第2章 一元函数微分学

📖 前一章回顾：第1章我们学会了用极限的眼光看函数——知道函数在趋近某一点时的"目的地"。这一章我们往前走一步：不只关心函数"去哪里"，更关心它"每时每刻变得有多快"——这就是导数。就像你学会了站在原地观察，现在要学会边走边看。

🔔 课前激活

在你开始读这一章之前，先想三个生活中的场景——它们跟你马上要学的数学概念有直接关系：

场景1：你开车看仪表盘上的车速表，指针指向80公里/小时。这个"80"是什么意思？它告诉你的是"此时此刻"车跑多快，而不是过去半小时的平均速度。导数就是数学世界里的"车速表"——告诉你某个量在这一瞬间变化得有多快。

场景2：你给手机充电，从0%到50%只用了20分钟，但从80%到100%却用了半小时。充电速度不是匀速的——导数就是描述充电速度本身的工具，告诉你每一刻电池充得有多快。至于充电速度本身在变慢这件事，是二阶导数要管的事，后面会学到。

场景3：你看天气预报，明天降温5度。这5度说的是全天的总降幅。但到底哪个小时降得最猛？是凌晨还是傍晚？导数能告诉你温度每一刻的变化快慢——比"全天降5度"精确得多。

带着这三个画面往下读。

0. 发生式第一课：导数是怎么被发明的？（先读这一节！）

🔔 这一节回答你最想问的问题：第1章结尾我们留了个钩子——"瞬时速度 = 平均速度的极限，这就是导数（第2章）"。但为什么要把"瞬时速度"单独提炼成一个数学概念？它跟"求变化率"到底是什么关系？——跟着走一遍，你会发现导数是被"变化率太常用了"这件事逼出来的。

第一步：先看一个让人难受的重复劳动

第1章我们算了自由落体 $s = 4.9t^2$ 在 $t=2$ 秒时的瞬时速度，答案是 19.6。但马上有个麻烦：如果题目问 $t=3$ 秒、$t=5$ 秒、任意 $t$ 时刻的速度呢？难道每问一次，就重新算一$遍"平均速度 → 取极限"的整套流程？这也太累了。物理学家更想要的是一个函数：$v(t)$——输入任意时刻，直接吐出该时刻的速度。

第二步：发现——把那套操作提炼成一个"标准动作"

回头看看第1章做了什么：对一个函数 $f$ 和一个点 $x$，算极限

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

这个式子不挑问题——不管是算速度、算切线斜率、算充电速度，都是同一个动作："函数在某点附近的变化量 ÷ 自变量变化量，再取极限"。几何上看，就是割线斜率越来越短、逼近切线斜率。既然这个动作到处都用得上，为什么不把它提炼出来，当成一个新函数来研究？——把 $f$ 输入这个动作，吐出一个新函数 $f'$，它告诉你$ "$f$ 在每个点变化得多$快"。

第三步：命名——给它起个名字

数学家把这个"变化率的极限"叫导数（derivative，本意是"派生出来的东西"——$f'$ 是从 $f$ 派生出来的新函数）。记号上有两派：牛顿用 $\dot{y}$（他研究物理，喜$欢"流动的量"），莱布尼茨用 $\frac{dy}{dx}$（他说：变化量 $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 之比，在极限下的样子）。今天我们主要用莱布尼茨的记号 $f'(x)$ 和 $\frac{dy}{dx}$。

这样一来，前面所有问题全部解锁：

第四步：预告——本章就是学"怎么算导数"这个标准动作

概念只有一个（上面的极限），但"怎么快速算出导数"是重头戏：基本初等函数的导数公式（幂函数、三角函数、指数对数）、四则运算法则、复合函数的链式法则——这些就是"标准动作的快捷方式"，从定义出发全部可以推导，本章会亲手推关键的几个。中值定理和导数应用在另外两个文件里。

最后：比喻确认（推完才用，不代替定义）

回头看课前激活的车速表比喻：车速表显示的"80 公里/小时"就是"此刻位移对时间的变化率"，也就是位移函数的导数。比喻帮你记住"导数 = 瞬间变化率"，但严格定义是上面的极限式子——考试和推导都以它为准。

📖 怎么使用本章

本章把概念和对应的解题方法打包成三个"知识块套餐"——每个套餐里先讲概念、马上跟解题方法。就像学做菜：不是先背完所有菜谱再进厨房，而是学一道菜的做法立刻上手做一道。

每个知识块末尾有练习题（点击展开看答案）。学完所有"套餐"后，用综合混搭练习检验自己是否真会了。遇到不懂的概念，用最后的自检清单自查。

📝 符号速查（新手必读）

符号 含义 示例
$f'(x)$ 函数 $f$ 在 $x$ 处的导数 $f'(2)$ 表示 $x=2$ 处的导数
$\frac{dy}{dx}$ $y$ 对 $x$ 的导数（莱布尼茨记号） $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$
$f^{(n)}(x)$ $f$ 的 $n$ 阶导数 $f''(x)$ 是二阶导数
$\frac{d^ny}{dx^n}$ $y$ 对 $x$ 的 $n$ 阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 是二阶导
$\xi$ 表示某个存在的点（常用于中值定理） 存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$
$\Delta y$ 函数值的真实变化量 $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$
$dy$ 函数值的微分（近似变化量） $dy = f'(x)dx$
$\lim_{h\to 0}$ $h$ 趋近于 0 时的极限 导数定义的核心

本章用得最多的符号是 $f'(x)$ 和 $\frac{dy}{dx}$，两者等价。

一、本章概览

1.1 考试大纲与试卷地位

本章在考研数学三试卷中约占 20分左右，是高等数学部分最核心的章节之一。大纲内容如下：

导数与微分的概念及运算

层次 要求
理解 导数的概念及可导性与连续性之间的关系
了解 导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程
掌握 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数
了解 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数
了解 微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分

微分中值定理

层次 要求
理解 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理
了解 泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理
掌握 这四个定理的简单应用

导数应用

层次 要求
会用 洛必达法则求极限
掌握 函数单调性的判别方法，函数极值、最大值和最小值的求法及其应用
了解 函数极值的概念
会用 导数判断函数图形的凹凸性（$f''(x)>0$ 凹，$f''(x)<0$ 凸），会求拐点和渐近线
会 描绘简单函数的图形

数三特有说明：数三的导数应用与数一、数二的最大区别是不考曲率、曲率半径和物理应用，重点考经济应用（边际分析、弹性分析）。

1.2 真题命题特点

本章出题覆盖了所有题型：选择题、填空题、解答题以及10分的大题（中值定理证明）。高频考点如下：

"得微分学者得高数"——本章的熟练程度直接决定了后续积分学、微分方程学习的效果。

1.3 知识体系地图

一元函数微分学
│
├── 第一层：概念基础
│   ├── 导数定义：f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
│   │   ├── 单侧导数（左导数、右导数）
│   │   ├── 导数的几何意义（切线斜率）
│   │   └── 导数的经济意义（边际、弹性）⭐数学三专属
│   ├── 微分定义：dy = f'(x)dx
│   │   ├── 一阶微分形式不变性
│   │   └── 可导 ⇔ 可微（一元函数中等价）
│   └── 重要关系链
│       ├── 可导 → 连续（反之不成立）
│       ├── 连续 → 可导（不一定）
│       └── 可导 ⇔ 可微（一元函数）
│
├── 第二层：求导运算
│   ├── 基本初等函数导数公式（16个核心公式）
│   ├── 四则运算法则（和差积商）
│   ├── 复合函数求导（链式法则）—— 最重要的计算工具
│   ├── 反函数求导：dx/dy = 1/(dy/dx)
│   ├── 隐函数求导（三种方法）
│   ├── 幂指函数求导（取对数法 / 指数转化法）
│   ├── 分段函数求导（分界点用定义）
│   └── 高阶导数（三种求法）
│
├── 第三层：中值定理（重点难点）
│   ├── 罗尔定理：f(a)=f(b) → 存在ξ使f'(ξ)=0
│   ├── 拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)
│   ├── 柯西中值定理：拉格朗日的参数方程推广
│   ├── 泰勒定理：含拉格朗日余项的展开
│   └── 核心技能：辅助函数构造（六种方法）
│
└── 第四层：导数应用
    ├── 几何应用
    │   ├── 切线与法线
    │   ├── 单调性判定
    │   ├── 极值与最值
    │   ├── 凹凸性与拐点
    │   └── 渐近线（铅直/水平/斜）
    ├── 方程根讨论
    ├── 不等式证明（四种方法）
    └── 经济应用 ⭐数学三专属
        ├── 边际函数
        ├── 弹性分析
        └── 最优化问题

二、核心知识与解题方法

本节把概念和对应的解题方法打包在一起。学完一个概念块，马上看它对应的题型怎么考、怎么做——不再把概念和题目分成两截。

📦 知识块A：导数与微分的计算

📌 这块学完你就能回答： 导数到底是什么？怎么快速求出任何函数的导数？导数和微分是什么关系？

2.1.1 导数的概念

导数表示函数在某一瞬间的变化率，记作 $f'(x_0)$。

可以这样理解：导数就像车速表——告诉你"此时此刻"某个量变化得有多快。路程对时间的变化率就是瞬时速度，函数值对自变量的变化率就是导数。

通俗总结：导数 = 瞬间的变化速度 = 变化率。

🪜 最重要的"升维"理解——从"一个点的导数"到"导函数"：

上面说的 $f'(x_0)$ $是"在某一个特定点 $x_0$ 处的导$数"——它是一个具体的数，比如 $f'(2)$ 就是 $x=2$ 那一个点的瞬时速度。但曲线上每个点都有自己的瞬时速度：$x=1$ 有 $f'(1)$，$x=2$ 有 $f'(2)$，$x=3$ 有 $f'(3)$……把每个点的导数都算出来，你就会得到一个新函数 $f'(x)$：它的输入是 $x$，输出$是"$x$ 那个点的瞬时速$度"。这个新函数就叫 导函数。

一句话记住：$f'(x_0)$ 是一个数，$f'(x)$ 是一个函数。$f'(x)$ 就$像"速度表"的完整说明书——每一个 $x$ 都对应一个读数；$f'(x_0)$ 只是从说明书里抽出来的其中一页。后面所有的求导运算（求 $f'(x)$ 的表达式）都是在算这$本"说明书"，而 $f'(x_0)$ 只是把 $x_0$ 代进去取一页。

2.1.2 导数的定义式

写法一（从 $x_0$ 出发，移动 $h$）： $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

写法二（从任意点 $x$ 趋向 $x_0$）： $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

两种写法本质完全一样，令 $h = x - x_0$ 即可互化。写法一在推公式时好用，写法二在判断可导性时直观。

左导数和右导数：上面的极限如果只从左边逼近（$h \to 0^-$ 或 $x \to x_0^-$），得到的是左导数；只从右边逼近，得到的是右导数。函数在 $x_0$ 处可导的充要条件是：左导数和右导数都存在且相等。

左导数的极限式子（从左边逼近 $x_0$）： $f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

右导数的极限式子（从右边逼近 $x_0$）： $f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

⚠️ 三个字必须记牢：都存在、且相等、且有限。 函数在 $x_0$ 处可导，要求左导数、右导数两个都存在（不是某一个跑到无穷大）、两个相等（数值一样，才说明左右两$边"坡度"一致）、并且是有限的数（不能是 $+\infty$ 或 $-\infty$）。三条里任何一条不满足，函数在 $x_0$ 处就不可导。$y = |x|$ 在 $x=0$ 处就是活生生的反例：左导数 $-1$、右导数 $+1$，都存在但不相等，所以不可导。

💡 为什么"存在且相等"就够了？因为极限 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 要想存在，等价$于"从左边和从右边逼近得到同一个数"——左导数、右导数恰好就是这两个方向各自算出来的数。左右凑成同一个数，整个极限就存在，也就是函数可导。

2.1.3 导数的几何意义

函数 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的导数 $f'(x_0)$，等于曲线在该点处切线的斜率。

🧠 为什么"导数 = 切线斜率"？——从"割线"一步步逼近"切线"

这个结论不是天上掉下来的，它藏在我们学过的定义式里。我们一步一步看：

第一步：两点连线是"割线"，它有一个清清楚楚的斜率。

在曲线上取两个点：$(x_0, f(x_0))$ 和它右边不远处的 $(x_0 + h, f(x_0 + h))$，用直线把两点连起来。这条穿过曲线两个点的直线叫割线，它的斜率就$是"两点之间竖直落差 ÷ 水平距离"：

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{(x_0 + h) - x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

这一步在想什么：这个式子我们太眼熟了——它就是导数定义里的那根差商！割线斜率 = 差商，这是几何语言和代数语言的第一次接轨。

第二步：让两个点越来越靠近，割线"越来越像"切线。

现在让 $h$ 变小——也就是右边那个点 $x_0 + h$ 慢慢向左挪，向 $x_0$ 靠拢。两个点越来越近，两点连成的割线也越来越短、越来越贴紧曲线。

这一步在想什么：想象用一个放大镜看一条光滑曲线的一小段——当你看的范围足够小，曲线那一小段几乎就是直的。割线就是在模拟这个"几乎直"的过程。

第三步：取极限 $h \to 0$，割线的极限位置就$是"切线"。

当 $h$ 无限趋近于 0，两个点重合，割线的极限位置就是曲线在 $x_0$ 处唯一的那条切线。而割线斜率的极限，正是导数的定义：

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$

这一步在想什么：所以"切线斜率"和"导数"是同一件事的两种叫法——一个是几何画面（切线有多陡），一个是代数式子（差商的极限）。这就是导数的几何意义，推导完毕。

🎯 一句话复盘：割线的斜率是"平均变化率"，切线的斜率是"瞬时变化率"——让割线上的两个点无限靠近变成一个点，平均就变成了瞬时，几何上割线就变成了切线。

切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：$y - f(x_0) = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（法线垂直于切线，斜率互为负倒数）

⚠️ $f'(x_0) = 0$ 时的边界：若 $f'(x_0) = 0$，切线是水平的（斜率 0），此时 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ 没意义。垂直于水平线的法线应是竖直直线 $x = x_0$。所以看到 $f'(x_0) = 0$，法线直接写 $x = x_0$，别硬套公式。

🧠 法线的斜率为什么是切线的"负倒数"？ 在切点处，切线和法线是互相垂直的两条直线（法线就是"过切点且垂直于切线"的那条线）。平面几何里有一条铁律：两条互相垂直的直线，如果都不竖直，它们的斜率乘积等于 $-1$。设切线斜率为 $k$，法线斜率为 $m$，则 $k \cdot m = -1$，解出 $m = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{f'(x_0)}$。

直观上想：一条线越陡（斜率大），和它垂直的线就越平（斜率小），而且方向相反——所以是"负倒数"：符号取反（方向反）+ 取倒数（陡缓互换）。

2.1.4 可导与连续的关系——"有速度就不会瞬移"

🏃 生活场景：你在操场上跑步。假设你的手表能显示你每一刻的瞬时速度——比如第5秒时你正以6米/秒在冲刺。这个"瞬时速度"的存在（可导），本身就意味着你在第5秒那一刻，一定确确实实在跑道上的某个确定位置——你不会在第5秒突然从操场这头"瞬移"到那头。为什么？因为"瞬时速度"的定义，需要看你前零点几秒和后零点几秒的位置变化趋势——如果你那一瞬间消失了（不连续），前后位置连不上，速度根本没法定。有速度，就说明你没有瞬移——这就是"可导必连续"的直觉。

定理的正式陈述：

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导（即 $f'(x_0)$ 存在），则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处一定连续。

⚠️ 反过来不成立：连续的函数不一定可导。经典反例是 $y = |x|$ 在 $x=0$ 处——V字形没有断开（连续），但有一个尖角，左边斜率是-1，右边斜率是+1，不存在唯一的切线（不可导）。连续只是说明图$形"不断"，不保证"光滑"。

🧠 这个结论是怎么推出来的？

这个推导是整个微分学中最精妙的小证明之一——只用两行式子，就把"导数存在"和"函数连续"之间的逻辑桥搭起来了。

第一步：把"要证明的东西"翻译成数学语言。

我们要证明"$f(x)$ 在 $x_0$ 处连$续"。连续的定义是：当自变量的变化量 $\Delta x \to 0$ 时，函数值的变化量 $\Delta y$ 也趋近于 0。即：

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$

其中 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。这就是我们的终极目标——证明 $\Delta y$ 这个小东西最终趋于零。

第二步：把 $\Delta y$ 做一个巧妙的变形。

我们知道导数 $f'(x_0)$ 存在，它的定义是：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

看着这个式子，我们想用一个技巧把 $\Delta y$ 单拎出来。一个极其自然的想法是：把 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 两边同乘 $\Delta x$：

$\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$

这个变形没有任何花活——就是代数上的"乘过去"。但正是这个不起眼的变形，把 $\Delta y$ 分解成了两个因子的乘积：一个是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$（它的极限就是 $f'(x_0)$），另一个是 $\Delta x$（它显然趋于 0）。

第三步：两边同时取极限。

现在对 $\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$ 两边取极限（$\Delta x \to 0$）：

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)$

右边的极限是两个因子的乘积。第一个因子 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限存在且等于 $f'(x_0)$（这$是"可导"给我们的条件）；第二个因子 $\Delta x$ 显然趋于 0。根据极限的乘法法则：

$= f'(x_0) \cdot 0 = 0$

所以 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$——而这恰恰就是连续的定义。推导完毕。

大白话重新串一遍：你把函数值的变化量 $\Delta y$，强行拆成两半——一半$是"变化率"（$\frac{\Delta y}{\Delta x}$），一半$是"变化的幅度"（$\Delta x$）。既然函数可导$，"变化率"趋于一个确定的数 $f'(x_0)$（不是无穷大）$；"变化的幅度"趋于 0。一个有限数乘以 0，结果当然是 0。所以函数值的变化量必然趋于 0——函数必然连续。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

这个证明的核心思路只有一句话："把 $\Delta y$ 伪装成导数定义的一部分，然后利用导数存在来反推它的极限$。" 具体来说，我们做的就是把 $\Delta y$ 写成 $\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$——看上去只是乘了一个 $\Delta x$ 又除了一个 $\Delta x$，什么都没变。但关键就在于：写完这个形式之后，左边因子的极限已知（导数存在），右边因子显然趋于零——两者一乘，结果为零。整个过程只用了一个代数恒等式和一条极限乘法法则，没有任何高深技巧。这就是数学$中"形式决定命运"的经典案例——同一个量，换一种写法，它的性质就一目了然。

核心技巧：$\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$——这个恒等式本身没有任何数$学"内容"，$\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$ 约分之后就是 $\Delta y$。但写成乘积形式之后，每个因子的极限就各自独立可算了。这$种"把一件事拆成若干个已知部分"的策略，在数学里极其通用。

三个必须牢记的边界（容易错！）：

⚠️ 边界1：可导 ⇒ 连续，但连续 ⇏ 可导。

可导是比连续"更强"的条件——函数不仅要不断开，还得是光滑的。就像一条路：连续只要求路没有断崖（你不需要瞬移），可导还要求路没有尖角（你不会在某个点突然折一个V字）。

经典反例：$y = |x|$ 在 $x = 0$ 处。函数连续（没有断开），但不可导（V字形顶点，左斜率-1，右斜率+1，没有一个统一的切线斜率）。

⚠️ 边界2：不连续一定不可导——这是边界1的"逆否"版本。

既然"可导 ⇒ 连续"成立，那么"不连续 ⇒ 不可导"自动成立。换言之，如果函数在某点有跳跃、有断开、有无穷震荡——那这个点连导数都不用去算，直接判"不可导"。

经典反例：分段函数 $f(x) = \begin{cases} x+1, & x > 0 \\ x, & x \le 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处有一个跳跃（左极限0，右极限1），不连续，所以不可导。做题时遇到分段函数的分界点，第一件事不是求导，而是先判断是否连续——不连续，直接结$论"不可导"，连左右导数都不用算。

⚠️ 边界3：这个定理只保证函数在"该点"连续，不是整个区间。

定理说的是：在 $x_0$ 这一点可导 ⇒ 在 $x_0$ 这一点连续。如果函数在区间内每一点都可导，那就推出在区间内每一点都连续——但这需要逐点验证。不要看$到"可导"就以为全区间连续自动成立。

在整条知识链中的位置：

"可导 ⇒ 连续"是导数概念体系中最基础的逻辑关系之一。在知识地图里，它位于"概念基础"层的重要关系链（见 1.3 节知识体系地图）：

可导 → 连续（本定理）
可导 ⇔ 可微（一元函数）
可导 → 有切线（几何意义）

这三个关系构成了导数概念的"基础设施"。其中"可导 → 连续"是最容易被忽视却最基础的一条——它告诉你，导数这个概念的"门槛"有多高：连函数本身断没断都保证不了的运算，不配叫导数。

后面学中值定理时（2.2 节），你会发现所有中值定理的前提条件里都要求"在闭区间连续、在开区间可导"——"可导 ⇒ 连续"就是这两个条件之间逻辑不自相矛盾的保障。

2.1.5 可导与可微的关系（一元函数）

在一元函数中，可导和可微是等价的。

🧠 先认识记号 $o(\Delta x)$—$—"一个跑得更快的小东西"

可微的定义里有个神秘符号 $o(\Delta x)$，第一次见很容易懵。先说人话：$o(\Delta x)$ 表$示"一个比 $\Delta x$ 更快地跑到 0 的东$西"。

打个比方：$\Delta x$ $是"先遣队"，它已经在冲向 0 的路上；$o(\Delta x)$ $是"追兵"，它从后面疯狂加速，冲得比先遣队还快，到 0 的时候比先遣队还靠前。也就是说：当 $\Delta x \to 0$ 时，$\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0$——两者都趋近于 0，但 $o(\Delta x)$ 快$得"高了一个档次"。

具体例子：$\Delta x^2$ 就是一个 $o(\Delta x)$（因为 $\frac{\Delta x^2}{\Delta x} = \Delta x \to 0$）；$\Delta x^3$ 也是。但 $2\Delta x$ 就不是（因为 $\frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2 \not\to 0$）。凡$是"比一次方更高次幂"的小量，都算 $o(\Delta x)$。

🧠 为什么"可导 ⇔ 可微"？——不是记的，是一行互推推出来的

这两件事能划等号，靠的是 2.1.4 节用过的那个老变形 $\Delta y = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x$（乘一个 $\Delta x$、除一个 $\Delta x$，什么也没变）。把它两边往两个方向各推一遍：

可导 ⇒ 可微：若 $f'(x_0)$ 存在，则由 $\Delta y = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x$ 取极限 $\Delta x \to 0$： $\Delta y \to f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$ 即 $\Delta y$ 可以写$成"直线部分 + 一个比 $\Delta x$ 更快归零的小尾$巴"——这正是可微的定义。

可微 ⇒ 可导：若 $\Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$，两边同除以 $\Delta x$ 再取极限： $\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to f'(x_0) + 0 = f'(x_0)$ 差商的极限存在——这正是可导的定义。

两个方向各一行，往返互推，结论就焊死了：一元函数里，可导和可微是同一件事的两种说法。

💡 可微在说人话是什么？ 它的意思是：当 $x$ 动了一小下 $\Delta x$ 时，函数值的真实变化 $\Delta y$，可以几乎完全由 $f'(x_0)\Delta x$ 这一$个"直线部分"来刻画——剩下的误差 $o(\Delta x)$ 小得可以忽略。也就是说：函数在 $x_0$ 附近可以被一条直线（切线）很好$地"近似"。可导是"变化率存在"，可微是"变化量能被直线近似"——上面已经互推证明，在一元函数里它们指的就是同一件事。

提醒：到了多元函数（第5章），可导和可微就不再等价了。但在一元函数中，它们就是指同一件事。

2.1.6 基本求导公式（16个）

编号 $f(x)$ $f'(x)$
1 $C$（常数） $0$
2 $x^\alpha$ $\alpha x^{\alpha-1}$
3 $e^x$ $e^x$
4 $a^x$（$a>0, a\neq 1$） $a^x \ln a$
5 $\ln x$ $\dfrac{1}{x}$
6 $\log_a x$ $\dfrac{1}{x\ln a}$
7 $\sin x$ $\cos x$
8 $\cos x$ $-\sin x$
9 $\tan x$ $\sec^2 x$
10 $\cot x$ $-\csc^2 x$
11 $\sec x$ $\sec x \tan x$
12 $\csc x$ $-\csc x \cot x$
13 $\arcsin x$ $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14 $\arccos x$ $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15 $\arctan x$ $\dfrac{1}{1+x^2}$
16 $\operatorname{arccot} x$ $-\dfrac{1}{1+x^2}$

🛑 停下来想一想：这16个基本求导公式是整个微分学的"乘法口诀"——后面所有复杂的求导都建立在它们之上。拿张纸，不看书，能不能把16个公式从左到右全部默写出来？如果卡在 $\tan x$、$\sec x$、$\arcsin x$、$\arctan x$ 这几个容易混的，标出来重点记忆。

基本求导公式的推导——三个"种子公式"

🎳 生活场景：假设你在观察三种不同的"变化"——第一种是钟摆，左右晃来晃去，速度时快时慢还会反向（正弦/余弦）；第二种是雪球滚下山，越滚越大，而且长大的速度本身就正比于它当下的大小（指数函数）；第三种是往水缸里放水，水越深，水面上升越慢——因为同样的水量在更大的底面积上铺开，每次"增收"的贡献都在递减（对数函数）。

这三种函数——$\sin x$、$e^x$、$\ln x$——是微分学里所有求导公式$的"种子"。其他公式几乎都可以从它们和四则运算、链式法则推导出来。所以你不需要死记16个公式的推导——真正必须会从定义推导的，就是这三个。下面我们分别展示它们的完整推导。

正式陈述：

这三个最基础的导数公式是：

函数 导数 推导方法
$\sin x$ $\cos x$ 导数定义 + 和角公式 + $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$
$e^x$ $e^x$ 导数定义 + $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$
$\ln x$ $\dfrac{1}{x}$ 导数定义 + $e$ 的极限定义 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e$

🧠 推导一：$\sin x$ 的导数是 $\cos x$

第一步：写出导数定义。

$(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$

大白话：想知道正弦函数的变化快慢——在小间隔 $h$ 内，正弦的值变了多少？除以 $h$，再让 $h$ 趋近于零。

第二步：展开 $\sin(x+h)$，使用和角公式。

$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$

代入差商：

$\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

第三步：拆分重组——把含 $\sin x$ 的项和含 $\cos x$ 的项分开。

$= \frac{\sin x(\cos h - 1)}{h} + \frac{\cos x \sin h}{h}$

$= \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$

大白话：拆成了两项——第一项是 $\sin x$ 乘一个只跟 $h$ 有关的分数，第二项是 $\cos x$ 乘另一个只跟 $h$ 有关的分数。$\sin x$ 和 $\cos x$ 现在不随 $h$ 变化了，可以提到极限外面。

第四步：求两个关键极限。

这两个极限是三角函数的"种子极限"，第1章已经学过（两个重要极限）：

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \left(-\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1}\right) = -1 \cdot \frac{0}{2} = 0$

第五步：代入极限，得出最终结果。

$(\sin x)' = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

推导完毕。

大白话总结：把 $\sin(x+h)$ 用和角公式拆成 $\sin x \cos h + \cos x \sin h$，差商就变成了 $\sin x \cdot \frac{\cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$。两个分数的极限一个是 0，一个是 1——所以第一项消失，第二项剩下 $\cos x$。

补充：$\cos x$ 的导数为什么是 $-\sin x$？

用恒等式 $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$，链式法则求导： $(\cos x)' = \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot (-1) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x$

🧠 推导二：$e^x$ 的导数是 $e^x$

第一步：写出导数定义。

$(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

第二步：提出 $e^x$（它不随 $h$ 变化）。

$= \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

大白话：$e^x$ 跟 $h$ 没关系，可以提到极限外面。剩下的那个极限 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$ 只跟 $h$ 有关，跟 $x$ 无关——它就是某个常数。

第三步：计算这个常数——用 $e$ 的定义。

$e$ 的标准定义之一：$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$。

令 $t = e^h - 1$，则当 $h \to 0$ 时，$t \to 0$。同时 $e^h = 1 + t$，取对数得 $h = \ln(1 + t)$。代入：

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \ln(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\ln[(1+t)^{1/t}]}$

由 $e$ 的定义，当 $t \to 0$ 时 $\ln[(1+t)^{1/t}] \to \ln e = 1$，所以整个极限 $= \frac{1}{1} = 1$。

第四步：代入，得出最终结果。

$(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$

推导完毕。

大白话总结：$e^x$ 求导后还是 $e^x$ 本身——这正是 $e$ 这个数被挑选$为"自然常数"的原因。数学家问："有没有一个底数 $a$，让 $a^x$ 的导数恰好等于它自己$？"答案就是 $a = e$。换一个底数，比如 $a^x$，导数是 $a^x \ln a$——多了一个 $\ln a$ 作$为"修正系数"。只有当 $a = e$ 时，$\ln e = 1$，修正系数消失。

🧠 推导三：$\ln x$ 的导数是 $\dfrac{1}{x}$（$x > 0$）

第一步：写出导数定义。

$(\ln x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$

第二步：利用对数性质合并。

$= \lim_{h \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\!\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h}$

第三步：把极限变形为"重要极限"的标准形式。

令 $t = \frac{h}{x}$，则 $h = xt$，当 $h \to 0$ 时 $t \to 0$。

$= \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{xt} = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}$

第四步：计算 $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}$。

利用对数的性质：$\frac{\ln(1+t)}{t} = \ln[(1+t)^{1/t}]$。由 $e$ 的定义，$(1+t)^{1/t} \to e$，所以 $\ln[(1+t)^{1/t}] \to \ln e = 1$。

$= \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$

推导完毕。

大白话总结：$\ln x$ 的导数为什么是 $1/x$ 而不是更复杂的东西？因为把 $\ln(x+h) - \ln x$ 合并成 $\ln(1 + h/x)$，令 $t = h/x$ 后，整个表达式变成 $\frac{1}{x} \times \frac{\ln(1+t)}{t}$。后者是标准极限，趋近于 1——答案干脆利落地剩下 $\frac{1}{x}$。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

这三个推导虽然算的是三个不同的函数，但共用一个"配方"：①写出导数定义（差商取极限）→ ②用函数特有的性质（三角的和角公式、指数的乘法性质、对数的合并性质）把差商变形 → ③提取出跟 $x$ 有关的部分（$\cos x$、$e^x$、$\frac{1}{x}$），剩下的变成一个只跟 $h$ 有关$的"标准极限" → ④代入已知极限值（$\frac{\sin h}{h} \to 1$、$\frac{e^h-1}{h} \to 1$、$\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$），得出答案。

你会注意到，$\frac{\sin h}{h} \to 1$、$\frac{e^h-1}{h} \to 1$、$\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$——这三个极限其$实"说的是同一件事"，都和自然常数 $e$ 以及三角函数的基本尺度有关。它们是整个微分学的地基。

🧠 推导四、五：$\tan x$、$\arcsin x$—$—"现场推"给你看（$\cos x$ 已在上面推过）

上面承诺过"其余公式都能从种子公式现推"，这里再实战两个最常见的。会用到两个马上要学的工具——除法求导法则（2.1.7）和反函数求导法则（2.1.9）。如果还没学到，先把"结果"记下，等学会那两节再回来看一遍，就能真正"自推自记"了。

推导四：$\tan x$ 的导数是 $\sec^2 x$——$用"除法求导法则"拆

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，把它当$成"正弦 ÷ 余弦"，套除法求导法则 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$：

$\begin{aligned} (\tan x)' &= \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' \\ &= \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} \quad \text{(除法法则)} \\ &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \quad \text{(代入 }\sin x\text{、}\cos x\text{ 的导数)} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \end{aligned}$

大白话：最后一步用到了老朋友 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$——分子里一正一负两个 $\sin x\cos x$ 相互抵消，剩下的 $\cos^2 x + \sin^2 x$ 正好是 1，再除以 $\cos^2 x$ 就是 $\frac{1}{\cos^2 x}$，也就是 $\sec^2 x$。

推导五：$\arcsin x$ 的导数是 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$——$用"反函数求导"拆

设 $y = \arcsin x$，那么 $x = \sin y$。用反函数求导法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}$。但答案里不能留着 $y$，要用 $x$ 把它换掉：

由 $x = \sin y$ 得 $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$。在 $\arcsin$ 的主值区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 里 $\cos y \ge 0$，所以 $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$。代入：

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

大白话：反函数的导数 = 原函数导数的倒数。$x = \sin y$ 对 $y$ 求导是 $\cos y$，倒过来再乘上"换回 $x$"时出现的 $\sqrt{1-x^2}$，就得到结果。分母里的 $\sqrt{1-x^2}$ $是"换元"自动带出来的——想靠死记很容易漏，现场推就不会错。

🎯 总结：你看，$\tan x$、$\arcsin x$ 这两$个"看起来不熟"的公式，全部能从种子公式 + 除法/反函数法则推出来。与其背 16 个公式，不如背 3 个种子 + 3 个法则——遇到想不起来的，花 30 秒现场推一遍。

🧠 剩下的公式也不是13张纸——是"家族树"，现场就能长出来

这时候你可能还会问：$\tan x$、$\arcsin x$ 是现场推出来了，可表里还有 $\cot x$、$\sec x$、$a^x$、$\log_a x$、$x^\alpha$、$\arccos x$ 这一堆呢，它们也要一个个背？

🧠 难在哪？ 16 个全背，考场上一紧张就混。但换个思路：我们手里已经有"种子公式 + 三个法则"这套地基了，能不能让剩下的公式像植物一样从地基上"长"出来？

能。它们分属五个家族，每家有且只有一个种子，其余全用四则法则 + 链式法则现场变：

[三角族] $\cos x$（$\sin$ 平移 $\frac{\pi}{2}$ 得负号）、$\tan x$ 已推。还差 $\cot x$、$\sec x$、$\csc x$——它们是 $\tan x$、$\cos x$、$\sin x$ 的倒数。看 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ 一个就够了（除法法则）： $\left(\frac{1}{\cos x}\right)' = \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$ $\cot x = -\csc^2 x$、$\csc x = -\csc x\cot x$ 同法。看$到"倒数"就想到除法法则。

🧠 这一步在想什么：$\sec x$ 写出来就$是"$1 \div \cos $x"——上下两个函数相除，正是除法法则的模板。把 $u=1$、$v=\cos x$ 代进去，答案自己就出来了。

[指数族] $a^x$ 用恒等式 $a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x\ln a}$ 变形$成"以 $e$ 为$底"，再链式法则（内层 $x\ln a$ 的导数是 $\ln a$）： $(a^x)' = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$ $a=e$ 时 $\ln e = 1$，修正项消失，退回种子 $e^x$。$a^x$ 只是 $e^x$ 加了个 $\ln a$ 的修正系数。

[对数族] $\log_a x$ 用换底公式 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$（$\ln a$ 是常数系数）： $(\log_a x)' = \frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}$ $a=e$ 时退回 $\frac{1}{x}$。

[幂函数族] $x^\alpha$ 也能写成 $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$（$x>0$），链式法则： $(x^\alpha)' = e^{\alpha\ln x}\cdot\frac{\alpha}{x} = x^\alpha\cdot\frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}$ 幂法则"降幂"的真面目：是 $e^{\alpha\ln x}$ 链式求导时，内层 $\ln x$ 的导数 $\frac{1}{x}$ 乘出来，把指数降了一格。

[反三角函数族] $\arcsin x$ 已推。其余全$是"镜像"：

📌 以后就这么办：真要背，只背五大家族的"种子"——$\sin x$、$e^x$、$\ln x$、$x^\alpha$、$\arcsin x$（外加 $\cos x$ 的一个负号）。剩下十来个，考场上忘了$就"长"一个：看到倒数→除法法则；看到 $a$ 想变成 $e$→链式法则；看到不同底的对数→换底；看到反三角函数→想想它跟 $\frac{\pi}{2}$ 相减的亲戚关系。这就$是"背 3 个种子 + 3 个法则，长出 16 个公式"的完整版。

⚠️ 三个容易出错的地方：

⚠️ 易错1：$\sin x$ 的导数是 $\cos x$，不需要再乘链式法则的内层导数。 $\sin x$ 本身就是最基本的——它的内层就是 $x$，$x' = 1$。但如果括号里面不是光秃秃的 $x$ 而是复杂函数（比如 $\sin(2x)$），链式法则就必须用了：$[\sin(2x)]' = \cos(2x) \cdot 2$。一句话：看清括号里面是"纯 $x$"还是"一坨含 $x$ 的东西"。

⚠️ 易错2：$e^x$ 求导后还是 $e^x$，不要画蛇添足乘任何东西。 $e^x$ 是唯$一"求导后原封不动"的函数——既不需要像 $a^x$ 那样乘以 $\ln a$，也不需要像 $x^n$ 那样降一次幂。这是 $e$ 的特权。

⚠️ 易错3：$\ln x$ 的导数只有在 $x > 0$ 时才等于 $\frac{1}{x}$。 如果需要处理 $x < 0$ 的情况（比如 $\ln|x|$），其导数也是 $\frac{1}{x}$（可通过 $\ln|x| = \ln(-x)$ 链式验证：导数为 $\frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$）。所以更通用的结论是：$(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$（$x \neq 0$）。

这三个"种子公式"在整条知识链中的位置：

基本求导公式位于知识块A（导数与微分的计算）的最前端——它们是16个求导公式中必须会推导的三个"种子"。其余公式（$\cos x \to -\sin x$、$\tan x \to \sec^2 x$、$\log_a x \to \frac{1}{x \ln a}$、$a^x \to a^x \ln a$、反三角函数等）都可以由这三个种子公式 + 四则运算法则 + 链式法则 + 反函数求导法则（下一节）推出。

从逻辑上看：导数定义 → 这三个"种子极限" → 基本求导公式表 → 四则运算法则 → 链式法则 → 反函数求导 → 所有函数的导数。你后面的每一次求导计算，都在调用这三个推导的结果。

2.1.7 四则运算法则

法则 公式
加法/减法 $(u \pm v)' = u' \pm v'$
乘法 $(uv)' = u'v + uv'$
除法 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

特别注意：$(uv)' \neq u'v'$！乘法的导数不等于各自导数的乘积。

🧠 和差法则为什么"能拆"？——回到定义看一眼就明白

为什么 $(u+v)' = u' + v'$ 能直接拆，而乘法不能？用定义式一比就看穿了：

$(u+v)' = \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)+v(x+h) - [u(x)+v(x)]}{h} = \lim_{h\to 0}\left[\frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right]$

分子里 $u$ 的部分和 $v$ 的部分从一开始就是分开加起来的——没有交叉项。所以取极限时各自收各自的摊，拆开就是合法的。对比乘法：$(uv)'$ 的定义里 $(u+\Delta u)(v+\Delta v)$ 一展开就冒出 $\Delta u\Delta v$ 这个交叉项——这正是乘法法则没法简单拆的原因。一句话：加法的分子里没$有"纠缠"，乘法的分子里有。 这也是为什么"和差拆开、乘积不行"。

🧠 除法法则不是第四条铁律——它是"乘法法则 + 链式法则"现场长出来的

除法法则看起来是第四个要背的公式，其实它根本不用背。$\frac{u}{v}$ 可以改写$成"$u$ 乘上 $v$ 的负一次$方"：$\frac{u}{v} = u\cdot v^{-1}$。把它当成乘积，套乘法法则，再对 $v^{-1}$ 用链式法则（内层是 $v$，外层$是"负一次方"）：

$\left(\frac{u}{v}\right)' = (u\cdot v^{-1})' = u'\cdot v^{-1} + u\cdot (v^{-1})' = \frac{u'}{v} + u\cdot(-1)v^{-2}\cdot v' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

🧠 这一步在想什么：遇到"不熟的除法"，最自然的念头是"把它变成我熟的乘法"——$v$ 的负一次方也是乘法！这一变，乘法法则 + 链式法则两把旧工具直接接管，除法公式自己掉出来。以后忘了除法法则，现场 30 秒就能推回来。

反过来，这个推导也解释了为什么除法有"前正后负"：$u'v^{-1}$ 带正号（它本来就在分子上），$uv^{-2}v'$ 带负号（它来$自"负一次方"的 $-1$）。符号不是硬记的，是链式法则里 $-1$ 次幂带来的。

🧠 乘法法则为什么是 $u'v + uv'$ 而不是 $u'v'$？——用导数定义现场推

用定义来推。记 $\Delta u = u(x+h) - u(x)$，$\Delta v = v(x+h) - v(x)$，则 $u(x+h) = u + \Delta u$，$v(x+h) = v + \Delta v$。代入乘法差商：

$\begin{aligned} (uv)' &= \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{uv + u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v - uv}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\left(u\cdot\frac{\Delta v}{h} + v\cdot\frac{\Delta u}{h} + \Delta v\cdot\frac{\Delta u}{h}\right) \end{aligned}$

前两项里 $u$、$v$ 是定值可以提出极限号：$u\cdot\frac{\Delta v}{h} \to uv'$，$v\cdot\frac{\Delta u}{h} \to vu'$。关键是最后一项 $\Delta v\cdot\frac{\Delta u}{h} \to 0 \cdot u' = 0$——两$个"小变化"的乘积除以 $h$ 后还是趋于 0，直接被扔掉。所以：

$(uv)' = uv' + vu' = u'v + uv'$

🎯 几何直觉（为什么不是 $u'v'$）：把 $u$ 和 $v$ 看成矩形的两条边，面积是 $uv$。两边各变一点点 $\Delta u$、$\Delta v$ 后，新面积比原来多了三块：$u\Delta v$（"长边不动、短边变长"的部分）+ $v\Delta u$（"短边不动、长边变长"的部分）+ $\Delta u\Delta v$（角落里那一小方块）。前两块是"一阶"的主要变化，最后那块小方块是"二阶"的，小到可以忽略。所以乘法导数是 $u'v + uv'$——"一个动另一个不动，各算一遍再相加"。绝不是两个都求导再相乘的 $u'v'$——那只算了角上的小方块，把主要变化全丢了。

🧠 除法的防错口诀——记住分子顺序，别把减号写反：

"前导后不导，前不导后导，减号放中间，底下平方"——分子第一项是"前面的函数求导 × 后面不动"（$u'v$），第二项$是"前面不动 × 后面的导数"（$uv'$），中间是减号，分母是下面那个函数的平方。再配一句顺口溜："上导下不导，上不导下导，前正后负，底下平方"。写完记得检查：$v^2$ 的平方号最容易漏。

2.1.8 复合函数求导（链式法则）——"变化率的传递链"

🔗 生活场景：国际油价涨了，导致运费涨了，最终导致菜市场里白菜的价格涨了。假设油价涨 10%，运费跟着涨 8%，白菜价跟着涨 5%。现在你想知道：油价每涨 1%，白菜价最终涨多少？答案是 $1\% \times 0.8 \times 0.5 = 0.4\%$——中间的传递率要连乘。这就是链式法则的灵魂：一个变化通过一串中间环节传递时，总效应 = 各环节效应的乘积。

定理的正式陈述：

设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，且 $g$ 在 $x$ 处可导，$f$ 在对应的 $u = g(x)$ 处可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x$ 处也可导，且：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

更一般地，如果 $y = f(g(h(x)))$（三层嵌套），则：

$y' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$

📐 莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 有一个诱人的直觉：看起来就像把 $du$ "约掉"了一样。但这不是真正的约分——$du$ 不是一个数，$\frac{dy}{du}$ 也不是一个分数。不过这$个"假装约分"的直觉，能帮你一辈子记住这个公式。

🧠 这个结论是怎么推出来的？

这个推导的核心是：把 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 强行拆成 $\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$，然后分别取极限。但有一个技术陷阱——$\Delta u$ 可能为零（中间变量在某些点暂$时"不动"了），这时 $\frac{\Delta y}{\Delta u}$ 就没意义。我们需要小心绕过这个坑。

第一步：写出导数差商，强行插入 $\Delta u$。

我们要算的是 $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。其中 $\Delta y = f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))$，$\Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$。

如果 $\Delta u \neq 0$（这是关键前提），我们可以做一个恒等变形：

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$

这个变形就是把分子分母同时乘了一个 $\Delta u$——就像 $\frac{a}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b}$ 一样，纯粹的代数恒等式。

第二步：两边取极限——"假装约分"正式生效。

当 $\Delta x \to 0$ 时，因为 $u = g(x)$ 可导（从而连续），有 $\Delta u \to 0$。因此：

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)$

第一个因子 $\frac{\Delta y}{\Delta u}$：当 $\Delta x \to 0$ 时，$\Delta u \to 0$，所以它趋近于 $\frac{dy}{du} = f'(u)$。

第二个因子 $\frac{\Delta u}{\Delta x}$：趋近于 $\frac{du}{dx} = g'(x)$。

因此：

$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

大白话：把总变化率拆成两段——第一段是"外层函数对中间变量的敏感度"（$f'(u)$），第二段$是"中间变量对自变量的敏感度"（$g'(x)$）。总敏感度 = 两段敏感度的乘积——就像油价→运费→菜价，传递率相乘。

第三步（技术补充）：$\Delta u = 0$ 怎么办？

上面的推导假设了 $\Delta u \neq 0$。如果 $\Delta u$ 在某些 $\Delta x$ 处恰好为零，$\frac{\Delta y}{\Delta u}$ 就没有定义，第一步的变形在这些点上行不通。

严格的处理方法是：构造一个辅助函数来"填补" $\Delta u = 0$ 时的缺口。定义：

$\phi(\Delta u) = \begin{cases} \frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta u}, & \Delta u \neq 0 \\ f'(u), & \Delta u = 0 \end{cases}$

这个 $\phi$ 在 $\Delta u = 0$ 处是连续的（因为 $f$ 可导）。然后可以把 $\Delta y$ 统一写成 $\Delta y = \phi(\Delta u) \cdot \Delta u$，对所有 $\Delta x$ 都成立（包括 $\Delta u = 0$ 的情形）。两边除以 $\Delta x$ 再取极限，就得到了同样的结论，且不再需要 $\Delta u \neq 0$ 的假设。

这个技术细节在考试中通常不会要求写出，但它回答了"如果中间变量不动怎么办"这个自然的质疑。你知道有办法处理就好，重点是理解"乘积→取极限"这个核心思路。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍刚才做了什么：

链式法则的推导，本质上就是把"求导数"这件事切成了两刀。第一刀：$\frac{\Delta y}{\Delta u}$——外层函数对中间变量的变化率。第二刀：$\frac{\Delta u}{\Delta x}$——中间变量对自变量的变化率。把这两刀乘起来再取极限，就得到了总的变化率。整个过程没有引入任何新概念，就是导数的定义 + 极限乘法法则。

为什么莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 这么流行？因为它让这个推$导"一目了然"——看起来就是把 $du$ 当成普通字$母"约掉"了。虽然这不是严格的数学推导（$du$ 本身不是一个数），但它完美捕捉了推导的本质：总变化率 = 各段变化率的乘积。一百个数学家里有九十九个，在脑子里都是$用"约分"这个直觉来记链式法则的。

四个必须牢记的边界（容易错！）：

⚠️ 边界1：必须从外往里一层一层剥，不能跳层。

最外层的导数里面，自变量是"整坨里面那层"——而不是 $x$ 本身。最常见的翻车：

防错口诀：剥外层时，把内层当成一个整体塞进外层导数里——$\ln x$ 就是一整坨，别拆开。

⚠️ 边界2：漏层是最高频错误——剥到一半就停了。

经典翻车现场：求 $\ln(\cos x)$ 的导数。学生写出 $\frac{1}{\cos x}$ 就停笔了——忘了还要乘 $(\cos x)' = (-\sin x)$。链式法则不$是"求最外层导数就完事"，而是"每一层都要乘上它自己的导数，一直剥到 $x$ 本身为$止"。

⚠️ 边界3：链式法则和乘法法则不同——别搞混。

$f(g(x))$ 的导数是 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$（链式法则）。但 $f(x) \cdot g(x)$ 的导数是 $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$（乘法法则）。复合和乘积是两回事——复合$是"函数套函数"，乘积是"两个函数并列相乘"。一眼看结构：括号里面套着东西 → 链式；两个东西直接乘在一起 → 乘法法则。

⚠️ 边界4：三层以上的嵌套，剥完一层立刻在纸上写下来，再剥下一层。

例如 $y = \sin^3(\ln(x^2+1))$ 有四层：立方 → 正弦 → 对数 → 多项式。建议逐层写：

$y' = 3\sin^2(\ln(x^2+1)) \cdot \cos(\ln(x^2+1)) \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x$

每写一项，嘴里念出它的来源（"立方求导得3倍平方"→"正弦求导得余弦"→"对数求导得倒数"→"多项式求导得2x"）。这样不容易漏层。

在整条知识链中的位置：

链式法则位于知识块A（导数与微分的计算）的核心位置。在知识地图（1.3 节）中，它被标注为"最重要的计算工具"——这不是夸张。为什么？

因为微积分中绝大多数函数都是复合函数。$e^{\sin x}$、$\ln(\cos x)$、$\sqrt{x^2+1}$——随便写一个函数，大概率是复合的。不会链式法则，后面所有的求导运算（隐函数求导、对数求导法、高阶导数）全部寸步难行。它就像微积分计算中$的"乘法口诀"——虽然简单，但每一道题都离不开它。

从逻辑上看，链式法则源于导数定义 + 极限乘法法则，它本身不依赖任何更深层的定理。但它为后续所有求导技巧（2.1.9 反函数求导 → 2.1.10 隐函数求导 → 2.1.12 高阶导数）提供了运算基础。

🛑 停下来想一想：链式法则说"从外往里一层一层剥"。试着不看答案，在脑子里过一遍 $y = \ln(\cos x)$ 的求导过程：最外层是什么？它的导数是什么？内层是什么？它的导数是什么？最后答案应该是多少？再想一下：如果中间变量 $\cos x$ 在某点恰好不变（导数为零），链式法则给出的结果有意义吗？

2.1.9 反函数求导——"镜子里的斜率"

🪞 生活场景：你对着镜子举起右手，镜子里的人举起的是"左手"——左右颠倒了。函数和反函数的关系就像照镜子：$y = f(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 翻折后，恰好就是它的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 的图像。现在问题是：镜子两边同一点的切线斜率有什么关系？直觉告诉你——如果原函数在这$边"倾斜了某个角度"，翻折到镜子那边后，"倾斜的角度也跟着翻了一下"。翻折的效果是：反函数的切线斜率恰好是原函数切线斜率的倒数。也就是说，原函数在 $x$ 处的斜率是 3，反函数在对应的 $y$ 处的斜率就是 $\frac{1}{3}$。

反函数求导法则的正式陈述：

设 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调、可导，且 $f'(x) \neq 0$，则它的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也可导，且：

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{即} \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

其中 $x$ 和 $y$ 满足 $y = f(x)$（即 $x = f^{-1}(y)$）。

两个使用条件（缺一不可）：

  1. 原函数 $y = f(x)$ 在区间上单调——这样才能保证反函数存在。不单调就没有反函数，后面的推导无从谈起。
  2. 原函数的导数 $f'(x) \neq 0$——因为公式里有 $\frac{1}{f'(x)}$，分母不能为零。$f'(x) = 0$ 的点处反函数在那里的切线是铅直的（斜率无穷大）。

🧠 这个结论是怎么推出来的？

第一步：写出反函数的定义恒等式。

如果 $y = f(x)$ 的反函数是 $x = f^{-1}(y)$，那么将 $x$ 代回原函数： $f(f^{-1}(y)) = y$

大白话：先把 $y$ 反解回 $x$，再把 $x$ 代入 $f$——兜了一圈，应该回到原来的 $y$。这条恒等式是推导的出发点。

第二步：两边同时对 $y$ 求导，使用链式法则。

左边 $f(f^{-1}(y))$ 是复合函数——外层是 $f$，内层是 $x = f^{-1}(y)$。对 $y$ 求导：外层 $f$ 对 $x$ 求导得 $f'(x)$，内层 $x$ 对 $y$ 求导得 $\frac{dx}{dy}$。两者相乘等于右边（$y$ 对 $y$ 的导数，也就是 1）：

$f'(x) \cdot \frac{dx}{dy} = 1$

第三步：移项，解出 $\frac{dx}{dy}$。

$(f^{-1})'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)}$

推导完毕。 只有两步——链式法则 + 移项。极其简洁。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍：

整个推导只做了一件事：把恒等式 $f(f^{-1}(y)) = y$ 两边同时对 $y$ 求导。左边因为$是"$f$ 套 $f^{-1$}"，链式法则自动产生 $f'(x) \cdot (f^{-1})'(y)$；右边 $y$ 的导数就是 1。解出 $(f^{-1})'(y) = 1/f'(x)$——完事。整个过程没有引入任何一个新概念，就是反函数的定义 + 链式法则。

镜子比喻的精确版：把 $y = f(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 翻折，得到 $x = f^{-1}(y)$。翻折前后，同一点处的切线也关于 $y = x$ 翻折。两条关于 $y = x$ 对称的直线，它们的斜率互为倒数（如果一条斜率是 $k$，另一条就是 $1/k$，除非 $k = 0$ 或 $k = \infty$）。这就是为什么反函数的导数是原函数导数的倒数——它是几何$上"翻折"的代数翻译。

⚠️ 四个最容易踩的坑：

⚠️ 坑1：变量对应关系搞混。

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$，其中 $y = f(x)$。也就是说：反函数在 $y$ 处的导数，等于原函数在对应 $x$ 处的导数的倒数。$x$ 和 $y$ 必须成对出现——不能写 $\frac{1}{f'(x)}$ 而让 $x$ 和 $y$ 混在一起。

经典翻车：已知 $y = e^x$，求反函数 $x = \ln y$ 的导数。有人写 $(\ln y)' = \frac{1}{e^x}$ 就停笔了——但 $x$ 和 $y$ 混在一起。正确答案是：$(\ln y)' = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y}$。既然求的是关于 $y$ 的导数，最终答案应只用 $y$ 表示。

防错口诀：先找对应关系（$x$ 和 $y$ 谁是谁），算出 $\frac{1}{f'(x)}$，然后把 $x$ 换成 $y$ 的表达式。

⚠️ 坑2：用反函数求导推导反三角函数导数时，最后一步必须把变量换回 $x$。

拿 $\arcsin x$ 举例。设 $y = \arcsin x$，则 $x = \sin y$。用反函数求导法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}$

现在答案还含 $y$，但题目要求关于 $x$ 的导数。把 $\cos y$ 用 $x$ 表示：由 $x = \sin y$ 和 $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$，得 $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$（在 $\arcsin$ 的主值范围 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内 $\cos y \ge 0$，取正号）。

最终：$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

这个"换回 $x$"的步骤最容易忘——很多人写到 $1/\cos y$ 就停了，答案里还挂着 $y$。类似地，$\arccos x$ 和 $\arctan x$ 的导数也可用同样方法推导。

⚠️ 坑3：$f'(x) = 0$ 的点不能直接用公式——反函数在那里的导数不存在（切线铅直）。

例如 $y = x^3$ 在 $x = 0$ 处 $f'(0) = 0$，此时公式 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{0}$ 没意义。实际上反函数 $x = \sqrt[3]{y}$ 在 $y = 0$ 处导数为无穷大（切线铅直）。公式失效，但可以单独讨论。

⚠️ 坑4：公式中分子分母的位置不要搞反。

很多人记成 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}$ 和 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$ 两个混着写。正确记法：反函数是 $x$ 关于 $y$ 的函数，求的是 $\frac{dx}{dy}$——所以 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$（反函数导数 = 原函数导数的倒数）。一个验证方法：$y = 2x$，$\frac{dy}{dx} = 2$，反函数 $x = \frac{1}{2}y$，$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}$——没错，$\frac{1}{2}$ 就是 2 的倒数。

反函数求导在整条知识链中的位置：

反函数求导法则位于知识块A（导数计算）中链式法则的紧后面。从逻辑上看：导数定义 → 基本求导公式 → 四则运算法则 → 链式法则 → 反函数求导 → 隐函数求导 → 对数求导法 → 高阶导数。

反函数求导是桥接"基本求导公式"和"反三角函数导数"的关键：$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$ 的导数公式全部由反函数求导法则 + 原三角函数的导数 + 三角恒等式推导得出。没有它，反三角函数的导数就只能死记——有了它，每一个都可以从零推导。

2.1.10 隐函数求导

先看一道题：设 $x^2 + y^2 = 25$，其中 $y$ 由这个方程悄$悄"藏"在里面，求 $\frac{dy}{dx}$。

看到这题，先别慌。想想我们手里有什么：之前学的 $y' = (x^3)'$ 这类，都是把 $y$ 明明白白写成"$y = $ 一堆 $x$"的样子再求导。可这里 $y$ 和 $x$ 缠在一起，方程没法干净地解出 $y = \pm\sqrt{25-x^2}$ 来直接求导。

难在哪？ 我们一直习惯的求导动作是"对函数求导"——可现在手里只有"$x$ 和 $y$ 的一个关$系"，没有现成的函数。这种关系叫隐函数：$y$ 没被解出来，但它确实随 $x$ 变化（点沿圆移动，$y$ 跟着 $x$ 走）。

🧠 动手试探：既然 $y$ 是随 $x$ 变化的量，那整个方程就是一个恒等式——等号两边必须永远相等。既然它永远相等，我对两边同时用同一个求导动作，等号当然还是相等的。于是关键问题变成了："对 $x$ 求$导"这件事，落到含有 $y$ 的项上时怎么算？ 比如 $y^2$ 对 $x$ 求导。

$y^2$ 就是 $(\text{某个随 }x\text{ 变化的量})^2$——这是个复合函数！外层是平方，内层是 $y(x)$。用第 2.1.8 节的链式法则：$(y^2)' = 2y \cdot y'$。看，$y'$ $被"乘"了出来——这就是为什么隐函数求导"遇到 $y$ 要乘 $y$'"。

🔍 回头看看我们做了什么：我们没做任何新发明——只是把"对函数求导"的观念轻轻一移：方程也是函数关系，对它整体求导；遇到 $y$ 的项，$y$ 是 $x$ 的复合函数，套链式法则。于是求导动作自动把 $y'$ 从等式$里"挤"了出来。

📌 以后就这么办：遇到"$y$ 藏在方程里求导$数"，方法一（最常用）就是——方程两边同时对 $x$ 求导，遇到 $y$ 就当它是 $x$ 的函数，乘上 $y'$，最后解出 $y'$。

方法一（最常用）：方程两边同时对 $x$ 求导，遇到 $y$ 就当它是 $x$ 的函数，乘上 $y'$，最后解出 $y'$。

方法二（公式法）：把方程写成 $F(x,y)=0$，则 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$（$F_x$ 表$示"把 $y$ 当常数、只对 $x$ 求$导"——这叫偏导数，第5章会正式学，这里先按字面理解就行）

🧠 公式前面的负号从哪来？（一句话讲透） 对 $F(x,y) = 0$ 两边同时关于 $x$ 求导：$F(x,y)$ 里的 $x$ 直接求导得 $F_x$；里面的 $y$ 是 $x$ 的函数，用链式法则得 $F_y \cdot y'$。所以： $F_x + F_y \cdot y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{F_x}{F_y}$ 这个负号是"移项"移出来的——$F_x$ 和 $F_y \cdot y'$ 相加等于 0，把 $F_x$ 挪到右边再除以 $F_y$，负号就出现了。它跟偏导本身的符号无关，纯粹是等$式"两边为 0"的代数结构决定的。

方法三（微分法）：两边同时求微分，利用 $dy = y'dx$。

🧠 方法三"求微分"凭什么也能求出 $y'$？ 它其实是方法一$的"记号变体"。两边求微分，就是把"对 $x$ 求$导"这件事用 $dy$、$dx$ 的记号重写一遍——$d(y^2) = 2y\,dy$（链式法则的微分写法），$d(x^2) = 2x\,dx$。整理出 $dy = (\cdots)dx$ 后，因为 $dy = y'\,dx$（2.1.14 节），系数就是 $y'$。所以三种方法不是三个新定理，本质是同一个动作的三套衣服：方法一$穿"导数号"、方法三穿"微分号"。哪个顺手用哪个。

2.1.12 高阶导数

$f^{(n)}(x)$ 表示对 $f(x)$ 连续求 $n$ 次导数。

三种求法：

  1. 数学归纳法：先求出一阶、二阶、三阶，观察规律，猜出通式
  2. 莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）： $[u \cdot v]^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}$

🧠 公式里的组合数 $C_n^k$ 从哪来？ 看着吓人，其实它是二项式定理$的"亲戚"。回顾 $(a+b)^n$ 的展开： $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k\, a^k b^{\,n-k}$ 组合数 $C_n^k$ 表示"从 $n$ 次里挑 $k$ 次取 $a$"——乘法分配律展开时，每一项对应一种"从 $n$ 个括号里选哪 $k$ 个取 $a$"的选择方式。 莱布尼茨公式是同一件事的"求导版"：$uv$ 连续求 $n$ 次导，每一次求导都只能落在 $u$ 或 $v$ 之一上，所以每一项对$应"从 $n$ 次求导里挑 $k$ 次作用在 $u$ 上（剩下的 $n-k$ 次作用在 $v$ 上$）"——这种挑法一共有 $C_n^k$ 种，于是系数就是 $C_n^k$。同一$个"挑法计数"问题，展开乘法分配律和展开高阶导，用的是同一套组合数。

  1. 泰勒展开法（间接法）：把函数展开成泰勒级数，看 $x^n$ 项的系数，这个系数乘以 $n!$ 就是 $f^{(n)}(0)$

🔗 先跳过、学完泰勒再回看：这一种方法要用到第 2.2.6 节的泰勒定理/麦克劳林展开，那是后面知识块 B 的内容。如果还没学到那里，先把这条记下："把函数展开，看 $x^n$ 项的系数，系数 × $n!$ 就是 $f^{(n)}(0$)"，等学会 2.2.6 节再回来读就能真正理解它为什么成立（展开式的系数和 $n$ 阶导数之间是一一对应的）。下面方法三（3.1.4）也会用到它。

常用高阶导数公式：

🧠 先别背表——这5行是从3个"种子"长出来的，现场算只需"求前几阶找规律"

高阶导数的表看着要背五行，其实每行都来自同一个动作：求一阶、二阶、三阶，看规律。下面每行现场走一遍。

📌 以后就这么办：看到"求 $n$ 阶导"，先别慌着查表——先求一阶、二阶、三阶，找到"每次多乘什么、每次多降什么幂"的规律。指数族找"每阶乘 $k$"、三角族找"每阶转 90°"、分式族找"分子阶乘+分母升幂"。规律找到了，$n$ 阶通式就是规律本身。

函数 $n$ 阶导数
$e^{kx}$ $k^n e^{kx}$
$\sin kx$ $k^n \sin(kx + \frac{n\pi}{2})$
$\cos kx$ $k^n \cos(kx + \frac{n\pi}{2})$
$\frac{1}{ax+b}$ $\frac{(-1)^n n! \cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}$
$\ln(1+x)$ $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

🛑 停下来想一想：高阶导数的三种求法——数学归纳法、莱布尼茨公式、泰勒展开法——各适用于什么场景？如果题目说"求 $f^{(10)}(0$)"，也就是只要求在 $x=0$ 处的第 10 阶导数值，三种方法里你首选哪个？

2.1.13 对数求导法

先看一道题：设 $y = x^{\sin x}$（$x > 0$），求 $y'$。

看到这题，先别慌。想想我们手里有什么：之前学的公式，要么是"幂函数"的 $(x^n)' = nx^{n-1}$（底数是 $x$、指数是常数），要么$是"指数函数"的 $(a^x)' = a^x\ln a$（底数是常数、指数是 $x$）。可这里的 $y = x^{\sin x}$——底数是 $x$、指数是 $\sin x$，两个都在变。这样的函数既不是单纯的幂函数，也不是单纯的指数函数，两条公式全都套不上。

难在哪？ 幂函数公式的"指数是常数"和指数函数公式的"底数是常数"，恰好是这题两个条件都不满足。既不能把指数当成常数、也不能把底数当成常数——直接求导，无从下手。

🧠 动手试探：既然求导公式对"底数指数都在变"失灵，那就先问一句：有没有什么办法，能让指数"从天上掉下来"变成系数？——有，取对数。对两边取 $\ln$，靠对数三条铁律把结构摊平：

于是 $y = x^{\sin x}$ 取对数后变成 $\ln y = \sin x \cdot \ln x$——原$来"底数指数都在变、什么公式都套不了"的怪物，变成"两坨熟悉函数相乘"；$y = x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 取对数后变成 $\ln y = \ln x + \frac{1}{2}[\ln(1-x) - \ln(1+x)]$——连乘除带根号全部摊平。摊平之后，对 $x$ 求导就是普通的链式法则 + 四则运算。

🔍 回头看看我们做了什么：取对数本身没有任何求导技巧，它做的是翻译——把"指数在变、乘除纠缠"这种不可导的结构，翻成"乘法和加减"这种我们早已会求导的结构。不是取对数好玩，是取对数把不可导的结构变成了可导的结构。 有了 $\ln y$ 这个中间层，接下来只差最后一步：左边 $\ln y$ 对 $x$ 求导得 $\dfrac{y'}{y}$（$y$ 是 $x$ 的函数，链式法则），右边是普通求导，最后解出 $y'$。

📌 以后就这么办：遇到"底数和指数都含 $x$"或"复杂连乘除/带根号分式"的求导，就用对数求导法——

  1. 两边取自然对数：$\ln y = \cdots$（把指数、乘除、根号全摊平）
  2. 两边对 $x$ 求导：$\dfrac{y'}{y} = \cdots$（左边用链式法则，右边是普通求导）
  3. 解出 $y'$：$y' = y \cdot (\cdots)$（把 $y$ 代回原来的式子）

三步合起来，就是把上面"试探→摊平→回看"的发现过程，落地成一套可以直接照做的固定动作。例题见 3.1.5 考法的例7、例8。

2.1.14 微分

关键关系：$dy = f'(x)dx$，所以 $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)$。这就是为什么导数也写作 $\frac{dy}{dx}$——导数等于微分之比。

一阶微分形式不变性：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy = f'(u)du$ 的形式都不变。

🧠 把"微分"这块补厚一点：$dy$ 到底是什么？

📐 $dy$ 的图形直觉—$—"切线上的变化量"（线性近似）：

在 $x_0$ 这一点看曲线：曲线本身是弯的，但在 $x_0$ 附近一小段，它几乎贴着一条直线——就是 $x_0$ 处的切线。当 $x$ 变化了 $\Delta x$，真实函数值沿曲线走了 $\Delta y$；而 $dy = f'(x_0)\Delta x$ 算的是沿切线走了多远。因为切线斜率就是 $f'(x_0)$，"沿切线的竖直变化" = "斜率 × 水平距离" = $f'(x_0)\Delta x$。$dy$ 就是把弯曲线在这一小段"当直线"算出来的近似变化量。 $x$ 动得越小，切线和曲线越贴近，$dy$ 就越准。

🧮 $dy$ 和 $\Delta y$ 的区别—$—"真变化" vs "切线近似"：

打个比方：$\Delta y$ 是你开车走盘山公路翻过的实际海拔差，$dy$ $是"假设一路都是平坡、按当前坡度推算"的估算海拔差。在脚下这一小段，两者几乎一样；走得越远，差得越多。这个"差是 $o(\Delta x$)"正是第 2.1.5 节可微定义说的同一件事——可微就是"$\Delta y$ 能被 $dy$ 近$似"。

🧠 形式不变性"为什么成立"？——本质就是链式法则：

"不管 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy = f'(u)du$ 都成$立"——这句话看着玄，其实一句话就能推出来。若 $u$ 是中间变量，即 $u = u(x)$，则 $y = f(u(x))$ 是复合函数。由链式法则： $\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx}$ 两边同乘 $dx$：$dy = f'(u)\,du$——形式不变性出现了。它之所$以"不变"，是因为链式法则里 $f'(u)$ 与 $\frac{du}{dx}$ 相乘，乘上 $dx$ 后恰好把 $du$ 拼了回来。所以形式不变性不是新定理，就是链式法则的记号写法。做题时遇到复合函数想用微分，可以放心地先对中间变量写 $dy = f'(u)du$，再代 $du = u'(x)dx$——这正是 2.1.10 $节"方法三（微分法）"的原理。

📌 现在去练：看完上面14个概念小节（2.1.1 到 2.1.14），去下面[考法1：复合函数求导]做例1和题1-2，先感受一下基本的求导运算。其他考法（隐函数求导→3.1.2、高阶导数→3.1.4、对数求导→3.1.5）的对应关系见下方[概念与考法对应表]，可以等做到对应概念节时再回到本节对应考法练习。

2.2 洛必达法则（自第1章移入：需要求导技能，学完导数计算再看）

📌 这节原本在第1章（极限章），但洛必达要用"求导"——现在你已学完导数计算，正是学它的最佳时机。

📌 这节学完你就能回答： 洛必达法则是不是万能的（有哪些题用了反而更糟）？用之前必须检查哪三个条件，少一个就不行？什么时候泰勒展开比洛必达更快更准？

💡 前置知识提醒：洛必达法则需要用到求导——你现在刚学完导数计算，正是学它的最佳时机。如果你在第1章一路学下来时跳过了这节，现在回来学正合适；极限和洛必达本质上仍是同一个话题。

先看一道题：求 $\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$

看到这题，先别慌。定型：$x\to 0$ 时分子分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型。然后呢？等价无穷小能不能换？$x-\sin x$ 里，$x\sim x$、$\sin x\sim x$——一减就归零，加减法不能乱换（第1章 2.3.2b 的教训）。泰勒？那要在第2章（二）才正式学。手里的武器都钝了。难在哪？

难在"分子分母都在归零"。$\frac{0}{0}$ 不是数，直接代入毫无意义。

🧠 这一步在想什么：归零这件事本身算不了，但归零前那一瞬间"谁跑得快"是可以量的——速度（导数）是现成的概念。分子分母各自求个导，比一比速度之比，也许就能揭开"归零时谁更小、小多少"的真相。

试一下：分子 $(x-\sin x)' = 1-\cos x$，分母 $(x^3)' = 3x^2$，新的比值是 $\dfrac{1-\cos x}{3x^2}$。这个新极限我们认识——$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$，所以 $\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\to\dfrac{1}{6}$。居然算出来了，答案是 $\dfrac{1}{6}$——之前直接用分子比分母根本比不出来！（对照：$\sin x - x$ 是 $-\dfrac{1}{6}$，一正一负要看清，别手滑。）

🔍 回头看看我们做了什么：分子分母同时归零、比值算不出时，我们改比各自的变化速度（导数）之比。这招太通用了，配得上一个正式的名字和一套使用条件。

📌 以后就这么办：洛必达法则——当 $\frac{0}{0}$（或 $\frac{\infty}{\infty}$）算不出来时，分子分母分别求导再比，结果不变。但必须先验三条件（见下），少一个就失效。

大白话：洛必达法则是求 $\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限$的"万能钥匙"——当分子分母同时趋于0或同时趋于无穷时，分别对分子分母求导后再求极限，结果和原来一样。

生活比喻：想象两辆车从起点同时出发，你想知道很长时间后A车跑的里程是B车的几倍——但这个"倍数"不是直接比较里程就能算出来的。洛必达告诉你：在满足条件时，这个"倍数"恰好等于两车速度之比（也就是导数之比）的极限。如果速度比还是分不出来，就再比加速度（二阶导），以此类推。

洛必达法则的两种标准形式：

形式一（$\frac{0}{0}$ 型）：若 $\lim f(x) = 0$，$\lim g(x) = 0$，且 $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大），则： $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$

形式二（$\frac{\infty}{\infty}$ 型）：若 $\lim f(x) = \infty$，$\lim g(x) = \infty$，且 $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大），则： $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$

⚠️ 三大使用条件（缺一不可！）：

  1. 必须是 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型——其他类型（$0 \cdot \infty, \infty-\infty, 1^\infty, \infty^0, 0^0$）必须先变形转化为这两种类型才能用
  2. 分子分母在去心邻域内可导，且分母的导数不为零
  3. 求导后的极限必须存在（或为无穷大）——如果求导后极限震荡不存在，洛必达失效，需要换方法（如泰勒展开）

🧠 洛必达为什么是对的？——"比极限就是比变化率"

三个条件记住了，但你可能心里犯嘀咕：分子分母都趋于 0，凭什么把分子分母"各求一次导"再比，结果不变？这节补个直观解释（严格的背景是柯西中值定理，这里先讲懂"为什么"）。

生活直觉——两辆车同时踩刹车滑向终点：想象 A、B 两辆车从同一起点同时急刹车滑行。里程数 $f(x)$、$g(x)$ 都在往 0 收缩（都趋于 0），你想知$道"最后阶段，A 滑过的距离是 B 的几倍"。直接量里程不行——因为两个里程都趋近 0，0 比 0 没意义。但你可以改比瞬间速度（导数 $f'(x)$、$g'(x)$）：滑行到尾声时，$谁"还带着速度"、谁已经几乎停住，两者的倍数关系，恰恰就等于总里程之比。

为什么"里程之比 = 速度之比"？ 第1步：把 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 想$成"同一时刻两人的进度比"，当分子分母都逼近 0 时，这个比不好直接算。第2步：柯西中值定理（第2章（二）中值定理那里会严格讲）告诉我们：在一个小区间 $[a,b]$ 里，$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$（区间内某个点 $c$ 处的导数之比）——"区间的总改变量之比"等于"区间内某点的瞬时变化率之比"。第3步：当区间缩到 $x_0$ 附近、$a,b$ 都往 $x_0$ 挤，这个 $c$ 也挤向 $x_0$，于$是"总改变量之比"的极限就变成了"导数之比"在 $x_0$ 处的极限。一句话：比分值算不出来时，改$比"谁变化得快"，快慢之比就是最后那段路程之比。

大白话复盘：分子分母都在归零时，"比大小"没有意义，但"比变化速度"有意义——归零前那一瞬间，分子跑得快还是分母跑得快、谁快多少倍，就决定了两者归零时的比例。洛必达就是"把比结果换成比速度"。 只要速度之比能算出来，答案就有了；一次算不出，就再比加速度（求二阶导）……

⚠️ 什么时候洛必达会"失灵"？——求导后极限震荡

三大条件里的第3条（求导后极限必须存在或为 $\infty$）不是摆设。最经典的反例：

$\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}$

大白话复盘：洛必达能用的前提是"换成比速度之后，速度比还算得出来"。如果求导后冒出一个 $\sin\frac{1}{x}$ 这种在 $-1$ 到 $1$ 之间来回横跳的震荡项，速度之比根本没谱，洛必达就罢工了——这时回头用等价无穷小或夹逼，往往一步到位。

经典例题：

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

🛑 停一下，检验理解

  1. 洛必达法则适用于哪两种未定式？
  2. 洛必达法则使用前必须验证什么条件？（说出至少两个）
  3. 为什么不能一上来就用洛必达？说出泰勒比洛必达好的两个理由。

想好了再往下。

💡 阅读思考题——极限

考试演练：求 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$。在动笔之前先说：这道题是哪种未定式？你选什么方法？为什么选这个方法？

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是 $0/0$ 型。选泰勒展开。理由：分子 $e^x$、$e^{-x}$ 的泰勒展开到 $x^3$ 就能消掉低阶项，分母 $x-\sin x \sim x^3/6$，展开后直接比系数就得到答案。如果用洛必达，需要求三次导数，容易出错且慢。答案：$2$（用泰勒展开 $e^x$ 和 $\sin x$ 到 $x^3$ 即可求解）。

🎯 解题方法：导数与微分的计算

导数的计算是整个微分学的基础，所有的应用都建立在"能正确求出导数"的前提下。

🗺️ 概念与考法对应表：以下每个考法对应前面一个具体的概念小节。建议"读完概念就来做对应的考法"，不要等所有概念读完再一起练。

考法 对应概念节 建议顺序
3.1.1 复合函数求导 2.1.8 链式法则 读完 2.1.8 就来
3.1.2 隐函数求导 2.1.10 隐函数求导 读完 2.1.10 就来
3.1.4 高阶导数 2.1.12 高阶导数 读完 2.1.12 就来
3.1.5 对数求导法 2.1.13 对数求导法 读完 2.1.13 就来
3.1.6 分段函数求导 2.1.2 导数的定义式 读完 2.1.2 就来

3.1.1 考法1：复合函数求导

识别特征：函数由多层基本初等函数嵌套组成，例如 $y = \ln\sin(x^2+1)$

解题模板（链式法则）：

第1步：从最外层开始，逐层向里求导
第2步：每一层的导数乘以该层内部表达式的导数
第3步：直到求到最内层（自变量x本身），求导结束
第4步：整理化简结果

生活比喻：就像剥洋葱，一层一层剥。剥一层，乘上这一层的变化率；再剥下一层，再乘上那一层的变化率；一直剥到最里面。

防错口诀：从外往里一层一层剥，剥一层乘一层，剥光为止！

最常见错误：漏层——求完外层导数就停了，忘记继续乘里层的导数。

翻车现场：

求 $\ln(\cos x)$ 的导数时，学生写出 $\frac{1}{\cos x}$ 就停了——把内层函数的导数 $(-\sin x)$ 完全忘掉了。

为什么错：链式法则的核心是"一层一层剥，每剥一层都要乘上那层自己的导数"。就像剥洋葱——你剥开最外面那层皮（对数求导），得到 $\frac{1}{\cos x}$，但洋葱还没剥完，里面那层（$\cos x$）自己还要再求一次导（$-\sin x$）。只剥一层就停，等于洋葱没剥干净。

正确做法：先在脑子里把复合层次标出来（如 $\sin^2[\ln(1+x^2)]$ 是四层：平方→正弦→对数→多项式），然后从最外层开始写导数，每写一层的导数就自动乘上里面那层的导数，直到剥到最内层（$x$ 本身）为止。

名师特色：

典型例题：

例1：设 $y = \sin^3(2x+1)$，求 $y'$

🧠 怎么想到的：

三层结构：最外层是立方、中间层是正弦、最内层是一次函数。

$\begin{aligned} y' &= 3\sin^2(2x+1) \cdot [\sin(2x+1)]' \quad \text{(外层立方求导)} \\ &= 3\sin^2(2x+1) \cdot \cos(2x+1) \cdot (2x+1)' \quad \text{(中层正弦求导)} \\ &= 3\sin^2(2x+1) \cdot \cos(2x+1) \cdot 2 \quad \text{(内层求导)} \\ &= 6\sin^2(2x+1)\cos(2x+1) \end{aligned}$

例2：设 $y = e^{\sin x^2}$，求 $y'$

$y' = e^{\sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x = 2x\cos x^2 \cdot e^{\sin x^2}$

题1 ⭐ 基础

设 $y = \ln(\cos x)$，求 $y'$。

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解题过程：$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$

答案：$y' = -\tan x$

题2 ⭐⭐ 中等

设 $y = \arctan(e^{2x})$，求 $y'$。

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解题过程：$y' = \frac{1}{1 + e^{4x}} \cdot e^{2x} \cdot 2 = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}$

答案：$y' = \dfrac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}$

题3 ⭐⭐⭐ 真题难度

设 $y = \sin^2\left[\ln(1 + x^2)\right]$，求 $y'$。

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解题过程：四层复合，链式法则逐层求导。

$y' = \frac{4x}{1+x^2} \cdot \sin\left[\ln(1+x^2)\right] \cos\left[\ln(1+x^2)\right] = \frac{2x}{1+x^2} \cdot \sin\left[2\ln(1+x^2)\right]$

答案：$y' = \dfrac{2x}{1+x^2} \cdot \sin\bigl[2\ln(1+x^2)\bigr]$

题4 ⭐⭐ 中等（抽象函数复合）

设 $y = f(\sin x) \cdot e^{g(x)}$，其中 $f, g$ 可导，求 $y'$。

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$y' = e^{g(x)}\left[f'(\sin x)\cos x + f(\sin x)g'(x)\right]$

答案：$y' = e^{g(x)}\bigl[f'(\sin x)\cos x + f(\sin x)g'(x)\bigr]$

3.1.2 考法2：隐函数求导

识别特征：$y$ 不是显式写成 $y = f(x)$，而是由方程 $F(x, y) = 0$ 确定

解题模板：

方法一（最常用）：方程两边同时对 $x$ 求导

第1步：方程两边同时对x求导
第2步：遇到含y的项，把y看作x的函数，求导后乘以y'
第3步：整理含y'的项，解出y'
第4步：如需y''，继续对y'表达式或原导函数方程求导

方法二（公式法）：$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$

方法三（微分形式不变性法）：方程两边求微分，解出 $\dfrac{dy}{dx}$

防错口诀：遇到 $y$ 就当它是 $x$ 的函数，求完一项不忘记乘 $y'$。

翻车现场：

方程两边对 $x$ 求导时，把含 $y$ 的项当常数处理——比如把 $e^y$ 对 $x$ 求导写成 $e^y$，漏了乘 $y'$。

为什么错：隐函数的核心前提是"$y$ 是 $x$ 的函$数"——虽然我们不知道 $y$ 的具体表达式，但它确实随 $x$ 变化。所以把 $e^y$ 对 $x$ 求导时，必须用链式法则：$(e^y)'_x = e^y \cdot y'$。同理，$y^2$ 对 $x$ 求导是 $2y \cdot y'$，不是 $2y$。

正确做法：做题时在草稿纸上给每个含 $y$ 的项后面画个小尾$巴"$\cdot y$'"，防止遗漏。另外注意 $xy$ 这种既有 $x$ 又有 $y$ 的项需要用乘法法则：$(xy)' = 1 \cdot y + x \cdot y' = y + xy'$。

典型例题：

例3：设方程 $x - y + \frac{1}{2}\sin y = 0$ 确定 $y = y(x)$，求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$

解（一阶导）： $1 - y' + \frac{1}{2}\cos y \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = \dfrac{2}{2 - \cos y}$

解（二阶导）：对 $y' = \frac{2}{2-\cos y}$ 再对 $x$ 求导： $y'' = \frac{-2\sin y \cdot y'}{(2-\cos y)^2} = \frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3}$

题5 ⭐ 基础

设方程 $xy + e^y = 1$ 确定隐函数 $y = y(x)$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。

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方程两边对 $x$ 求导：$y + xy' + e^y y' = 0$

答案：$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + e^y}$

题6 ⭐⭐ 中等

设 $\arctan\dfrac{y}{x} = \ln\sqrt{x^2 + y^2}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。

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答案：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{x - y}$

题7 ⭐⭐⭐ 真题难度

设 $y = y(x)$ 由方程 $e^{y} + xy = 1$ 确定，求 $x=0$ 处的 $\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

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解：代入 $x=0$ 得 $y(0)=0$。方程两边对 $x$ 求导得 $y' = \frac{-y}{e^y + x}$，代入得 $y'(0)=0$。再对导函数方程求导得 $y''(0)=0$。

答案：$y'(0) = 0$，$y''(0) = 0$

3.1.4 考法4：高阶导数

识别特征：题目直接要求求 $f^{(n)}(x)$ 或 $f^{(n)}(0)$

三种方法：

方法一：数学归纳法

第1步：先求出y', y'', y'''（通常求到三阶或四阶）
第2步：观察规律，猜测y^{(n)}的形式
第3步：用数学归纳法证明

方法二：莱布尼茨公式 $[u(x)v(x)]^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot u^{(k)}(x) \cdot v^{(n-k)}(x)$ 使用条件：其中一个因子为低次多项式，或两个函数的各阶导数都有明确规律。

方法三：泰勒展开法

第1步：将函数在x=a处展开为泰勒级数
第2步：通过与已知展开式比较系数，求出f^{(n)}(a)
核心关系：f^{(n)}(a) = n! × (展开式中(x-a)^n的系数)

🔗 先跳过、学完泰勒再回看：这个方法依赖第 2.2.6 节才正式学的泰勒定理/麦克劳林展开（2.1.12 方法三里已提前预告）。如果还没学到那里，先把"系数 × n! = 高阶导数值"这条结论记下，等学会 2.2.6 节再回来做下面标注了"泰勒展开法"的题13，就能真正看懂它为什么成立。下面的例子先按方法一、方法二走。

武器选择口诀：

先归纳看规律，不行再莱布尼茨，求单点找泰勒。

常用高阶导数公式速查：

函数 n阶导数公式
$e^{kx}$ $k^n e^{kx}$
$\sin kx$ $k^n \sin(kx + \frac{n\pi}{2})$
$\cos kx$ $k^n \cos(kx + \frac{n\pi}{2})$
$\frac{1}{ax+b}$ $\frac{(-1)^n n! \cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}$
$\ln(1+x)$ $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$
$(1+x)^\alpha$ $\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$

典型例题：

例5：设 $y = e^x \sin x$，求 $y^{(n)}$（数学归纳法）

🧠 怎么想到的：

$y' = \sqrt{2}e^x\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right),\quad y'' = (\sqrt{2})^2 e^x\sin\left(x + 2\cdot\frac{\pi}{4}\right),\quad \ldots$

验证从 $k$ 阶到 $k+1$ 阶的归纳一步：假设 $y^{(k)} = (\sqrt2)^k e^x\sin(x+\frac{k\pi}{4})$，对它再求一次导（乘积 + 链式）： $y^{(k+1)} = (\sqrt2)^k e^x\sin\!\Big(x+\frac{k\pi}{4}\Big) + (\sqrt2)^k e^x\cos\!\Big(x+\frac{k\pi}{4}\Big) = (\sqrt2)^k e^x\Big[\sin\theta + \cos\theta\Big]_{\theta = x+\frac{k\pi}{4}}$ 由辅助角公式 $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt2\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$，得： $y^{(k+1)} = (\sqrt2)^k e^x \cdot \sqrt2\sin\Big(x+\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Big) = (\sqrt2)^{k+1} e^x\sin\Big(x+\frac{(k+1)\pi}{4}\Big)$

归纳得：$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x\sin\left(x + \frac{n\pi}{4}\right)$

例6：设 $y = x^2 \ln(1+x)$，求 $f^{(n)}(0)$（$n \ge 3$）

🧠 怎么想到的：

答案：$f^{(n)}(0) = \dfrac{(-1)^{n-1}n!}{n-2}$

题11 ⭐ 基础（数学归纳法）

设 $y = xe^x$，求 $y^{(n)}$。

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求前几阶：$y' = (1+x)e^x$，$y'' = (2+x)e^x$，$y''' = (3+x)e^x$，归纳得：

答案：$y^{(n)} = (n + x)e^x$

题12 ⭐⭐ 中等（莱布尼茨公式）

设 $y = x^3 \ln x$（$x > 0$），求 $y^{(5)}$。

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用莱布尼茨公式，取 $u = x^3$，$v = \ln x$，计算 $k=0,1,2,3$ 四项：

答案：$y^{(5)} = -\dfrac{6}{x^2}$

题13 ⭐⭐⭐ 真题难度（泰勒展开法）

🔗 如果还没学到第 2.2.6 节，这一题可以先跳过，等学会泰勒定理/麦克劳林展开再回来做（方法三的前置说明见上）。

设 $f(x) = e^{x^2}$，求 $f^{(10)}(0)$。

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泰勒展开法：$e^{x^2}$ 的麦克劳林展开中 $x^{10}$ 系数为 $\frac{1}{5!}$，故 $\frac{f^{(10)}(0)}{10!} = \frac{1}{5!}$。

答案：$f^{(10)}(0) = \dfrac{10!}{5!} = 30240$

题14 ⭐⭐ 中等（三角函数的n阶导）

设 $y = \sin 2x \cos 3x$，求 $y^{(n)}$。

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先积化和差：$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin 5x - \sin x]$

答案：$y^{(n)} = \dfrac{1}{2}\left[5^n \sin\!\left(5x + \dfrac{n\pi}{2}\right) - \sin\!\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)\right]$

3.1.5 考法5：幂指函数对数求导法

识别特征：函数形式为 $y = [f(x)]^{g(x)}$（底数和指数都含 $x$），或含连乘除、根式等复杂式子

解题模板：

方法一：对数求导法（推荐）

第1步：两边取自然对数：ln y = g(x) · ln f(x)
第2步：两边对x求导
第3步：解出 y'

方法二：指数转化法

第1步：利用恒等式 a^b = e^{b·ln a}，将函数改写为 y = e^{g(x)·ln f(x)}
第2步：按复合函数求导

防错口诀：底变指也变，取对数就简单。

翻车现场：

看到 $y=x^x$，直接用幂函数求导公式 $y'=x \cdot x^{x-1}$ 或者用指数函数求导公式 $y'=x^x \ln x$——两个都不对。

为什么错：$x^x$ 既不是单纯的幂函数（因为指数含 $x$），也不是单纯的指数函数（因为底数含 $x$）——它$是"幂指函数"，底和指数都随 $x$ 变化。两个公式都不能直接用。

正确做法：只有两条路——(1) 取对数法；(2) 指数转化法。

典型例题：

例7：设 $y = x^{\sin x}$（$x > 0$），求 $y'$

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$，两边求导得： $y' = x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

例8：设 $y = x \cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$，求 $y'$

$\ln y = \ln x + \frac{1}{2}[\ln(1-x) - \ln(1+x)]$ 两边对 $x$ 求导（左边 $\dfrac{y'}{y}$，右边逐项求导）： $\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{1-x^2}$ $y' = y \cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{1-x^2}\right) = x\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{1 - x - x^2}{x(1-x^2)} = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} \cdot \dfrac{1 - x - x^2}{1-x^2}$

题15 ⭐ 基础

设 $y = x^x$（$x > 0$），求 $y'$。

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$\ln y = x \ln x$，$\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1$

答案：$y' = x^x(\ln x + 1)$

题16 ⭐⭐ 中等

设 $y = (\sin x)^{\cos x}$（$0 < x < \pi$），求 $y'$。

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答案：$y' = (\sin x)^{\cos x} \left[\dfrac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right]$

题17 ⭐⭐⭐ 真题难度

设 $y = x \cdot \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$，求 $y'$。

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取对数：$\ln y = \ln x + \frac{1}{2}[\ln(1-x) - \ln(1+x)]$，两边求导：$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{1-x^2}$，于是 $y' = y\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{1-x^2}\right)$。

答案：$y' = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} \cdot \dfrac{1 - x - x^2}{1-x^2}$

3.1.6 考法6：分段函数求导（分界点要用定义）

识别特征：函数在分界点两侧的表达式不同，题目问"分界点处可导吗 / 求分界点处的导数"。

解题模板：

第1步：分界点以外的点：用普通求导公式（左右两段各自正常求导）
第2步：分界点 x₀：不能直接套公式，用导数定义分别求左导数和右导数
第3步：左右导数都存在且相等 → 该点可导，f'(x₀) = 这个公共值
       左右导数有一个不存在，或存在但不相等 → 该点不可导

翻车现场：

求分段函数在分界点处的导数时，直接对分界点某一侧的表达式套求导公式。

为什么错：分界点处函数是"拼接"出来的，左右两个表达式在这一点的切线不一定接得上（可能是个尖角）。直接套公式相当于默认了左右光滑，但尖角处根本没有唯一的切线斜率——必须回到导数的定义，看左右两个方向逼近的极限是否一致。

正确做法：分界点永远用定义求左右导数。口诀："分段点用定义，不连续不可导，左右导数要比较"。

典型例题：

例A6：设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ x^3, & x < 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导。

解：$x=0$ 是分界点，用定义求左右导数。

第一步：先算 $f(0)$。 注意 $x=0$ 属于 $x \ge 0$ 这一支，所以 $f(0) = 0^2 = 0$。求左右导数时，定义式里$的"函数值"取 $f(0) = 0$，不能从 $x<0$ 那一支取——这是最容易被忽略的细节。

第二步：右导数（从右边 $x \to 0^+$ 逼近）。 此时 $x > 0$，用 $f(x) = x^2$，且 $f(0) = 0$： $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+}\frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$

第三步：左导数（从左边 $x \to 0^-$ 逼近）。 此时 $x < 0$，用 $f(x) = x^3$，但 $f(0)$ 仍是 $0$： $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-}\frac{x^3 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$

第四步：比较。 $f'_-(0) = f'_+(0) = 0$，左右导数存在且相等，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f'(0) = 0$。

🎯 复盘：左右导数都算出来了、都是 0，说明这个"拼接点"不仅连续，还光滑（没有尖角）。如果把 $x<0$ 那一支换成 $x^3 + 1$，左导数会变成 $\lim_{x \to 0^-}\frac{x^3+1-0}{x}$——这个极限不存在（分子趋向 1、分母趋向 0），在 $x=0$ 处不连续更不可导。做题顺序建议：分界点处先判断是否连续，不连续直接判不可导，能省一半功夫。

题A7 ⭐ 基础（分界点处先判连续）

设 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \ge 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导。

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第一步：先算 $f(0)$ 和左极限，判断是否连续。 $x=0$ 属于 $x \ge 0$ 那一支，所以 $f(0) = 0^2 + 1 = 1$。左极限（从 $x<0$ 那一支逼近）：$\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} x = 0$。左极限 $0 \ne$ 函数值 $1$，函数在 $x=0$ 处不连续。

第二步：由"不连续 ⇒ 不可导"直接判案。 2.1.4 节边界2讲过：函数在某点断开，导数连定义都没有——直接结论"不可导"，左右导数都不用算。

答案：$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

🎯 复盘：这题就是把例A6复盘里"做题顺序建议"练一遍——分界点处先看连续，不连续直接判不可导。如果不先判连续而闷头算左右导数，会发现左导数 $\lim_{x\to0^-}\frac{x-1}{x}$ 根本不存在（分子趋向 $-1$、分母趋向 $0$，比值趋向 $+\infty$），白费功夫还要纠结。先判连续，一步到位。