第3章 一元函数积分学

📖 前一章回顾：第2章我们学会了求导——知道函数每时每刻的变化速度。这一章我们反过来：如果已知每时每刻的速度，能不能还原出走过的总路程？这就是积分。导数告诉你"变得有多快"，积分告诉你"总共累积了多少"——它们是一对镜像，就像加法和减法互为逆运算。

🔔 课前激活（动笔写30秒再往下读）

在你开始读这一章之前，先想三个生活中的场景——它们跟你马上要学的数学概念有直接关系：

场景1：你开车出门，仪表盘上显示的是"当前速度"（比如60公里/小时）。但如果你想知道"从出发到现在一共开了多远"，光看当前速度不够——你得把每一秒的速度累加起来。这个"从速度反推路程"的过程，就是积分。

场景2：水龙头在往浴缸里放水，水流速度时快时慢。你有一张记录了每分钟水流速度的纸条。怎么算出从开始到现在一共放了多少水？你本能地会想"把每分钟的水量加起来"——这就是定积分的直觉。

场景3：楼下菜店老板每天记账：今天赚了200，明天赚了150，后天赚了300……到了月底，他想算总共赚了多少。如果每天的收入是一条曲线（边际收入），总面积（总利润）就是这条曲线下方的面积——积分就是帮你"从每天的变化反推累积的总量"。

带着这三个画面往下读。

0. 发生式第一课：积分是怎么被发明的？（先读这一节！）

🔔 这一节回答你最想问的问题：第1章结尾我们留了第二个钩子——"曲线围成的面积 = 一堆小矩形面积之和的极限，这就是积分（第3章）"。但积分到底怎么从"算面积"长出来的？它跟"找原函数"又是什么关系？——跟着走一遍，你会发现积分是被古人两大难题逼出来的，而它和导数的关系是数学史上最漂亮的巧合。

第一步：先看古人的两大难题

难题一（算面积）：阿基米德时代就会算矩形、三角形、圆的面积了，但碰上曲线围成的图形就抓瞎——比如抛物线 $y = x^2$ 与 x 轴在 $[0,1]$ 上围出的那块"弓形"，面积到底是多少？

难题二（算路程）：车速表显示的速度 $v(t)$ 一直在变，怎么从速度反推走过的总路程？

两个问题八竿子打不着？不——它们长得一模一样，都是"一堆不断变化的量，累积起来总共是多少"。

第二步：发现——把曲线下的面积"切碎"再求和

面对曲线面积，人类想到一个笨办法：把面积切成很多竖条，每条近似看成小矩形（矩形面积 = 长 × 宽，好算），把所有小矩形加起来，得到一个近似值。然后——关键来了——把条切得越来越细，矩形之和就越来越接近真实面积，取极限，就是精确面积。这就是定积分的四步：分割 → 近似 → 求和 → 取极限。第1章的极限工具在这里第二次立功。

第三步：命名——以及那个让牛顿狂喜的巧合

数学家把这个"和的极限"叫定积分（integral），积分号 $\int$ 是拉长的 S——就是英文 sum（求和）的首字母，提醒你它出身于"求和"。可如果每次算面积都真的去切无数条，人会疯掉。牛顿和莱布尼茨各自发现了那个天大的巧合：算面积（切条求和取极限）和求导（算变化率）竟然是互逆的——先找被积函数的"原函数"（谁的导数是它），定积分就等于原函数在两端点的值之差，完全不用切条！这就是微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），数学史上最重要的公式之一。

第四步：预告——本章怎么走
最后：比喻确认（推完才用，不代替定义）

回头看课前激活：速度表反推路程、水龙头累计水量、菜店月底对账——都是"把每一刻的增量累加"，就是积分的日常版。比喻帮你记住"积分 = 累积总量"；但严格定义是"分割→近似→求和→取极限"，2.2.1 节会给全。

📖 怎么使用本章：核心知识和题目已经按"学一个知识点 → 做对应题"的方式编排——先看「核心知识」建立概念直觉，学完一个点，马上练后面紧跟的对应题（全章约6-7小时，本章计算量最大）。本章占数学三约25-30分，是微积分中计算量最大、题型最丰富的一章。遇到不懂的概念，用「自检清单」自查。

📝 符号速查（新手必读）：本章最重要的两个新符号，先混个眼熟：

其他符号（$+C$、上下限 $a,b$、$\infty$、$p$ 等）会在各自小节中首次出现时解释，不需要在这里记。

一、本章概览

1.1 考试大纲与试卷地位

试卷中的地位：

项目 数据
本章占微积分比重 约 25-30 分，计算量最大、题型最丰富
考查频率 ★★★★★（必考）
常考题型 选择题、填空题、计算题、证明题均可能

考试内容清单（你现在还看不懂这些词？没关系——每个词后面括号里用大白话解释了它大概在说什么，看完本章再回来看就全懂了）：

序号 考试内容
1 原函数与不定积分的概念（"反过来求导"），基本性质，基本积分公式（求导公式倒过来看）
2 第一类换元法/凑微分法（像"拼图"一样把被积函数凑成某个函数的导数），第二类换元法（主动换变量消根号）
3 分部积分法（乘法求导倒过来用的积分法），能正确选择 $u$ 和 $dv$（谁放前面、谁放后面）
4 有理函数（分子分母都是多项式的分式）、三角函数有理式、简单无理函数（带根号）的积分
5 定积分的概念（"切分求和取极限"算面积）、几何意义（曲边梯形的面积）与基本性质
6 牛顿-莱布尼茨公式/微积分基本定理（定积分=原函数在上限的值减下限的值）
7 定积分的换元积分法和分部积分法（换了变量必须同时换上下限！）
8 利用函数的奇偶性、周期性、对称性简化定积分计算（对称区间上奇函数直接归零）
9 区间再现公式（把积分上下限翻过来，积分值不变）
10 变上限积分定义的函数（上限是个变量x，积分结果跟着x变）及其求导公式
11 含变限积分的极限（用洛必达消积分号），变限积分函数的连续性、可导性、单调性
12 无穷区间反常积分（积分上限→∞）和无界函数反常积分（被积函数在某点→∞）的敛散性判断与计算
13 平面图形的面积、旋转体的体积（绕x轴转一圈扫出来的体积）、函数的平均值（曲线在一段时间内的平均高度，用"总量÷区间长度"来算）
14 数学三专有：经济应用问题（已知"边际"——多生产一件多花的钱，反推"总量"——总成本/总收益）
15 积分中值定理（曲边梯形面积=某个矩形的面积），积分不等式的常用证明方法

1.2 真题命题特点

知识点 出题频率 常考题型
不定积分计算（凑微分、分部积分、有理函数积分——三大积分法） 很高 填空题、计算题
变限积分求导与极限（对带上下限的积分求导数，经常配合洛必达考极限） 很高 选择题、填空题
定积分计算（牛莱公式=原函数代入上下限相减、换元、对称性） 很高 计算题
区间再现公式与去x公式（把积分区间翻转，消掉被积函数里的x） 较高 计算题
定积分的应用（算面积、算旋转体体积——绕轴转一圈扫出来的体积） 较高 计算题
函数的平均值（用"总量÷区间长度"算平均高度） 较低 填空题、选择题
反常积分的敛散性判断（判断无限区间/无界函数的积分是否"收敛"到一个有限值） 较高 选择题
经济应用（已知"多生产一件多赚多少"反推"总共赚多少"——数三专有） 中等 解答题（数三专有）
积分等式与不等式证明（用积分中值定理或构造函数法证明数学关系式） 中等 证明题
三角函数有理式积分（sin/cos组成的复杂分式积分） 较低 填空题
反常积分的计算（先判断收敛，再算具体数值） 较低 计算题

1.3 知识体系地图

┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                     一元函数积分学                               │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│                                                                 │
│  ┌──────────┐    ┌──────────┐    ┌──────────┐    ┌──────────┐  │
│  │ 不定积分  │    │  定积分   │    │ 变限积分  │    │ 反常积分  │  │
│  │(求原函数) │    │(求面积和) │    │(函数与积分│    │(边界无限) │  │
│  │          │    │          │    │ 的桥梁)   │    │          │  │
│  └────┬─────┘    └────┬─────┘    └────┬─────┘    └────┬─────┘  │
│       │               │               │               │         │
│  ┌────┴─────┐    ┌────┴─────┐    ┌────┴─────┐    ┌────┴─────┐  │
│  │凑微分:拼图 │    │牛莱:原函差│    │求导:消积分│    │∞区间:p>1│  │
│  │三角:去根号│    │换元:换三样│    │极限:洛必达│    │无界:p<1 │  │
│  │分部:乘求逆│    │分部:乘求逆│    │方程:两边导│    │判敛:找标尺│  │
│  │有理:拆分式│    │奇偶:归零半│    │性态:单调极│    │计算:极限化│  │
│  │三角有理式 │    │周期:平移累│    └──────────┘    └──────────┘  │
│  │无理:换元消│    │再现:翻区间│                                 │
│  └──────────┘    └──────────┘                                 │
│                                                                 │
│  ┌──────────────────┐    ┌──────────────────┐                  │
│  │  定积分的应用     │    │ 积分等式不等式证明 │                  │
│  │ 面积:上减下积分   │    │ 中值:面积=矩形    │                  │
│  │ 体积:π∫f²绕轴   │    │ 单调:构造函数    │                  │
│  │ ★经济:边际→总量  │    │ 微分:罗尔辅助    │                  │
│  │ 平均值:总量÷区间长 │    │                  │                  │
│  └──────────────────┘    └──────────────────┘                  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘

🛑 停下来，自己画一遍：合上屏幕，拿张白纸，默画这个知识体系地图。重点是画出"不定积分→定积分→变限积分→反常积分"这个主干，以及每个板块下的子方法。

二、核心知识 ★

📌 这一节只讲概念本身——定义、定理、性质、公式。口诀、避坑技巧、考试经验全部放在后面紧跟的对应练习题中。

2.1 不定积分

题型1：不定积分计算

不定积分是整个积分学的基础——所有定积分、变限积分、应用题的最终落脚点都是算出不定积分。

核心思想：无论用什么方法，最终目的都是把被积函数转化为能用基本积分公式求解的形式。

2.1.1 原函数与不定积分的概念

原函数： 先看一个具体例子：已知 $(x^2)' = 2x$。反过来问——"哪个函数求导后等于 $2x$？"答案显然是 $x^2$。我们就把 $x^2$ 叫做 $2x$ 的一个原函数（可以理解为"原来的函数"——被求导之前的那个函数）。

正式定义：若 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

原函数族： 接着上面的例子：$x^2+1$ 的导数是多少？$(x^2+1)' = 2x$。$x^2+5$ 呢？也是 $2x$。$x^2-100$ 呢？还是 $2x$。常数的导数为零，所以给 $x^2$ 加上任意常数，导数都不变——都是 $2x$ 的原函数。因此 $2x$ 有无穷多个原函数，彼此差一个常数。若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x)+C$（$C$ 为任意常数）全都是原函数，合起来称为原函数族。

不定积分： 把"求所有原函数"这件事用符号记下来：$\int 2x\,dx = x^2 + C$。读作"对 $2x$ 做不定积分，结果是 $x^2$ 加常数"。一般形式：$\int f(x)dx = F(x) + C$，表示 $f(x)$ 的全体原函数族。符号 $\int$ 是拉长的 S（Sum，求和），$dx$ 表示积分变量是 $x$，$+C$ 不能省略——它代表了"那一整族函数"。

不定积分与求导的关系：两者互为逆运算。

原函数存在条件： 想象你在爬一座山——如果你一直在往上爬，不可能突然"瞬移"到半山腰。同样，一个函数的导数不可能从一个值突然跳到另一个值，"跳跃"就相当于瞬移。所以：

一个简单的区分方法：可积 = 能算出面积（条件宽松，跳跃也不影响）；有原函数 = 能找到一个函数求导后等于它（条件严格，不能有跳跃）。

$\frac{1}{x}$ 的原函数：$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$。为什么是 $\ln|x|$ 不是 $\ln x$？因为 $\ln x$ 只在 $x>0$ 时有定义，而 $\frac{1}{x}$ 在 $x<0$ 时也有意义。加了绝对值后，$x<0$ 时 $|x|=-x$，$(\ln(-x))' = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}$，同样成立。所以绝对值符号不能省略——它让公式在正负两边都管用。

2.1.2 基本积分公式

基本积分公式就是求导公式的逆运算。比如因为 $(x^3/3)' = x^2$，所以 $\int x^2 dx = x^3/3 + C$——每个公式都可以这样反过来理解。以下是需要熟练掌握的公式：

📝 前置小知识：sec 和 csc（如果第1-2章没讲过）。$\sec x = \frac{1}{\cos x}$（余弦的倒数），$\csc x = \frac{1}{\sin x}$（正弦的倒数）。它们在第1-2章的三角函数家族里可能没出现，这里先认识一下，公式7-14会用到。

编号 积分公式 对应的求导公式
1 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n \neq -1$） $(\frac{x^{n+1}}{n+1})' = x^n$
2 $\int \frac{1}{x}dx = \ln\vert x\vert+C$ $(\ln\vert x\vert)' = \frac{1}{x}$
3 $\int e^x dx = e^x+C$ $(e^x)' = e^x$
4 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$ $(\frac{a^x}{\ln a})' = a^x$
5 $\int \sin x\,dx = -\cos x+C$ $(-\cos x)' = \sin x$
6 $\int \cos x\,dx = \sin x+C$ $(\sin x)' = \cos x$
7 $\int \tan x\,dx = -\ln\vert\cos x\vert+C$ 对结果求导可验证
8 $\int \cot x\,dx = \ln\vert\sin x\vert+C$ 对结果求导可验证
9 $\int \sec x\,dx = \ln\vert\sec x+\tan x\vert+C$ 对结果求导可验证
10 $\int \csc x\,dx = \ln\vert\csc x-\cot x\vert+C$ 对结果求导可验证
11 $\int \sec^2 x\,dx = \tan x+C$ $(\tan x)' = \sec^2 x$
12 $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x+C$ $(-\cot x)' = \csc^2 x$
13 $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x+C$ $(\sec x)' = \sec x\tan x$
14 $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x+C$ $(-\csc x)' = \csc x\cot x$
15 $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x+C$ $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
16 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x+C$ $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
17 $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ 公式15的推广
18 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a}+C$ 公式16的推广
19 $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C$ 对结果求导可验证
20 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx = \ln\vert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\vert+C$ 对结果求导可验证

2.1.3 不定积分的线性性质

$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ $\int k \cdot f(x)dx = k \cdot \int f(x)dx \quad (k \text{ 是常数})$

注意：$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$。乘法需要分部积分法。

2.1.4 换元积分法的原理

👂🗣️ 生活场景：你去日本旅游想买一件衣服，标签上写着"5000日元"——你脑子里立刻换算成人民币（约250元），因为你对人民币才有感觉。算完账之后，再把结果换回日元告诉店员。这个"换过来→算→换回去"的过程，就是换元积分法的灵魂：把不熟悉的东西换算成熟悉的东西再处理。

换元积分法有两种用法，像硬币的两面：

两种用法的方向恰好相反，但本质完全相同——换一个变量，让积分变简单。

正式陈述：

第一类换元（凑微分法）——复合函数求导的逆运算： $\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x) dx = \int f(u) du \quad (\text{令 } u = \varphi(x))$

判断条件：被积函数中同时存在"一个函数的原形"和"这个函数的导数"，即复合函数 $\times$ 内层导数的结构。

第二类换元（主动换元）——引入新变量消根号： $\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)] \cdot \varphi'(t) dt \quad (\text{令 } x = \varphi(t))$

三角代换（三种常用代换，思路来自勾股定理——$\sqrt{a^2-x^2}$ 就像一个直角三角形的最短边）：

根号类型 代换方式 $dx$ 变成 根号变成 用的恒等式
$\sqrt{a^2-x^2}$ $x = a\sin t$ $a\cos t\,dt$ $a\cos t$ $\sin^2t+\cos^2t=1$
$\sqrt{a^2+x^2}$ $x = a\tan t$ $a\sec^2 t\,dt$ $a\sec t$ $1+\tan^2t=\sec^2t$
$\sqrt{x^2-a^2}$ $x = a\sec t$ $a\sec t\tan t\,dt$ $a\tan t$ $\sec^2t-1=\tan^2t$

根式代换：被积函数中含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，直接令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$。

倒代换：当分母中 $x$ 的次数远高于分子时，令 $x = \frac{1}{t}$，常用于 $\int \frac{dx}{x^n\sqrt{a^2\pm x^2}}$。

🧠 这个原理是怎么推出来的？——两类换元，一条主线：链式法则倒过来用

第零步：先想清楚——积分为什么需要"换元"？

基本积分公式只有20条。可你遇到的被积函数五花八门——带根号的、带复合函数的、带奇奇怪怪分母的。直接套公式套不上，怎么办？

答案就是换元：把被积函数"翻译"成基本积分公式认识的样子。 而"翻译"的工具，就是求导的链式法则——只不过反过来用。

大白话：链式法则是"从外到里剥洋葱"（复合函数求导）。换元积分法是"从里到外包洋葱"（把散落的零件拼回一个整体）。两个方向相反，用的是同一条公式。

第一部分：第一类换元（凑微分法）的推导

第1步：从链式法则出发。

假设 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数，即 $F'(u) = f(u)$。现在考虑复合函数 $F[\varphi(x)]$，对它求导（链式法则）： $\frac{d}{dx}F[\varphi(x)] = F'[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x) = f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$

大白话：链式法则说，外层函数 $F$ 的导数（在内层 $\varphi(x)$ 处取值）乘以内层 $\varphi(x)$ 的导数。恰好在积分中，如果被积函数恰好就是"外层导数 × 内层导数"这个形状，那它的原函数就是 $F[\varphi(x)]$。

第2步：反过来读——这就是凑微分法。

把上面的等式从右往左读（求导的逆运算 = 积分）： $\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x) dx = F[\varphi(x)] + C$

而 $\int f(u) du = F(u) + C$。令 $u = \varphi(x)$，两者相等： $\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x) dx = \int f(u) du$

大白话：如果你在被积函数中同时看到了"一个函数 $\varphi(x)$"和"它的导数 $\varphi'(x)$"，就把导数塞进微分号：$\varphi'(x)dx = d(\varphi(x))$，然后令 $u = \varphi(x)$，积分就变成了对 $u$ 的简单积分。这就是"凑微分"——你认出 $\varphi'(x)dx$ 恰好是 $d(\varphi(x))$。

第3步：常见的"老朋友"——看到这些组合，立刻想到凑微分。

看到这个 凑成这个 原理
$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}dx = d(\ln x)$ $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
$x$ $x\,dx = \frac{1}{2}d(x^2)$ $(x^2)'=2x$
$\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{1}{1+x^2}dx = d(\arctan x)$ $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
线性函数 $ax+b$ $dx = \frac{1}{a}d(ax+b)$ 线性函数导数为常数

线性函数的快捷公式（张宇推荐，省去换元步骤）： $\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$ 其中 $F$ 是 $f$ 的一个原函数。

第二部分：第二类换元（主动换元）的推导

第4步：第一类换元走不通怎么办？

第一类换元要求被积函数里"恰好"有内层函数的导数。但很多时候这个导数不在——比如 $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$，里面没有 $x$ 的导数（$-2x$）来凑微分。

这时候就要主动出击——自己选一个 $\varphi(t)$，令 $x = \varphi(t)$，把原变量 $x$ 换成新变量 $t$。 这就是第二类换元。

大白话：第一类是"被动认出"（被积函数里已经有了导数，你认出来就行）；第二类是"主动创造"（你自己选一个变换，把讨厌的根号消掉）。

第5步：推导换元公式——从 $x$ 到 $t$。

设 $x = \varphi(t)$，则 $dx = \varphi'(t)dt$。代入原积分： $\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)] \cdot \varphi'(t) dt$

现在积分变量变成了 $t$。如果 $\varphi(t)$ 选得好（比如让根号消失），右边的积分就能用基本公式算出来。算完之后，再把 $t$ 换回 $x$（回代）。

大白话：第二类换元 = 选变换 $x=\varphi(t)$ → 换被积函数 → 换 $dx$ → 算积分 → 回代。比第一类多了一步"回代"——因为最终答案必须用原来的变量 $x$ 来表达。

第6步：为什么三角代换能消根号？——勾股定理的妙用。

三种三角代换全部源自同一条恒等式：$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$。

大白话：三角代换的本质是借三角恒等式消平方根号。三种 $\sqrt{\text{平方}\pm\text{平方}}$ 的形状，对应三种"勾股关系"——就像三种不同的锁，各有一把对应的三角钥匙。

推导完毕。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍两类换元法的来龙去脉：

两类换元法的本质完全相同：都是链式法则的逆运算。 区别只在于方向：

记忆口诀：一类凑（认出导数塞微分），二类换（主动换元消根号）。一类不换限（不定积分），二类需回代。

定积分换元的特殊规则：两类换元在定积分中用法不同——第一类凑微分不需要换限（因为没有显式换元），第二类主动换元必须同时换上下限：$x=a \to t=\alpha$，$x=b \to t=\beta$。换完限之后，算出结果直接代入，不需要回代。具体操作见第三节题型2考法2"定积分换元法"。

⚠️ 三个最容易翻车的边界

⚠️ 边界1：第一类换元——必须"导数就在旁边"，不能硬凑。

凑微分的前提是 $\varphi'(x)$ 真的出现在被积函数里（最多差一个常数倍）。如果被积函数里找不到 $\varphi'(x)$ 的影子，说明第一类换元走不通，应该改用第二类换元或分部积分。

翻车现场：看到 $\int \sqrt{1+x^2}dx$，想凑 $\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x$ 的微分——但 $x$ 不在被积函数里！这不是凑微分的场景，应该用三角代换 $x=\tan t$。

⚠️ 边界2：第二类换元——三种三角代换只能用于对应根号形状，别用错钥匙。

$\sqrt{a^2-x^2}$ 用 $\sin$，$\sqrt{a^2+x^2}$ 用 $\tan$，$\sqrt{x^2-a^2}$ 用 $\sec$。三个公式长得像但完全不能混用。一根筋的记法：$\sin \leftrightarrow$ 减号在中间（$\sqrt{a^2-x^2}$）；$\tan \leftrightarrow$ 加号在中间（$\sqrt{a^2+x^2}$）；$\sec \leftrightarrow$ 减号在右边（$\sqrt{x^2-a^2}$）。

⚠️ 边界3：不定积分换元后必须回代，定积分换元必须换限——两类积分操作不同。

这是不定积分和定积分换元的核心区别，汤家凤反复强调过。翻车现场：三角代换算得很开心，得到 $2t + \sin 2t + C$ 直接交卷——忘了把 $t$ 换回 $x$。

换元积分法在知识链条中的位置：

上游依赖 本方法 下游应用
链式法则（复合函数求导） 所有不定积分计算的核心方法之一
基本积分公式（20条） ← 换元积分法 → 定积分换元计算（换限+牛莱公式）
三角恒等式（$\sin^2+\cos^2=1$ 等） 有理函数积分（换元后化为有理函数）
变限积分中被积函数含 $x$ 的处理（换元把 $x$ 赶到上下限）

考法1：第一类换元法（凑微分法）

识别特征：被积函数中同时存在"一个函数的原形"和"这个函数的导数"——复合函数 $\times$ 内层导数的结构。

操作步骤：

  1. 识别：在被积函数中找到"谁的导数出现了"
  2. 凑微分：把导数和 $dx$ 合起来写成 $d(\text{谁})$
  3. 换元：令 $u = \varphi(x)$，积分变为 $\int f(u) du$
  4. 套公式：用基本积分公式求出结果
  5. 回代：把 $u$ 换回原来的 $x$ 表达式
  6. 不要忘记 $+C$

常见凑微分模式（这张表就是刚才方法的直接应用——试着先自己认一认每一行"谁的导数出现在哪"，再看表格）：

被积函数中含 凑成 技巧口诀
$e^{ax}$ 乘以某函数 $dx = \frac{1}{a}d(ax)$ 指数函数自带导数
$\sin(ax+b)$ 或 $\cos(ax+b)$ $dx = \frac{1}{a}d(ax+b)$ 三角函数凑角度
$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}dx = d(\ln x)$ 倒数凑对数
$x$ 与 $\sqrt{x^2\pm a^2}$ $x dx = \frac{1}{2}d(x^2\pm a^2)$ 平方凑完全平方
$\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{1}{1+x^2}dx = d(\arctan x)$ 看公式反着记
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = d(\arcsin x)$ 看公式反着记

内层为线性函数的快捷公式（张宇推荐）： $\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$

例题：

例1：求 $\int \frac{\ln x}{x} dx$

🧠 怎么想到的：被积函数是"$\ln x$ 除以 $x$"。先扫描有没有"一对"：$\frac1x$ 是不是谁的导数？——是，$(\ln x)'=\frac1x$。"$\ln x$ 本身"和"$\ln x$ 的导数 $\frac1x$"同时在场，这就是凑微分的信号：把 $\frac1xdx$ 塞进微分号变成 $d(\ln x)$，于是整个积分变成 $\int\ln x\,d(\ln x)$——令 $u=\ln x$，就是 $\int u\,du$，基础公式。

解：看到 $\frac{1}{x}$，立即想到 $d(\ln x)$。 $\int \frac{\ln x}{x} dx = \int \ln x \, d(\ln x) = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C$

例2：求 $\int x e^{x^2} dx$

解：$(x^2)' = 2x$，$x dx = \frac{1}{2}d(x^2)$。 $\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^{x^2} d(x^2) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

例3：求 $\int \frac{dx}{x(1+2\ln x)}$

解：$\frac{1}{x}dx = d(\ln x)$。 $\int \frac{dx}{x(1+2\ln x)} = \int \frac{d(\ln x)}{1+2\ln x} = \frac{1}{2}\ln|1+2\ln x| + C$

翻车现场：

看到 $\int x^2\sqrt{1+x^3}\,dx$，知道要凑微分，但对着 $x^2dx$ 和 $\sqrt{1+x^3}$ 看了半天——不知道往哪凑。

名师方法：

题1 ⭐ 基础：求 $\displaystyle \int e^{3x+2}\,dx$

点击查看答案

$\int e^{3x+2}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$

思路：$e^{ax+b}$ 型，$dx = \frac{1}{3}d(3x+2)$。

验证：$\left(\frac{1}{3}e^{3x+2}\right)' = \frac{1}{3}e^{3x+2} \cdot 3 = e^{3x+2}$。$\checkmark$

题2 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int x^2\sqrt{1+x^3}\,dx$

点击查看答案

$\int x^2\sqrt{1+x^3}\,dx = \frac{2}{9}(1+x^3)^{3/2} + C$

思路：$(1+x^3)' = 3x^2$，$x^2dx = \frac{1}{3}d(1+x^3)$。

验证：$\left[\frac{2}{9}(1+x^3)^{3/2}\right]' = x^2\sqrt{1+x^3}$。$\checkmark$

题3 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{1}{3}(\ln x)^3 + C$

思路：$\frac{1}{x}dx = d(\ln x)$，令 $u = \ln x$。

验证：$\left[\frac{1}{3}(\ln x)^3\right]' = \frac{(\ln x)^2}{x}$。$\checkmark$

题4 ⭐⭐⭐⭐ 综合：求 $\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx = \arctan(e^x) + C$

思路：令 $t = e^x$，$dt = e^xdx$，$e^{2x} = t^2$。化为 $\int \frac{dt}{1+t^2} = \arctan t + C$。

验证：$\left[\arctan(e^x)\right]' = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$。$\checkmark$

考法2：第二类换元法

识别特征：被积函数中含根号，且凑微分法无法直接处理。

2A. 三角代换（最重要）

先想清楚：三角代换到底在干什么？——它只干一件事：消根号。

被积函数带二次根号 $\sqrt{\text{平方} \pm \text{平方}}$ 时，凑微分常失灵（例：$\sqrt{1+x^2}$ 里没有 $x$ 的导数可凑）。换元的目标很明确：把讨厌的根号变成"不带根号"的东西。而三角恒等式恰好提供了一种"平方根号直接算出来"的魔法：

$\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t,\qquad \sqrt{1+\tan^2t}=\sec t,\qquad \sqrt{\sec^2t-1}=\tan t$

根号开出来干干净净，没有根号了。 关键就在：让根号里面恰好变成一个三角恒等式的左边。下面我们看着三种根号，一一把它们"喂"给对应的恒等式。

根号里的形状 想凑的恒等式 该令 $x=$ 根号变 检验
$\sqrt{a^2-x^2}$ $\sin^2t+\cos^2t=1$ $x=a\sin t$ $\sqrt{a^2(1-\sin^2t)}=a\cos t$ 减号在 $x^2$ 前，正好对应 $1-\sin^2t$
$\sqrt{a^2+x^2}$ $1+\tan^2t=\sec^2t$ $x=a\tan t$ $\sqrt{a^2(1+\tan^2t)}=a\sec t$ 加号，正好对应 $1+\tan^2t$
$\sqrt{x^2-a^2}$ $\sec^2t-1=\tan^2t$ $x=a\sec t$ $\sqrt{a^2(\sec^2t-1)}=a\tan t$ 减号在 $a^2$ 前，正好对应 $\sec^2t-1$

为什么是这三把钥匙、不是乱配？ 逐行检验一下就明白了——关键看根号里的加减号位置：

三种钥匙不是背下来的，是拿着根号的形状去比对三条恒等式，谁长得像就用谁。

为什么根号能直接开出来？ 因为代换后根号里的内容正好是某个三角恒等式的平方——比如 $\sqrt{a^2-x^2}$ 代 $x=a\sin t$ 后，根号里是 $a^2\cos^2t$，直接开方得 $a\cos t$（$t$ 取主区间时 $\cos t>0$）。开根号的手续被三角恒等式"预演"过了。

解题步骤：

  1. 判断根号类型，选对应三角代换
  2. 若根号下是一般二次式 $ax^2+bx+c$，先配方成标准形式
  3. 代换，用三角恒等式化简根号
  4. 计算化简后的三角积分
  5. 回代：画直角三角形，把三角函数换回 $x$
  6. 不定积分别忘了 $+C$

例题：

例4：求 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$（$a>0$）

🧠 怎么想到的：根号里是 $a^2-x^2$——"减号在 $x^2$ 前"，对照上面的表，这是 $\sin$ 的钥匙。令 $x=a\sin t$，根号就会变成干净的 $a\cos t$，整个积分瞬间变成 $\int dt$。

解：令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t\,dt$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$。 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int dt = t + C = \arcsin\frac{x}{a} + C$ （回代：$x=a\sin t\Rightarrow t=\arcsin\frac{x}{a}$。） 验证：$\left(\arcsin\frac{x}{a}\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}}\cdot\frac1a=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$。$\checkmark$

例5：求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$（$a>0$）

🧠 怎么想到的：根号里是 $x^2+a^2$——"加号在中间"，对照表这是 $\tan$ 的钥匙。令 $x=a\tan t$，根号变 $a\sec t$，积分变成 $\int\sec t\,dt$（公式9，我们已经会积）。

解：令 $x = a\tan t$，$dx = a\sec^2 t\,dt$，$\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$。 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \int \sec t\,dt = \ln|\sec t + \tan t| + C$ 画直角三角形回代：$\sec t = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$，$\tan t = \frac{x}{a}$。 $= \ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C'$

2B. 根式代换

为什么看到"一次根式"就令 $t=\sqrt[ n]{ax+b}$？——根号是最碍事的，先把根号"解掉"。

$\sqrt{x}$ 里藏着 $x$ 的平方根，积分公式里没有"根号款"直接可积的通用公式。但只要换一个变量、让 $x$ 变成 $t$ 的幂，根号就自动消失：令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$\sqrt{x}=t$——根号没了，整个被积函数变成了 $t$ 的有理式（多项式相除），就回到了我们已经会的有理函数积分。这就是根式代换的全部逻辑：换元的目的就是让"根号"变成"幂"，把无理式洗成有理式。

例题：

例6：求 $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx$

🧠 怎么想到的：被积函数里 $\sqrt{x}$ 是唯一的"无理"来源。令 $t=\sqrt{x}$（即 $x=t^2$），$\sqrt{x}$ 变成 $t$，分母 $1+x=1+t^2$，$dx=2t\,dt$——整个积分变成 $\int\frac{t}{1+t^2}\cdot2t\,dt=2\int\frac{t^2}{1+t^2}dt$，一个纯有理式，分子假分式做一步除法就行。

解：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。 $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx = 2\int \frac{t^2}{1+t^2} dt = 2(t - \arctan t) + C = 2\sqrt{x} - 2\arctan\sqrt{x} + C$

2C. 倒代换

为什么"分母次数远高于分子"时令 $x=\frac1t$？——把"大分母"压成"小分母"。

分式的次数差很碍事：分母次数越高，积分越难凑。倒代换 $x=\frac1t$ 的妙处是它把分子分母的次数关系整体"反"了过来——$x$ 越大，$\frac1t$ 越小，原来"分母远高于分子"的结构，换元后常常变得"分子分母差不多次"甚至更好凑。而且 $dx=-\frac{1}{t^2}dt$ 往往还能帮忙约分。它常用来对付 $\int\frac{dx}{x^n\sqrt{a^2\pm x^2}}$ 这类"分母带 $x$ 高次"的积分。

例题：

例7：求 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$

🧠 怎么想到的：分母是 $x\sqrt{x^2-1}$——$x$ 高次又带根号，凑微分、三角代换都不顺。令 $x=\frac1t$（$t=\frac1x$），则 $dx=-\frac{1}{t^2}dt$，分母里 $x\sqrt{x^2-1}=\frac1t\sqrt{\frac1{t^2}-1}=\frac1t\cdot\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}$——代入后分母的 $t^2$ 和 $dx$ 的 $\frac1{t^2}$ 正好约掉，剩下 $-\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$，一个干净的 $\arcsin$ 公式。

解：令 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2}dt$。 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = -\arcsin t + C = -\arcsin\frac{1}{x} + C$

翻车现场：

三角代换算得很开心——$\int \sqrt{4-x^2}dx$，令 $x=2\sin t$，得到 $2t+\sin 2t+C$——直接交卷了，忘了把 $t$ 换回 $x$。

名师口诀（张宇）："遇到根号想代换，二次根号想三角，一次根号直接换，分母次数高倒代。" 汤家凤强调：不定积分换元后必须回代，而定积分换元直接换限无需回代——这是两类换元最重要的区别。

题5 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \sqrt{4-x^2}\,dx$

点击查看答案

$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

思路：$\sqrt{a^2-x^2}$ 型，$a=2$。令 $x = 2\sin t$，$dx = 2\cos t\,dt$。回代时画直角三角形辅助。

题6 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+4)^{3/2}}$

点击查看答案

$\int \frac{dx}{(x^2+4)^{3/2}} = \frac{x}{4\sqrt{x^2+4}} + C$

思路：$\sqrt{x^2+a^2}$ 型，令 $x = 2\tan t$。化简得 $\frac{1}{4}\sin t + C$，画直角三角形回代。

题7 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$

思路：含一次根式 $\sqrt{x+1}$，令 $t = \sqrt{x+1}$，$x = t^2-1$，$dx = 2t\,dt$。

题8 ⭐⭐⭐⭐ 综合：求 $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} \quad (x > 0)$

点击查看答案

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + C$

思路：分母次数远高于分子，用倒代换 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2}dt$。

2.1.5 分部积分法的原理

🧩 生活场景：你手里有两块拼图，一块是 $xe^x$，另一块是 $e^x$——你发现第一块拼不出来（不在基本积分公式里），但它可以拆成"一整块拼好的图案"减去"你已经会拼的第二块"。分部积分法的思路就是这个：把"我不会算的乘法积分"变成"我会算的另一个积分"，代价是多写一项 $uv$。 好比搬不动一张大桌子——你把桌面和桌腿拆开，先搬桌面（$uv$ 项），桌腿单独搬（$\int v\,du$），两趟搞定。而关键在于"先搬什么、后搬什么"（谁当 $u$，谁放入 $dv$）——这个选择决定了剩下的活是好干还是更难干。

分部积分法的正式陈述：

基本公式： $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函数。这是乘法求导公式的逆运算。

怎么选 $u$ 和 $dv$？——"反对幂指三"口诀（考研最重要口诀之一）

优先级 函数类型 作 $u$ 还是 $dv$ 原因
1 反三角函数（$\arcsin x, \arctan x$） 优先作 $u$ 求导后降级为代数函数
2 对数函数（$\ln x$） 优先作 $u$ 求导后降级为 $\frac{1}{x}$，变简单
3 幂函数（$x^n$） 均可 求导降一次，积分升一次，灵活
4 指数函数（$e^x, a^x$） 优先放 $dv$ 积分后不升级（$e^x$ 还是 $e^x$）
5 三角函数（$\sin x, \cos x$） 优先放 $dv$ 积分后仍在三角函数家族内

口诀解读："反对幂指三"从左到右是选 $u$ 的优先级——越靠前越应该当 $u$（因为求导后会变简单）。排在后面的指数、三角函数放入 $dv$（因为积分后不会变复杂）。

（具体每种场景的详细操作和表格法见第三节题型1考法3"分部积分法"，那里有完整的优先级表和每种场景的例题示范。这里先练熟推导和公式。）

🧠 分部积分法是怎么推出来的？——乘法求导公式，反过来读就行

第零步：先看一个具体例子，建立直觉。

求 $\int x \cdot e^x\,dx$。$x e^x$ 不在20条基本积分公式里。但我们知道乘法求导公式： $(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + x e^x$

现在把这个等式从右往左读（积分是求导的逆运算）： $\int (e^x + x e^x)dx = x e^x + C$

左边拆成两项： $\int e^x dx + \int x e^x dx = x e^x + C$

移项，把我们会积的 $\int e^x dx = e^x$ 移到右边： $\int x e^x dx = x e^x - e^x + C$

大白话：我们不会直接积 $x e^x$。但通过乘法求导公式，我们发现 $x e^x$ 的积分 = "$x e^x$ 本身" 减去 "我们已经会积的 $e^x$"。这就是分部积分的全部逻辑。

第1步：把上面的具体例子推广到一般情况。

乘法求导公式的一般形式： $(uv)' = u'v + uv'$

反过来读（两边积分）： $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$

移项： $\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$

大白话：把乘法求导公式 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分，然后移项。左边的 $\int (uv)'dx = uv$（积分和求导互相抵消）；右边拆成两项，把容易积的那项移到等号另一边。就得到了分部积分公式。

第2步：写成更容易记的"微分形式"。

因为 $u' dx = du$，$v' dx = dv$，上面的公式可以写成： $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

这就是分部积分法的标准形式。记忆口诀："$u$ 乘 $v$ 减去 $v$ 乘 $du$ 的积分"。

大白话：这个形式最好用——你选谁当 $u$，谁放入 $dv$；然后算出 $du$（对 $u$ 求导）和 $v$（对 $dv$ 积分）；代入公式，新的积分 $\int v\,du$ 应该比原来的 $\int u\,dv$ 更简单。

第3步：为什么"反对幂指三"是这个顺序？——看求导后谁变简单、积分后谁不升级。

选 $u$ 的核心原则只有一个：$\int v\,du$ 应该比 $\int u\,dv$ 更容易算。

大白话："反对幂指三"不是拍脑袋编的口诀——每个字的位次都有道理：前面的求导后降级（所以当 $u$），后面的积分后不升级（所以放 $dv$），幂函数在中间（求导积分各降升一次，灵活应变）。

推导完毕。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍：

分部积分法的推导只用了一步：把乘法求导公式 $(uv)' = u'v + uv'$ 反过来读。先积分两边，再移项，就得到了 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$。

整个方法的核心是"交换负担"——你不会算 $\int u\,dv$，但你把它变成一个已经算好的 $uv$ 减去一个（希望更简单的）$\int v\,du$。就像搬家时把重东西拆成零件——$uv$ 是搬过去放好的那部分，$\int v\,du$ 是剩下的零件（应该比原来的整件轻）。

"反对幂指三"的选 $u$ 法则，本质是一个贪心策略：每次选择，都让 $\int v\,du$ 比 $\int u\,dv$ 更接近基本积分公式。反三角和对数求导后变成代数函数（降级），所以优先当 $u$；指数和三角积分后不升级，所以优先放 $dv$。

⚠️ 三个最容易翻车的边界

⚠️ 边界1："反对幂指三"是选 $u$ 的顺序，不是选 $dv$ 的顺序——方向别反！

翻车现场：记住了口诀，但用反了方向——做 $\int x^2\ln x\,dx$ 时让 $x^2$ 当 $u$、$\ln x$ 当 $dv$，结果 $\int v\,du$ 更难算。

口诀解读："反对幂指三"从左到右，越靠前越优先当 $u$。$\ln x$ 排第二、幂函数排第三——所以 $\ln x$ 应该当 $u$（求导后降级为 $1/x$），$x^2$ 当 $dv$。

记法：口诀念的是"谁先上"（谁当 $u$），不是"谁先下"（谁放 $dv$）。

⚠️ 边界2："反对幂指三"中的"三"一般指 $\sin bx$ 和 $\cos bx$——$\tan x, \sec x$ 等不适用此口诀。

武忠祥提醒：$\tan x, \cot x, \sec x, \csc x$ 这些三角函数的积分规律不同于 $\sin, \cos$，不能按"三"的优先级放入 $dv$。遇到它们时，通常需要先用凑微分或三角恒等式化简，再判断用什么方法。

⚠️ 边界3：指数 $\times$ 三角的"循环型"——选谁当 $u$ 都可以，但算两次后会回到原点。

当 $e^{ax}$ 遇到 $\sin bx$（或 $\cos bx$）时，$u$ 和 $dv$ 任选。用两次分部积分后，原积分 $\int e^{ax}\sin bx\,dx$ 会重新出现在等式右边——就像追着自己的尾巴跑了一圈。这时候不要慌：把右边的原积分移到左边，合并同类项，再除以系数——这就是"循环积分型"。

翻车现场：循环了一次看到原积分又出现，以为自己算错了重新算——浪费两页草稿纸。

分部积分法在知识链条中的位置：

上游依赖 本方法 下游应用
乘法求导公式 $(uv)' = u'v + uv'$ 不定积分计算（三大积分法之一）
基本积分公式（20条） ← 分部积分法 → 定积分分部积分：$\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$
含对数/反三角函数的积分（它们单独出现时看作乘 $1$）
递推公式的建立（如 $\int \sin^n x\,dx$ 的递推）

考法3：分部积分法

识别特征：

基本公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

$u$ 与 $dv$ 的选择法则——"反对幂指三"（本章最重要的口诀）：

优先级 函数类型 作 $u$ 还是 $dv$
1 反三角函数 优先作 $u$
2 对数函数 优先作 $u$
3 幂函数 均可
4 指数函数 优先放 $dv$
5 三角函数 优先放 $dv$

三种经典场景：

场景一（幂函数 × 指数/三角）：幂函数作 $u$，指数/三角放入 $dv$。可用表格法秒杀。

场景二（对数/反三角单独出现）：看作 $1 \times$ 该函数，该函数作 $u$，$1\cdot dx$ 作 $dv$。

场景三（指数 × 三角）：$u$ 和 $dv$ 任选，用两次分部积分后会"循环"——原积分重新出现，移项解方程。

表格法（张宇快捷方法，仅用于 $\int P_n(x) e^{ax} dx$、$\int P_n(x) \sin bx\,dx$ 等）：

左列反复求导到 $0$，右列反复积分，斜向相乘，符号 $+,-,+,-,\cdots$ 交替。

表格法为什么成立？——它就是"反复分部积分"的账本。

对付"多项式 × 指数"这种积分，标准做法是反复用分部积分，每次都让多项式降一次幂，直到降到 $0$：第一次分部剩 $\int(3x^2+2)(\cdots)$，第二次剩 $\int6x(\cdots)$，第三次剩 $\int6(\cdots)$……每一步都在重复同一个动作：左边多项式求导一次、右边指数积分一次。

表格法只是把这个"循环账本"画成两列：左列写多项式不断求导（$x^3\to3x^2\to6x\to6\to0$），右列写指数不断积分（$e^{2x}\to\frac12e^{2x}\to\frac14e^{2x}\to\cdots$）。最后"斜向相乘 + 符号交错"恰好就是把每一轮分部积分的 $uv$ 项收集起来的快捷写法——它没引入任何新数学，只是把反复写分部积分公式的纸面工作压缩成了一张表。

例题：

例8（标准分部积分——对数函数）：求 $\int x\ln x\,dx$

🧠 怎么想到的：

解：令 $u = \ln x$，$dv = x\,dx$。 $\int x\ln x\,dx = \frac{1}{2}x^2\ln x - \frac{1}{4}x^2 + C$

例9（表格法——多项式×指数）：求 $\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx$

🧠 怎么想到的：

解：

符号 求导列 积分列
$+$ $x^3+2x+6$ $e^{2x}$
$-$ $3x^2+2$ $\frac{1}{2}e^{2x}$
$+$ $6x$ $\frac{1}{4}e^{2x}$
$-$ $6$ $\frac{1}{8}e^{2x}$
$+$ $0$ $\frac{1}{16}e^{2x}$
$\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx = \left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{7}{4}x + \frac{17}{8}\right)e^{2x} + C$

验证（挑一列验算即可）：$\left(\frac12x^3e^{2x}\right)'=\frac32x^2e^{2x}+x^3e^{2x}$，$\left(-\frac34x^2e^{2x}\right)'=-\frac32x^2e^{2x}-\frac32xe^{2x}$，$\left(\frac74xe^{2x}\right)'=\frac74e^{2x}+\frac72xe^{2x}$，$\left(\frac{17}{8}e^{2x}\right)'=\frac{17}{4}e^{2x}$。四块导数中 $x^3$ 项 $x^3e^{2x}$、$x^2$ 项 $(\frac32-\frac32)x^2=0$、$x$ 项 $(-\frac32+\frac72)x=2x$、常数项 $\frac74+\frac{17}{4}=\frac{24}{4}=6$——正好还原 $(x^3+2x+6)e^{2x}$。$\checkmark$

例10（循环积分型——指数×三角）：求 $\int e^x \sin x\,dx$

解：这个式子特别像"猫咬自己尾巴"——分部积分两次之后，原来的积分 $\int e^x \sin x\,dx$ 又会原封不动地冒出来。这时候别慌：把它当成一个未知数，移到等式左边解方程就行。下面一步一步来。

第1步：第一次分部积分。 这是循环型积分——选谁当 $u$ 都行：$e^x$ 和 $\sin x$ 求导、积分后都"绕回原家族"，无论让谁当 $u$，分部两次都会把原积分重新引出来，答案也一样。这里让 $\sin x$ 当 $u$，$e^x dx$ 当 $dv$： 令 $u = \sin x$，$dv = e^x dx$，则 $du = \cos x\,dx$，$v = e^x$。 代入分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$： $\int e^x \sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$

这一步在想什么：$e^x$ 求导、积分都不变，是"死猪不怕开水烫"；$\sin x$ 求导变 $\cos x$——把一个复杂的"指数×三角"，换成了"指数×另一个三角"。

第2步：对剩下的 $\int e^x\cos x\,dx$ 再来一次分部积分。 令 $u = \cos x$，$dv = e^x dx$，则 $du = -\sin x\,dx$，$v = e^x$： $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x - \int e^x(-\sin x)\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx$

这一步在想什么：$\sin x \to \cos x \to -\sin x$——绕了一圈，又回到了 $\sin x$。这正是"循环"的开始，别怕，马上就看到它的好处。

第3步：把第2步的结果代回第1步。 $\int e^x \sin x\,dx = e^x\sin x - e^x\cos x - \int e^x\sin x\,dx$

这一步在想什么：右边又冒出了原来的积分 $\int e^x\sin x\,dx$，而且带个负号。就像你追自己的影子——绕了一圈，原来的东西又出现了。这时把"猫咬尾巴"变成"方程"来解。

第4步：把原积分当未知数，移到左边。 两边同时加上 $\int e^x\sin x\,dx$（相当于移项）： $2\int e^x \sin x\,dx = e^x\sin x - e^x\cos x = e^x(\sin x - \cos x)$

这一步在想什么：左边两个"同样的未知数"合并，右边是已经算好的部分。这跟你解 $x = 5 - x$ 移项成 $2x = 5$ 一模一样。

第5步：除以系数，解出原积分。 $\int e^x \sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$

📝 复盘大白话：为什么非要把原积分弄到左边来？因为移项之后，等式右边全是"已知的东西"（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$），左边是 2 倍的未知数，一除就出来了。判断循环积分型的信号：分部积分两次之后，又看到 $\int e^x(\text{三角})dx$ 这个老朋友——直接走"移项解方程"这条捷径，别再绕了。

例11（单独对数函数）：求 $\int \ln x\,dx$

🧠 怎么想到的——"乘个 1"这一手从哪来？

分部积分公式是 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$——它需要一个"$u$ 和 $dv$ 的乘积"作为原料。可 $\ln x$ 是孤零零一个，没有相乘的另一半，怎么套分部？难在哪？$\ln x$ 我们根本不会积，只会求导（求导后变成 $1/x$，简单多了）。

于是生出一个念头：既然它没有乘积伙伴，我们就给它"造"一个伙伴——把 $\ln x$ 看成 $1\cdot\ln x$。乘法是随便能加的，乘 $1$ 不改变任何东西，但它让分部积分公式有了用武之地：

代入公式：$\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-\int1\,dx=x\ln x-x+C$。

📝 复盘：凡是你只会求导、不会积分的函数"单独出现"（$\ln x$、$\arctan x$、$\arcsin x$ 等），就乘个 $1$ 骗出分部积分——让它在 $u$ 的位置求导降级，剩下的一切都好办。

解：看作 $\int 1\cdot\ln x\,dx$，令 $u=\ln x$，$dv=dx$。 $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$

翻车现场：

记住了"反对幂指三"的口诀，但用反了方向——做 $\int x^2\ln x\,dx$ 时让 $x^2$ 当 $u$、$\ln x$ 当 $dv$，结果 $\int v\,du$ 更难算。

名师方法：

题9 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int x^2\ln x\,dx$

点击查看答案

$\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ 亦可写成 $\frac{x^3}{9}(3\ln x - 1) + C$。

思路：按"反对幂指三"，$\ln x$ 作 $u$，$x^2dx$ 作 $dv$。

题10 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int (x^2+1)e^{-x}\,dx$

点击查看答案

$\int (x^2+1)e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x^2+2x+3) + C$

思路：多项式 $\times$ 指数，用表格法：左列求导到 $0$，右列反复积分，符号交错。

题11 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int e^{2x}\cos x\,dx$

点击查看答案

$\int e^{2x}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}}{5}(2\cos x + \sin x) + C$

思路：指数 $\times$ 三角，循环积分型。两次分部积分后原积分重现，移项解方程。

题12 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \arctan x\,dx$

点击查看答案

$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

思路：单独反三角，看作 $\arctan x \times 1$。$u = \arctan x$，$dv = dx$。

2.1.6 有理函数积分的基本思路

有理函数是分子分母均为多项式的分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$。

处理流程：

  1. 若分子次数 ≥ 分母次数（假分式），先做多项式除法，写成"多项式 + 真分式"
  2. 分母因式分解到最简（一次因式和不可再分解的二次因式）
  3. 按规则拆分为部分分式之和

为什么有理函数非得"拆分"？——先想清楚难在哪。

有理函数是多项式相除。我们手里会积的"分式款"其实只有两种：$\int\frac{A}{x-a}dx=\ln|x-a|$（一次因式）和 $\int\frac{A}{(x-a)^n}dx$（幂次），外加二次因式配方法走 $\arctan$。但考试给的分式，分母往往是一大坨因式乘在一起，直接积无从下手。

换个思路：能不能把"一个大分式"拆成"几个简单小分式相加"？就像把一整块木头劈成几根好搬的木条。如果能拆，那积分就自动变成"几个简单积分相加"（线性性质允许一项一项积）。

凭什么能拆？ 分式加法的逆运算：$\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}=\frac{A(x-b)+B(x-a)}{(x-a)(x-b)}$。倒过来读——任何"分子比分母低次"的真分式，都能逆着这个过程拆回若干简单分式。拆开之后每个小分式都长在我们会积的形状里。这就是部分分式法的全部灵魂：加法能通分合并，积分就能逆着拆开。

拆分规则（每条规则配一个微型例子，帮助理解每条怎么拆）：

分母里有 拆成 微型例子
$(x-a)$（单次一次因式） $\frac{A}{x-a}$ 如 $\frac{1}{(x-2)(x+3)}$ → 拆成 $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}$
$(x-a)^n$（重复一次因式） $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$ 如 $\frac{1}{x(x-1)^2}$ → 拆成 $\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$
$x^2+px+q$（二次不可约） $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ 如 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}$ → 拆成 $\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
$(x^2+px+q)^n$（二次重因式） $\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q} + \cdots + \frac{A_nx+B_n}{(x^2+px+q)^n}$ 如 $\frac{1}{(x^2+1)^2}$ → 拆成 $\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$

这两条规则为什么长这样？

规则1（一次因式）：通分回去检验——$\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ 通分后分母是 $(x-2)(x-3)$，分子是 $A(x-3)+B(x-2)$，正好是"一次多项式"。而我们要拆的原分式分子也是次的（比分母低一次）。次一对次一，配得上。所以单次因式配常数分子 $A$。

规则2（重复因式）：为什么 $(x-a)^n$ 要拆成 $n$ 项、分子全是常数？检验：$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$ 通分后分母是 $(x-1)^2$，分子 $A(x-1)+B$ 是一次多项式，配得上一次分子。如果只拆一项 $\frac{A}{(x-1)^2}$，通分后分子只有常数 $A$——次太低，配不出一般的一次分子。所以必须从 $(x-a)$ 一直拆到 $(x-a)^n$，把"每一层幂"都覆盖到。

规则3（二次因式）：二次因式拆出来的分子为什么是"一次式 $Ax+B$"而不是常数？同上——$\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ 通分后分母是 $(x+1)(x^2+1)$（三次），分子 $A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)$ 是二次多项式，和原分式的二次分子匹配。若二次因式配常数分子 $\frac{C}{x^2+1}$，通分后分子次太高、且缺 $x$ 项，配不出一般形状。分子比分母低一次——分母二次，分子就设一次。

一句话记规则：分子永远比分母"矮一级"（分母一次→分子常数；分母二次→分子一次）。这是通分回去检验自然逼出来的，不是人为规定。

求系数方法：赋特殊值法（让 $x$ 取使分母为零的值）最快；也可用比较系数法。

考法4：有理函数积分

识别特征：被积函数是多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$。

解题步骤：

  1. 假分式（分子次数 ≥ 分母次数）→ 先做多项式除法，化为"多项式 + 真分式"
  2. 分母因式分解到最简
  3. 按拆分规则拆分为部分分式
  4. 用赋特殊值法或比较系数法求待定系数
  5. 对各部分分式分别积分

各部分分式的积分：

例题：

例12：求 $\int \frac{x+1}{x^2-5x+6} dx$

🧠 怎么想到的：

赋特殊值法为什么快？——让括号变零，逼出单个未知数。

把 $\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ 两边同乘 $(x-2)(x-3)$ 去分母： $x+1=A(x-3)+B(x-2)$ 现在令 $x=2$：含 $B$ 的那项 $(x-2)=0$ 整个消失，右边只剩 $A(2-3)=-A$，左边 $2+1=3$，立刻得 $A=-3$。再令 $x=3$：含 $A$ 的项消失，$B(3-2)=B$ 等于 $4$，得 $B=4$。

🧠 这一步在想什么："哪里的括号为零，就令 $x$ 取那个值"——这是让某个未知数"单独现形"的最快方法，一次赋值解出一个系数，不用解方程组。

解： 设 $\frac{x+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$。 赋特殊值：$x=2 \to A=-3$；$x=3 \to B=4$。 $\int \frac{x+1}{x^2-5x+6} dx = -3\ln|x-2| + 4\ln|x-3| + C$ 验证：$\left(-3\ln|x-2|+4\ln|x-3|\right)'=\frac{-3}{x-2}+\frac{4}{x-3}=\frac{-3(x-3)+4(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}$。$\checkmark$

例13：求 $\int \frac{1}{x^3+1} dx$

解：这个分母是三次的，比例12（二次分母）多了一个"二次因式"，所以把完整流程走一遍。

第1步：先检查真假分式。 分子最高次数是 $0$（常数），分母最高次数是 $3$。分子次数 < 分母次数，是真分式，可以直接拆。✅

这一步在想什么：部分分式法只对真分式有效。就像西瓜比榨汁机口小才能直接塞进去——分子比分母"矮"，才能直接拆。

第2步：分母因式分解。 $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

这一步在想什么：三次方加一，用立方和公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$（这里 $a=x$，$b=1$）。拆出来一个一次因式 $x+1$，一个二次因式 $x^2-x+1$（二次因式判别式 <0，不可再拆）。

第3步：设部分分式。 一次因式配一个 $\frac{A}{x+1}$，二次因式配一个"分子为一次式"的 $\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$： $\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

这一步在想什么：二次因式的分子必须设成一次式 $Bx+C$（而不是常数 $C$），否则通分后凑不出原来的分子 $1$。

第4步：通分、赋值求系数。 两边同乘 $(x+1)(x^2-x+1)$ 去分母： $1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

用"赋特殊值法"（哪个括号为零就令 $x$ 取哪个值）：

于是： $\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{-\frac13 x + \frac23}{x^2-x+1} = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{2-x}{3(x^2-x+1)}$

这一步在想什么：赋值法就是"哪里的括号为零，就令 $x$ 取那个值"——令 $x=-1$ 时含 $Bx+C$ 的那一大块整个消失，只剩 $A$，一下就算出来。这是最快的路。

第5步：积分第一块——一次因式部分。 $\int \frac{1}{3(x+1)}dx = \frac13\ln|x+1| + C$

第6步：积分第二块——二次因式部分，先配方法。 把分母配成"完全平方 + 常数"： $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac12\right)^2 + \frac34$

再把分子 $2-x$ 拆成"分母导数的常数倍 + 常数"——分母 $x^2-x+1$ 的导数是 $2x-1$，而 $2 - x = -\frac12(2x-1) + \frac32$ （检验：$-\frac12(2x-1) + \frac32 = -x + \frac12 + \frac32 = -x + 2$ ✓）

于是第二块拆成两个"好积"的积分： $\int \frac{2-x}{3(x^2-x+1)}dx = -\frac16\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \frac12\int\frac{1}{x^2-x+1}dx$

这一步在想什么：为什么把分子拆成这样？因为分母的导数 $2x-1$ 出现时可以直接凑 $\ln$（第一块），剩下的常数项配出平方后走 $\arctan$（第二块）。"一拆二"= 一个凑 $\ln$，一个凑 $\arctan$。

第7步：分别算这两个积分。 第一块是凑微分——分母的导数正好是 $2x-1$： $\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx = \ln(x^2-x+1)$

第二块用 $\arctan$ 公式（$\int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a}$，这里 $u = x-\frac12$，$a = \frac{\sqrt3}{2}$）： $\int\frac{1}{x^2-x+1}dx = \int\frac{1}{\left(x-\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}dx = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}$

第8步：拼起来。 $\int \frac{1}{x^3+1}dx = \frac13\ln|x+1| - \frac16\ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3} + C$

📝 复盘大白话：整道题的流程是——检查→分解→设形→求系数→分别积分。难点全在二次因式那一步：先配方把分母变成"平方+常数"（准备用 $\arctan$），再把分子拆成"分母导数的倍数"（凑 $\ln$）+ "常数"（凑 $\arctan$）。这一手"一拆二"是二次因式积分的灵魂，务必吃透。

翻车现场：

看到 $\int \frac{x^3}{x^2+1}dx$，不检查分子分母次数就开始做部分分式拆分——拆了半天发现分子次数比分母高，是个"假分式"。

名师方法（毛纲源）：对单因式 $(x-a)$，系数 $A = \frac{P(a)}{Q'(a)}$（留数法），比分母通分再比较系数快很多。

题13 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \frac{2x-1}{(x-1)(x-3)}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{2x-1}{(x-1)(x-3)}\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{5}{2}\ln|x-3| + C$

思路：分母已因式分解为两个一次因式。赋特殊值法求系数：$x=1 \to A=-\frac12$，$x=3 \to B=\frac52$。

题14 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \frac{1}{x(x+1)^2}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{1}{x(x+1)^2}\,dx = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{1}{x+1} + C$

思路：分母含重因式 $(x+1)^2$，需拆出 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$。比较系数求值。

题15 ⭐⭐⭐⭐ 综合：求 $\displaystyle \int \frac{x+2}{x^3+x}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{x+2}{x^3+x}\,dx = 2\ln|x| - \ln(x^2+1) + \arctan x + C$

思路：分母 $x(x^2+1)$，含二次不可约因式，设 $\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。

考法5：三角函数有理式积分

识别特征：被积函数由 $\sin x$、$\cos x$ 通过四则运算构成。

这一节是本章"最需要理解、最怕死记"的地方——一共 4 条策略，条条都能在考试里救命。但请你放心：每一条都不是规定，而是从具体题目里"长"出来的。下面我们一道题一道题地推，推完你就明白每条策略为什么长那个样子、什么时候该用它。

例14（策略1：奇次幂凑微分）：求 $\int \sin^3 x\,dx$

这一道是整章"先题后招"的第一道，我们一步步推。看到这题，先别慌。想想我们手里有什么：积分表里只有 $\int\sin x\,dx=-\cos x$、$\int x^n dx$ 这些基础款，$\sin^3 x$ 这种三次幂没有现成公式。难在哪？

难在"三次幂"。三次意味着"$\sin x$ 自己乘了自己三次"，但积分只会积"单个的 $\sin x$"。所以思路就一个字：拆——把 $\sin^3 x$ 拆成"能直接积的 $\times$ 能凑微分"的样子。

怎么拆？试试把三次拆成"一次 $\times$ 二次"：$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x$。$\sin^2 x$ 不好办，但它等于 $1-\cos^2 x$（最常用的恒等式 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 变个形）。于是：

$\sin^3 x = (1-\cos^2 x)\cdot\sin x$

现在盯着看：$\sin x\cdot dx$ ——这不就是 $-d(\cos x)$ 吗？（因为 $(\cos x)'=-\sin x$，所以 $d(\cos x)=-\sin x\,dx$，即 $\sin x\,dx=-d(\cos x)$）

🧠 这一步在想什么：我们看到了一个"宝藏结构"——$\sin x\,dx$ 能整体变成 $d(\cos x)$。一旦认出来，就令 $u=\cos x$：

$\int\sin^3 x\,dx=\int(1-\cos^2 x)\sin x\,dx=\int(1-u^2)(-du)=\int(u^2-1)\,du=\frac13u^3-u+C=\frac13\cos^3 x-\cos x+C$

🔍 回头看看我们做了什么：之所以能积出来，全因为 $\sin$ 是奇次幂——它让我们能拆出单独一个 $\sin x$，去配 $d(\cos x)$。要是 $\sin^4 x$ 就拆不出单个 $\sin x$ 了（拆一个还剩三次，剩下的还是没法配）。所以"奇次幂能拆"这条策略不是规定，是结构使然。

📌 以后就这么办：看到 $\sin^m x\cdot\cos^n x$ 这种，

这就是策略1：奇次幂凑微分。你刚刚亲手推出了它，而不是被塞了一条规则。

📝 立刻验一手：$\int\cos^3 x\,dx$ 用策略1怎么走？（答案在题16，先自己算完再对。）

例15（策略2：偶次幂降幂）：求 $\int \sin^2 x\,dx$

刚才的策略1还能用吗？$\sin^2 x = \sin x\cdot\sin x$——拆一个 $\sin x$ 出去配 $d(\cos x)$，剩下的还是 $\sin x$。用 $u=\cos x$ 换，剩下的 $\sin x=\sqrt{1-u^2}$——带根号，越换越麻烦。偶数次幂拆不动。难在哪？$\sin^2 x$ 既不是"单个 $\sin$ 能积"的款式，又拆不出单个 $\sin$ 来凑微分。

换个思路：能不能把 $\sin^2 x$ 变成一种我们确定会积的形状——比如"角度翻倍的 $\cos$ 的一次方"？想起倍角公式 $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$，变个形：

$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$

$\cos 2x$ 的一次方我们当然会积（$\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x$）。于是：

$\int\sin^2 x\,dx=\int\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac12 x-\frac14\sin 2x+C$

🧠 这一步在想什么：倍角公式把"平方"降成"一次"——$\sin^2$ 的角度是 $x$，降幂后变成"角度 $2x$ 的一次三角"。用角度翻倍，换幂次减半，这就是策略2的灵魂。

🔍 回头看看我们做了什么：偶次幂（平方）凑不了微分，但倍角公式能把它拆成"常数 + 一次三角"，一次三角人人会积。$\cos^2x$ 同理，由 $\cos2x=2\cos^2x-1$ 得 $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$。

📌 以后就这么办：看到 $\sin^2$ 或 $\cos^2$（以及四次方、六次方——把倍角公式连用两次、三次）：

这就是策略2：偶次幂降幂。它的来历是一条链：两角和公式 → 倍角公式 → 降幂公式，不是凭空冒出来的。

例16（策略3：不同角度积化和差）：求 $\int\sin3x\cos2x\,dx$

前面两招还能用吗？角度不一样——一个 $3x$ 一个 $2x$，不是同一个角度的幂，奇偶幂、倍角降幂全都不对症。难在哪？两个不同角度的函数乘在一起，而积分只会积"单个角度"的函数。

回忆一下：$\sin3x$ 和 $\cos2x$ 的乘积，能变成"两个单一角度的和/差"吗？从两角和差公式里翻一翻：

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B,\qquad \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$

两式相加，中间两项抵消：

$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$

这就是积化和差——它的来源就是两角和差公式的"反向合并"。套到这道题（$A=3x,\ B=2x$）：

$\sin3x\cos2x=\frac{\sin5x+\sin x}{2}$

"乘积"变成了"和"，而积分对"和"可以一项一项分开积（线性性质）：

$\int\sin3x\cos2x\,dx=\int\frac{\sin5x}{2}dx+\int\frac{\sin x}{2}dx=-\frac1{10}\cos5x-\frac12\cos x+C$

🧠 这一步在想什么：乘积不能拆开积，但和差能一项一项积——所以凡是"不同角度相乘"，第一步就是把它变成"和差"。积化和差的三条公式都长在同一棵树上，都是两角和差公式两两相加/相减合并出来的。

🔍 回头看看我们做了什么：看到 $\sin(\cdot)\cos(\cdot)$、$\sin(\cdot)\sin(\cdot)$、$\cos(\cdot)\cos(\cdot)$，而且角度不同 → 积化和差拆成两个单一角度的和差 → 分别积分。

📌 以后就这么办（三条，全部源自两角和差公式）：

另外两条也亲手推一遍，别只背结论：

这就是策略3：积化和差。

最后的手段：万能公式——什么时候前面三招全都不管用？

看这道题：求 $\int\frac{dx}{2+\sin x}$。它不是幂，不是不同角度相乘，而是一个分式，分母里 $\sin x$ 和常数 $2$ 搅在一起——策略1、2、3 全都帮不上忙。怎么办？

思路：我们最会积的是"有理函数"（多项式相除）。如果能通过一个代换，把 $\sin x$、$\cos x$ 全部变成同一个变量 $t$ 的"多项式相除"，问题就自动变成前面学过的有理函数积分。用什么代换？

试试半角 $t=\tan\frac{x}{2}$。用半角公式一推（把 $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ 除以 $\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2=1$，再上下同除 $\cos^2\frac x2$）：

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

（$\cos x$ 用同法推出：$\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2=\frac{\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2}{\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2}$，再上下同除 $\cos^2\frac x2$ 得 $\frac{1-t^2}{1+t^2}$。$dx$ 来自 $x=2\arctan t$。）代进去，$\sin x$ 变成 $t$ 的有理式，整个积分变成有理函数积分：

$\int\frac{dx}{2+\sin x}=\int\frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{2+\frac{2t}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{t^2+t+1}=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2t+1}{\sqrt3}+C=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2\tan\frac x2+1}{\sqrt3}+C$

🧠 这一步在想什么：$t=\tan\frac x2$ 能把任何 $\sin x$、$\cos x$ 的四则运算，统统变成 $t$ 的有理式——所以它叫"万能"。

🔍 那为什么是最后手段？因为它虽然"什么都能吃"，但代价是计算量巨大：分母往往会变成高次有理式，拆分、求系数、配方……走完全套有理函数流程非常耗时。就像打车能到任何地方，但楼下就有地铁时没必要打车。

📌 以后就这么办：判断顺序——

  1. 同一个角度的幂 → 先看奇偶（奇数拆一个凑微分，偶数倍角降幂）
  2. 不同角度相乘 → 积化和差
  3. 分式、分母里 $\sin$/$\cos$ 和常数混在一起、前几招全失灵 → 才上万能公式

这就是策略4：万能公式。

📌 四招速查卡（每招的来历都在上面，考前只看这张卡回忆）

看到什么 做什么 为什么有效
$\sin^m x\cdot\cos^n x$，$m$ 奇 拆一个 $\sin x$ 配 $d(\cos x)$，余下用 $1-\cos^2x$ 换，令 $u=\cos x$ 拆完剩下全是 $\cos x$ 的多项式，凑微分后直接积
$\sin^m x\cdot\cos^n x$，$n$ 奇 拆一个 $\cos x$ 配 $d(\sin x)$，令 $u=\sin x$ 同上，换成 $\sin x$ 的多项式
$m,n$ 全偶 倍角降幂：$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$ 平方降一次，变成"常数+一次三角"
不同角度相乘 积化和差拆成两个单一角度的和差 和差能一项一项分开积，乘积不能
分式，前几招全失灵 $t=\tan\frac x2$ 万能代换 把 $\sin x,\cos x$ 全变成 $t$ 的有理式，归到有理函数积分

翻车现场：

看到 $\int \cos^3 x\,dx$，只想到万能公式——令 $t=\tan\frac{x}{2}$，陷入繁琐计算。

题16 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \cos^3 x\,dx$

点击查看答案

$\int \cos^3 x\,dx = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C$

思路：奇次幂，拆出 $\cos x\,dx = d(\sin x)$，$\cos^2 x = 1-\sin^2 x$。

题17 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \cos^4 x\,dx$

点击查看答案

$\int \cos^4 x\,dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$

思路：偶次幂，反复用倍角公式降幂。$\cos^4 x = (\frac{1+\cos 2x}{2})^2$，降两次幂。

题18 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \sin 4x\,\sin 2x\,dx$

点击查看答案

$\int \sin 4x\,\sin 2x\,dx = \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{12}\sin 6x + C$

思路：不同角度，用积化和差：$\sin A\sin B = \frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}$。

考法6：简单无理函数积分

识别特征：被积函数中含根号（非二次根式）。

先想清楚：无理函数积分的一贯思路——把根号"换"成幂。 根号是积分公式不认识的"无理量"，但换个变量让 $x$ 变成 $t$ 的幂，根号就自动变成 $t$ 的有理式，一切回到有理函数积分。所以选代换的唯一标准是：哪种代换能让根号最干脆地消失，看根号的类型决定：

根号类型 为什么这样换 方法
含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，则根号就是 $t$，$x=\frac{t^n-b}{a}$ 变成 $t$ 的幂 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$
含 $\sqrt{ax+b}$ 和 $\sqrt{cx+d}$ 一个根号里卡两个一次式，令 $t$ 为其中一个，另一个也通常能表达成 $t$ 的有理式 令 $t$ 为其中一个根式
含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 二次根式（平方+平方）只有三角恒等式能开出来（见 2A） 用三角代换

例题：

例17：求 $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$

🧠 怎么想到的：被积函数里只有 $\sqrt{x}$ 一个根号，而且它是一次根式的平方根。令 $t=\sqrt{x}$（$x=t^2$），根号直接变成 $t$，分母 $1+\sqrt{x}=1+t$，$dx=2t\,dt$——变成 $\int\frac{2t\,dt}{1+t}=2\int\left(1-\frac1{1+t}\right)dt$，一个整数 + 一个 $\ln$，立刻可积。

解：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。 $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$

翻车现场：

看到 $\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}dx$，条件反射地上三角代换——$x=\sqrt{2}\tan t$，算了半页纸发现越算越复杂。

题19 ⭐⭐ 中等：求 $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx$

点击查看答案

$\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx = \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2} + C$

思路：含一次根式 $\sqrt{x+2}$，令 $t = \sqrt{x+2}$，$x = t^2-2$，$dx = 2t\,dt$。

题20 ⭐⭐⭐ 较难：求 $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$

点击查看答案

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2\arctan\sqrt{x} + C$

思路：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。换元后分子 $2t$ 与分母 $t$ 恰好约去，化为 $2\int \frac{dt}{1+t^2}$。

🛑 停下来想一想：不定积分的6种方法（基本公式、凑微分、三角代换、根式代换、分部积分、有理函数积分）你都能一眼认出该用哪种吗？拿张纸，给自己出3道题：一道用凑微分、一道用分部积分、一道用有理函数积分——每种限时30秒判断方法，然后算出来验证。

2.2 定积分

题型2：定积分计算

定积分计算的核心公式是牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$。

注意：定积分不需要 $+C$。

2.2.1 定积分的概念

定义：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$，其中 $\lambda$ 是最大子区间长度。把 $[a,b]$ 切成 $n$ 个小段，每段取代表点的函数值乘宽度，累加，让切分越来越细，极限就是面积。

🔍 这句话怎么读？——"分割→求和→取极限"三个动作逐句拆解：

① 分割（为什么要切）：曲线是弯的，弯曲图形的面积没有现成公式。但"弯"不怕——把它切成 $n$ 条竖的窄条，每条都细到几乎直上直下，就像一个个细长的长方形。生活比喻：一把弯弓很难直接量长度，但把它掰成一百节小直棍，每节就好量多了。

② 求和（每块的面积怎么算）：第 $i$ 个窄条的宽度是 $\Delta x_i$，在它上面随便取一个代表点 $\xi_i$，用这个点的高度 $f(\xi_i)$ 代表整条窄条的高度，那这一条的面积 ≈ 高 × 宽 = $f(\xi_i)\Delta x_i$。把 $n$ 条的近似面积全加起来，就是 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$。

③ 取极限（什么时候变精确）：窄条越宽，用一个点的高度"代表"整条高度就越粗糙。让每条都越来越窄（最大宽度 $\lambda \to 0$）、条数 $n$ 越来越多——这些近似长方形拼出来的"锯齿状面积"就越来越贴合真正的曲线面积，极限 $\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ 就是精确面积。

📝 大白话复盘：切得越细，锯齿越不明显，最后锯齿消失，拼出来的就是光滑的曲线面积。这就是定积分的全部灵魂——用"无穷多个细长方形的和"去逼近"一块弯曲的面积"。

定积分与不定积分的本质区别：

不定积分 $\int f(x)dx$ 定积分 $\int_a^b f(x)dx$
结果 一族函数 $F(x)+C$ 一个确定的数
$+C$ 必须有 没有
上下限 没有 有 $a$ 和 $b$
几何意义 原函数曲线族 曲边梯形的面积
定义方式 求导的逆运算 分割求和取极限

2.2.2 定积分的几何意义

定积分 $\int_a^b f(x)dx$ 表示 $x$ 轴上方曲线下的面积减去 $x$ 轴下方曲线下的面积（代数和）。

🖼️ 图形长什么样？——曲边梯形。 想象 $[a,b]$ 这一小段地面上，曲线像个小山丘。这条曲线、左右两条竖线（$x=a$ 和 $x=b$）、底下 $x$ 轴，四者围出来一块图形——上面是弯的、左右是直的、底下是平的。因为"上边是曲线而不是直线"，所以叫曲边梯形（矩形只有四条直边，它把一条直边换成了曲线）。当 $f(x)\ge0$ 时，定积分的值就是这块曲边梯形的面积。

如果曲线跑到 $x$ 轴下面去了呢？——下方计为负。 曲线在 $x$ 轴下方的部分，算出来的"面积"要记成负数。所以定积分是"上方面积 $-$ 下方面积"的代数面积——正负会互相抵消。文字示意：

   ___/"\___            ← x 轴上方的曲线（面积算正，记 +S上）
  /         \
--+---------+--------   ← x 轴
  |         |
  \___   ___/           ← x 轴下方的曲线（面积算负，记 -S下）

所以 $\int_a^b f(x)dx = S_上 - S_下$。打个比方：往瓶子里灌水又倒出来，灌进去的是正、倒出来的是负，最后瓶里的净水量是"灌的减去倒的"。定积分同理——上下两块面积一正一负，抵消完剩下的净结果才是积分值。

因此若 $f(x) \ge 0$ 在 $[a,b]$ 上恒成立（曲线一直在轴上方），没有下方部分，则 $\int_a^b f(x)dx \ge 0$。

2.2.2 附：n项和式极限 → 定积分定义（自第1章移入）

> 📌 这节原本在第1章（极限章），但它要用"定积分"的计算——放在这里正好：刚学完定积分的概念和几何意义，立刻用它解决考研极限里的经典题型。

子考法6.2——n项和式数列极限（定积分定义/夹逼准则）

识别特征：

"$n$ 项和式极限"为什么能变成定积分？——用"分蛋糕"看清楚

先看一道题：$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\dfrac{n\pi}{n}\right)$。每一项都趋于 0，可有无穷多项——直接"逐项取极限"是禁区（0×∞ 的坑）。难在哪？

难在"无穷多个无穷小加在一起，结果不是必然的 0"（2.3.1 的教训：$n$ 个 $\frac{1}{n}$ 加起来是 1）。

🧠 这一步在想什么：把求和式重新看一遍——$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\pi\cdot\dfrac{k}{n}\right)$。每一项都在问"当 $x$ 取 $\dfrac{k}{n}$ 这个数时，$\sin(\pi x)$ 的值"，而 $\dfrac{1}{n}$ 正是相邻两个取点之间的间隔。这不就是"把 $[0,1]$ 区间切成 $n$ 小段、每段取个点、把函数值加起来再乘上段长"吗？ 这个动作我们给过它名字——定积分的定义（第3章会正式学）。所以： $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$ 这个等式的"为什么"就是一个几何事实：和式是"曲线下的锯齿面积"，$n$ 越大锯齿越密，总面积收敛到真正的曲边面积（定积分）。

🔍 回头看看：我们没有发明新方法，而是认出了"老朋友"——只要和式长得像 $\dfrac{1}{n}\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$（"$\frac{1}{n}$ 在前 + $f$ 作用在 $\frac{k}{n}$ 上"），它就是定积分的定义本身。判断依据因此也清楚了：能凑出这个形式→定积分定义；凑不出来（比如和式里没有整齐的 $\frac{1}{n}$ 或 $\frac{k}{n}$）→才退回夹逼放缩。

📌 以后看到"一长串求和、每一项都带 $\dfrac{k}{n}$"的极限，先试着把它整理成 $\dfrac{1}{n}\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$——整理得出来，答案就是 $\int_0^1 f(x)\,dx$；整理不出来，再换夹逼。（下面的题 22–24 每道都演示了"凑形式"这一步；定积分的具体值现在先当公式记住，第3章学了自然全通。）

解题模板：

🔢 解题步骤：

第1步【判断方法】
  - 如果和式可以写成 (1/n)·∑f(k/n) → 用定积分定义
  - 如果和式不能直接凑出 1/n → 先用夹逼准则放缩

第2步【定积分定义法】
  - 识别：lim(n→∞) (1/n)·∑_{k=1}^{n} f(k/n) = ∫_{0}^{1} f(x) dx
  - 更一般：lim(n→∞) (1/n)·∑_{k=1}^{n} f((k-1)/n) = ∫_{0}^{1} f(x) dx
  
  变体：
  - 一般区间 [a,b]：lim(n→∞) ((b-a)/n)·∑ f(a+k(b-a)/n) = ∫_{a}^{b} f(x) dx

第3步【夹逼准则法】（不能直接用定积分定义时）
  - 找到通项的最大值和最小值
  - n·最小值 ≤ 和式 ≤ n·最大值
  - 两边极限相等 → 和式极限即为该值
题22 ⭐基础

求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}$

点击查看答案

对应模板：n项和式极限——定积分定义

解题过程：

第1步【识别定积分定义形式】： $ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\pi \cdot \frac{k}{n}\right) $ 这就是 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ 的形式，其中 $f(x) = \sin(\pi x)$。

第2步【转化为定积分】： $ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x)\,dx $ $ = \int_{0}^{1} \sin(\pi x)\,dx $

第3步【计算定积分】： $ \int_{0}^{1} \sin(\pi x)\,dx = \left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_{0}^{1} $ $ = -\frac{1}{\pi}\cos\pi + \frac{1}{\pi}\cos 0 = -\frac{1}{\pi}(-1) + \frac{1}{\pi}(1) = \frac{2}{\pi} $

答案：$\displaystyle\frac{2}{\pi}$

题23 ⭐⭐中等

求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2}$

点击查看答案

对应模板：n项和式极限——定积分定义

解题过程：

第1步【判断方法】： 和式可变形为定积分定义形式。$\frac{k}{n^2+k^2} = \frac{1}{n}\cdot\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$，这正是 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ 的形式，其中 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$。直接用定积分定义求解。

第2步【凑定积分定义形式】： $ \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} $

第3步【转化为定积分】： $ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} = \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\,dx $

第4步【计算定积分】： 令 $u = 1+x^2$，$du = 2x\,dx$，$x\,dx = \frac{1}{2}du$ $ \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln u\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2 $

答案：$\displaystyle\frac{1}{2}\ln 2$

💡 经验教训：先判断能否凑出 $\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})$ 的形式——能凑出来就直接用定积分定义，比夹逼准则更精确！

题24 ⭐⭐⭐真题难度

求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1+\frac{2}{n}} + \cdots + \sqrt{1+\frac{n}{n}}\right]$

点击查看答案

对应模板：n项和式极限——定积分定义

解题过程：

第1步【识别形式】： $ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}} $ 这就是 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})$ 的形式，$f(x) = \sqrt{1+x}$。

第2步【转化为定积分】： $ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1}\sqrt{1+x}\,dx $

第3步【计算定积分】： $ \int_{0}^{1}(1+x)^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\Big|_{0}^{1} $ $ = \frac{2}{3}\left(2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) $

答案：$\displaystyle\frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$

混搭10 ⭐⭐ 定积分定义+求和极限

求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$。提示：这个求和式不能逐项求极限（每一项都趋于0，但有无穷多项），需要用到定积分定义。 （新编综合题——融合定积分定义+求和式极限处理技巧）

混搭8 答案

求 $f(0)$：

由 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=2$，分母 $x\to 0$，极限存在且为有限值 2，因此分子也必须趋于 0： $\lim_{x\to 0}f(x)=0$

又因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以： $f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=0$

判断 $g(x)$ 的间断点：

$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义（分母为 0）。

但 $\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=2$（题目已知条件），极限存在且为有限值。

根据间断点分类：极限存在但函数在该点无定义（或定义值不等于极限值）→ 第一类可去间断点。

💡 如果补充定义 $g(0)=2$，则 $g(x)$ 在 $x=0$ 处变为连续。

答案：$f(0)=0$；$x=0$ 是 $g(x)$ 的可去间断点。

混搭9 答案

第1步【写出等价无穷小】：

当 $x\to 0$ 时：

第2步【合并】：

$\ln(1+x^2)+1-\cos(ax)\sim x^2+\frac{a^2}{2}x^2=\left(1+\frac{a^2}{2}\right)x^2$

第3步【同阶条件判断】：

要让它与 $x^2$ 同阶无穷小，需要： $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)+1-\cos(ax)}{x^2}=1+\frac{a^2}{2}$ 这个极限值必须是非零有限值。

而 $1+\dfrac{a^2}{2}\geq 1>0$ 对所有实数 $a$ 恒成立，所以条件自动满足。

答案：$a$ 可取任意实数，即 $a\in\mathbb{R}$。

混搭10 答案

第1步【变形为定积分定义形式】：

$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$

第2步【写出 Riemann 和】：

$\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$

这正是 $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)$ 的形式，其中 $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$。

第3步【转化为定积分】：

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,dx$

第4步【计算定积分】：

$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$

答案：$\displaystyle\frac{\pi}{4}$

---

2.2.3 定积分存在（可积）的条件

两个充分条件（满足任意一个即可积）：

  1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 → 可积
  2. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点 → 也可积

必要条件：可积的函数必须有界。

重要结论：

定积分的三条基本性质（后面换元法、区间再现公式都会反复用到）： $\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx,\qquad \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx,\qquad \int_a^b k\,f(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$

大白话：第一条"交换上下限变号"——上下限对调，积分就多一个负号；第二条"区间可加"——整段积分可以拆成几段分别算再加起来；第三条"常数可提出"——积分号外面的常数可以搬进搬出。这三条在后面换元、区间再现时会反复用到（比如换元 $t=a+b-x$ 时，$dx=-dt$ 贡献一个负号、上下限对调又贡献一个负号，两个负号正好抵消）。

2.2.4 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理） ⭐全书最重要定理

🚗 生活场景：你开车自驾游，仪表盘上有两个表——"速度表"显示你此刻开多快（比如80公里/小时），"总里程表"显示从出厂到现在一共跑了多少公里。现在我问你一个问题：如果你的车从A点出发，一路上速度表读数忽快忽慢——你能不能只靠速度表的记录，反推出从A点到B点总共开了多远？

你本能地会想：把每一秒的速度乘以那一秒的时间，全部加起来。这就是定积分的直觉——$\int_a^b v(t)dt$ 就是从 $a$ 时刻到 $b$ 时刻走过的总路程。

但真正神奇的是：里程表读数 $S(t)$ 的导数恰好就是速度 $v(t)$（$S'(t)=v(t)$）！也就是说，总路程 $S(b)-S(a)$ 根本不用一秒一秒地加——只要看一眼起点和终点的里程表读数，一减就完事了。这就是牛顿-莱布尼茨公式的灵魂：计算定积分 = 找原函数在两端点的差。

牛顿-莱布尼茨公式的正式陈述：

$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$）。注意 $+C$ 在相减时会消掉，所以取哪个原函数结果都一样。

使用条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。$f(x)$ 有间断点或瑕点时不能直接套用。

这个公式为什么叫"微积分基本定理"？ 因为它把微积分中两个看似毫不相关的操作联系在了一起：

牛莱公式说：你想算积分（面积、总路程、总量），根本不用去切分求和取极限——只需要找到一个原函数，代入两端点一减就行了。 这是人类数学史上最伟大的发现之一，因为它在"求面积"（两千年前阿基米德就在做的事）和"求导数"（牛顿和莱布尼茨的发明）之间架起了一座桥。

🧠 这个公式是怎么推导出来的？——你必须跟下来的7步完整推导

这是我们全书最重要的一段推导。每一步都不能跳过。核心问题只有一个：

定积分（黎曼和的极限，切分求和取极限）和不定积分（求原函数，求导的逆运算）——这两个东西，到底有什么关系？

下面就是牛顿和莱布尼茨给出的答案。

第0步：先把问题看清楚——我们卡在哪？

定积分的定义是 $\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$——把区间切成 $n$ 小段，每段用一个矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似，然后让切分越来越细取极限。这个定义虽然精确、优美，但真要动手算——切100段、1000段、10000段……实在太麻烦了。

而不定积分是找 $F(x)$ 使得 $F'(x) = f(x)$。这是求导的逆运算，只要背过求导公式，反过来就能找到原函数。

这两个操作——一个是无穷分割求和（笨重），一个是反求导（轻巧）——看起来八竿子打不着。但它们之间一定有关系。怎么发现这个关系？

大白话：左边是一刀一刀切出来的"土办法"，右边是背求导表反着查的"巧办法"。这两个办法算出来的结果一样吗？凭什么一样？这就是我们要证明的。

第1步：造一座"桥"——定义变上限积分函数

直接比较 $\int_a^b f(x)dx$（一个固定的数）和 $F(b)-F(a)$（也是固定的数）很难看出关系。牛顿的妙招是：不要让上限 $b$ 固定——把上限变成一个变量 $x$。

定义一个新函数： $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$

注意：积分变量用 $t$（哑变量，叫什么无所谓，就是不能和上限 $x$ 重名），上限是 $x$。每给定一个 $x$，$\Phi(x)$ 就是从起点 $a$ 到当前位置 $x$ 的"累积量"。

大白话：$\Phi(x)$ 就是"从起点走到 $x$ 为止，一共累积了多少"。用开车比喻：$\Phi(x)$ 是里程表读数——从出发到现在一共走了多少公里。$x$ 是当前时刻，$a$ 是出发时刻。

💡 为什么想到定义 $\Phi(x)$？ 因为直接算定积分 $\int_a^b f(x)dx$ 像啃一块硬骨头——你需要切分、求和、取极限，每一步都很痛苦。但如果有一个"捷径"，比如知道原函数代进去一减就行——那必须先搞清楚"积分上限在变的时候，积分值怎么变"这件事。$\Phi(x)$ 就是用来研究这个问题的。它把"算一个固定积分的值"变成了"研究一个函数的变化规律"——而后一个问题是微分学擅长的！这就是整条推导最天才的一步：把一个积分问题，转化成了一个微分问题。

第2步：算 $\Phi(x)$ 的导数——用导数的定义硬算

现在 $\Phi(x)$ 是一个函数（既然是函数，就可以求导）。按导数的定义：

$\Phi'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\Phi(x+h) - \Phi(x)}{h}$

代入 $\Phi$ 的定义：

$\Phi(x+h) = \int_a^{x+h} f(t)dt, \quad \Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$

两个积分相减——积分的区间可加性告诉我们：从 $a$ 到 $x+h$ 的面积 = 从 $a$ 到 $x$ 的面积 + 从 $x$ 到 $x+h$ 的面积。所以：

$\Phi'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\right] = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)dt$

大白话：$\Phi(x+h)-\Phi(x)$ 就是从 $x$ 到 $x+h$ 这"一小段"的累积量（比如这0.1秒多走了多少米）。除以 $h$（时间增量），就是这"一小段"的平均变化率（平均速度）。取极限 $h \to 0$，就是瞬时变化率（瞬时速度）。

🚗 里程表→速度表的比喻（关键！请脑子里过一遍这个画面）：$\Phi(x)$ 是从起点到时刻 $x$ 走过的总路程（里程表读数）。$\Phi(x+h)-\Phi(x)$ 是从 $x$ 到 $x+h$ 这短短一瞬间多走的路。除以 $h$ 就是这一小段的平均速度。$h \to 0$ 时，平均速度趋近于瞬时速度——也就是速度表读数 $f(x)$。所以直觉告诉我们：总路程函数求导 = 速度函数。 即 $\Phi'(x) = f(x)$。但直觉不能代替证明——接下来两步，我们将用积分中值定理把这个直觉变成铁证。

第3步：对 $\int_x^{x+h} f(t)dt$ 用积分中值定理——把小积分"压扁"成一个矩形

现在的任务是化简 $\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)dt$。积分中值定理告诉我们：如果 $f$ 在 $[x, x+h]$ 上连续，那么在这个小区间内一定存在一个点 $\xi$（读作"克赛"），使得：

$\int_x^{x+h} f(t)dt = f(\xi) \cdot h$

几何上：曲线下方 $[x, x+h]$ 上的曲边梯形面积 = 以 $f(\xi)$ 为高的矩形面积。$\xi$ 是 $[x, x+h]$ 里的某个点——我们不知道它具体在哪儿，但知道它一定存在。

大白话：积分中值定理就是把一块曲边的面积"压扁"成一个等面积的矩形——高度是区间内某个地方 $f(\xi)$ 的函数值，宽度是 $h$。这样就把积分变成了一个简单的乘法。

代入回去：

$\Phi'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \cdot f(\xi) \cdot h = \lim_{h \to 0} f(\xi)$

大白话：$h$ 消掉了！现在 $\Phi'(x)$ 等于 $f(\xi)$ 的极限，其中 $\xi$ 是夹在 $x$ 和 $x+h$ 之间的某个点。这个 $\xi$ 依赖于 $h$——$h$ 越小，$\xi$ 就被挤得越靠近 $x$。

第4步：取极限——$\xi$ 被"挤"到 $x$

当 $h \to 0$ 时，$\xi$ 夹在 $x$ 和 $x+h$ 之间——就像三明治里的火腿被两片面包越挤越紧，最终 $\xi$ 被"挤"到了 $x$。因为 $f$ 是连续的（$f$ 连续保证了 $\xi \to x$ 时 $f(\xi) \to f(x)$），所以：

$\Phi'(x) = \lim_{h \to 0} f(\xi) = f(x)$

大白话：$h$ 趋于零，$\xi$ 被逼到 $x$ 的位置，$f(\xi)$ 就趋近于 $f(x)$。于是我们得到了这个惊人的结论：变上限积分对上限求导，等于被积函数在上限处的值。 换句话说——先积分再求导，回到原函数。

💡 这一步是整个推导最关键的"临门一脚"。如果没有积分中值定理（第3步），$\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)dt$ 就是一个不知道该怎么化简的"怪物"。积分中值定理帮我们把这个怪物变成了一个干净的 $f(\xi)$，然后利用 $f$ 的连续性，$\xi \to x$ 时 $f(\xi) \to f(x)$ 就水到渠成了。

第5步：得出结论①——$\Phi(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数！（原函数存在定理）

因为 $\Phi'(x) = f(x)$，所以 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。这顺便证明了一个非常重要的定理：

📌 原函数存在定理：如果 $f(x)$ 在区间上连续，那么 $f(x)$ 一定有原函数——变上限积分 $\int_a^x f(t)dt$ 就是其中一个具体的原函数（满足 $\Phi(a) = 0$ 的那一个）。

现在设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（$F'(x) = f(x)$）。因为两个原函数之间只差一个常数，所以存在常数 $C$ 使得：

$\Phi(x) = F(x) + C$

即： $\int_a^x f(t)dt = F(x) + C$

大白话：变上限积分 $\Phi(x)$（从里程表上读出来的）和任意一个原函数 $F(x)$（从求导表反查出来的）之间只差一个常数。这就好比两辆并排开的车——里程表读数可能差一个"出厂初值"，但速度表读数（导数）完全一样。

第6步：确定常数 $C$，推出牛莱公式

把 $x = a$ 代入 $\int_a^x f(t)dt = F(x) + C$：

$\int_a^a f(t)dt = F(a) + C$

上下限一样的积分显然是零（宽度为0的图形面积为零），所以：

$0 = F(a) + C \quad \Rightarrow \quad C = -F(a)$

代回去： $\int_a^x f(t)dt = F(x) - F(a)$

最后，令 $x = b$：

$\boxed{\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)}$

大白话：常数 $C$ 不是随便的——当 $x=a$ 时积分面积为零，所以 $F(a) + C = 0$，推出 $C = -F(a)$。然后令 $x=b$，牛莱公式就出来了。整个过程干净利落：造桥→求导→定常数，三步走完。

推导完毕。 🎉 从定积分的黎曼和定义出发，到牛莱公式，中间没有跳过任何一步。

📝 推导复盘——用大白话重讲一遍从定积分定义到牛莱公式的完整旅程：

出发时的目标：能不能不用"切分求和取极限"的土办法算定积分，而是用"找原函数代进去减"的巧办法？

整条推导链的骨架只有三步：

  1. 造桥（第1步）：定义 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$——把一个固定的积分变成一个会变的函数。这是整条推导最天才的一步：把积分问题转化为微分问题。
  2. 求导（第2-4步）：用导数定义 + 积分中值定理 + 连续性算出 $\Phi'(x) = f(x)$——发现"积分后再求导，回到原函数"。这是整条推导的核心发现：微分和积分互为逆运算。
  3. 定常数（第5-6步）：用 $\Phi(a) = 0$ 解出 $C = -F(a)$，令 $x = b$ 得牛莱公式 $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$。

用里程表和速度表的比喻串起来就是：

三大核心技巧：

这个推导之所以叫"微积分基本定理"，是因为它证明了微分和积分互为逆运算——就像加法和减法、乘法和除法。你在第4步看到的 $\Phi'(x) = f(x)$，本质就是：$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)dt\right) = f(x)$——"积分再求导，回到原点"。

⚠️ 三个必须牢记的边界（容易错！）

⚠️ 边界1：牛莱公式要求 $f(x)$ 连续——有间断点时不能直接套用。

整个推导在第4步依赖了"$f$ 连续"来保证 $f(\xi) \to f(x)$。如果 $f$ 有间断点，$\Phi'(x) = f(x)$ 在间断点处可能不成立，牛莱公式也可能失效。

经典反例：符号函数 $\text{sgn}(x)$（$x>0$ 时为 $1$，$x<0$ 时为 $-1$，$x=0$ 时为 $0$）在 $[-1, 1]$ 上有跳跃间断点 $x=0$。你不能随便找个"原函数"代入牛莱公式——因为 $\text{sgn}(x)$ 根本没有原函数（达布定理：导函数不能有跳跃间断点）。

实操中的陷阱：$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$——如果直接套牛莱公式：$[-\frac{1}{x}]_{-1}^1 = -1-1=-2$。但 $x=0$ 是瑕点（分母为零，函数趋于无穷），这是反常积分！实际上积分发散（结果是无穷大）。拿到定积分先检查被积函数在区间内有没有分母为零的点。

⚠️ 边界2：连续是充分条件，不是必要条件——有些有间断点的函数也能用牛莱公式，但要拆区间。

比如 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段连续（只有有限个跳跃间断点）。可以把积分按间断点拆成几段，每段内部 $f$ 连续，分别用牛莱公式，然后加起来。

操作口诀：见到间断点 → 拆区间 → 每段分别用牛莱 → 再加起来。

⚠️ 边界3：$F(x)$ 必须是 $f(x)$ 在整个区间上的原函数——分段求出来的"原函数"要小心拼接。

分段定义的函数，如果在不同段上原函数差了一个常数，直接用 $F(b)-F(a)$ 会出错。必须保证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上处处可导且导数恒等于 $f(x)$，中间不能有"跳跃"。

🛑 停下来想一想：牛莱公式说 $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$。如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒为正（曲线一直在 $x$ 轴上方），右边 $F(b)-F(a)$ 一定是正的吗？为什么？（提示：$F'(x)=f(x)>0$，说明 $F$ 是严格递增函数，所以 $F(b) > F(a)$。）

牛莱公式在整条知识链中的位置：

上游依赖 本定理 下游应用
导数定义 + 求导公式 所有定积分计算（换元法、分部积分法都建立在牛莱公式之上）
定积分定义（黎曼和的极限） ← 牛莱公式 → 变限积分求导公式（牛莱的"反着用"）
积分中值定理 反常积分计算（先求原函数，再对上下限取极限）
连续函数的性质 定积分的应用（面积、体积、经济应用题全基于牛莱公式算具体数值）

牛莱公式是本章的绝对核心——后面讲的所有定积分计算方法（换元、分部、奇偶性对称性、区间再现），本质上都是在解决同一个问题：如何更高效地找到原函数 $F(x)$。 没有牛莱公式，这些方法全都失去了意义——你千辛万苦算出原函数，却不知道它可以用来算什么。

考法1：牛顿-莱布尼茨公式直接计算

识别特征：被积函数的原函数容易求出。

步骤：

  1. 求出 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$
  2. 代入上下限：$F(b) - F(a)$

例题：

例18：求 $\int_0^1 (3x^2+2x+1)dx$

🧠 怎么想到的：

解：$\int_0^1 (3x^2+2x+1)dx = \left[x^3 + x^2 + x\right]_0^1 = 3$

题21 ⭐ 基础：计算 $\displaystyle \int_0^2 (x^3 - 2x^2 + 3)\,dx$

点击查看答案

$\int_0^2 (x^3 - 2x^2 + 3)\,dx = \frac{14}{3}$

思路：直接逐项求原函数，代入牛莱公式。

题22 ⭐⭐ 中等：设分段函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 1 \\ 2-x, & 1 < x \le 2 \end{cases}$，计算 $\int_0^2 f(x)\,dx$。

点击查看答案

$\int_0^2 f(x)\,dx = \frac{5}{6}$

思路：分段函数积分需拆区间。$\int_0^2 f(x)dx = \int_0^1 x^2dx + \int_1^2 (2-x)dx = \frac13 + \frac12 = \frac56$。

2.2.4 附：原函数存在定理

📌 上面第5步已经证明：如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上必有原函数。 其中 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 就是所有原函数中的"标准款"——满足 $\Phi(a) = 0$ 的那一个。

这个定理的三大意义：

  1. 给你一颗定心丸：连续函数一定有原函数，不用怕找不到。变上限积分直接在定义上就是原函数。
  2. 告诉你"去哪儿找"：如果初等函数的原函数不是初等函数（比如 $e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 的原函数写不出初等表达式），变上限积分 $\int_a^x e^{-t^2}dt$ 本身就是这些原函数的严格定义。
  3. 为牛莱公式提供合法性：如果连续函数可能没有原函数，那牛莱公式中的 $F(b)-F(a)$ 根本无从谈起。原函数存在定理保证了 $F(x)$ 一定存在，牛莱公式才有意义。

反过来不成立：原函数存在的函数不一定黎曼可积（有原函数但无界则不可积）。不过考研范围内碰到的函数，有原函数基本上就可积，不需要纠结这个细节。

2.2.5 定积分换元法

与不定积分换元的区别：

不定积分换元 定积分换元
需要换限吗 不需要 必须同时换上下限
需要回代吗 必须回代变量 不需要回代

定积分换元三步走（缺一不可）：

  1. 换被积函数：$f(x)$ → $f(\varphi(t))$
  2. 换微分：$dx = \varphi'(t)dt$
  3. 换上下限：$x=a$ → $t=\alpha$，$x=b$ → $t=\beta$

为什么定积分换元必须多走一步"换限"？——因为定积分的数值是"贴着坐标轴"算出来的。

不定积分的结果是"函数"，$x$ 和 $t$ 只是称呼不同，算完回代就行。但定积分的结果是一个数，这个数是"$x$ 轴上从 $a$ 到 $b$ 的这段面积"。当你把变量从 $x$ 换成 $t$ 时，$t$ 有自己的坐标轴——原来的 $x=a$ 对应哪个 $t$？原来的 $x=b$ 对应哪个 $t$？ 不把这个对应关系换清楚，面积就"量错了一段"。

用开车比喻：你在 $x$ 公路上从 0 开到 $a$（记了 0 到 $a$ 的里程），现在改用 $t$ 表量的公路——起点终点读数全变，必须重新对表。换限 = 重新对表：把 $x=a$ 代进代换关系 $x=\varphi(t)$ 解出 $t=\alpha$，把 $x=b$ 解出 $t=\beta$。

换完限之后，积分全程在 $t$ 的世界里算完，不需要再回代 $x$——因为上下限已经换成 $t$ 的了，直接算数就行。这就是"换元必换限、换限免回代"这对规则的来历。

考法2：定积分换元法（⚠️ 换元必换限）

与不定积分换元的核心区别：定积分换元时，"换元、换被积函数、换上下限"三者同时进行，换完后不需要回代变量。

步骤：

  1. 令 $x = \varphi(t)$
  2. 换被积函数、换微分、换上下限
  3. 在新变量下计算 $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$
  4. 直接代入 $t$ 的上下限，不需要再换回 $x$

例题：

例19：求 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx$

🧠 怎么想到的：

解：令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t\,dt$。 换限：$x=0 \to t=0$，$x=a \to t=\frac{\pi}{2}$。 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx = \int_0^{\frac\pi2}a\cos t\cdot a\cos t\,dt = a^2\int_0^{\frac\pi2}\cos^2t\,dt = a^2\cdot\frac\pi4 = \frac{\pi a^2}{4}$ （最后一步：$\int_0^{\frac\pi2}\cos^2t\,dt=\frac\pi4$，用降幂公式 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ 一积即得。） 几何验证：$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$ 是半径 $a$ 的 $\frac14$ 圆面积 $=\frac{\pi a^2}{4}$。$\checkmark$

题23 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_0^2 \frac{dx}{(4+x^2)^{3/2}}$

点击查看答案

$\int_0^2 \frac{dx}{(4+x^2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$

思路：令 $x = 2\tan t$，换限 $x=0\to t=0$，$x=2\to t=\pi/4$。化简后得 $\frac14\int_0^{\pi/4}\cos t\,dt$。

题24 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$

点击查看答案

$\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx = 4 - 2\ln 3$

思路：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。换限：$x=0\to t=0$，$x=4\to t=2$。

题25 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x - 1}\;dx$

点击查看答案

$\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x - 1}\;dx = 2 - \frac{\pi}{2}$

思路：令 $t = \sqrt{e^x - 1}$，$e^x = t^2+1$，$x = \ln(t^2+1)$，$dx = \frac{2t}{t^2+1}dt$。

考法3：定积分分部积分法

$\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$

为什么定积分分部积分只是"多一步代入上下限"？——不定积分分部公式的两边各自套牛莱公式。

回忆不定积分分部公式：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$。它左右两边都是"原函数之间的关系"。现在要算定积分，只需对两边同时从 $a$ 积到 $b$（即左右两边各自取 $F(b)-F(a)$）：

于是得到 $\int_a^b u\,dv=\left.uv\right|_a^b-\int_a^b v\,du$。它没有任何新技巧，就是把不定积分的分部公式套上上下限——选 $u$、$dv$ 的"反对幂指三"规则照旧。注意 $uv$ 那一项一定要写成"代入上限减代入下限"（$\left.uv\right|_a^b$），别漏了相减。

例题：

例20：求 $\int_0^1 x e^x dx$

🧠 怎么想到的：$xe^x$ 是"幂函数 $\times$ 指数"——按"反对幂指三"，$x$ 当 $u$（求导降次），$e^xdx$ 当 $dv$。然后代入定积分分部公式，$uv$ 项写 $\left.xe^x\right|_0^1$。

解：$\int_0^1 x e^x dx = \left.xe^x\right|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$

题26 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_0^1 x\arctan x\,dx$

点击查看答案

$\int_0^1 x\arctan x\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

思路：按"反对幂指三"，$\arctan x$ 作 $u$，$x\,dx$ 作 $dv$。

题27 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx = \frac{e^{\pi} + 1}{2}$

思路：循环积分型。两次分部积分后解方程。

2.2.6 对称性与奇偶性

对称区间 $[-a, a]$ 上： $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 是奇函数（}f(-x)=-f(x)\text{）} \\[4pt] 2\int_{0}^{a} f(x)dx, & f(x) \text{ 是偶函数（}f(-x)=f(x)\text{）} \end{cases}$

更一般的拆分公式： $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)]dx$

这个公式是怎么"看"出来的？——画图，然后像折纸一样处理。

对称区间 $[-a,a]$ 的中点是 $0$，积分天然分成左半段 $[-a,0]$ 和右半段 $[0,a]$。现在看曲线在这两段上的形状：

奇函数（$f(-x)=-f(x)$）：右半段在 $x$ 轴上方的"小山"，左半段一定在 $x$ 轴下方"对称地倒扣着"——两块面积一样大、正负相反，正好抵消，总面积为 $0$。

偶函数（$f(-x)=f(x)$）：右半段是座小山，左半段是同样形状的另一座小山（像照镜子）——两块面积一样大、都是正的，所以算一块、乘 2 就行。

更一般地，任意函数 $f$ 都能拆成"偶部分 + 奇部分"：$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2+\frac{f(x)-f(-x)}2$，偶部分的积分 = $2\int_0^a\frac{f(x)+f(-x)}2dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx$，奇部分积分为 $0$。这就是"通用拆分公式"的来历——它把"利用对称性"扩展到了不是纯奇/偶函数的场合。

一句话：对称区间上，奇函数把面积"正负抵消"，偶函数把面积"照镜子翻倍"。 这能省下整道积分题的计算量。

考法4：利用对称性与奇偶性

核心公式（对称区间 $[-a,a]$）： $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 是奇函数} \\[4pt] 2\int_{0}^{a} f(x)dx, & f(x) \text{ 是偶函数} \end{cases}$

通用拆分： $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)]dx$

步骤：

  1. 先看积分区间是否关于原点对称
  2. 判断被积函数的奇偶性
  3. 应用公式化简
  4. 可拆分为"奇部分 + 偶部分"，奇部分积分为零

例题：

例21：求 $\int_{-2}^{2} (x^3\cos x + \sqrt{4-x^2})dx$

解：$x^3\cos x$ 是奇函数（奇×偶=奇），积分为 $0$。$\sqrt{4-x^2}$ 是偶函数。 $\int_{-2}^{2} (x^3\cos x + \sqrt{4-x^2})dx = 2\int_0^2 \sqrt{4-x^2}dx = 2\pi$

题28 ⭐ 基础：计算 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin^3 x\,dx$

点击查看答案

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^3 x\,dx = 0$

思路：$\sin^3 x$ 是奇函数，对称区间积分为零。

题29 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 + 2)\,dx$

点击查看答案

$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 + 2)\,dx = 24$

思路：$x^5$ 是奇函数（积分为零），$3x^2+2$ 是偶函数（折半算）。

题30 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_0^2 (x-1)\sqrt{2x-x^2}\;dx$

点击查看答案

$\int_0^2 (x-1)\sqrt{2x-x^2}\;dx = 0$

思路：令 $t = x-1$，积分变为 $\int_{-1}^1 t\sqrt{1-t^2}\;dt$。被积函数为奇函数，对称区间积分为零。

考法5：利用周期性

若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $\int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x)dx$。

推论：$\int_a^{a+nT} f(x)dx = n\int_0^T f(x)dx$（$n$ 为整数）。

为什么周期函数的积分只和"一个周期"有关？——因为每一段周期的面积长得一模一样。

周期函数每走一个周期 $T$，曲线形状就"原样复制"一遍。所以从 $a$ 到 $a+T$ 的这一段面积，和从 $0$ 到 $T$ 的这一段面积完全相同（只是平移了位置，形状没变）。这就是 $\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx$ 的全部道理——"挪动起点，面积不变"。

推论更是顺水推舟：区间长度是 $n$ 个周期，就等于 $n$ 段一模一样的面积加起来，每段都是 $\int_0^T f(x)dx$。所以 $\int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx$——算一个周期、乘 $n$，再长的区间也就变成一道小题。

例：$\int_0^{100\pi}\sin^2x\,dx$，$\sin^2x$ 周期 $\pi$，$100\pi$ 是 100 个周期，答案就是 $100\times$（一个周期的积分）。

例题：

例22：求 $\int_0^{100\pi} \sin^2 x\,dx$

🧠 怎么想到的：区间从 $0$ 到 $100\pi$ 长得吓人，但 $\sin^2x$ 的周期是 $\pi$——先把一个周期的积分算出来，再乘周期数。由降幂公式 $\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac\pi2$（$\cos2x$ 在一个整周期上积分为 $0$）。所以 100 个周期就是 $100\times\frac\pi2$。

解：$\sin^2 x$ 周期 $\pi$，区间长度 $100\pi = 100$ 个周期。 $\int_0^{100\pi} \sin^2 x\,dx = 100\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx = 50\pi$

题31 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_0^{6\pi} |\cos x|\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{6\pi} |\cos x|\,dx = 12$

思路：$|\cos x|$ 周期 $\pi$，每个周期积分为 $2$。$6\pi = 6$ 个周期，$6 \times 2 = 12$。

题32 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{7\pi/3} \sin^4 x\,dx$

点击查看答案

$\int_{\pi/3}^{7\pi/3} \sin^4 x\,dx = \frac{3\pi}{4}$

思路：$\sin^4 x$ 周期 $\pi$，区间长度 $2\pi = 2$ 个周期。华里士公式：$\int_0^{\pi/2} \sin^4 x\,dx = \frac{3\pi}{16}$。

2.2.7 区间再现公式

基本公式： $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$

🧠 这个公式从哪来？——本质就是一次换元，三步走完。

直觉：把 $[a,b]$ 这个区间"从右往左翻过来"，曲线形状没变，只是反了个方向，所以面积（积分值）应该不变。用换元法严格证明：

第1步：令 $t = a+b-x$。 那么 $x = a+b-t$，$dx = -dt$。注意 $t = a+b-x$ 把区间"镜像翻转"：$x=a$ 时 $t=b$，$x=b$ 时 $t=a$——上下限对调了。

第2步：换元、换限。 $\int_a^b f(x)dx = \int_b^a f(a+b-t)\,(-dt)$

第3步：两个负号互相抵消。 交换上下限 $\int_b^a = -\int_a^b$，会产生一个负号；它和 $dx = -dt$ 带来的负号正好抵消： $\int_b^a f(a+b-t)\,(-dt) = \int_a^b f(a+b-t)\,dt$ 最后把积分变量 $t$ 改回 $x$（积分变量叫什么名字无所谓，就像"这个数叫什么"不影响它是几），就得到： $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$

📝 复盘大白话：所谓"区间再现"，本质就是换元 + 区间翻转。$t=a+b-x$ 把整个区间像翻书一样倒过来，$dx=-dt$ 贡献一个负号、上下限对调又贡献一个负号，两个负号抵消，积分值不变。所以"翻转区间积分值不变"不是魔法——就是换元时负号守恒的结果。

最重要的五个推论：

推论 公式 使用场景
① $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ 基本区间翻转
② $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} [f(x)+f(-x)]dx$ 对称区间拆分
③ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx$ 正余弦互换
④ $\int_0^{\pi} x f(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)dx$ "去 $x$"公式
⑤ $\int_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx = \frac{b-a}{2}$ 分母对称型

推论④使用条件：被积函数必须能写成 $x$ 乘以一个纯粹的 $\sin x$ 的函数（不含 $\cos x$，除非能转化）。

推论③④⑤又是怎么"长"出来的？——全靠基本公式换个写法，逐个推一遍：

推论③（正余弦互换）：区间 $[0,\frac\pi2]$ 上令 $t=\frac\pi2-x$（基本公式在 $a=0,b=\frac\pi2$ 的样子）。换元后 $x=\frac\pi2-t$，$dx=-dt$，上下限对调两个负号抵消： $\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\sin(\tfrac\pi2-t))dt=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos t)dt$ 关键一步：$\sin(\frac\pi2-t)=\cos t$。所以在 $[0,\frac\pi2]$ 上，$\sin$ 和 $\cos$ 可以互相替换——因为这个区间里它们互为"镜像"。

推论④（"去 $x$"公式）——这是最值钱的一条，单独推： 被积函数 $xf(\sin x)$，麻烦就麻烦在"$x$"这个光杆因子——它没法积分，又赖在被积函数里。思路：利用"区间再现"把 $x$ 变成 $\pi-x$，两个式子一加，$x$ 被"换"成对称的 $\pi-x$。

记 $I=\int_0^\pi xf(\sin x)dx$。对它做区间再现（令 $t=\pi-x$）： $I=\int_0^\pi(\pi-t)f(\sin(\pi-t))dt=\int_0^\pi(\pi-x)f(\sin x)dx$ （$\sin(\pi-x)=\sin x$，而且换回 $x$ 的名字无所谓。）

于是同一个 $I$ 有了两个表达式： $I=\int_0^\pi x f(\sin x)dx,\qquad I=\int_0^\pi(\pi-x)f(\sin x)dx$ 把这两个式子加起来：左边 $2I$，右边 $\int_0^\pi[x+(\pi-x)]f(\sin x)dx=\int_0^\pi\pi f(\sin x)dx$——$x$ 凭空消失了！因为 $x$ 和 $\pi-x$ 的平均值恰好是 $\frac\pi2$。所以 $2I=\pi\int_0^\pi f(\sin x)dx$，即： $\boxed{\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx}$

📝 这条推下来你发现什么？ 根本没有"背"公式——就是区间再现 + 两个式子相加。$x$ 这个光杆因子，被 $(\pi-x)$ 这个"镜像搭档"一平均，就乖乖变成了常数 $\frac\pi2$。

推论⑤（分母对称型）：被积函数 $\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}$——分子是"一半"，分母是"整份"。用区间再现把这个积分再写一遍： $I=\int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\int_a^b\frac{f(a+b-t)}{f(a+b-t)+f(t)}dt$ 也就是 $\frac{\text{补集}}{\text{全集}}$。把两个式子相加：$2I=\int_a^b\frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\int_a^b1\,dx=b-a$。所以 $I=\frac{b-a}{2}$。

这五条推论全来自同一个动作：区间再现（翻转）之后，把新老两个式子"相加"——① 是基本型，② 拆偶奇，③ 是三角区间里的镜像，④ 让 $x$ 变常数，⑤ 让分式自动凑成 1。记不住别硬背，记住"翻转 + 相加"这个套路，考场上自己就能推出来。

考法6：区间再现公式

基本形式：$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$

重要推论：

编号 公式 适用场景
① $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ 基本区间再现
② $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} [f(x)+f(-x)]dx$ 对称区间拆分
③ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx$ 正余弦互换
④ $\int_0^{\pi} x f(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)dx$ "去$x$"公式（高频考点）
⑤ $\int_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx = \frac{b-a}{2}$ 分母对称型

例题：

例23（去$x$公式）：求 $\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$

🧠 怎么想到的：

解：应用公式④，$f(\sin x) = \frac{\sin x}{2-\sin^2 x}$（先验证确实只含 $\sin x$）。 $\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4}$ 验证：$\frac\pi2\int_0^\pi\frac{\sin x}{2-\sin^2x}dx$ 令 $t=\cos x$：$=\frac\pi2\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1+t^2}=\frac\pi2\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}{4}$。$\checkmark$

例24（分母对称型）：求 $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx$

🧠 怎么想到的：

解：公式⑤直接得：$\frac{b-a}{2} = \frac{\pi/2-0}{2} = \frac{\pi}{4}$

附：华里士公式（"点火公式"）

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 偶} \\[10pt] \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 奇} \end{cases}$

🧠 这个公式从哪来？——一次分部积分，得到一条递推链。

记 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$。对 $I_n$ 做分部积分：令 $u = \sin^{n-1}x$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx$，$v = -\cos x$。代入分部积分公式： $I_n = \left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx$ 边界项：在 $x=0$ 处 $\sin^{n-1}0 = 0$，在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处 $\cos\frac{\pi}{2}=0$——两头都是零，整个边界项消失。 再用 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 把被积函数拆开： $I_n = (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx - (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$ 把右边的 $(n-1)I_n$ 移项到左边：$nI_n = (n-1)I_{n-2}$，即递推关系 $\boxed{I_n = \frac{n-1}{n}\,I_{n-2}}$

这就是递推公式：从 $I_n$ 一步跳到 $I_{n-2}$。一直往下递推，直到"烧到底"：

把这两条连起来，就得到上面那个公式。

🔥 "点火"记忆技巧（张宇）：

例题：

例25：求 $\int_0^{\pi/2} \sin^5 x\,dx$

解：$n=5$ 奇数。$\int_0^{\pi/2} \sin^5 x\,dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{8}{15}$

翻车现场：

做定积分换元——令 $x=2\sin t$，换完被积表达式后直接代入原来的上下限 $x=0$ 和 $x=2$，算出个莫名其妙的结果。

定积分快速判断清单：

  1. 区间是否对称？→ 奇偶性
  2. 是否含周期函数？→ 周期性
  3. $[0,\pi/2]$ 上 $\sin^n x$ 或 $\cos^n x$？→ 华里士公式
  4. 是否含 $xf(\sin x)$？→ "去 $x$"公式
  5. 是否有 $f(a+b-x)$ 对称关系？→ 区间再现
  6. 分母是否 $f(x)+f(a+b-x)$？→ 分母对称型
  7. 以上都不行 → 换元/分部积分

题33 ⭐⭐ 中等：计算 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}\,dx = \frac{\pi}{4}$

思路：区间再现 + 两式相加。$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\tan x}{1+\tan x}dx$，相加得 $2I = \frac{\pi}{2}$。

题34 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin^3 x\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{\pi} x\sin^3 x\,dx = \frac{2\pi}{3}$

思路："去 $x$"公式：$\int_0^{\pi} x\sin^3 x\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} \sin^3 x\,dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2\pi}{3}$。

题35 ⭐⭐⭐ 较难：计算 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{\ln(1+x) + \ln(2-x)}\,dx$

点击查看答案

$\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{\ln(1+x) + \ln(2-x)}\,dx = \frac{1}{2}$

思路：分母对称型公式，$a=0, b=1$，结果为 $\frac{b-a}{2} = \frac12$。

题36 ⭐⭐⭐⭐ 综合：计算 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^7 x\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^7 x\,dx = \frac{1}{120}$

思路：$\cos x$ 指数 $7$ 为奇数，拆出 $\cos x\,dx = d(\sin x)$，令 $u=\sin x$，得 $\int_0^1 u^5(1-u^2)^3 du = \frac{1}{120}$。

2.2.8 定积分比较大小

若在 $[a,b]$ 上 $f(x) \le g(x)$，则 $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$。

为什么"函数小，积分就小"？——积分就是"面积"，高个子的面积当然不比矮个子的小。

定积分是曲线下的面积。如果 $f$ 的曲线处处不高于 $g$ 的曲线（$f(x)\le g(x)$），那 $f$ 圈出来的面积不可能大于 $g$ 圈出来的面积——所以 $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx$。这几乎不用证明，画个图就明白。它的用处是"比大小"：算不出两个积分，就比较两个被积函数在区间上的大小，高的那个积分一定更大。常用工具：直接比函数值（作差看符号）、放缩（用熟悉函数夹住陌生函数）。

两种常用方法（配例题）：

方法一：直接比较被积函数（比谁高）

例题：比较 $\int_0^1 x\,dx$ 和 $\int_0^1 x^2\,dx$。

在 $[0,1]$ 上 $x \ge x^2$（因为 $x \in [0,1]$，两边同乘 $x$ 不反转符号）。被积函数处处更高，曲线下的面积必然更大：$\int_0^1 x\,dx \ge \int_0^1 x^2\,dx$。 比大小题里优先用它——把两个函数作差，看差在区间上恒正还是恒负。

方法二：积分中值定理放缩（估身高区间） (详见 2.6 节)

积分中值定理：$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$，$\xi\in[a,b]$——积分等于"区间内某点的函数值 × 区间长度"。 用它把积分"压"成"最小值 × 长度"到"最大值 × 长度"之间的一个数，上下夹住，就能放缩。

例：证明 $1 \le \int_0^1 e^{x}\,dx \le e$。在 $[0,1]$ 上 $e^{x}$ 的最小值是 $e^0=1$、最大值是 $e^1=e$，区间长度为 $1$，所以 $1\cdot 1 \le \int_0^1 e^x\,dx \le e\cdot 1$。 ⚠️ 它能给出一个"范围"，但有时范围太宽比不出大小（比如两个积分都夹在 $[0,1]$ 里就分不出高低）——这时还是用方法一。方法二的主场是证明题（详见 2.6 节"考法1：积分中值定理"）。

2.3 变限积分

题型3：变限积分问题（⚠️ 高频考点，近10年考查7次以上）

变限积分函数 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 是连接积分学和微分学的桥梁。

2.3.1 变限积分的概念

定义：$F(x) = \int_a^x f(t)dt$，上限 $x$ 在变，每给定一个 $x$，积分就有一个对应的值，所以 $F(x)$ 是 $x$ 的函数。

变限积分是微分与积分的桥梁：变限积分一头连着积分学（它是积分定义的），另一头连着微分学（它对上限求导等于被积函数）。

核心性质：

2.3.2 变限积分求导公式 ⭐牛莱推导的关键中间步骤

🏦 生活场景：想象你在银行存了一笔钱，年利率每天都在变——今天3%，明天2.8%，后天3.1%……银行给你一个账户，显示"从开户到今天为止，你一共赚了多少利息"。这个"累计利息"的读数，每天会变——它每天涨多少？答案就是：当天涨的 = 当天的利率 × 本金。 累计利息函数对时间求导，等于当天的利率函数。

这正是变限积分求导公式的生活原型：$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)dt\right) = f(x)$——"累积量函数的变化率 = 被积函数在当前点的值"。用牛莱公式那节的比喻：里程表（总路程函数）的转动速度 = 速度表读数（当前速度）。

变限积分求导公式的正式陈述：

基本公式（牛莱推导第4步的结论）： $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$

完整公式（上下限都是 $x$ 的函数）： $\frac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f[\psi(x)] \cdot \psi'(x) - f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$

读法口诀：导数 = （上限处的被积函数值 × 上限的导数）－（下限处的被积函数值 × 下限的导数）

使用条件：$f(t)$ 在被积区间上连续，$\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 可导。

🧠 完整公式是怎么推出来的？——从"最简版"一步一步加东西

第1步：最简版——上限在变、下限固定、被积函数不含 $x$

这就是牛莱公式推导第4步已经证明的结论： $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$

回顾一下证明过程（已经在 2.2.4 完整展示过）：

大白话：上限每向右挪一丁点，积分面积就增加"被积函数在上限处的值 × 挪动的距离"。面积的变化率 = 被积函数在上限处的值。

第2步：上限变成一个函数——加上链式法则

现在上限不直接是 $x$，而是 $\psi(x)$。令 $F(x) = \int_a^{\psi(x)} f(t)dt$。

这是一个复合函数：先通过 $u = \psi(x)$ 算出上限的位置，再把 $f$ 从 $a$ 积到 $u$。用链式法则：

$\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{du}\left(\int_a^u f(t)dt\right) \cdot \frac{du}{dx} = f(u) \cdot \psi'(x) = f[\psi(x)] \cdot \psi'(x)$

大白话：上限本身还在动（$\psi(x)$ 不是 $x$，而是 $x$ 的函数），所以要在 $f(x)$ 的基础上再乘以上限自己的变化速度 $\psi'(x)$。就像链式法则说的："外层导数 × 内层导数"。

🔗 类比回忆：这和复合函数求导 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 完全一样的道理——$g(x)$ 就是这里的上限 $\psi(x)$，外层的"积分"变成了内层的"求值"。

第3步：下限也在变——拆成两段，分别处理

当上下限都在变时，把积分从变动下限 $\varphi(x)$ 到变动上限 $\psi(x)$ 拆成两段，引入一个固定的中间点 $a$：

$\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = \int_{\varphi(x)}^{a} f(t)dt + \int_{a}^{\psi(x)} f(t)dt = \int_{a}^{\psi(x)} f(t)dt - \int_{a}^{\varphi(x)} f(t)dt$

（注意：$\int_{\varphi(x)}^{a} = -\int_{a}^{\varphi(x)}$）

现在两项都是"下限固定、上限在变"的形式（或者"上限固定、下限在变"），可以分别用第2步的方法求导：

$\frac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f[\psi(x)] \cdot \psi'(x) - f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$

大白话：变动上限的贡献是"正的"——上限往右挪，面积增加；变动下限的贡献是"负的"——下限往右挪，面积减少（因为积分起点右移，扫过的区域变小了）。这解释了公式里为什么是减号：下限在"吃掉"面积。

第4步：被积函数里也藏着 $x$——把它提到外面来

如果被积函数里不仅有积分变量 $t$，还有 $x$，比如 $\int_a^x x f(t)dt$ 或 $\int_a^x f(x, t)dt$。

关键认知：对 $t$ 积分时，$x$ 就是一个常量（和积分变量 $t$ 无关）。 所以可以把含 $x$ 的因子提到积分号外面，再用乘积法则（乘法求导的逆运算）求导。

例：$G(x) = \int_0^x x \cdot f(t)dt = x \cdot \int_0^x f(t)dt$

现在 $G(x)$ 是两个函数的乘积：$x$（第一个因子）乘 $\int_0^x f(t)dt$（第二个因子）。用乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$：

$G'(x) = 1 \cdot \int_0^x f(t)dt + x \cdot f(x)$

大白话：把 $x$ 从积分号里"掏出来"（因为它对积分变量 $t$ 来说是常量），然后用乘法求导法则。两条线各算各的：第一条线是对掏出来的 $x$ 求导，第二条线是对里面的积分求导——两线结果加起来。

更复杂的情况：如果 $x$ 不能完全提出来（比如 $\int_0^x f(x+t)dt$），需要用换元法把 $x$ 从被积函数里"赶"到上下限去，然后再用变限积分求导公式。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍：

变限积分求导公式的整个体系，是从一个最简结论一步步"加零件"搭出来的：

  1. 最简版（牛莱推导的第4步结论）：$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$——上限每挪一丁点，面积增加被积函数在上限处的值那么多。
  2. 加链式法则：上限不是 $x$ 而是 $\psi(x)$ → 乘上 $\psi'(x)$。本质是复合函数求导。
  3. 减下限：下限也在变 → 拆成两段分别求导，下限那段的贡献是负的（下限往右挪=积分区间变短=面积减少）。
  4. 掏 $x$：被积函数里有 $x$ → 提到积分号外面（对 $t$ 积分时 $x$ 是常量），然后用乘积法则。

最终公式的记忆口诀：上代上导减下代下导。翻译：上限代入被积函数 × 上限的导数，减去下限代入被积函数 × 下限的导数。

⚠️ 四个高频易错点

⚠️ 易错1：忘记限的导数——这是最常见的扣分点。

$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt$ ≠ $\sin(x^2)$。正确是 $\sin(x^2) \cdot 2x$。上限是 $x^2$，不是 $x$，必须乘上上限的导数 $2x$。

口诀：见到上限是"盒子"（里面还有函数），先套外面的积分求导，再乘盒子的导数。

⚠️ 易错2：下限的符号搞反。

$\frac{d}{dx}\int_x^1 f(t)dt$ = $-f(x)$，不是 $f(x)$。下限 $x$ 在"往上走"意味着积分区间在缩短，面积在减少，所以是负号。

检查方法：想一下物理意义——如果 $f(t)>0$，$x$ 增大时 $\int_x^1 f(t)dt$（从 $x$ 到 $1$ 的面积）确实在变小，所以导数为负才对。

⚠️ 易错3：$x$ 藏在被积函数里却没提出来。

$\frac{d}{dx}\int_0^x (x-t)f(t)dt$ ——不能直接套公式！因为被积函数里有 $x$。正确做法：展开为 $x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x tf(t)dt$，然后分别求导。

⚠️ 易错4：必须先确认 $f(t)$ 在积分区间上连续，否则公式不成立。

如果 $f(t)$ 在 $[a,x]$ 上有跳跃间断点，变限积分 $\int_a^x f(t)dt$ 在间断点处只是连续但不可导（出现尖点）。此时套用 $F'(x)=f(x)$ 会出错。

🛑 停下来想一想：$\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{\sin t}{t}dt$ 等于多少？先别往下看，自己写出来——上限是 $x^2$，下限是 $x$，代入完整公式。然后检查：符号对吗？限的导数乘了吗？

变限积分求导公式在知识链条中的位置：

上游依赖 本公式 下游应用
牛莱公式的推导（2.2.4第4步） 含变限积分的极限题（$\frac{0}{0}$ 型用洛必达消积分号）
复合函数链式法则 ← 变限积分求导 → 变限积分函数的性态分析（单调性、极值——求导后看 $f(x)$ 的正负）
乘积求导法则 含变限积分的方程（两边求导消掉积分号）

这个公式是连接"定积分"和"微分学工具"的桥梁——有了它，带积分号的极限可以用洛必达消掉，带积分号的方程可以两边求导，变成含 $f$ 和 $f'$ 的等式（这类等式第4章会给它起名叫"微分方程"，现在先知道有这个说法即可），变限积分函数的单调性和极值也可以像普通函数一样分析。考研中变限积分求导后面几乎总是跟着洛必达或者单调性判别，要形成条件反射。

考法1：变限积分的求导

核心公式（必须熟练掌握）： $\frac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f[\psi(x)]\cdot\psi'(x) - f[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)$

特殊情况：

例题：

例26：设 $F(x) = \int_0^{x^2} \sin t\,dt$，求 $F'(x)$。

解：$F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^2)$

例27：设 $F(x) = \int_0^x (x-t)f(t)dt$，求 $F'(x)$。

解：先拆开：$F(x) = x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x tf(t)dt$。 $F'(x) = \int_0^x f(t)dt + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t)dt$，$F''(x) = f(x)$。

翻车现场：

看到 $F(x)=\int_0^x x\sin(t^2)dt$，直接用变限求导公式得到 $F'(x)=x\sin(x^2)$——漏了一项。

题37 ⭐ 基本型：设 $F(x) = \int_{\sin x}^{x^2} \cos(t^2)\,dt$，求 $F'(x)$。

点击查看答案

$F'(x) = 2x\cos(x^4) - \cos x \cdot \cos(\sin^2 x)$

思路：直接套变限求导公式，$\psi(x)=x^2$，$\varphi(x)=\sin x$。

题38 ⭐⭐ 被积函数中含 $x$：设 $F(x) = \int_0^x x\sin(t^2)\,dt$，求 $F'(x)$。

点击查看答案

$F'(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt + x\sin(x^2)$

思路：先把 $x$ 提到积分号外：$F(x) = x\int_0^x \sin(t^2)\,dt$，再用乘积法则求导。

题39 ⭐⭐⭐ 求高阶导数：设 $f(t)$ 连续，$F(x) = \int_0^x (x-t)^2 f(t)\,dt$，求 $F'''(x)$。

点击查看答案

$F'''(x) = 2f(x)$

思路：展开 $(x-t)^2 = x^2-2xt+t^2$，把含 $x$ 的因子提出来，逐项求导三次。

考法2：含变限积分的极限

识别特征：极限表达式中有积分号，通常是 $\frac{0}{0}$ 型。

步骤：

  1. 验证极限类型（上下限相同时积分为零）
  2. 洛必达法则（分子用变限积分求导公式）
  3. 如仍为未定式，继续洛必达或结合等价无穷小替换

例题：

例28：求 $\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2\,dt}{x^3}$

解：$\frac{0}{0}$ 型。洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$

例29：求 $\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x (e^{t^2}-1)dt}{x^3}$

解：$\frac{0}{0}$ 型。洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-1}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$

题40 ⭐⭐ 一次洛必达：求 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\int_0^{x^2} (1-\cos t)\,dt}{x^6}$

点击查看答案

$\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^{x^2} (1-\cos t)\,dt}{x^6} = \frac{1}{6}$

思路：$\frac00$ 型，洛必达后 $\frac{2x(1-\cos x^2)}{6x^5} = \frac{1-\cos x^2}{3x^4} \sim \frac{x^4/2}{3x^4} = \frac16$。

题41 ⭐⭐⭐ 多次洛必达：求 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x (e^t - 1 - t)\,dt}{x^3}$

点击查看答案

$\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x (e^t - 1 - t)\,dt}{x^3} = \frac{1}{6}$

思路：洛必达三次：$\frac{e^x-1-x}{3x^2} \to \frac{e^x-1}{6x} \to \frac{e^x}{6} = \frac16$。

考法3：含变限积分的方程

识别特征：方程中含 $\int_a^x f(t)dt$，求 $f(x)$。

步骤：

  1. 两边对 $x$ 求导，消去积分号
  2. 得到一个"含 $f$ 和 $f'$"的等式（第4章会给这类等式起名，叫微分方程——这里先不管名字，直接看下一步怎么解）
  3. 用凑导数解出 $f(x)$（具体动作见下面例30，本质就是本章学过的"乘积求导倒着用"：乘一个配平因子，把左边凑成某个函数的导数）
  4. 用原方程中令 $x$ 取特殊值确定积分常数

例题：

例30：已知 $f(x)$ 连续，满足 $\int_0^x tf(t)dt = x^2 + f(x)$，求 $f(x)$。

解：两边求导：$xf(x) = 2x + f'(x)$，即 $f'(x) - xf(x) = -2x$。 令原方程 $x=0$ 得 $f(0)=0$。 接下来解 $f'(x) - xf(x) = -2x$——关键一步是凑导数：先验证 $(f(x)e^{-x^2/2})' = e^{-x^2/2}(f'(x) - xf(x))$（乘积求导：前导后不导 + 前不导后导，中间那个 $-x$ 正好来自 $e^{-x^2/2}$ 的导数）。于是两边同乘配平因子 $e^{-x^2/2}$，左边就凑成了一个函数的导数： $\left(f(x)e^{-x^2/2}\right)' = -2x\,e^{-x^2/2}$ 两边积分（右边用凑微分）：$f(x)e^{-x^2/2} = \int(-2x)e^{-x^2/2}\,dx = 2e^{-x^2/2} + C$ 所以 $f(x) = 2 + Ce^{x^2/2}$。由 $f(0)=0$ 得 $2+C=0$，$C=-2$，故 $f(x) = 2 - 2e^{x^2/2}$。

名师方法（毛纲源）：拿到变限积分方程，第一反应必须是"两边对 $x$ 求导"，然后检查原方程能否确定初始条件。

题42 ⭐⭐⭐ 设 $f(x)$ 连续，且 $\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = \frac{x^3}{6}$，求 $f(x)$。

点击查看答案

$f(x) = x$

思路：先展开提出 $x$：$x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x tf(t)dt = \frac{x^3}{6}$。两边求导得 $\int_0^x f(t)dt = \frac{x^2}{2}$，再求导得 $f(x)=x$。

2.3.3 变限积分的奇偶性与周期性

奇偶性：

这组结论从哪来？——直接硬算 $F(-x)$ 就行，关键在管好换限和负号。

记 $F(x)=\int_0^xf(t)dt$。要判断 $F$ 的奇偶性，只需算 $F(-x)$。令 $t=-s$，则 $dt=-ds$；换限 $t=0\to s=0$、$t=-x\to s=x$。代入： $F(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt=\int_0^{x}f(-s)(-ds)=-\int_0^x f(-s)\,ds$ 现在看 $f(-s)$ 与 $f(s)$ 的关系：

📝 容易手滑的地方：$F(-x)$ 里 $t=-s$ 这个代换会带来"一个负号（来自 $dt=-ds$）"，这很关键。你要是忘了这个负号，就会得出"奇函数积分还是奇函数"的错结论。凡涉及换限，先把 $dt$ 的负号和上下限对调一起处理掉，再下结论。

这个结论也能从 2.2.6 对称性公式"看"出来：偶函数在对称区间积分折半，正是 $\int_0^x$ 关于 $x$ 是偶的几何体现。两边印证，结论就稳了。

变限积分与间断点：

考法4：变限积分函数的性态讨论

识别特征：讨论 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 的单调性、极值、凹凸性等。

方法：

关键结论：

例题：

例31：设 $f(x)$ 连续，$F(x) = \int_0^x (x-2t)f(t)dt$。证明：若 $f$ 单调递减，则 $F$ 单调递增。

证明：$F'(x) = \int_0^x f(t)dt - xf(x)$。由积分中值定理：$\int_0^x f(t)dt = xf(\xi)$，$\xi \in (0,x)$。 $F'(x) = x[f(\xi)-f(x)]$。$f$ 递减 $\Rightarrow$ $f(\xi) \ge f(x)$（当 $x>0$）或 $f(\xi) \le f(x)$（当 $x<0$），总之 $F'(x) \ge 0$。得证。

题43 ⭐⭐ 单调性与极值：设 $F(x) = \int_0^x (t^2 - 1)e^{-t}\,dt$，讨论 $F(x)$ 的单调区间与极值。

点击查看答案

思路：$F'(x) = (x^2-1)e^{-x}$，$e^{-x}>0$ 恒成立，符号由 $x^2-1$ 决定。

题44 ⭐⭐⭐ 奇偶性与渐近线：设 $F(x) = \int_0^x t e^{-t^2}\,dt$，讨论 $F(x)$ 的奇偶性、单调性、凹凸性、拐点及水平渐近线。

点击查看答案

思路：直接积出 $F(x) = \frac12(1-e^{-x^2})$，逐一分析。

🛑 停下来想一想：变限积分求导公式你记住了吗？如果上限是 $x^2$、下限是 $\sin x$，被积函数里还藏着一个 $x$——先做什么？拿一道 $\int_0^x t f(x^2-t^2)dt$ 试试自己能不能反应过来。

2.4 反常积分

题型4：反常积分

2.4.1 反常积分的概念与分类

正常定积分要求"积分区间有限"且"被积函数有界"——有一个不满足就是反常积分。

两种类型：

类型 反常在哪 例子
无穷积分 积分区间伸到无穷远 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx$
瑕积分 被积函数在某点趋于无穷 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

注意：拿到定积分先查分母有无为零的点（瑕点）！如有，按反常积分处理。

2.4.2 无穷积分收敛判别

先看这里——这一节在问什么问题？

反常积分，说白了就是算面积算到无穷远。普通定积分是算一块有限的面积（比如 x=1 到 x=3 之间）；无穷积分是 x 一直往右走到天边，问这块"无限长的面积"到底是多少。

怎么判断？拿最好算的 1/xp 当"尺子"来比。先看直观图：

1/x 与 1/x² 的无穷面积对比 左边 1/x 曲线下方的面积延伸到无穷远收不住，是发散；右边 1/x² 曲线下方面积很快变薄，总面积是有限的，是收敛。 y = 1/x　面积永远收不住 → 发散 x=1 x=6 → +∞ 1 y = 1/x²　面积很快变薄 → 收敛 x=1 x=6 → +∞ 1 左边红线：曲线下降太慢，面积怎么也算不完 → 发散（p=1，恰好收不住） 右边绿线：曲线下降飞快，越往后越薄，总面积是个有限的数 → 收敛（p=2＞1）

左边红色 y=1/x：曲线下降太慢，像慢悠悠散步走远的人，面积怎么也算不完 → 发散。右边绿色 y=1/x²：下降飞快，像百米冲刺，两步缩成小点，总面积是个有限的数 → 收敛。

所以 p 是"衰减档位"：p 越大，下降越猛，面积越容易收住。p=1（也就是 1/x）是分界线，刚好收不住。记住一句话：无穷远处，p>1 收得住，p≤1 收不住。

标尺： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx \quad \text{收敛} \iff p > 1 \quad \text{；发散} \iff p \le 1$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p}dx \quad \text{收敛} \iff p > 1 \quad \text{；发散} \iff p \le 1$

📐 这把标尺怎么来的？——亲手推导一遍（建议先自己算再点开）

不要背结论，按反常积分的定义一步步算：先写成极限，再求原函数，再代端点看走向。

第1步 写成极限（反常积分的定义）：

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx = \lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-p}\,dx$$

第2步 求原函数（幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$，注意 $n=-1$ 时分母为0，要单独处理）：

第3步 代上下限：

① $p=1$：$\int_1^b\frac{1}{x}dx = [\ln x]_1^b = \ln b - \ln 1 = \ln b$，而 $b\to+\infty$ 时 $\ln b\to+\infty$ → 发散。

② $p\ne1$：$\int_1^b x^{-p}dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b = \frac{b^{1-p}-1}{1-p}$（注意 $1^{1-p}=1$）。

第4步 让 $b\to+\infty$，看 $b^{1-p}$ 的走向：

结论：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $\iff p>1$，且收敛时积分值 $=\frac{1}{p-1}$。

数字验证：取 $p=2$，$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx = \frac{1}{2-1}=1$。心算核对：$\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac1x$，$\int_1^b = 1-\frac1b \to 1$ ✓

🤔 为什么是"乘 $x^p$"？——找一把"同阶"的尺子。

我们已经背熟：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 在 $p>1$ 时收敛。但这把尺子只能量 $\frac{1}{x^p}$ 这种幂函数，考试给的往往是陌生的函数。思路是：把陌生函数 $f(x)$ 拿来和某个 $\frac{1}{x^p}$ 比重量——看 $x\to+\infty$ 时比值 $\frac{f(x)}{1/x^p} = x^p f(x)$ 是否趋于一个"有限、不等于0"的数。

为什么这招管用？如果 $x^p f(x) \to L$（$0<L<+\infty$），说明 $f(x)$ 和 $\frac{1}{x^p}$ 在无穷远处"差不多大"（数学上叫同阶）——就像两个人身高差不多，站上天平结果也差不多。既然 $\frac{1}{x^p}$ 的积分收不收敛只由 $p$ 决定，$f(x)$ 的积分就由这个 $p$ 决定。若比值趋于 $0$，说明 $f(x)$ 比 $\frac{1}{x^p}$ 更瘦，更保险；若比值趋于 $+\infty$，说明 $f(x)$ 更胖，需要更大的 $p$ 才压得住。

怎么选 $p$？——看被积函数里 $x$ 的最高次幂。 把分子、分母里"最有统治力"的项拎出来比：

配一个陌生例子练手：判断 $\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x^2+5x+1}\,dx$ 的敛散性。

比较判别法的极限形式（无穷积分版）： 若 $\lim_{x\to +\infty} x^p f(x) = L$（$0 \le L < +\infty$），且 $p > 1$ → 收敛 若 $\lim_{x\to +\infty} x^p f(x) = L$（$0 < L \le +\infty$），且 $p \le 1$ → 发散

考法1：无穷区间反常积分的敛散性判断

标尺：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $\iff p > 1$；$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p}dx$ 收敛 $\iff p > 1$。

比较判别法极限形式：若 $\lim_{x\to +\infty} x^p f(x) = L$（$0 \le L < +\infty$），且 $p > 1$ → 收敛；若 $p \le 1$且 $0 < L \le +\infty$ → 发散。

例题：

例32：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{x}{1+x^3} dx$ 的敛散性。

解：$x\to +\infty$ 时 $\frac{x}{1+x^3} \sim \frac{1}{x^2}$。$p=2>1$，收敛。

题45 ⭐ 判断 $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2}\,dx$ 的敛散性。

点击查看答案

收敛。$0 < \frac{\arctan x}{x^2} < \frac{\pi/2}{x^2}$，$\int_1^{+\infty} \frac{\pi/2}{x^2}dx$ 收敛（$p=2>1$），由比较判别法知原积分收敛。

题46 ⭐⭐ 判断 $\displaystyle \int_1^{+\infty} \big(e^{1/x} - 1\big)\,dx$ 的敛散性。

点击查看答案

发散。$x\to+\infty$ 时 $e^{1/x}-1 \sim \frac1x$，$\int_1^{+\infty} \frac1x dx$ 发散（$p=1$）。

2.4.3 瑕积分收敛判别

标尺： $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx \quad \text{收敛} \iff p < 1 \quad \text{；发散} \iff p \ge 1$

📐 这把标尺怎么来的？——同样四步，方向反过来

瑕点在 $x=0$，所以从 $\varepsilon$ 算到 $1$，再让 $\varepsilon\to0^+$。前三步和无穷积分完全一样，只有最后"代端点"的方向不同。

第1步 写成极限：

$$\int_0^1\frac{1}{x^p}dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-p}\,dx$$

第2步 求原函数：和上面一模一样（同一个被积函数）：$p\ne1$ 时 $\int x^{-p}dx=\frac{x^{1-p}}{1-p}$；$p=1$ 时 $\int\frac1x dx=\ln x$。

第3步 代上下限：

① $p=1$：$\int_\varepsilon^1\frac{1}{x}dx = [\ln x]_\varepsilon^1 = \ln 1 - \ln\varepsilon = -\ln\varepsilon$，而 $\varepsilon\to0^+$ 时 $-\ln\varepsilon\to+\infty$ → 发散。

② $p\ne1$：$\int_\varepsilon^1 x^{-p}dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_\varepsilon^1 = \frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}$。

第4步 让 $\varepsilon\to0^+$，看 $\varepsilon^{1-p}$ 的走向：

结论：$\int_0^1\frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $\iff p<1$，且收敛时积分值 $=\frac{1}{1-p}$。

数字验证：取 $p=\frac12$，$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \frac{1}{1-\frac12}=2$。心算核对：$x^{-1/2}$ 的原函数是 $2\sqrt{x}$，$\int_0^1 = 2-0 = 2$ ✓

为什么瑕积分这里变成了 $p<1$？——先亲自动手算一遍 $\int_0^1\frac1{x^p}dx$。

和无穷积分一样，不要背结论，直接算：把 $\frac1{x^p}$ 的原函数写出来，代入端点看极限。

为什么和无穷积分的结论反过来了？ 因为两个端点的"脾气"相反：

一句话记忆：无穷远处要"衰减得快"，原点处要"爆炸得轻"——两端各有一把标尺，方向正好相反。

比较判别法的极限形式（瑕积分版）： 若 $\lim_{x\to a^+} (x-a)^p f(x) = L$（$0 \le L < +\infty$），且 $p < 1$ → 收敛 若 $\lim_{x\to a^+} (x-a)^p f(x) = L$（$0 < L \le +\infty$），且 $p \ge 1$ → 发散

与无穷积分的对比：

无穷积分 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 瑕积分 $\int_0^1\frac{1}{x^p}dx$
收敛条件 $p > 1$（衰减够快） $p < 1$（炸得够轻）
$p=1$ 发散 发散
$p=2$ 收敛 发散
$p=\frac{1}{2}$ 发散 收敛

前提：比较判别法适用于非负被积函数。变号函数先看是否绝对收敛。

考法2：无界函数反常积分（瑕积分）的敛散性判断

第一步必须先找出瑕点：分母为零的点、$\ln x$ 在 $x=0$ 处等。

标尺：$\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $\iff p < 1$。

比较判别法（瑕积分版）：若 $\lim_{x\to a^+} (x-a)^p f(x) = L$（$0 \le L < +\infty$），且 $p < 1$ → 收敛；若 $p \ge 1$ 且 $0 < L \le +\infty$ → 发散。

例题：

例33：判断 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$ 的敛散性。

解：$x=0$ 是瑕点。取 $\varepsilon=\frac{1}{4}$，$|\ln x| < x^{-1/4}$，则 $\left|\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right| < \frac{1}{x^{3/4}}$。$p=\frac{3}{4}<1$，收敛。

题47 ⭐ 判断 $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}\,(1+x^2)}\,dx$ 的敛散性。

点击查看答案

收敛。$x=0$ 是瑕点。$x\to0^+$ 时 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}(1+x^2)} \sim \frac{1}{x^{1/3}}$，$p=\frac13<1$。

题48 ⭐⭐ 判断 $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}\,\sqrt{1-x}}\,dx$ 的敛散性。

点击查看答案

收敛。$x=0$ 和 $x=1$ 都是瑕点。拆分为 $\int_0^{1/2} + \int_{1/2}^1$，两段均收敛。

考法3：反常积分的计算

步骤：

  1. 识别反常积分类型（无穷区间/瑕积分/混合）
  2. 若有多个瑕点需拆分区间
  3. 写成极限：$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b\to +\infty} \int_a^b f(x)dx$
  4. 先算定积分，再求极限

例题：

例34（无穷区间）：计算 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{e^x + e^{2-x}}$

解：被积函数里同时有 $e^x$ 和 $e^{-x}$（藏在 $e^{2-x}$ 里），用 $u = e^x$ 换元能一举消掉两个指数。

第1步：识别类型并写成极限形式。 上限是 $+\infty$，属于无穷区间反常积分，先把积分号改写成极限： $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{e^x+e^{2-x}} = \lim_{B\to+\infty}\int_1^B\frac{dx}{e^x+e^{2-x}}$

第2步：换元 $u = e^x$。 则 $x = \ln u$，$dx = \frac{du}{u}$；换上下限：$x=1 \to u=e$，$x=B \to u=e^B$。 分母变成 $e^x + e^{2-x} = u + \frac{e^2}{u} = \frac{u^2+e^2}{u}$，于是 $\frac{dx}{e^x+e^{2-x}} = \frac{du/u}{(u^2+e^2)/u} = \frac{du}{u^2+e^2}$

这一步在想什么：$e^{2-x} = \frac{e^2}{e^x} = \frac{e^2}{u}$——两个指数合并成一个有理式，换元"一举两得"。分母只剩 $u^2 + e^2$，这正是 $\arctan$ 的招牌结构（"$u^2 + \text{常数}^2$"）。

第3步：求原函数。 用公式 $\int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a}$（这里 $a=e$）： $\int\frac{du}{u^2+e^2} = \frac1e\arctan\frac{u}{e}$

第4步：代回上下限、取极限。 $\lim_{B\to+\infty}\left[\frac1e\arctan\frac{u}{e}\right]_e^{e^B} = \frac1e\lim_{B\to+\infty}\left(\arctan\frac{e^B}{e} - \arctan\frac{e}{e}\right) = \frac1e\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4e}$

这一步在想什么：$B\to+\infty$ 时 $\frac{e^B}{e}\to+\infty$，而 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$；下限处 $\frac{e}{e}=1$，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。两数一减，答案 $\frac{\pi}{4e}$。整个流程就是"识别类型→写成极限→换元→求原函数→取极限"。

例35（瑕积分）：计算 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$

解：$x=0$ 和 $x=1$ 都是瑕点（分母为零、函数趋于无穷），两头都要用极限处理。

第1步：写成极限形式。 左端瑕点 $0$ 和右端瑕点 $1$ 一起处理： $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$

第2步：配方。 $x(1-x) = x - x^2 = -\left(x^2 - x\right) = \frac14 - \left(x-\frac12\right)^2$ 所以分母 $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\frac14 - (x-\frac12)^2}$——形如 $\sqrt{a^2-u^2}$，正是三角代换 $\sin$ 的招牌结构（$a=\frac12$，$u=x-\frac12$）。

第3步：三角代换。 令 $x - \frac12 = \frac12\sin t$，则 $dx = \frac12\cos t\,dt$。 换上下限：$x=0 \Rightarrow \sin t=-1 \Rightarrow t=-\frac{\pi}{2}$；$x=1 \Rightarrow \sin t=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$（极限里 $\varepsilon\to0^+$ 时，积分端点正是趋向这两个 $t$ 值）。 分母 $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\frac14 - \frac14\sin^2 t} = \frac12\cos t$（在 $t\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ 上 $\cos t \ge 0$，根号直接开出）。 于是 $\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \frac{\frac12\cos t\,dt}{\frac12\cos t} = dt$——被积函数干净得只剩 $dt$！

第4步：取极限、出结果。 $\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}dt = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$

📝 复盘大白话：这道题妙在代换之后被积函数变成常数 $1$——两个瑕点处"爆炸"的风险被三角代换悄悄消掉了。整个流程：识别瑕点→写成极限→配方找三角结构→代换消掉根号→取极限。以后看到分母是 $\sqrt{\text{二次式}}$ 的倒数，先想"配方 + 三角代换"。

翻车现场：

看到 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 脱口而出"p>1收敛"——但在无界函数反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$ 里，结论恰好相反！

题49 ⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}\sin x\,dx$

点击查看答案

$\int_0^{+\infty} e^{-x}\sin x\,dx = \frac{1}{2}$

思路：写成 $\lim_{b\to+\infty} \int_0^b e^{-x}\sin x\,dx$，分部积分（循环积分型）后求极限。

题50 ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx$

点击查看答案

$\int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx = \frac{\pi}{2}$

思路：$x=1$ 是瑕点。令 $x = \sin^2 t$，$dx = 2\sin t\cos t\,dt$，化为 $2\int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$。

🛑 停下来想一想：无穷区间反常积分（$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$）和瑕积分（$\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$）的收敛条件恰好相反——一个要 $p>1$，一个要 $p<1$。你能用自己的话说清楚"为什么恰好相反"吗？说不清楚就回去再看一眼标尺。

2.5 定积分的应用

题型5：定积分的应用（数学三重点 ⭐）

2.5.1 求面积

直角坐标： $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx$ 先解 $f(x)=g(x)$ 求交点确定区间，再判断每段谁上谁下。

极坐标： $S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$

极坐标面积公式从哪来？——把"扇形"当基本单元，一片片累加。

极坐标里曲线的"地盘"是从极点射出去的。把角度 $[\alpha,\beta]$ 切成 $n$ 个微小角片，第 $\theta$ 处的那个小角片近似是一个扇形——半径为 $r(\theta)$、圆心角 $d\theta$。扇形的面积公式是 $\frac12r^2\theta$（$\frac12\times$ 半径² $\times$ 圆心角），所以这一小片面积 ≈ $\frac12 r(\theta)^2\,d\theta$。把所有小扇形面积加起来（积分），就是整块区域的面积： $S=\int_\alpha^\beta\frac12 r(\theta)^2d\theta$ 一句话：极坐标面积 = 把"小扇形"（半径 $r(\theta)$）沿角度一片片摞起来。 那 $\frac12$ 来自扇形面积公式本身，不是人为加的。

考法1：求平面图形面积

直角坐标下

公式：$S = \int_a^b |f(x)-g(x)|dx$

步骤：

  1. 画出草图，确定谁在上、谁在下
  2. 求交点，确定积分区间
  3. 若上下关系在区间内变化，分段积分
  4. 用"上减下"写出积分式
极坐标下

公式：$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$

例题：

例36：求 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 围成的图形面积。

解：交点 $x=0,1$。在 $[0,1]$ 上 $\sqrt{x} \ge x^2$。 $S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dx = \frac{1}{3}$

例37：求心形线 $r = a(1+\cos\theta)$ 围成的面积。

解：$S = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2 d\theta = \frac{3}{2}\pi a^2$

翻车现场：

拿到两条曲线围成的图形，不画图不判断上下关系，直接写 $\int_a^b [f(x)-g(x)]dx$——结果算出负数，取个绝对值就当答案了。

题51 ⭐⭐ 中等：求由抛物线 $y = 2 - x^2$ 与直线 $y = x$ 所围成的平面图形的面积。

点击查看答案

$S = \int_{-2}^{1} [(2-x^2) - x]\,dx = \frac{9}{2}$

思路：交点 $x=-2,1$。在 $[-2,1]$ 上抛物线在上、直线在下。"上减下"求积分。

题52 ⭐⭐⭐ 较难：求双纽线 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$（$a > 0$）所围成的平面图形的总面积。

点击查看答案

$S_{\text{总}} = a^2$

思路：极坐标，利用对称性，算第一象限再乘4。$S = 4 \times \frac12 \int_0^{\pi/4} a^2\cos 2\theta\,d\theta = a^2$。

2.5.2 求旋转体体积

绕 $x$ 轴旋转： $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$

绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）： $V = 2\pi\int_a^b x f(x)dx$

绕 $x$ 轴体积公式是怎么"长"出来的？——把旋转体切成薄圆片。

曲线绕 $x$ 轴转一圈，得到一根"萝卜"。把它沿 $x$ 轴切成 $n$ 片超薄圆片，第 $x$ 处那一片的半径正好是曲线的高度 $f(x)$，所以它的体积 = 圆片底面积 × 厚度 = $\pi f(x)^2\cdot dx$。把每片的体积加在一起（积分），就是整根萝卜的体积： $V=\int_a^b\pi f(x)^2dx$ 一句话：旋转体体积 = 把"薄圆片"（半径 $f(x)$）沿轴一片片摞起来。 只要抓住"切出的每一片是圆片"，公式就是现成的。

绕 $y$ 轴（柱壳法）又是什么？——换一种切法：切成一个个"空心圆柱壳"。

绕 $y$ 轴转，如果还用"圆片"，切片会很难看（圆片的半径不再简单）。换个思路：沿 $x$ 方向把图形切成一条条竖条，每条绕着 $y$ 轴转，就转出一个空心圆柱壳（像一根根管道）。位于 $x$ 处、厚度 $dx$ 的那条竖条，高度是 $f(x)$，绕轴一圈的半径是 $x$——把它"展开"就是一个长方体：长（圆周长）$2\pi x$、高 $f(x)$、厚 $dx$。体积 = $2\pi x\cdot f(x)\cdot dx$。加总： $V=\int_a^b 2\pi x f(x)dx$ 柱壳法 = 圆周长 × 高度 × 厚度，把"管道"一根根摞起来。 绕哪根轴转、就用垂直于那根轴的方向去切，这是选"圆片法"还是"柱壳法"的诀窍。

考法2：求旋转体体积

绕 $x$ 轴：$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$

绕 $y$ 轴（柱壳法）：$V = 2\pi\int_a^b x f(x)dx$

例题：

例38：求 $y=\sin x$（$0\le x\le\pi$）绕 $x$ 轴旋转所得体积。

解：$V = \pi\int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}$

题53 ⭐⭐ 中等：求由曲线 $y = e^x$、$x=0$、$x=1$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转的体积。

点击查看答案

$V = \pi\int_0^1 e^{2x}dx = \frac{\pi}{2}(e^{2} - 1)$

思路：绕 $x$ 轴，圆盘法。

题54 ⭐⭐⭐ 较难：求由 $y = x^2$、$x=2$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转的体积（分别用柱壳法和圆盘法）。

点击查看答案

$V = 8\pi$

柱壳法：$V = 2\pi\int_0^2 x \cdot x^2\,dx = 2\pi\int_0^2 x^3dx = 8\pi$ 圆盘法：$V = \pi\int_0^4 (2^2 - (\sqrt{y})^2)dy = \pi\int_0^4 (4-y)dy = 8\pi$

2.5.3 函数平均值

🌡️ 生活场景：七月的天气，一天里温度忽高忽低——早上20度、中午35度、晚上28度。问你"这一天的平均温度是多少"，直觉是"把每个时刻的温度加起来，除以时刻的个数"。但如果温度是连续变化的曲线（每一刻都有读数），"时刻的个数"是无穷多个，没法直接加。怎么办？用定积分把"总量"算出来，再除以"时长"——这就是函数平均值。

公式：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值记为 $\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$

一句话记法：平均值 = 总量 ÷ 区间长度。分子 $\int_a^b f(x)dx$ 是"整段的总累积量"（曲边梯形的面积），分母 $b-a$ 是"区间长度"（底边宽），一除就是"平均每单位长度分到的量"——好比把一块曲边梯形"摊平"成等面积的长方形，这个长方形的高度就是平均值。

🧠 这个公式哪来的？——它就是积分中值定理"反过来念"。

第1步：借用积分中值定理（见 2.6 节，此处先用结论）。 $f$ 连续时，存在 $\xi \in [a,b]$ 使 $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$。两边同除以 $(b-a)$： $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = f(\xi)$

这一步在想什么：等号左边正是"平均值"，右边是"曲线上某个点的高度"。翻译成大白话——连续曲线的平均值，一定等于曲线上某个点的实际高度（曲线不"跳"，总有一个点正好踩在平均值上）。

第2步：结论。 所以"求平均值"根本不用去数无穷多个点的值再求平均——直接把总面积除以区间长度，一步到位。

例题：

例：求 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值。

解： $\bar{f} = \frac{1}{\pi - 0}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\left[-\cos x\right]_0^\pi = \frac{1}{\pi}\left(1 + 1\right) = \frac{2}{\pi}$

大白话：$\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上拱起一座"小山"，最高到1、最低到0。总面积（$\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$）除以区间长度 $\pi$，平均高度 $\frac{2}{\pi} \approx 0.64$——比半山腰（0.5）略高，因为山顶"胖"、山脚"瘦"，合理。

⚠️ 两个易错点：

⚠️ 易错1：忘了除以 $b-a$。 只算 $\int_a^b f(x)dx$ 得到的是"总量"，不是平均值——就像"七月的总积温"不等于"平均气温"。分母 $b-a$ 是考试最爱的坑，写完公式先检查有没有这个除法。

⚠️ 易错2：和积分中值定理混用。 积分中值定理回答"存不存在一个点等于平均值"（存在性，证明题用）；函数平均值回答"平均值具体等于几"（计算题用）。两者公式长得一样、用途相反，别拿错。

💡 考研怎么考：数学三中"函数平均值"通常以填空、选择出现，考的就是"套公式 + 牛莱公式算定积分"这一下，难度不高，是送分题。背熟公式、别丢分母，就能拿稳。

考法3：函数平均值

公式：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值 $\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$

识别特征：题目中出现"平均值""平均高度""平均温度""平均变化量"等字样——尤其当一个量连续变化（温度、速度、电流、收益速率）时，问它在某个区间上的平均值。

步骤：

  1. 写出平均值公式——别忘了除 $b-a$
  2. 用牛莱公式（配合换元/分部）算定积分
  3. 除以区间长度，得平均值

例题：求函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 上的平均值。

解： $\bar{f} = \frac{1}{4}\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

练习：求函数 $f(x) = e^x$ 在 $[0,1]$ 上的平均值。

点击查看答案

$\bar{f} = \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e - 1$

思路：平均值 = 总量 ÷ 区间长度。$\int_0^1 e^xdx = e-1$，区间长度 $=1$，平均值就是 $e-1$。

翻车现场：

算出 $\int_a^b f(x)dx$ 就直接当平均值交卷——忘了除以 $b-a$。

2.5.4 经济应用（数三专有）

已知 要求 公式
边际成本 $C'(x)$，固定成本 $C_0$ 总成本 $C(x)$ $C(x) = C_0 + \int_0^x C'(t)dt$
边际收益 $R'(x)$ 总收益 $R(x)$ $R(x) = \int_0^x R'(t)dt$（$R(0)=0$）
边际利润 $L'(x) = R'(x)-C'(x)$ 最大利润时的产量 令 $L'(x)=0$，验证 $L''<0$
收益流 $R(t)$，连续复利 $r$ 现值 $PV = \int_0^T R(t)e^{-rt}dt$

利润最大化条件：边际收益 = 边际成本（$R'(x) = C'(x)$）

为什么"边际积回去就是总量"？——边际本来就是导数，牛莱公式倒着用。

所谓"边际成本 $C'(Q)$"，就是"多生产一件多花多少钱"——它是总成本函数 $C(Q)$ 的导数。而"从产量 0 到产量 $Q$ 的总成本"正是牛莱公式： $\int_0^Q C'(t)dt=C(Q)-C(0)$ 其中 $C(0)$ 就是"一件都没生产也要付的钱"——固定成本 $C_0$。移项得 $C(Q)=C_0+\int_0^Q C'(t)dt$。同理，$R(0)=0$（没卖东西收益为零），所以 $R(Q)=\int_0^Q R'(t)dt$。

一句话：总量 = 固定起点 + 把每一小段的边际加总。 这跟第一章"速度积回去是路程"是同一个道理——边际是变化率，积回去就是累积量。经济题只是把 $v(t)$ 改名叫"边际"、把"路程"改名叫"总成本/总收益"而已，数学一点没变。

考法4：经济应用（数学三特有 ⭐⭐⭐）

本质是用定积分从"边际"反推"总量"。

4A. 已知边际函数求总量函数

$C(Q) = C_0 + \int_0^Q C'(t)dt \qquad R(Q) = \int_0^Q R'(t)dt$

区间增量：$\Delta = \int_a^b \text{边际函数}\,dx$

例题：

例39：已知边际成本 $C'(Q)=5+\frac{25}{\sqrt{Q}}$，固定成本 $C_0=100$。求总成本函数和产量从64增加到100时的增加成本。

解： $C(Q) = 100 + \int_0^Q (5+\frac{25}{\sqrt{t}})dt = 100 + 5Q + 50\sqrt{Q}$ $\Delta C = \int_{64}^{100} (5+\frac{25}{\sqrt{Q}})dQ = 280$

4B. 利润最大化问题

令 $L'(x) = R'(x) - C'(x) = 0$（边际收益 = 边际成本），验证 $L''<0$。

例题：

例40：已知 $R'(x)=7-x$，$C'(x)=3+\frac{1}{3}x$，固定成本 $1$ 万元。求最大利润时的产量和最大利润。

解：$L'(x)=4-\frac{4x}{3}=0 \Rightarrow x=3$（百台）。$L(3)=5$（万元）。

4C. 收益流的现值

$PV = \int_0^T R(t)e^{-rt}dt$

例题：

例41：某设备 $t$ 时刻收益速率 $R(t)=100-2t$（万元/年），连续复利 $5\%$，求未来10年收益流的现值。

解：$PV = \int_0^{10} (100-2t)e^{-0.05t}dt$，用分部积分计算。

题55 ⭐ 基础：已知边际成本 $C'(Q) = 6Q + 4$，固定成本 $C_0 = 80$ 万元。求总成本函数和生产10件时的总成本。

点击查看答案

$C(Q) = 80 + 3Q^2 + 4Q, \qquad C(10) = 420 \text{（万元）}$

思路：$C(Q) = C_0 + \int_0^Q (6t+4)dt = 80 + 3Q^2 + 4Q$。

题56 ⭐⭐ 中等：已知边际收益 $R'(Q) = 30 - 2Q$。求销售量从5增加到12时的收益增量，以及总收益函数。

点击查看答案

$\Delta R = \int_5^{12} (30-2Q)dQ = 91 \text{（万元）}, \quad R(Q) = 30Q - Q^2$

思路：区间增量直接积分，$R(Q) = \int_0^Q (30-2t)dt = 30Q - Q^2$。

题57 ⭐⭐⭐ 较难：已知 $R'(x)=26-3x$，$C'(x)=2+x$，固定成本 $C_0=20$（万元，$x$ 单位百件）。求利润最大时的产量和最大利润。

点击查看答案

$x=6$（即600件），最大利润52万元。

思路：$L'(x) = (26-3x)-(2+x)=24-4x=0 \Rightarrow x=6$。$L''=-4<0$ 确认为最大值。$L(6) = 24\cdot6 - 2\cdot36 - 20 = 52$。

题58 ⭐⭐⭐ 较难：某项目 $t$ 年收益速率 $R(t)=50e^{0.03t}$，连续复利 $r=6\%$，求未来8年收益流的现值。

点击查看答案

$PV = \frac{5000}{3}(1 - e^{-0.24}) \approx 355.57 \text{（万元）}$

思路：$PV = \int_0^8 50e^{0.03t}\cdot e^{-0.06t}dt = 50\int_0^8 e^{-0.03t}dt = \frac{5000}{3}(1-e^{-0.24})$。

2.6 积分等式与不等式证明（重要工具）

题型6：积分等式与不等式的证明

积分中值定理（一元版）

🏊 生活场景：你带小孩去游泳池，池子一头浅（0.5米）、一头深（2米），池底是缓坡。你站在池边看——这个池子的"平均水深"是多少？把池子里的总水量除以池面面积，就是平均水深。积分中值定理说的是：池底至少有一个点，那个点的水深恰好等于平均水深。 换句话说：曲边梯形的面积，一定等于某个矩形的面积——矩形的宽是 $[a,b]$ 的区间长度，高是曲线上某一点的函数值。

积分中值定理的正式陈述：

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得 $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$

几何意思：以 $[a,b]$ 为底边的曲边梯形面积 = 以 $f(\xi)$ 为高的矩形面积。两个形状不一样，但面积相等——$\xi$ 就是那个"恰好能配平"的点。

推广的积分中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号（始终 $\ge 0$ 或始终 $\le 0$），则存在 $\xi \in [a,b]$，使 $\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$

🧠 这个定理是怎么推出来的？——只需三步，用两条已知定理直接拿下

第零步：先看清我们有什么牌。

已知：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。连续函数在闭区间上自带两条"出厂设置"：

我们的目标是找到一个点 $\xi$，使得矩形面积 $f(\xi)(b-a)$ 恰好等于曲边梯形面积 $\int_a^b f(x)dx$。翻译一下：就是要证明 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$（曲边梯形的"平均高度"）这个数，一定等于 $f(x)$ 在某一点的实际函数值。

大白话：我们的目标数——平均高度——夹在最低点和最高点之间。连续函数的性质保证：只要一个数在最低和最高之间，就一定有某个点的高度正好等于这个数。这就是全部逻辑。

第一步：用积分保序性把目标数"夹"在最小值和最大值之间。

因为在 $[a,b]$ 上处处有 $m \le f(x) \le M$，对这三个东西同时积分（积分保序性：大的函数积出来还是大的）： $m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$

两边同除以正数 $(b-a)$： $m \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \le M$

大白话：平均高度 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$ 夹在最低高度 $m$ 和最高高度 $M$ 之间——这是显然的，平均值不可能低于最低值，也不可能高于最高值。

第二步：用介值定理找到那个点。

令 $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$。第一步已经证明 $m \le \mu \le M$。由于 $f(x)$ 连续，根据介值定理（连续函数能取到最大值和最小值之间的每一个值），一定存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \mu$。

换句话说： $f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$

两边同乘 $(b-a)$，就是积分中值定理： $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$

第三步：推广版怎么证？（思路完全一样）

推广版里多了个 $g(x)$（不变号）。和上面一样的套路：

推导完毕。

📝 推导复盘——用大白话重新讲一遍：

积分中值定理的证明是整个微积分中最短的证明之一——两步拿下，不需要任何复杂构造。核心逻辑链只有一条：平均值夹在最小最大之间 → 连续函数能取到夹在中间的任何值 → 存在一个点，函数值恰好等于平均值。

两个工具各司其职：最值定理给了"天花板"和"地板"；积分保序性把目标数夹在中间；介值定理拍板说"中间的数一定被取到"。

为什么这个定理重要？因为在牛莱公式的推导中，它把一个复杂的积分 $\int_x^{x+h} f(t)dt$ 变成了一个简单的乘法 $f(\xi) \cdot h$——就像把一块形状不规则的曲边梯形"压扁"成一个等面积的矩形。没有这个"压扁"操作，牛莱公式的推导就走不通。

⚠️ 三个容易搞错的边界

⚠️ 边界1：$\xi$ 在闭区间还是开区间？——基础版是闭区间，但可以加强到开区间。

基础结论只说 $\xi \in [a,b]$（闭区间）。但如果 $f(x)$ 不是常数，可以进一步加强为 $\xi \in (a,b)$（开区间）——因为平均值严格在 $m$ 和 $M$ 之间，而 $m$ 和 $M$ 如果在端点取到，满足介值定理的点就一定在内部。考试中用 $\xi \in (a,b)$ 更常见。牛莱公式的推导用的就是开区间版本（$\xi$ 夹在 $x$ 和 $x+h$ 之间）。

⚠️ 边界2：$f(x)$ 必须连续——这是全部推导的根基。

如果 $f(x)$ 不连续，介值定理不能用，结论可能不成立。比如 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有一个跳跃间断点，积分后的"平均值"可能落在跳跃的缝隙里——没有任何一点的函数值等于它。

⚠️ 边界3：推广版中 $g(x)$ 必须不变号——这是最常见的翻车点。

$g(x)$ 如果一会儿正一会儿负，$m \cdot g(x) \le f(x)g(x) \le M \cdot g(x)$ 这个不等式就不保真了。因为 $g(x)$ 为负时，乘以 $m$ 和 $M$ 后不等号方向会反转。所以在用推广版之前，必须花10秒确认 $g(x)$ 在区间上不变号。

积分中值定理在知识链条中的位置：

上游依赖 本定理 下游应用
连续函数的最值定理 + 介值定理 牛莱公式推导的核心"翻译官"（$\int_x^{x+h}f(t)dt = f(\xi)h$）
定积分的保序性 ← 积分中值定理 → 积分不等式证明（把积分放缩成函数值 × 区间长度）
变限积分函数的单调性证明
含积分的极限题（先用中值定理消掉积分号）

积分中值定理虽然证明极其简短，但它是连接"积分"和"函数值"的桥梁——它告诉你：一个积分式，可以被替换成"某个函数值 × 区间长度"。 这个替换在证明题中是极其常用的"降维打击"——把复杂的积分变成简单的乘法。

柯西-施瓦茨不等式（积分形式）： $\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \le \int_a^b f^2(x)dx \cdot \int_a^b g^2(x)dx$

🧠 这不等式哪来的？——和向量的柯西不等式是同一个"亲戚"。 高中背过的向量柯西不等式：两个向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 的点积满足 $|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le |\vec{u}|\,|\vec{v}|$（点积 $\le$ 模的乘积）。把"函数"想成"有无限多个分量的向量"：$f(x)$ 的"模长平方"就是 $\int_a^b f^2(x)dx$（把每个点的函数值平方累加），两个函数 $f$、$g$ 的"点积"就是 $\int_a^b f(x)g(x)dx$。一比照，向量版的 $|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le |\vec{u}|\,|\vec{v}|$ 就对应着积分版的 $\left(\int fg\right)^2 \le \int f^2 \cdot \int g^2$。这就是柯西-施瓦茨不等式。

怎么用？——关键在于"聪明地选 $u$、$v$"。 把不等式里的 $f$、$g$ 分别看成 $u$、$v$，选的标准是让乘积 $uv$ 简单（常数或好积的函数），这样右边两个积分就能单独算出来。

小例子：设 $f(x)>0$ 在 $[0,1]$ 上，证明 $\int_0^1 f(x)dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}dx \ge 1$。 取 $u = \sqrt{f(x)}$，$v = \frac{1}{\sqrt{f(x)}}$，则 $uv = 1$。代入柯西-施瓦茨： $\left(\int_0^1 1\,dx\right)^2 \le \int_0^1 f(x)dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}dx$ 左边 $= 1$，所以 $\int_0^1 f\cdot\int_0^1\frac1f \ge 1$。✅

这一步在想什么：取 $\sqrt f$ 和 $\frac1{\sqrt f}$，乘积正好是 $1$，左边积分 $=1$，不等式立刻现形——根本不用算 $f$ 的具体形式。（后面题61还会再用到这一手。）

考法1：积分中值定理

积分中值定理：$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$，$\xi \in [a,b]$。

推广的积分中值定理：$\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$（$g$ 不变号）。

例题：

例42：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\int_0^\xi f(t)dt = (1-\xi)f(\xi)$。

证明：令 $F(x) = (1-x)\int_0^x f(t)dt$。$F(0)=F(1)=0$。罗尔定理得证。

考法2：积分不等式的证明

常用方法：

例题：

例43：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，证明 $\int_a^b xf(x)dx \ge \frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)dx$。

💡 为什么想到构造这个 $F(t)$？ 三步推理：

  1. 看要证的结论：$\int_a^b xf(x)dx - \frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)dx \ge 0$。左边这一整坨，如果它是某个函数 $F$ 在 $t=b$ 处的取值、而且 $F(a)=0$，那么只要证 $F$ 单调递增（$F'(t)\ge0$），就自动推出 $F(b)\ge0$——结论到手。所以思路是"把不等式藏进一个函数里"。
  2. 哪个函数求导后会出现这个形式？ 把结论里的 $b$ 换成变量 $t$，就得到 $F(t) = \int_a^t xf(x)dx - \frac{a+t}{2}\int_a^t f(x)dx$。它求导（用变上限积分求导公式）： $F'(t) = tf(t) - \frac12\int_a^t f(x)dx - \frac{a+t}{2}f(t) = \frac12\left[(t-a)f(t) - \int_a^t f(x)dx\right]$ 注意这里正好冒出了"$(t-a)f(t)$ 与 $\int_a^t f(x)dx$ 谁大"的比较——这恰好是单调性能用的地方。
  3. 单调性派上用场：因为 $f$ 单调递增，对 $[a,t]$ 内任意 $x \le t$ 都有 $f(x) \le f(t)$，所以 $\int_a^t f(x)dx \le \int_a^t f(t)dx = (t-a)f(t)$，即 $F'(t) \ge 0$。

📝 复盘大白话：这道题的三步思考——结论改写成"某函数在某点非负"→ 把 $b$ 换成变量 $t$ 反推出这个函数 → 用单调性证它的导数非负——就是"构造函数法"的全部套路。看到 $\int xf(x)dx$ 与 $\int f(x)dx$ 混在一起的不等式，多半走这条路。

证明：构造 $F(t) = \int_a^t xf(x)dx - \frac{a+t}{2}\int_a^t f(x)dx$，证 $F'(t) \ge 0$。

翻车现场：

看到积分等式证明题，掏出积分中值定理——$\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$——忘了检查 $g(x)$ 在区间上不变号。

题59 ⭐⭐ 设 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续，证明存在 $\xi \in (0,\pi)$ 使 $\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx = 2f(\xi)$。

点击查看答案

思路：用推广的积分中值定理，$g(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上不变号（$\ge 0$）。$\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$，故得证。

题60 ⭐⭐ 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递增，$f(0)\ge 0$。证明 $\int_0^1 xf(x)dx \ge \frac12\int_0^1 f(x)dx$。

点击查看答案

思路：移项得 $\int_0^1 (x-\frac12)f(x)dx \ge 0$。从 $x=\frac12$ 处拆开，对右半段做变量替换 $x=1-t$，合并后利用 $f$ 的单调性得被积函数非负。

题61 ⭐⭐⭐ 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(x)>0$。证明 $\int_0^1 f(x)dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}dx \ge 1$。

点击查看答案

思路：柯西-施瓦茨不等式。取 $u=\sqrt{f(x)}$，$v=1/\sqrt{f(x)}$，则 $uv=1$。代入得 $1^2 \le \int f \cdot \int \frac1f$。等号当 $f$ 为常数时成立。

题62 ⭐⭐（利用积分保序性）证明：$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx \le \int_0^1 x\,dx$

点击查看答案

在 $[0,1]$ 上 $1+x^2 \ge 1$，所以 $\frac{x}{1+x^2} \le x$。由保序性得证。左边 $=\frac12\ln2 \approx 0.347$，右边 $=0.5$。$\checkmark$

题63 ⭐⭐（利用估值定理）证明：$\frac12 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \le 1$

点击查看答案

在 $[0,1]$ 上 $1 \le 1+x^2 \le 2$，所以 $\frac12 \le \frac{1}{1+x^2} \le 1$。乘以区间长度 $1$ 得证。

题64 ⭐⭐⭐（放缩法）证明：$\int_0^1 x^n e^x dx \le \frac{e}{n+1}$（$n$ 为正整数）

点击查看答案

在 $[0,1]$ 上 $e^x \le e$，所以 $x^n e^x \le e \cdot x^n$。积分得 $\int_0^1 x^n e^x dx \le e\int_0^1 x^n dx = \frac{e}{n+1}$。

三、名师对比

方法/技巧 张宇（宇哥） 汤家凤（汤神） 武忠祥 陈文灯 毛纲源
分部积分 $u$ 选择 "反对幂指三" + 表格法 "反对幂指三"，强调多练 强调检验（求导回代验证） "指三幂对反" ⚠️ 与"反对幂指三"方向相反——陈是从 $dv$ 角度（选谁放入 $dv$），本章教的是从 $u$ 角度（选谁当 $u$），初学者以本文为准 与张宇一致，补充留数法
不定积分换元 口诀："遇根号想代换，二次三角一次直接换" 强调不定积分必须回代、定积分换限不回代 先检查能否用凑微分，不行再换元 倒代换技巧丰富 分类精细，各有例题对应
定积分特殊技巧 区间再现+"去$x$"公式为重点 奇偶性+周期性优先考虑 华里士公式（"点火公式"）强调记忆 强调定积分几何意义 系统归类，含对称中心公式
有理函数积分 赋值法优先求系数 一步步通分+比较系数 拆分规则表格化 留数法求系数 留数法系统讲解（$A=P(a)/Q'(a)$）
变限积分 "见到变限积分就求导" 结合洛必达解极限题 强调变限积分函数的连续性结论 系统讨论可导性与间断点 真题分类详解，三种方程类型
经济应用 用边际反推总量的定积分思维 数三经济应用涉及较少 基础公式+典型真题 数学三专门章节 系统归入考点分类

四、速查卡片

5.1 常用积分公式速查

类型 公式 备注
幂函数 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $n\neq -1$
倒数 $\int \frac{1}{x}dx = \ln\vert x\vert+C$
指数 $\int e^x dx = e^x+C$
一般指数 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$
正弦 $\int \sin x\,dx = -\cos x+C$
余弦 $\int \cos x\,dx = \sin x+C$
正切 $\int \tan x\,dx = -\ln\vert\cos x\vert+C$
余切 $\int \cot x\,dx = \ln\vert\sin x\vert+C$
正割 $\int \sec x\,dx = \ln\vert\sec x+\tan x\vert+C$
余割 $\int \csc x\,dx = \ln\vert\csc x-\cot x\vert+C$
正割平方 $\int \sec^2 x\,dx = \tan x+C$
余割平方 $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x+C$
反正切型 $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x+C$
反正弦型 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x+C$
分母平方和 $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
分母平方差 $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C$
根号平方差 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a}+C$
根号平方和 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx = \ln\vert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\vert+C$

5.2 换元法选择决策树

被积函数含有什么？
├── 根号
│   ├── √(a²-x²) → x = a·sin t
│   ├── √(a²+x²) → x = a·tan t
│   ├── √(x²-a²) → x = a·sec t
│   ├── √(ax+b)（一次根式）→ 令 t = √(ax+b)
│   └── 一般二次根式 → 先配方，再三角代换
├── 分母次数远高于分子 → 倒代换 x = 1/t
├── e^x（指数有理式）→ 令 t = e^x
├── sin x, cos x 的有理式
│   ├── sin的奇次幂 → 拆 sinx dx = -d(cosx)
│   ├── cos的奇次幂 → 拆 cosx dx = d(sinx)
│   ├── 都是偶次幂 → 倍角公式降幂
│   └── 其他 → 万能公式 t = tan(x/2)（最后手段）
└── 没有根号 → 先试凑微分法 → 再试分部积分

5.3 分部积分的"反对幂指三"选择法则

被积函数是两类函数的乘积吗？
├── 是 → 按优先级选 u（越靠前越优先作 u）
│       反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数
│       └── 特例：指数×三角 → u 任选，需两次分部积分后解方程
└── 否，但含有 ln x 或 arcsin x/arctan x
    → 看作 1×该函数，该函数作 u，1·dx = dv

5.4 定积分快速判断清单

拿到一道定积分题，按以下顺序检视：

  1. 区间是否对称？→ 考虑奇偶性化简
  2. 是否含周期函数？→ 考虑周期性平移区间
  3. 是否含 $\sin^n x$ 或 $\cos^n x$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上？→ 华里士公式
  4. 是否含 $xf(\sin x)$？→ "去$x$"公式
  5. 被积函数是否与 $f(a+b-x)$ 有对称关系？→ 区间再现
  6. 分母是否含 $f(x)+f(a+b-x)$ 结构？→ 分母对称型
  7. 以上都不行 → 老老实实换元/分部积分算

5.5 数学三经济应用题速查

已知 要求 方法
边际成本 $C'(x)$，固定成本 $C_0$ 总成本 $C(x)$ $C(x) = C_0 + \int_0^x C'(t)dt$
边际收益 $R'(x)$ 总收益 $R(x)$ $R(x) = \int_0^x R'(t)dt$（$R(0)=0$）
边际利润 $L'(x)$ 利润最大时的产量 令 $L'(x)=0$，验证 $L''<0$
边际函数 产量从 $a$ 到 $b$ 的变化量 $\Delta = \int_a^b \text{边际}(x)dx$
收益流 $R(t)$，连续复利 $r$ 现值 $PV = \int_0^T R(t)e^{-rt}dt$

五、概念辨析（10 道对错判断题）

以下判断题专门测试概念易混淆之处。先自己判断，再看解析。

判断题 1：若 $F'(x) = f(x)$，则 $\int f(x)dx = F(x)$。

答案：错。 正确写法是 $\int f(x)dx = F(x) + C$。不定积分表示的是一族函数，不是某一个具体的函数。

判断题 2：闭区间上的连续函数必有原函数。

答案：对。 这就是原函数存在定理。$f(x)$ 连续 → $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 可导且导数就是 $f(x)$。

判断题 3：有跳跃间断点的函数也可能有原函数。

答案：错。 达布定理告诉我们：导函数不可能有跳跃间断点。所以有跳跃间断点的函数没有原函数。但跳跃间断不影响可积性。

判断题 4：$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ 对任何可积函数都成立。

答案：错。 牛莱公式要求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。有间断点或瑕点时不能直接套用。

判断题 5：$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$。

答案：错。 $x=0$ 是瑕点，这是反常积分，需拆区间分别取极限。实际上积分发散。且正函数的积分不可能是负数。

判断题 6：定积分换元时，只要换了被积函数和微分，不换限也可以，最后回代就行。

答案：错（不推荐！）。 技术上可以但步骤不规范，易错。定积分换元标准做法是换限且不回代。

判断题 7：变限积分函数 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 在 $f(x)$ 的跳跃间断点处，$F(x)$ 不可导。

答案：对。 跳跃间断点处 $F(x)$ 连续但左右导数不相等，出现"尖点"，不可导。

判断题 8：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 和 $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$ 的收敛条件一样，都是 $p>1$。

答案：错。 无穷积分当 $p>1$ 收敛，瑕积分当 $p<1$ 收敛。两者相反！

判断题 9：分部积分法中，"反对幂指三"口诀也是"指数函数优先作 $u$"。

答案：错。 "反对幂指三"是选 $u$ 的优先级——越靠前越优先作 $u$。指数函数排第四，不是优先作 $u$，而是优先放入 $dv$。

判断题 10：$\int_0^{\pi} x f(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)dx$ 对被积函数为 $\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}$ 的情况可以直接使用。

答案：错。 "去 $x$ 公式"要求被积函数形如 $x \cdot f(\sin x)$——即除了 $x$ 以外的部分必须仅仅是 $\sin x$ 的函数。本题含 $\cos x$，不能直接用。

六、综合混搭练习（打乱题型）

下面不告诉你是什么题型——自己判断，就像考试一样。简单题和难题混排。

📌 使用说明：混搭1-7是"速查指路题"——告诉你去前面哪个位置能找到详细解答，帮你快速回顾每种题型的典型解法。建议先自己动手做一遍，再看答案速查确认。以下混搭8-13是全新的综合题（带完整解答），跨知识块、不提示方法，像真实考试一样锻炼你的判断力。

混搭1 ⭐⭐ 求 $\displaystyle \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

答案速查 见题型1考法1题3：$\frac13(\ln x)^3 + C$

混搭2 ⭐⭐⭐ 求 $\displaystyle \int e^{2x}\cos x\,dx$

答案速查 见题型1考法3题11：$\frac{e^{2x}}{5}(2\cos x+\sin x)+C$

混搭3 ⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^2 \frac{dx}{(4+x^2)^{3/2}}$

答案速查 见题型2考法2题23：$\frac{\sqrt2}{8}$

混搭4 ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx$

答案速查 见题型2考法3题27：$\frac{e^\pi+1}{2}$

混搭5 ⭐⭐ 设 $F(x) = \int_{\sin x}^{x^2} \cos(t^2)\,dt$，求 $F'(x)$

答案速查 见题型3考法1题37：$2x\cos(x^4) - \cos x \cdot \cos(\sin^2 x)$

混搭6 ⭐⭐ 判断 $\displaystyle \int_1^{+\infty} (e^{1/x}-1)\,dx$ 的敛散性

答案速查 见题型4考法1题46：发散

混搭7 ⭐⭐ 求由 $y=2-x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积

答案速查 见题型5考法1题51：$\frac92$

以下为全新综合题（不提示方法，完整解答）

混搭8 ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^2 x}\,dx$

点击查看完整解答

这道题把"凑微分"和"定积分换限"两个知识块绑在一起——你得先看出凑微分的结构，然后处理换限。

第一步：识别凑微分结构。分子有 $\sin x \cos x$——$\cos x\,dx = d(\sin x)$！这就是凑微分的信号。

第二步：凑微分并换元。令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x\,dx$。同时换限：$x=0 \to u=0$，$x=\pi/2 \to u=1$。

$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^2 x}\,dx = \int_0^1 \frac{u}{1+u^2}\,du$

第三步：继续凑微分。分子 $u$ 恰好是 $(1+u^2)' = 2u$ 的常数倍：$u\,du = \frac{1}{2}d(1+u^2)$。

$\int_0^1 \frac{u}{1+u^2}\,du = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{d(1+u^2)}{1+u^2} = \frac{1}{2}\left[\ln(1+u^2)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$

答案：$\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2$

最容易掉进的坑：只做了凑微分但忘了换限！不定积分凑微分不需要换限（因为没有限），但定积分换元时上下限必须跟着变。$x=0$ 对应 $u=0$，$x=\pi/2$ 对应 $u=1$。

混搭9 ⭐⭐⭐ 求函数 $\displaystyle F(x) = \int_0^x (t-1)e^{-t}\,dt$ 的极值。

点击查看完整解答

这道题把"变限积分"、"导数应用（极值）"和"分部积分"三个知识块串在一起——一步接一步，环环相扣。

第一步：求导数。$F(x)$ 是变限积分函数，由变限积分求导公式：

$F'(x) = (x-1)e^{-x}$

第二步：找驻点。令 $F'(x) = 0$：$(x-1)e^{-x} = 0$。因为 $e^{-x} > 0$ 恒成立，所以 $x-1 = 0$，得 $x = 1$。

第三步：判断极值类型。求二阶导数：

$F''(x) = \frac{d}{dx}\left[(x-1)e^{-x}\right] = 1\cdot e^{-x} + (x-1)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x + 1) = e^{-x}(2-x)$

代入 $x=1$：$F''(1) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e} > 0$，所以 $x=1$ 是极小值点。

第四步：算极值。$F(1) = \int_0^1 (t-1)e^{-t}\,dt$。用分部积分：令 $u = t-1$，$dv = e^{-t}dt$，则 $du = dt$，$v = -e^{-t}$。

$\begin{aligned} \int (t-1)e^{-t}\,dt &= -(t-1)e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt \\ &= -(t-1)e^{-t} + \int e^{-t}\,dt \\ &= -(t-1)e^{-t} - e^{-t} + C \\ &= -t e^{-t} + C \end{aligned}$

代入上下限：

$F(1) = \left[-t e^{-t}\right]_0^1 = (-1\cdot e^{-1}) - (0) = -\frac{1}{e}$

答案：极小值 $F(1) = -\dfrac{1}{e}$。

混搭10 ⭐⭐⭐⭐ 设曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = 2x$ 围成一平面图形。求该图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

点击查看完整解答

这道题把"几何应用（求面积/体积）"和"定积分计算"绑在一起——你得先画出草图、找到边界，再列积分式。

第一步：找交点。解 $x^2 = 2x$：$x(x-2) = 0$，得 $x = 0$ 和 $x = 2$。图形夹在 $[0, 2]$ 之间。

第二步：判断谁在上、谁在下。在 $[0, 2]$ 内，取中点 $x=1$：$y=x^2$ 得 $1$，$y=2x$ 得 $2$。所以直线 $y=2x$ 在抛物线上方，$y=x^2$ 在下方。

第三步：旋转体体积公式。绕 $x$ 轴旋转时，用"大圆柱减小圆柱"的思路（圆盘法）：

$V = \pi\int_a^b \left[R_{\text{外}}(x)^2 - r_{\text{内}}(x)^2\right]\,dx$

外半径 $R(x) = 2x$（上面的那条线），内半径 $r(x) = x^2$（下面的那条线）。

$V = \pi\int_0^2 \left[(2x)^2 - (x^2)^2\right]\,dx = \pi\int_0^2 (4x^2 - x^4)\,dx$

第四步：计算定积分。

$\begin{aligned} V &= \pi\left[\frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^2 \\ &= \pi\left(\frac{4\cdot 8}{3} - \frac{32}{5}\right) \\ &= \pi\left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right) \\ &= \pi\cdot 32\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) \\ &= 32\pi \cdot \frac{5-3}{15} = 32\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{64\pi}{15} \end{aligned}$

答案：$\displaystyle V = \frac{64\pi}{15}$

最容易掉的坑：直接用面积公式套进体积——面积是 $\int (上-下)dx$，但体积是 $\pi\int (上^2 - 下^2)dx$，两个公式长得像但完全不一样。

🧠 怎么想到的：

混搭11 ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle \int_0^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx$

点击查看完整解答

这道题把"反常积分"和"凑微分"两个知识块绑在一起——无穷区间上的反常积分，但凑微分能让它秒杀。

第一步：识别反常类型。上限是 $+\infty$，这是无穷区间反常积分。先写成极限形式：$I = \lim_{b\to +\infty} \int_0^b x e^{-x^2}\,dx$。

第二步：凑微分。先算不定积分：$\int x e^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int e^{-x^2}d(-x^2) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$。

验证：$\left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right)' = -\frac{1}{2}e^{-x^2} \cdot (-2x) = x e^{-x^2}$。$\checkmark$

第三步：代入牛莱公式，再求极限。

$\int_0^b x e^{-x^2}dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^b = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-b^2}$

取极限 $b \to +\infty$：$e^{-b^2} \to 0$，所以 $I = \frac{1}{2}$。

答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$

最容易掉进的坑：看到上限是 $+\infty$ 不敢下手——先老老实实写成 $\lim_{b\to +\infty}\int_0^b$，算完定积分再求极限，别跳步。

混搭12 ⭐⭐⭐ 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x \ln(1+t)\,dt}{x^2}$

点击查看完整解答

这道题把"变限积分求导"和"极限（洛必达+等价无穷小）"两个知识块绑在一起——思路是认出 $\frac{0}{0}$ 型后用洛必达消掉积分号。

第一步：识别极限类型。$x\to 0$ 时，分子积分上下限重合 → 值为零；分母也→零。这是 $\frac{0}{0}$ 型。

第二步：洛必达法则。分子求导：$\frac{d}{dx}\int_0^x \ln(1+t)dt = \ln(1+x)$。分母求导：$2x$。

$\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x \ln(1+t)dt}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{2x}$

第三步：等价无穷小替换。$x\to 0$ 时 $\ln(1+x) \sim x$，所以：

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$

最容易掉进的坑：洛必达后看到 $\frac{\ln(1+x)}{2x}$ 还是 $\frac{0}{0}$ 型，习惯性继续洛必达——也可以但多此一举。等价无穷小替换更快。

混搭13 ⭐⭐⭐ 求由 $y=x^3$、$x=2$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

点击查看完整解答

这道题把"旋转体体积公式（定积分应用）"和"定积分计算"两个知识块绑在一起——先读懂图形再列公式算积分。

第一步：理解图形。$y=x^3$ 是一条过原点上升的曲线，$x=2$ 是竖直线，$x$ 轴是底边。围成区域：$x=0$ 到 $x=2$，上方 $y=x^3$，下方 $y=0$。

第二步：选体积公式。绕 $x$ 轴旋转，用圆盘法：$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。这里 $f(x)=x^3$，区间 $[0, 2]$。

$V = \pi\int_0^2 (x^3)^2\,dx = \pi\int_0^2 x^6\,dx$

第三步：计算定积分。

$V = \pi \cdot \left[\frac{x^7}{7}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{2^7}{7} = \frac{128\pi}{7}$

答案：$\displaystyle \frac{128\pi}{7}$

最容易掉进的坑：旋转体体积公式是 $\pi\int [f(x)]^2 dx$，不是 $\pi\int f(x) dx$——平方不能忘！忘了平方，$x^3$ 积出来是 $\frac{x^4}{4}$，但 $(x^3)^2 = x^6$ 积出来是 $\frac{x^7}{7}$，结果完全不一样。

七、考试导航（按考频从高到低）

题型 出题频率 难度 典型分值 优先度
不定积分计算（凑微分、分部积分） 很高 中 4-8分 🔴 最优先
变限积分求导与极限 很高 中 4-6分 🔴 最优先
定积分计算（牛莱公式、换元、对称性） 很高 中 4-10分 🔴 最优先
区间再现与去x公式 较高 较难 6-10分 🟡 优先
定积分应用（面积、旋转体体积） 较高 中 6-10分 🟡 优先
反常积分敛散性判断 较高 中 4分 🟡 优先
经济应用题（边际反推总量） 中等 中 6-10分 🟢 一般
积分等式与不等式证明 中等 较难 6-10分 🟢 一般
有理函数积分 中等 中 4分 🟢 一般
反常积分计算 较低 中 4-6分 ⚪ 有余力做
三角函数有理式积分 较低 中 4分 ⚪ 有余力做

复习策略：不定积分计算和变限积分是两大最高频考点，优先确保这两块"零失误"。经济应用题是数三特有的送分题，公式背熟、步骤写全就能拿满分。

八、自检清单

学完本章后，你应该能回答下面所有问题。如果不能，回到对应部分重新学习。

概念基础

三大积分法

定积分

变限积分

反常积分

应用

本章学习建议：不定积分是"算功"——要大量练习形成肌肉记忆。定积分、变限积分、反常积分重在理解概念之间的联系。概念辨析题和判断题最容易区分高分和低分。经济应用题是数三的送分题，公式背熟就能拿满分。

🧭 学完回顾——第三章定理推导全景图

学完整章，合上书，看看你还记得这些定理之间谁推出谁吗？第三章的核心是"微积分基本定理"——它把求导和积分这对"正逆运算"焊在了一起，是整个微积分大厦最重要的承重墙。

                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │       求导公式（第2章）            │
                     │   反过来看就是基本积分公式          │
                     └────────────┬────────────────────┘
                                  │ 反过来
                                  ↓
                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │   不定积分 = 求导的逆运算          │
                     │   ∫f(x)dx = F(x) + C            │
                     │   "已知速度,反推行程"             │
                     └────────────┬────────────────────┘
                                  │
          ┌───────────────────────┼───────────────────────┐
          ↓                       ↓                       ↓
┌─────────────────┐   ┌─────────────────┐   ┌─────────────────────┐
│ 凑微分法(第一换元)│   │ 第二类换元法     │   │  分部积分法            │
│ "把被积函数拼成   │   │ "主动换变量      │   │  ∫udv = uv - ∫vdu    │
│  某个函数的导数"  │   │  消根号/化简"   │   │  乘法求导倒过来用       │
└────────┬────────┘   └────────┬────────┘   └──────────┬──────────┘
         │                     │                       │
         └─────────────────────┼───────────────────────┘
                               │ 三大积分法
                               ↓
                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │          原函数存在定理           │
                     │   连续 ⇒ 一定存在原函数(不定积分)  │
                     │   跳跃间断 ⇒ 没有原函数,但可定积分  │
                     └────────────┬────────────────────┘
                                  │
                                  ↓
                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │        变限积分函数              │
                     │   Φ(x) = ∫ₐˣ f(t)dt            │
                     │   Φ'(x) = f(x)（微积分基本定理I） │
                     │   "求导就去掉积分号"              │
                     └────────────┬────────────────────┘
                                  │
                                  ↓
                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │     牛顿-莱布尼茨公式             │
                     │   ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)     │
                     │   （微积分基本定理II）             │
                     │   "定积分=原函数在上限的值减下限的值"│
                     └────────────┬────────────────────┘
                                  │
          ┌───────────────────────┼───────────────────────┐
          ↓                       ↓                       ↓
┌─────────────────┐   ┌─────────────────┐   ┌─────────────────────┐
│ 定积分换元/分部   │   │  区间再现公式    │   │  反常积分             │
│ "换元必换限!"    │   │  ∫ₐᵇ f(x)dx    │   │  无穷区间/无界函数     │
│                 │   │  =∫ₐᵇ f(a+b-x)dx│   │  极限+牛莱公式处理     │
└────────┬────────┘   └────────┬────────┘   └──────────┬──────────┘
         │                     │                       │
         └─────────────────────┼───────────────────────┘
                               ↓
                     ┌─────────────────────────────────┐
                     │        定积分的应用              │
                     │  面积 / 旋转体体积 / 经济总量     │
                     │  "用积分称出不规则形状的大小"     │
                     └─────────────────────────────────┘

核心链条（从左往右）：求导公式倒过来 → 三大积分法 → 原函数存在 → 变限积分（求导消积分号）→ 牛莱公式（定积分=原函数代入）→ 定积分应用。这条链上的每一环都是"前一个的自然延伸"——就像造房子，先打好地基（积分法），再架承重墙（变限积分和牛莱公式），最后盖屋顶（应用）。

双向联动：换元法 ↔ 分部积分法。两个方法并非"二选一"，而是经常在同一道题里配合使用——换元后分部，或分部后再换元。口诀："反对幂指三"帮你选分部积分的 u 和 dv；"换元必换限"提醒你定积分换元时别忘了改上下限。

最容易断链的地方：很多人背下了牛莱公式 $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$，却忘了问——凭什么 $F$ 一定存在？ 答案藏在"原函数存在定理"里：连续函数一定存在原函数。如果 $f$ 不连续（比如有跳跃间断点），牛莱公式就可能失效（这时定积分仍可算，但需要分段）。这个"隐藏前提"是第三章最容易忽视的逻辑漏洞。

接下来学什么：下一章进入微分方程——现实中的规律很少直接写成"f(x)=什么"，而是写成"变化率满足什么关系"。比如咖啡冷却速度 ∝（咖啡温度 - 室温），这就是一个微分方程。学完下一章，你就能把自然规律写成方程再解出来。把本章的积分计算练扎实——解微分方程本质上就是"高级积分"。

📖 下一章预告

这一章你学会了积分——从导函数反推原函数，从变化速度反推累积总量。三大积分法（凑微分、换元、分部积分）是你的核心武器，定积分的几何应用让你能用数学"称"出不规则形状的面积和体积。

下一章我们进入微分方程——现实中很多问题不是"已知导数等于几"，而是"已知导数满足一个方程"。比如咖啡冷却的速度跟温差成正比——这个规律本身就是个方程。学完下一章，你就能把自然规律写成方程再解出来。把本章的积分计算练扎实——解微分方程本质上就是"高级积分"，多一步识别类型，最后还是靠积分算。