加而增加（越有钱越爽），随价格上升而下降（物价涨了就难受）。

第（3）问：

先把 V 写成便于求导的形式：V = 0.3^{0.3}·0.7^{0.7} · m · p_x^{-0.3} · p_y^{-0.7}。

∂V/∂p_x = 0.3^{0.3}·0.7^{0.7} · m · (−0.3)·p_x^{−1.3}·p_y^{−0.7}

∂V/∂m = 0.3^{0.3}·0.7^{0.7} · p_x^{−0.3}·p_y^{−0.7}

罗伊恒等式：x = −(∂V/∂p_x)/(∂V/∂m) = −(−0.3·m·p_x^{−1.3}·p_y^{−0.7})/(p_x^{−0.3}·p_y^{−0.7}) = 0.3·m·p_x^{−1} = 0.3m/p_x。

代入数字得 0.3×1000/10 = 30，与第（1）问一致。验证通过。

⚠️ 最容易卡住的地方

第一个坑：罗伊恒等式前面有个负号，∂V/∂p_x 又是负的（价格涨效用降），负负得正——但很多人一慌就把负号丢了。第二个坑：求偏导时指数减1容易算错（p_x^{-0.3} 对 p_x 求导是 −0.3·p_x^{−1.3}）。

👁️ 审题

STC = q³ − 6q² + 15q + 10。一眼认出这是标准的短期成本函数——q³ 前面的三次项、−6q² 的二次项说明这是"U形成本曲线"。常数项 10 就是固定成本 FC（不随产量变的就是FC）。剩下的 q³−6q²+15q 就是可变成本 VC（Variable Cost，可变成本）。

🧠 判断

第（1）问就是做"拆分+求导"运动：拆出FC和VC → VC除以q得AVC → STC除以q得AC → STC对q求导得MC。

第（2）问短期供给函数是重头戏。竞争性厂商的短期供给函数：P = MC(q) 且 P ≥ min AVC（否则停产）。所以需要①求MC ②求min AVC ③写分段的供给函数。

第（3）问直接令 P = MC，解出 q，再算利润。注意验证二阶条件。

✍️ 执行

第（1）问：

• FC = 10（找q=0时STC的值）
• VC = q³ − 6q² + 15q
• AVC = VC/q = q² − 6q + 15
• AC = STC/q = q² − 6q + 15 + 10/q
• MC = d(STC)/dq = 3q² − 12q + 15

第（2）问：

第一步，求AVC的最低点。d(AVC)/dq = 2q − 6 = 0 → q = 3。AVC(3) = 9 − 18 + 15 = 6。

所以：当 P ≥ 6 时，厂商按 P = MC 生产，即 P = 3q² − 12q + 15；当 P < 6 时，停产，q = 0。

注意：P = 3q² − 12q + 15 需要反解出 q(P)。解二次方程 3q² − 12q + (15−P) = 0： q = [12 + √(144 − 12(15−P))]/6 = [12 + √(144 − 180 + 12P)]/6 = [12 + √(12P − 36)]/6 = 2 + √(P/3 − 1)。

所以短期供给函数： q(P) = 2 + √(P/3 − 1)，当 P ≥ 6；q(P) = 0，当 P < 6。

第（3）问：

P = 30 ≥ 6，厂商继续生产。令 MC = P：3q² − 12q + 15 = 30 → 3q² − 12q − 15 = 0 → q² − 4q − 5 = 0 → q = 5 或 q = −1（舍去）。

二阶条件：d²(STC)/dq² = 6q − 12，在 q = 5 处 = 30 − 12 = 18 > 0（极小值，利润最大）。通过。

利润 π = TR（Total Revenue，总收益） − STC = 30×5 − (125 − 150 + 75 + 10) = 150 − 60 = 90。

⚠️ 最容易卡住的地方

最大的坑：求供给函数时忘了写"P ≥ min AVC"的价格条件。只写 q(P) 不写范围，直接扣2分。第二个坑：从 P = MC 反解 q 时开方忘写 ±，需要判断哪个根有意义（q ≥ 0）。第三个坑：AC 里 10/q 容易落下。

👁️ 审题

垄断题——万年不变的套路：先求 MR（Marginal Revenue，边际收益），令 MR=MC 求 Q，代回需求求 P，然后算利润。DWL 需要画图（脑补也行，画法参考正文图7-3 垄断无谓损失）：找垄断产量和完全竞争产量之间的需求曲线与 MC 围成的三角形面积。边际成本定价就是强制 P=MC——等于让垄断者按完全竞争的方式定价。

🧠 判断

核心公式：MR = d(TR)/dQ = d(P·Q)/dQ = 100 − 4Q（因为 P=100−2Q, TR=100Q−2Q²）。

MC = d(TC)/dQ = 20。

DWL 三角形：底边是(垄断Q到竞争Q)，高是(垄断P−MC)在垄断Q处的值。面积 = ½ × (Q_竞争 − Q_垄断) × (P_垄断 − MC_垄断)。

✍️ 执行

第（1）问：

MR = 100 − 4Q，MC = 20。MR = MC → 100 − 4Q = 20 → Q* = 20。 P* = 100 − 2×20 = 60。 π = TR − TC = 60×20 − (20×20 + 100) = 1200 − 500 = 700。

第（2）问：

完全竞争下 P = MC：100 − 2Q = 20 → Q_c = 40，P_c = 20。

DWL = ½ × (Q_c − Q*) × (P* − MC) = ½ × (40 − 20) × (60 − 20) = ½ × 20 × 40 = 400。

（画图的话，画法参考正文图7-3：需求线 P=100−2Q，MC 水平线=20。垄断时 Q=20,P=60。竞争时 Q=40,P=20。DWL 是 Q 从 20 到 40 之间需求线下方、MC 线上方的三角形。）

第（3）问：

P = MC → 100 − 2Q = 20 → Q = 40，P = 20。 此时 DWL = 0（价格等于边际成本，资源配置有效）。 利润 = 20×40 − (20×40 + 100) = 800 − 900 = −100（亏损）。

亏损的原因是固定成本 100 收不回来——边际成本定价让价格刚好覆盖可变成本，但覆盖不了固定成本。这就是"自然垄断定价困境"：按边际成本定价企业亏本，不按边际成本定价又有 DWL。

⚠️ 最容易卡住的地方

MR 求导要小心：P=100−2Q，TR=100Q−2Q²，MR=100−4Q。有人写成 100−2Q 就错了（把 P 曲线当成了 MR 曲线）。DWL 公式里的"高"是垄断价格减垄断产量处的 MC，不是减零。½ 系数别忘了——这个 ½ 是三角形面积公式里的。

👁️ 审题

古诺双寡头——两个厂商同时选择产量，各自把对手产量当给定。反应函数法：写出每个厂商的利润函数 → 对自身产量求偏导 → 令等于零得一阶条件 → 解联立方程。卡特尔就是两个厂商当一家人，合起来最大化总利润。

🧠 判断

厂商1：π₁ = (120 − q₁ − q₂)q₁ − 30q₁ = (90 − q₁ − q₂)q₁。

一阶条件 ∂π₁/∂q₁ = 90 − 2q₁ − q₂ = 0 → q₁ = (90 − q₂)/2 ——这就是厂商1的反应函数。

对称 → q₁ = q₂，所以 q₁ = (90 − q₁)/2 → 3q₁/2 = 45 → q₁ = 30, q₂ = 30。

卡特尔：总利润 Π = (120 − Q)Q − 30Q = (90 − Q)Q。对 Q 求导得 Q = 45。

✍️ 执行

第（1）问：

由反应函数联立：q₁ = (90 − q₂)/2，q₂ = (90 − q₁)/2。对称解 q₁ = q₂ = 30。 市场总产量 Q = 60，价格 P = 120 − 60 = 60。 π₁ = (60 − 30)×30 = 900，π₂ = 900，总利润 = 1800。

第（2）问：

卡特尔总利润 Π = (120 − Q)Q − 30Q = 90Q − Q²。 dΠ/dQ = 90 − 2Q = 0 → Q_K = 45。P_K = 120 − 45 = 75。 总利润 Π = (75 − 30)×45 = 2025。 通常两家平分（成本相同）：q₁ = q₂ = 22.5，各得利润 1012.5。

第（3）问：

卡特尔减产提价→总利润增加。但卡特尔不稳定——因为在卡特尔协议下（自己产22.5、对方产22.5），任一厂商偷偷多产1单位都能赚更多（自己增产到23.5时，价格只微降到74，但自己的利润从1012.5涨到约1034）。这就是"囚徒困境"——对整体最好的方案（卡特尔）对个体不是最优，所以容易破裂。

⚠️ 最容易卡住的地方

反应函数写法：π₁ = (120−q₁−q₂−30)q₁，有人把−30放在括号外面就写错了。卡特尔下各厂商产量分配：成本相同时平均分，成本不同时按"各厂商MC相等且等于MR"来分。如果忘记写"卡特尔不稳定"的经济直觉，分析部分会扣分。

👁️ 审题

拟线性效用 U = ln(x) + y。它的特点是：x 的需求只取决于价格比，与收入无关（只要收入够高、y 的消费量为正）。但注意了——收入不够买"理想"的 x 时，y 可能被挤到零，这时就是角点解。所以第一步必须先检查是否内点解。

🧠 判断

内点解的条件：MRS（Marginal Rate of Substitution，边际替代率） = 价格比，且由此推出的 y ≥ 0。

MRS = MU_x/MU_y = (1/x)/1 = 1/x。价格比 p_x/p_y = 2/1 = 2。

内点：1/x = 2 → x = 0.5。预算约束：2 × 0.5 + 1×y = 100 → y = 99 > 0。内点解有效。

对于拟线性效用，CV = EV = ΔCS（当内点解维持时）——这是核心性质。

✍️ 执行

第（1）问：

检查内点：MRS = 1/x = 2 → x = 0.5，y = 100 − 2×0.5 = 99 > 0 ✓。内点解成立。

马歇尔需求：x*(2, 1, 100) = 0.5，y*(2, 1, 100) = 99。

注意：如果收入很低（比如 m ≤ 1），y 可能为负→角点解，此时 x = m/p_x, y = 0。但这里 m=100 很大，没事。

第（2）问：

p_x 涨到 4。新的内点：1/x = 4 → x = 0.25，y = 100 − 4×0.25 = 99。仍是内点解。

原始效用水平：U₀ = ln(0.5) + 99。

CV（补偿变化）：价格变化后，需要给消费者多少钱，才能让他维持原来的效用水平？

在拟线性效用下，CV = [e(p_x', U₀) − e(p_x, U₀)]（支出函数之差）。更简单地：CV = ∫_{p_x}^{p_x'} x^h(p, U₀)dp。由于拟线性效用下希克斯需求等于马歇尔需求（x 无收入效应），CV = ∫_2^4 (1/p)dp = [ln(p)]_2^4 = ln(4) − ln(2) = ln(2) ≈ 0.693。

EV（等价变化）：在原价格下，需要拿走多少钱，才能让消费者降到新效用水平？同样 = ln(2)。

所以 CV = EV = ln(2) ≈ 0.693。

（3）问：

ΔCS = ∫_2^4 x(p)dp = ∫_2^4 (1/p)dp = ln(2)。所以 CV = EV = ΔCS。

原因：拟线性效用中 x 的需求没有收入效应——无论收入多少，x 的需求只取决于 p_x。没有收入效应→希克斯需求 = 马歇尔需求→CV = EV = ΔCS。这是拟线性效用在福利分析中如此受欢迎的原因。

⚠️ 最容易卡住的地方

最大的坑：不检查角点解就直接用 MRS=价格比——万一收入不够、算出来的 y 是负数，那整个解都不对。第二个坑：CV/EV 的积分限写反了。第三个坑：拟线性下 x 的需求 x = 1/p_x 只在 p_x ≤ m（保证 y ≥ 0）时成立，但本题 p_x ∈ [2,4] 距离 m=100 很远，没问题。

👁️ 审题

Cobb-Douglas 生产函数 q = K^{0.5}L^{0.5}，规模报酬不变（0.5+0.5=1）。要素价格给定了——直接走成本最小化流程：MRTS（Marginal Rate of Technical Substitution，边际技术替代率） = w/r → 得出 K 和 L 的最优比例 → 代回生产函数解出条件要素需求 → 代回成本方程得总成本函数。

🧠 判断

MRTS = MP_L/MP_K = (0.5K^{0.5}L^{-0.5})/(0.5K^{-0.5}L^{0.5}) = K/L。

成本最小化：K/L = w/r = 4/9 → K = (4/9)L。

代回 q = K^{0.5}L^{0.5} 求 L 和 K 关于 q 的表达式。

短期 K 固定时：直接从 q = 4^{0.5}·L^{0.5} = 2L^{0.5} 解出 L 关于 q 的表达式。

✍️ 执行

第（1）问：

K = (4/9)L。代入 q = ((4/9)L)^{0.5}·L^{0.5} = (4/9)^{0.5}·L = (2/3)·L。

所以 L*(q) = (3/2)q，K*(q) = (4/9)·(3/2)q = (2/3)q。

长期成本 C(q) = wL + rK = 4·(3q/2) + 9·(2q/3) = 6q + 6q = 12q。

长期边际成本 LMC = 12，长期平均成本 LAC（Long-run Average Cost，长期平均成本） = 12。规模报酬不变→成本是线性的。

第（2）问：

K̄ = 4，q = 4^{0.5}·L^{0.5} = 2·L^{0.5} → L = (q/2)² = q²/4。

短期成本 SC(q) = wL + rK̄ = 4·(q²/4) + 9·4 = q² + 36。

短期边际成本 SMC = 2q，短期平均成本 SAC（Short-run Average Cost，短期平均成本） = q + 36/q。

第（3）问：

q = 12：长期成本 = 12 × 12 = 144。短期成本 = 12² + 36 = 144 + 36 = 180。

短期高出 36。原因：K̄ = 4 不是生产 q=12 的最优资本量。最优 K* = (2/3)×12 = 8 > 4——资本投入太少，只能用更多劳动来弥补（L = 36 vs 最优 L = 18），而劳动单价 4 元、资本单价 9 元，多用的劳动成本(36−18)×4 = 72，但少用的资本节省了(8−4)×9 = 36，净多花 36。

⚠️ 最容易卡住的地方

MRTS = MP_L/MP_K，不是 MP_K/MP_L——上下颠倒会得到 K/L = 9/4 的错误比例。短期的 K̄ 代入生产函数时注意指数运算：4^{0.5} = 2。比较长短期成本时不仅要说出数字差异，更要说出经济原因（资本没调整到最优水平）。

👁️ 审题

纯交换经济——没有生产，两人拿着初始禀赋互相交换达到均衡。两人都是 Cobb-Douglas 效用（指数各 0.5），初始禀赋极端：一个全有 x，一个全有 y。这种对称结构通常意味着均衡也是对称的。

🧠 判断

设 p_y = 1（计价物），p_x = p 待求。每个人的需求用 Cobb-Douglas 公式（0.5 的份额来自指数 0.5——同卷一第1题的道理：MRS=价格比 联立预算线，各占收入一半）：

• 消费者1的收入（禀赋价值）：m₁ = 10p + 0 = 10p
• 消费者2的收入：m₂ = 0 + 10 = 10

需求：x₁ = 0.5m₁/p = 0.5×10p/p = 5，y₁ = 0.5m₁/1 = 5p。 x₂ = 0.5m₂/p = 5/p，y₂ = 0.5m₂/1 = 5。

市场出清（以 x 市场为例）：x₁ + x₂ = 5 + 5/p = 10（总禀赋中 x 为 10）。解出 p。

✍️ 执行

第（1）问：

x 市场出清：5 + 5/p = 10 → 5/p = 5 → p = 1。

所以 p_x/p_y = 1:1。均衡配置：

• 消费者1：(x₁, y₁) = (5, 5)
• 消费者2：(x₂, y₂) = (5, 5)

两人各得每种商品的一半——对称结果。

第（2）问：

消费者1的 MRS：MU_x/MU_y = (0.5x₁^{-0.5}y₁^{0.5})/(0.5x₁^{0.5}y₁^{-0.5}) = y₁/x₁ = 5/5 = 1。

消费者2的 MRS：同理 = y₂/x₂ = 5/5 = 1。

MRS₁ = MRS₂ = 1，在契约曲线上（两人的无差异曲线相切）。通过。

第（3）问：

福利经济学第一定理：任何竞争均衡都是帕累托最优的。验证：在契约曲线上的点 → 不可能在不损害一个人的情况下改善另一个人 → 帕累托最优。

具体验证：如果从 (5,5; 5,5) 出发，要增加消费者1的效用，必须让他多消费某种商品，但总供给固定(10,10)，意味着消费者2必须少消费——消费者2受损。所以没有任何帕累托改进的余地。定理成立。

⚠️ 最容易卡住的地方

最重要的一步：把禀赋价值算对。消费者1有10单位x，每单位值p元→m₁=10p（不是10）。p_y=1 是计价物设定，别忘了设。MRS 计算时注意是 y/x 不是 x/y。

👁️ 审题

三级价格歧视——垄断者在两个独立市场定不同价格。核心方法是"分而治之"：每个市场分别令 MR = MC（MC 由总产量决定，但两个市场的 MC 相同）。统一禁令下就是普通垄断：加总两个市场的需求→一个总需求→一个 MR → MR = MC。

🧠 判断

有歧视时：线性需求 P = a − bq 的边际收益恒为 MR = a − 2bq（斜率是需求线的两倍，可以心算直接写）。套 P₁ = 100 − q₁ 得 MR₁ = 100 − 2q₁，套 P₂ = 80 − 0.5q₂ 得 MR₂ = 80 − q₂。令 MR₁ = MC = 20, MR₂ = MC = 20，分别解 q₁, q₂。

无歧视时：先求总需求 Q(P)。q₁ = 100−P（当 P≤100），q₂ = 160−2P（当 P≤80）。对于 P ≤ 80：Q = 260 − 3P → P = (260−Q)/3。MR = (260−2Q)/3 = MC = 20。注意检查解出的 P 是否确实 ≤ 80。

✍️ 执行

第（1）问：

MR₁ = 100 − 2q₁ = 20 → q₁ = 40，P₁ = 100 − 40 = 60。 MR₂ = 80 − q₂ = 20 → q₂ = 60，P₂ = 80 − 0.5×60 = 50。

总产量 Q = 40 + 60 = 100。 总利润 = 60×40 + 50×60 − 20×100 − 500 = 2400 + 3000 − 2000 − 500 = 2900。

注意：价格高的市场（市场1，P₁=60）需求弹性更小（|ε₁| = |(dq₁/dP₁)(P₁/q₁)| = |−1×60/40| = 1.5）；价格低的市场（市场2，P₂=50）需求弹性更大（|ε₂| = |−2×50/60| ≈ 1.67）——弹性小的市场定价更高，符合理论。

第（2）问：

总需求（P ≤ 80 时）：Q = (100−P) + (160−2P) = 260 − 3P → P = (260−Q)/3。 TR = (260Q−Q²)/3 → MR = (260−2Q)/3。

MR = MC：(260−2Q)/3 = 20 → 260−2Q = 60 → Q = 100，P = (260−100)/3 = 160/3 ≈ 53.33。

验证 P ≈ 53.33 ≤ 80，在假设范围内。各市场产量：q₁ = 100−53.33 = 46.67，q₂ = 160−2×53.33 = 53.33。

总利润 = 53.33×100 − 20×100 − 500 = 5333 − 2000 − 500 = 2833（或精确值：16000/3 − 2500 = 2833.33）。

第（3）问：

总产量恰好相同（100）是本题的特殊性，一般三级歧视的总产量可大于或小于统一定价。总利润歧视更高（厂商获利）。消费者剩余：弹性小的市场（市场1）在统一定价下价格降低→CS增加；弹性大的市场（市场2）在统一定价下价格上升→CS减少。把上表数字加总算到底（变化方向按表中"变化"列＝统一定价相对于价格歧视）：

• 总CS净增：市场1 +289（1089−800），市场2 −189（711−900），合计 +100；
• 利润净变：2833.33 − 2900 = −66.67（统一定价下厂商少赚）；
• 社会总剩余净变 = ΔCS + Δ利润 = +100 +（−66.67）= +33.33 > 0。

所以本题中统一定价的社会总福利比价格歧视高约 33.33，即价格歧视使社会总剩余净减约 33.33——本例价格歧视对社会总福利的影响为"负"。机制：歧视下两个市场总CS少了 100，厂商利润多了 66.67——这 100 中只有 66.67 转移成厂商利润，剩下的 33.33 是社会净损失（转移过程中被毁掉的福利）。一般情形下此净损失可正可负，必须像本题这样把 CS 与利润一起加总判断，不能只看各市场 CS 的方向。

⚠️ 最容易卡住的地方

第二个市场的 MR 容易算错：P₂=80−0.5q₂, TR=80q₂−0.5q₂², MR=80−q₂（不是 80−0.5q₂）。总需求加总时必须在同一价格下水平相加 q₁(P)+q₂(P)，不是同一产量下价格相加。统一定价解出的 P 需要验证是否在各市场需求的定义域内。

👁️ 审题

看到 min{2x, 3y}——这是完全互补偏好（Leontief效用函数）。脑子里的第一个反应：不能用拉格朗日法！ 因为无差异曲线是L型的折线（在"拐点"处不可微），拉格朗日法要求可微。正确做法是：在最优消费束处，2x = 3y（两个括号里的东西相等，不多不少地搭配在一起）。

用生活例子理解：U = min{2x, 3y} 的意思是，消费者需要每 2 单位 x 配 3 单位 y 才能"凑成一组"获得效用。如果 x 太多、y 不够，多余的 x 就浪费了（效用由少的那边决定）。

🧠 判断

第（1）问：约束条件 2x = 3y + 预算方程联立就行。不需要导数。

第（2）问：斯勒茨基分解。完全互补品的"著名结论"——替代效应为零！因为L型无差异曲线在拐点处根本没有"沿着无差异曲线替代"的余地——两种商品必须按固定比例消费。所以 TE（Total Effect，总效应） = IE。这是检验学生是否真正理解替代效应含义的好题。

✍️ 执行

第（1）问：

最优条件：2x = 3y → y = (2/3)x。 预算约束：5x + 10y = 300。 代入：5x + 10·(2x/3) = 300 → 5x + 20x/3 = 300 → (15x+20x)/3 = 300 → 35x/3 = 300 → x = 900/35 = 180/7 ≈ 25.71。 y = (2/3)·(180/7) = 120/7 ≈ 17.14。

验证：2x = 2×(180/7) = 360/7，3y = 3×(120/7) = 360/7。2x=3y 满足。预算：5×(180/7)+10×(120/7) = 900/7+1200/7 = 2100/7 = 300。通过。

第（2）问：

新价格 p_x' = 10, p_y = 10, m = 300。 新最优条件：2x = 3y，且 10x + 10y = 300 → 10x + 10(2x/3) = 300 → 50x/3 = 300 → x = 18, y = 12。

TE（总效应）：x 从 180/7（≈25.71）变到 18，减少了约 7.71。y 从 120/7（≈17.14）变到 12，减少了约 5.14。

SE（替代效应）：计算补偿后需求——给消费者足够收入让他刚好能买得起原来的消费束： m' = p_x'·x₀ + p_y·y₀ = 10×(180/7) + 10×(120/7) = 3000/7。 在新价格(10,10)和补偿收入 3000/7 下：2x = 3y，10x + 10y = 3000/7。 代入：10x + 10(2x/3) = 3000/7 → 50x/3 = 3000/7 → x = 9000/350 = 180/7。 y = (2/3)·(180/7) = 120/7。

补偿后的需求 = 原需求！（x 和 y 都没变）所以 SE = 0。

IE（收入效应）= TE − SE = TE。完全互补品没有替代效应，价格变化的全部影响都是收入效应。换句话说：价格上涨让人"变穷了"，但不会让人"换一种搭配比例"——搭配比例是固定的。

第（3）问：

不能使用拉格朗日法。原因是 min{2x, 3y} 在 2x = 3y 的"脊线"上不可微——函数呈L型折角，不存在连续的偏导数。拉格朗日法要求效用函数可微（有光滑的无差异曲线）。强行用拉格朗日法会得到错误的"内点解"（比如 MRS 无定义），必须用 2x = 3y 这个特殊条件替代一阶条件。

⚠️ 最容易卡住的地方

最惨的错误：对 Leontief 效用函数用拉格朗日法——方法分全扣，整问不得分。第二个坑：斯勒茨基分解时，补偿收入计算中用的是"新价格×旧数量"，而不是"旧收入+某个数"。第三个坑：替代效应为零是 Leontief 偏好的特性，不是所有偏好的通性——别把这结论推广到其他效用函数。

👁️ 审题

这题是两道题合在一起考——古诺+外部性。先按常规古诺求私人最优（忽略外部损害），再考虑全部社会成本求社会最优，最后引入庇古税连接两者。边际损害 40/单位是常数，简化了不少计算。

🧠 判断

古诺（私人）：各厂商只考虑自己的利润，忽略对第三方的损害。π₁ = (90−q₁−q₂)q₁−0 = (90−q₁−q₂)q₁。∂π₁/∂q₁ = 90−2q₁−q₂ = 0。

社会最优：社会总福利 = 消费者剩余 + 生产者剩余 − 外部总损害。最大化这个。

庇古税：使私人边际成本 = 社会边际成本。但本题的社会边际成本 = 0 + 40 = 40（常数），用标准庇古税 t = 40 去试，看结果是否等于社会最优。如果不等于——说明在寡头市场结构中，简单庇古税不够；需要解一个"反问题"：税率 t 为多少时，古诺产量 = 社会最优产量。

✍️ 执行

第（1）问：

反应函数：90 − 2q₁ − q₂ = 0 → q₁ = (90 − q₂)/2。对称得 q₁ = q₂ = 30。 Q* = 60，P* = 90 − 60 = 30。 π₁ = π₂ = 30×30 = 900。总利润 = 1800。

外部总损害 = 40×Q = 40×60 = 2400（第三方损失）。

第（2）问：

社会总福利 W = CS + PS（Producer Surplus，生产者剩余） − 外部损害 = [½×(90−P)×Q] + P×Q − 40Q = ½Q² + (90−Q)Q − 40Q = ½Q² + 90Q − Q² − 40Q = 50Q − ½Q²

dW/dQ = 50 − Q = 0 → Q** = 50。

验证二阶条件：d²W/dQ² = −1 < 0（最大值）。社会最优总产量 50，每厂商 25。

也就是说，追求私人利润最大化的古诺厂商生产了 60 单位，但社会只需要 50 单位——它们生产得太多了（因为没考虑外部损害）。

第（3）问：

征收每单位 t 元的税，厂商的边际成本变为 t（原为 0）。

新反应函数：90 − 2q − q = t → 90 − 3q = t → q = (90−t)/3。

要使 q = 25（社会最优的每厂商产量）：(90−t)/3 = 25 → 90−t = 75 → t* = 15。

最优税率是 15，而不是边际损害 40！

为什么呢？因为古诺厂商本来就有市场势力——它们已经通过限产抬价的方式把产量控制在完全竞争产量（Q=90）以下。古诺均衡 Q=60，本身就比完全竞争少。外部性让产量"太多"（Q=60 > Q**=50），市场势力让产量"太少"（Q=60 < Q_竞争=90），两者相互抵消了一部分。所以只需要一个较小的税（15，而非 40）就能把古诺产量纠正到社会最优。

如果错用 t=40：(90−40)/3 ≈ 16.67，Q≈33.33——这比社会最优 50 还低，矫枉过正了。

⚠️ 最容易卡住的地方

社会最优的 W 表达式要写全——消费者剩余、生产者剩余、外部损害，三项都不能漏。庇古税在寡头市场不等于边际损害——这是本题的核心洞察，也是很多人忽略的点。最后一定要解释"为什么 t* ≠ 40"，用"市场势力与外部性相互抵消"这句话就可以拿分析分。

👁️ 审题

斯塔克伯格——领导者先选产量，追随者后选。解法核心是"倒推法"：先求追随者的反应函数（这步和古诺一样），然后领导者把追随者的反应函数代入自己的利润函数，再选自己的最优产量。这里是双寡头非对称成本（厂商2的成本更高），增加了区分度。

🧠 判断

追随者（厂商2）的反应函数：∂π₂/∂q₂ = 0，得出 q₂ 关于 q₁ 的表达式。

领导者（厂商1）预见到这个反应函数，在决策时就考虑"我选 q₁ 后，他会怎么跟"。所以领导者的利润函数里要把 q₂ 替换成反应函数。

古诺就是两边同时做反应函数——两个一阶条件同时成立。

✍️ 执行

第（1）问：

厂商2（追随者）：π₂ = [200−2(q₁+q₂)]q₂ − (40q₂+50) = (200−2q₁−2q₂)q₂ − 40q₂ − 50 = (160−2q₁−2q₂)q₂ − 50

∂π₂/∂q₂ = 160 − 2q₁ − 4q₂ = 0 → q₂ = (160−2q₁)/4 = 40 − 0.5q₁（反应函数）。

厂商1（领导者）：预见到 q₂ = 40 − 0.5q₁。 π₁ = [200−2(q₁+q₂)]q₁ − (20q₁+100) = [200−2(q₁+40−0.5q₁)]q₁ − 20q₁ − 100 = [200−2(40+0.5q₁)]q₁ − 20q₁ − 100 = [200−80−q₁]q₁ − 20q₁ − 100 = [120−q₁]q₁ − 20q₁ − 100 = (100−q₁)q₁ − 100

∂π₁/∂q₁ = 100 − 2q₁ = 0 → q₁* = 50。 q₂* = 40 − 0.5×50 = 15。

Q = 65，P = 200 − 2×65 = 70。 π₁ = 70×50 − (20×50+100) = 3500 − 1100 = 2400。 π₂ = 70×15 − (40×15+50) = 1050 − 650 = 400。

第（2）问：

古诺：π₁ = [200−2(q₁+q₂)−20]q₁ − 100 = (180−2q₁−2q₂)q₁ − 100。 ∂π₁/∂q₁ = 180 − 4q₁ − 2q₂ = 0 → 2q₁ + q₂ = 90。（反应函数1）

π₂ = [200−2(q₁+q₂)−40]q₂ − 50 = (160−2q₁−2q₂)q₂ − 50。 ∂π₂/∂q₂ = 160 − 2q₁ − 4q₂ = 0 → q₁ + 2q₂ = 80。（反应函数2）

联立：从①得 q₂ = 90−2q₁，代入②：q₁ + 2(90−2q₁) = 80 → q₁ + 180 − 4q₁ = 80 → −3q₁ = −100 → q₁ = 100/3 ≈ 33.33。 q₂ = 90 − 2×(100/3) = 90 − 200/3 = 70/3 ≈ 23.33。

Q = 170/3 ≈ 56.67，P = 200 − 340/3 = 260/3 ≈ 86.67。

π₁_cournot = (260/3−20)×(100/3)−100 = (200/3)×(100/3)−100 = 20000/9 − 100 = (20000−900)/9 = 19100/9 ≈ 2122.22。 π₂_cournot = (260/3−40)×(70/3)−50 = (140/3)×(70/3)−50 = 9800/9 − 50 = (9800−450)/9 = 9350/9 ≈ 1038.89。

第（3）问：

先动优势：领导者通过"承诺"一个更大的产量，迫使追随者退缩（减产量），从而抢占更多市场份额和利润。领导者的利润（2400）比古诺时（2122）更高。追随者反而比古诺时更差（400 vs 1039）。

先动优势的来源是"承诺价值"——领导者先走出一步不可逆转的棋，改变了博弈的结构。这需要领导者的产量决策是可信的（无法反悔），否则就回到了古诺。

⚠️ 最容易卡住的地方

代入反应函数时小心代数：Q = q₁ + q₂ = q₁ + (40−0.5q₁) = 40 + 0.5q₁，再乘以 2 得 2Q = 80 + q₁。不要在展开时丢了系数。古诺的反应函数是非对称的（因为成本不同）——不能用对称公式，必须分别写两个一阶条件联立求解。

👁️ 审题

公共物品——核心特征是"非竞争性"（一个人用了不减少别人用的量）和"非排他性"（没法阻止不付钱的人用）。所以公共物品的总量 G 同时进入每个人的效用函数，这与私人物品（各用各的）完全不同。

自愿供给：每个人决定自己贡献多少 g_i，把对方的贡献当给定。这就是纳什均衡。

帕累托最优：假想一个社会计划者最大化两个人的总效用。

🧠 判断

自愿供给均衡：个人 i 选择 g_i 最大化 U_i = (100−g_i)^{0.5}·(g_i + g_j)^{0.5}，把 g_j 当给定。

帕累托最优：考虑 U₁ + U₂ 的最大化（或更准确地说，在 U₂ 不低于某水平时最大化 U₁）。对于对称的 Cobb-Douglas 效用，帕累托最优可以由"萨缪尔森条件"给出：∑MRS = MRT（公共物品与私人物品的边际转换率）。

这里 MRT = 1（1单位 x 变成 1单位 G），所以 ∑MRS = 1。

✍️ 执行

第（1）问：

个人1：max U₁ = x₁^{0.5}·G^{0.5}，s.t. x₁ = 100−g₁，G = g₁+g₂。

代换：U₁ = (100−g₁)^{0.5}·(g₁+g₂)^{0.5}。

一阶条件：∂U₁/∂g₁ = 0.5(100−g₁)^{-0.5}·(−1)·(g₁+g₂)^{0.5} + 0.5(100−g₁)^{0.5}·(g₁+g₂)^{-0.5}·(1) = 0。

整理：(g₁+g₂)^{0.5}/(100−g₁)^{0.5} = (100−g₁)^{0.5}/(g₁+g₂)^{0.5} → (g₁+g₂)/(100−g₁) = 1 → g₁+g₂ = 100−g₁ → g₁ = (100−g₂)/2。

对称地，g₂ = (100−g₁)/2。对称解：g₁ = g₂ = 100/3 ≈ 33.33。

G* = g₁+g₂ = 200/3 ≈ 66.67。

第（2）问：

萨缪尔森条件：MRS₁ + MRS₂ = MRT = 1。

MRS_i = MU_G/MU_{x_i} = (0.5x_i^{0.5}·G^{-0.5})/(0.5x_i^{-0.5}·G^{0.5}) = x_i/G。

∑MRS = x₁/G + x₂/G = (x₁+x₂)/G = (200−G)/G（因为 x₁+x₂ = 200−G，G的生产消耗了G单位x）。

萨缪尔森条件：(200−G)/G = 1 → 200−G = G → G** = 100。

每人的私人品消费：x₁ = x₂ = (200−100)/2 = 50。每人贡献 g_i = 100−50 = 50。

第（3）问：

自愿供给 G* = 200/3 ≈ 66.67 < G** = 100。确认为供给不足。

原因是"搭便车"问题：每个人从公共物品中受益（G 进入自己的效用函数），但承担全部贡献成本（减少自己的私人品）。当一个人增加贡献时，他获得了 G 增加带来的边际效用，但只承担了全部成本——而 G 增加的好处是两人共享的。所以私人边际收益 < 社会边际收益 → 贡献不足。

解决方案：

• 政府提供：通过税收强制大家分担，供给 G** = 100
• 林达尔定价：每人按自己对公共物品的边际评价付费
• 克拉克-格罗夫斯机制：设计激励相容的机制，让说真话成为最优策略

⚠️ 最容易卡住的地方

公共物品问题最容易犯的错：用私人物品的加总方式（Q = q₁+q₂）来做公共物品——不对！公共物品是 G = g₁+g₂ 没错，但每个人消费的都是完整的 G（不是 g_i 那部分），而且效用函数里 G 不带下标。萨缪尔森条件是 ∑MRS = MRT（MRS 求和！），不是 MRS₁ = MRS₂ = MRT（那是私人物品的最优条件）。这两个千万不能搞混。