第7章 无穷级数 · 导图
先解谜题的骨架，再认题、做题、查公式。讲义在另一页；这里只放"练"和"查"。
一图：这道题的答案
讲义带着一个问题走完全章：两串都越加越小的数，凭什么一串有总额、一串没有？
谜题 $\frac12+\frac14+\cdots=1$，可 $\frac12+\frac13+\cdots=\infty$
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第一步 · 把"加完"改成"看极限" $S_n$ 有极限＝收敛；级数的和不是加出来的，是逼出来的
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第二步 · 分界线在"减得多快" $p$ 级数：$p\gt1$ 收敛，$p\le1$ 发散；分界正好在 $p=1$
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第三步 · 算不动就换尺子 比较（借别人的级数夹）、比值／根值（自己量自己）、积分（矩形比曲线）
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第四步 · 有正有负另算 交错用莱布尼茨；再分绝对收敛（能重排）与条件收敛（不能）
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第五步 · 带个 x 变成函数 幂级数：$|x-a|\lt R$ 内收敛，端点单独判
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第六步 · 从级数回到公式 逐项求导／积分，凑回等比或 $e^x$、$\sin x$、$\ln(1+x)$
题型四栏（认题用）
| 题型 | 识别线索 | 用哪一招 | 最容易错 |
|---|
| 等比求和 | 公比看得出是 $q^n$ | $\frac{1}{1-q}$，先确认 $|q|\lt1$ | 不看 $|q|$ 就套公式 |
| 正项判敛 | 通项全正、带 $1/n^p$ 形状 | 先定阶：换成 $1/n^p$ 看 $p$ | 把"通项趋 0"当收敛 |
| 比值／根值 | 阶乘、$n$ 次幂、指数 | $\rho\lt1$ 收敛；$\rho=1$ 换尺子 | $\rho=1$ 时硬下结论 |
| 交错 | $(-1)^{n-1}$ 加个单调项 | 莱布尼茨：单调 + 趋 0 | 只看趋 0，忘了单调 |
| 幂级数 | 通项带 $(x-a)^n$ | 先求 $R$，再把端点代回去 | 把开区间当收敛域 |
题库（遮住答案先做）
A 组 · 单个工具
A1 等比 基础$\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$ 是多少？凭什么？
答案
$S_n=1-\frac{1}{2^n}\to1$。或者用 $\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$，$q=\frac12$ 得 2，去掉首项 1 得 1。
A2 p 级数 基础$\sum\frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛还是发散？
答案
收敛。$p=\frac32\gt1$。
A3 等价定阶 基础$\sum\left(1-\cos\frac1n\right)$ 收敛吗？
答案
$1-\cos t\sim\frac{t^2}{2}$，所以通项 $\sim\frac{1}{2n^2}$，与 $\sum\frac1{n^2}$ 同敛散，收敛。
A4 比值 基础$\sum\frac{n!}{n^n}$ 收敛吗？
答案
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to\frac1e\lt1$，收敛。
A5 根值 基础$\sum\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 收敛吗？
答案
$\sqrt[n]{u_n}=\frac{n}{2n+1}\to\frac12\lt1$，收敛。
A6 必要条件 基础$\sum\frac{n}{n+1}$ 收敛吗？
答案
发散。通项 $\to1\ne0$，必要条件都不满足，直接判发散。
B 组 · 串起来
B1 积分判别 进阶$\sum\frac{1}{n\ln n}$ 收敛吗（$n\ge2$）？
答案
发散。$\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x\big|_2^\infty\to\infty$。注意它比 $\frac1n$ 小，却同样发散——"比调和还小"不等于收敛。
B2 交错 进阶$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$ 收敛吗？条件还是绝对？
答案
收敛（莱布尼茨：$\frac{1}{\sqrt n}$ 单调减、趋 0）；但取绝对值是 $\sum\frac{1}{\sqrt n}$，$p=\frac12\le1$ 发散。所以是条件收敛。
B3 绝对收敛 进阶$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 收敛吗？能不能任意重排？
答案
绝对收敛（$\sum\frac1{n^2}$ 收敛），所以可以任意重排、分组，和不变。
B4 收敛域 进阶$\sum\frac{x^n}{n}$ 的收敛区间和收敛域分别是什么？
答案
$R=1$，收敛区间 $(-1,1)$；代端点：$x=1$ 是调和级数发散，$x=-1$ 是交错调和条件收敛。收敛域 $[-1,1)$——一边带一边不带。
C 组 · 综合
C1 求和函数 挑战求 $\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$ 的和函数与收敛域。
答案
由 $\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ 两边求导，得 $\frac{1}{(1-x)^2}$，$|x|\lt1$。端点 $x=\pm1$ 时通项不趋 0，都发散，所以收敛域就是 $(-1,1)$。
C2 先积后导 挑战求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ 的和函数。
答案
对 $\sum x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$ 两边积分，得 $-\ln(1-x)$，$|x|\lt1$。
C3 论述 挑战用整章讲清：为什么 $\frac12+\frac14+\cdots$ 收敛，而 $\frac12+\frac13+\cdots$ 发散？
参考答案
①和的定义：级数的和＝部分和的极限，不是"加完"。
②等比为什么收：$S_n=1-\frac{1}{2^n}$，指数式衰减，尾巴被一个固定比例压住。
③调和为什么散：分组后每组至少 $\frac12$，无穷多组，部分和无上界；它大约像 $\ln n$，慢到 $10^{43}$ 项才到 100。
④分界线：$p$ 级数在 $p=1$ 分家，因为 $\int x^{-p}dx$ 只在 $p\gt1$ 时收敛，而级数是矩形、矩形与曲线同敛散。
⑤一句话："越来越小"不重要，"减得够不够快"才是。
速查
| 要用的 | 写法 | 最容易错 |
|---|
| 等比 | $\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$，$|q|\lt1$ | 不看 $|q|$ |
| $p$ 级数 | $p\gt1$ 收敛，$p\le1$ 发散 | 记成 $p\ge1$ |
| 基本性质 | 收敛 ⇒ 通项 $\to0$（反之不成立） | 反过来用 |
| 比较 | $0\le u_n\le v_n$：大收敛⇒小收敛；小发散⇒大发散 | 方向用反 |
| 比值／根值 | $\rho\lt1$ 收敛，$\rho\gt1$ 发散，$\rho=1$ 失效 | $\rho=1$ 硬判 |
| 积分 | $f$ 正、连续、单调减：$\sum f(n)$ 与 $\int_1^\infty f$ 同敛散 | 忘了单调减 |
| 莱布尼茨 | $u_n$ 单调减且 $\to0$ ⇒ $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 收敛 | 只看趋 0 |
| 幂级数 | $R=1/\varlimsup\sqrt[n]{|a_n|}$；端点单判 | 把开区间当收敛域 |
四个数字陷阱
① 通项趋 0 是必要条件，不是判据。② 比调和小的（如 $\frac{1}{n\ln n}$）也可能发散。③ 条件收敛不能重排，绝对收敛才能。④ 收敛区间是开区间，收敛域要并端点。
自测格（三格都钩才算过）
| 节点 | 能讲出 | 能独立做对 | 能迁移 |
|---|
| 部分和与收敛定义 | ☐ | ☐ | ☐ |
| 调和与 $p$ 级数 | ☐ | ☐ | ☐ |
| 比较／比值／根值／积分 | ☐ | ☐ | ☐ |
| 交错与绝对／条件 | ☐ | ☐ | ☐ |
| 幂级数与收敛域 | ☐ | ☐ | ☐ |
| 展开与求和函数 | ☐ | ☐ | ☐ |
"能讲出"＝合上书说得清这一段在解决什么；"能独立做对"＝不看答案做对；"能迁移"＝把数字换掉仍然做对。
回看
当天：合上书答一遍"两串数为什么一串收得住"，能说出几层算几层。
第 21 天：只做 B 组四题，错了回到对应那一节。
第 60 天：做 C 组三题，做完对着"一图"看自己漏了哪一步。