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| 题型 | 识别线索 | 原理 | 变量关系 | 变式 |
|---|---|---|---|---|
| 直接计算（直角） | 边界是一元函数；被积函数能积出 | 划线定限 | 外层常数、内层函数 | 换区域／换函数；矩形可分离 |
| 换序 | 内层积不出（$e^{y^2}$、$\frac{\sin y}{y}$）；或原次序要分块 | 累次积分是区域的打包 | 由边界解出新的针入针出 | 两块拼一块；上下限全换 |
| 极坐标 | 圆／环／扇；含 $x^2+y^2$ 或 $\frac yx$ | 面积元 $r\,dr\,d\theta$ | $r$ 的上限是 $\theta$ 的函数 | 偏心圆 $r=2a\cos\theta$；同心环 |
| 对称／分段 | 区域对称；绝对值／max／min | 奇偶抵消；零点线切块 | 每块符号恒定 | 轮换对称；$\max(x,y)$ |
基础 A1–A5 进阶 B1–B4 挑战 C1–C3。遮住答案先做；做完写“错在哪一步”。
$\iint(x+y)=1$；$\iint\sqrt{x+y}=\frac{16\sqrt2-8}{15}\approx0.975<1$，所以 $(x+y)$ 大。注意不能凭“哪段看着占优”下结论：$[0,1]$ 上 $\sqrt t\ge t$、$[1,2]$ 上 $\sqrt t\le t$，两段净额一加减，反而小。
采分点：拆区间或直接算真值（5）；比较结论（5）。
$m=\frac15,M=1,S=4\pi$，所以 $\frac{4\pi}5\le I\le4\pi$；真值 $\pi\ln5\approx5.06$。
采分点：最值（3）、面积（3）、夹出上下界（4）。
竖着扫：$0\le x\le1$，$x\le y\le2x$。$\int_0^1dx\int_x^{2x}(x+y)dy=\int_0^1\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_x^{2x}dx=\int_0^1\frac52x^2dx=\frac56$。
采分点：画图定限（4）、代限（3）、积分（3）。
矩形且函数可分离：$(\int_0^1e^xdx)(\int_0^{\ln2}e^ydy)=(e-1)\cdot1=e-1$。
采分点：识别可分离（5）、两个定积分（5）。
区域：$0\le y\le1,\ y\le x\le1$，即 $0\le x\le1,\ 0\le y\le x$。新序：$\int_0^1dx\int_0^xf\,dy$。自检：取 $f=1$，两序都是 $\frac12$。
采分点：还原区域（5）、新限（5）。
0。区域关于 $x$ 轴、$y$ 轴都对称，$xy$ 关于 $x$（也关于 $y$）是奇函数。
采分点：两个条件都说清（6）、结论（4）。
$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^2\cdot r\,dr=2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2$。
采分点：换极坐标（3）、乘 $r$（4）、结果（3）。
$2\pi\int_1^2\ln(1+r^2)r\,dr=\pi[(1+r^2)\ln(1+r^2)-(1+r^2)]_1^2=\pi(5\ln5-2\ln2-3)$。
采分点：面积元（3）、凑元（4）、代限（3）。
$e^{-y^2}$ 无初等原函数，必须换序：区域即 $0\le y\le1,\ -y\le x\le y$。$\int_0^1e^{-y^2}dy\int_{-y}^{y}x^2dx=\int_0^1\frac{2y^3}{3}e^{-y^2}dy$，令 $u=y^2$ 得 $\frac13\int_0^1ue^{-u}du=\frac{1-2/e}{3}$。
采分点：认出必须换序（4）、还原区域（3）、凑元分部（3）。
令 $u=x+y,\ v=x-y$，$|J|=\frac12$，菱形化为 $[-1,1]^2$。$\frac12\int_{-1}^1|u|du\int_{-1}^1dv=1$。注意：$|x+y|\ge0$，积分必为正，不可判 0。
采分点：换元与雅可比（4）、区域转化（3）、积分（3）。
以 $y=x$ 拆块，两块轮换相等：$2\int_0^1dx\int_x^1e^{y^2}dy$，换序得 $2\int_0^1ye^{y^2}dy=e-1$。
采分点：拆块（3）、轮换（3）、换序（4）。
形心 $(1,-2)$，$S=9\pi$：$2(1\cdot9\pi)+3(-2\cdot9\pi)=18\pi-54\pi=-36\pi$。
采分点：形心识别（4）、面积（3）、加权（3）。
| 要用的 | 写法 | 最容易错的地方 |
|---|---|---|
| 面积元（直角） | $d\sigma=dx\,dy$ | 无 |
| 面积元（极坐标） | $d\sigma=r\,dr\,d\theta$ | 忘乘 $r$（最高频） |
| 划线定限 | 针入下限、针出上限、行程外层 | 外层写成函数、上下限颠倒 |
| 换序 | 限→图→限 | 直接换字母 |
| 极坐标边界 | $x^2+y^2=2ax\Rightarrow r=2a\cos\theta$ | $\theta$ 范围默认 $0\sim2\pi$ |
| 华里士 | $\int_0^{\pi/2}\sin^n=\int_0^{\pi/2}\cos^n$；偶乘 $\frac{\pi}{2}$、奇不带 $\pi$ | 奇偶的收尾记反 |
| 形心 | $\bar x=\frac{1}{S_D}\iint_Dx$ | 忘记先算面积 |
① $\lambda\to0$ ≠ $n\to\infty$（细长条反例）；② 外层限必是常数；③ 换序不是换字母；④ 极坐标别忘 $r$；⑤ 区域对称还要函数奇。
| 码 | 本章长什么样 | 回哪一节 |
|---|---|---|
| E1 不会 | 不知道何时换极坐标／不知道换序 | §3、§4 的“何时用” |
| E2 会而不对 | 代限错、凑元错、符号错 | §2 三连页第二页 |
| E3 对而不全 | 没画图、没写“一进一出”、没写收敛性 | §2 划线定限；§6 |
| E4 超时 | 没先看对称，硬算 | §5 对称三连问 |
| E5 看错 | 区域看错、上下限看反 | §2 正错例 |
| E6 策略错 | 次序选错、坐标系选错 | §2 次序双依据；§4 双条件 |
这三题不考计算，考“能不能把结论重新造出来”。推不出，说明那一节还只是背下来的。
格数多不代表每格都小：把区域切成一万条 $0.1$ 毫米宽、$10$ 米长的细条，格数极大，但每格内函数值可以从 1 变到 3，“代表点”失效。$\lambda$ 同时管住长和宽，才堵住这个漏洞。
①角度占 $d\theta$、半径占 $dr$；②弧长＝半径×角度＝$r\,d\theta$；③扇环格近似窄矩形，面积＝弧长×径向宽度＝$r\,d\theta\cdot dr$。
上下限是区域边界的翻译。例 3 里原次序按竖条分成两块，换序后一根横线穿完，块数从 2 变 1——直接换字母会保持“两块”，与几何不符；取 $f=1$ 验算，数值立刻不对。
| 节点 | 能复述 | 能独立做对 | 能限时做对 |
|---|---|---|---|
| ① 定义与性质 | ☐ | ☐ | ☐ |
| ② 直角坐标／划线定限 | ☐ | ☐ | ☐ |
| ③ 换序 | ☐ | ☐ | ☐ |
| ④ 极坐标 | ☐ | ☐ | ☐ |
| ⑤ 对称与分段 | ☐ | ☐ | ☐ |
| ⑥ 反常与应用 | ☐ | ☐ | ☐ |
三格不是一回事：能复述＝合上书说得出来；能独立做对＝不看答案做对；能限时做对＝30 分钟内做对。只钩第一格，就等于“以为自己会”。
配比：直接计算 2 题、换序 1 题、极坐标 1 题、对称 1 题、应用 1 题。先计时做，再用下面的评分卡判分。
| 题 | 题目 | 分值 |
|---|---|---|
| 1 | $\iint_Dxy\,d\sigma$，$D$ 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成 | 15 |
| 2 | 交换 $\int_0^1dx\int_x^1f\,dy$ 的次序 | 15 |
| 3 | $\iint_D(x^2+y^2)d\sigma$，$D:x^2+y^2\le2x$ | 20 |
| 4 | $\iint_D|x|\,d\sigma$，$D:x^2+y^2\le1$ | 15 |
| 5 | $\iint_De^{-x^2-y^2}d\sigma$，$D$ 为第一象限 | 20 |
| 6 | 用形心报出 $\iint_D(x+2y)d\sigma$，$D$：圆心 $(0,1)$、半径 $2$ | 15 |
1 $\int_0^1dx\int_{x^2}^{x}xy\,dy=\frac1{24}$。采分点：定限 6、代限 5、结果 4。
2 区域 $0\le x\le1,\ x\le y\le1$ → $0\le y\le1,\ 0\le x\le y$；新序 $\int_0^1dy\int_0^yf\,dx$。采分点：还原区域 8、新限 7。
3 $r\le2\cos\theta,\ \theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$；$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r^3dr=\frac{3\pi}{2}$。采分点：边界化极坐标 6、乘 $r$ 6、积分 8。
4 区域双轴对称，$|x|$ 关于 $x$ 偶：$2\iint_{x\ge0}x=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_0^1r^2dr=\frac43$。采分点：对称判断 6、极坐标 5、结果 4。
5 $\frac\pi4$（全平面的四分之一）。采分点：极坐标 6、凑元 6、收敛说明 4、结果 4。
6 形心 $(0,1)$、$S=4\pi$：$0\cdot4\pi+2(1\cdot4\pi)=8\pi$。采分点：形心 5、面积 5、加权 5。
判分后填这张表：E1 不会丢几分／E2 会而不对／E3 对而不全／E4 超时／E5 看错／E6 策略错——六码之和应等于 100−得分（±1）。有说不清来路的丢分，就是还没找到断点。
考期按 2027-12-18 算，距今约 414 天。最优间隔约为保持期的 5%–20%，即 21–83 天；但新学内容不能等到第 21 天才第一次回想，所以用“先密后疏”：
| 时点 | 做什么 | 方式 |
|---|---|---|
| 当天 | 合上书复述因果链 5 环；做 A1–A3 | 闭卷 |
| D1 | 只做“五问”+ 错题重做 | 闭卷，10 分钟 |
| D21 | 做 B 组 4 题；错题打码 | 闭卷，25 分钟 |
| D60 | 限时卷整卷；对评分卡 | 闭卷，30 分钟 |
| D150 | 只做 C 组 + 速查页自问 | 闭卷，30 分钟 |
每次复现只做“提取”，不重读；答案紧随，错题当场写一句错因。
回访口：哪一题错得最冤、哪一句最想搜？写下来告诉我。掌握格三格都钩满、限时卷 ≥85，这一章才算过；否则回到对应题型的讲义节，不要从头重读。