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第1章 随机事件与概率
把"运气"装进盒子、称出重量、随信息更新——全书地基
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样本空间 Ω▾
定义 随机试验所有可能结果的集合；每个结果是一个样本点
随机试验三特征：可重复 / 结果列得全 / 事先不知
定义 并=A∪B"至少一个"；交=AB"同时"；差=A−B"A 有 B 无"
互斥 AB=∅（不共处）；对立=互斥+并满 Ω（分光）
对偶律▾
定义 ¬(A∪B)=Ā·B̄；¬(A·B)=Ā∪B̄
『至少一个发生』的反面=『都不发生』；『都发生』的反面=『至少一个不发生』——记"都不 vs 不都"
定义 至少一个=A∪B∪C；恰好一个=三块互斥拆；至多 k 个=补"至少 k+1 个"
三板斧：摸球（组合）/ 放回（幂）/ 排队（排列）
定义 P(A)=有利区域度量/全空间度量（无限+等可能）
定义 非负 / 规范 P(Ω)=1 / 互斥可加 ⟹ 六条常用性质
加法公式（劳模）：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
定义 P(A|B)=P(AB)/P(B)：世界缩到 B，重新归一
乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)：不放回链条逐段传
定义 P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)，Bᵢ 为完备事件组
选 Bᵢ 按原因分（厂/状态/是否病），A 是结果
定义 P(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)
定义 P(AB)=P(A)P(B)：B 的消息对 A 的赌注零影响
可靠性：并联 1−q₁q₂（冗余红利），串联 p₁p₂
定义 相互独立要求任意子集都满足积公式；两两只是其中 C(n,2) 条
定义 n 重独立重复试验，每次只看成/不成：P(恰好 k 次)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ
三板斧：认清一次试验 → 套公式 → 至少/至多先取补
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配套题库 · 20 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
🙈 遮住答案（自测）
基础组
B1 掷一枚骰子，A="偶数点"，B="点数大于3"。写出 A∪B、AB、A−B、¬(A∪B)（并用对偶律验证最后一个）。
答案
A={2,4,6}，B={4,5,6}；A∪B={2,4,5,6}；AB={4,6}；A−B={2}；¬(A∪B)={1,3}。验证：Ā={1,3,5}，B̄={1,2,3}，交集={1,3} ✓
考点：事件运算+对偶律——§1.2 B2 掷两枚骰子：点数之和为 7 与之和为 8 的概率各是多少？为什么 7 最容易出？
答案
P(和7)=6/36=1/6；P(和8)=5/36。凑 7 的搭配最多（6 种），凑 8 只有 5 种——搭配数决定概率。
考点：古典概型数数——§2.1 B3 袋中 5 红 3 白，任取 3 球全红概率？（再用"逐个不放回"口径重算，验证口径无关）
答案
C(5,3)/C(8,3)=10/56=5/28≈0.179；逐次口径：(5·4·3)/(8·7·6)=60/336=5/28 ✓ 同值。
考点：古典概型口径一致——§2.3 B4 P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.2。求 P(A∪B)、P(A−B)、P(Ā B̄)。
答案
P(A∪B)=0.5+0.4−0.2=0.7；P(A−B)=P(A)−P(AB)=0.3；P(Ā B̄)=1−P(A∪B)=0.3。
考点：加法/减法/求逆六性质——§2.2 B5 掷两枚骰子，已知点数之和为 7，求其中一枚是 6 的概率。
答案
世界缩成 {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}，含 6 的 2 个：2/6=1/3（无条件下是 11/36——信息改变概率）。
考点：条件概率缩空间——§3.1 B6 ①公交每 15 分钟一班，随机到站，等不超过 5 分钟概率？②两人约定 12:00–13:00 随机到达，先到者等 20 分钟，能碰上概率？
答案
①5/15=1/3；②补集两个腰 40 的等腰直角三角形面积 1600，P=1−1600/3600=5/9≈0.556。
考点：几何概型一维/二维——§2.1/§2.4 B7 5 红 3 白不放回取两次全红概率？已知第一次红，第二次红概率？
答案
乘法链：5/8×4/7=5/14≈0.357；条件：世界剩 4 红 3 白=4/7。
考点：乘法公式+条件概率——§3.1 进阶组
J1 23 人的班里至少两人生日相同的概率超过一半吗？（不计算，说思路+量级）
答案
超过：P=1−(365/365)(364/365)…(343/365)≈0.507。直觉错在忽略配对爆炸：C(23,2)=253 对机会。
考点：正难则反+组合爆炸——§2.3 J2 10 张签 1 张有奖，第 k 个抽的人中奖概率？写依据。
答案
恒为 1/10：前 k−1 人不中且第 k 人中，链条 (9/10)(8/9)…·1/(10−k+1) 连环约分。对称性原理。
考点：抽签公平——§3.4 J3 三厂产量占 50%/30%/20%，次品率 1%/2%/3%。任抽一件是次品的概率？
答案
全概率：0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.03=0.017。
考点：全概率公式——§3.2 J4 接上题：抽到次品，它是甲厂产的概率？
答案
贝叶斯：0.005/0.017≈29.4%。先验 50% 被"低次品率"证据洗到 29.4%。
考点：贝叶斯执果索因——§3.3 J5 盘前判断：今天出利好/平盘/利空概率 0.4/0.4/0.2，三种情形某股上涨概率 0.8/0.5/0.2。今天上涨概率？
答案
0.4×0.8+0.4×0.5+0.2×0.2=0.32+0.20+0.04=0.56（先自检三渠道和=1）。
考点：全概率（经济版）——§3.2 J6 掷骰子 A="偶数" B="出3"：互斥吗？独立吗？P(A)=0.6 P(B)=0.5 P(AB)=0.3 呢？
答案
前者互斥（AB=∅）但不独立（P(A)P(B)=1/12≠0）；后者独立（0.6×0.5=0.3=P(AB)）但不互斥（P(AB)=0.3≠0）。判独立只认积等式。
考点：互斥vs独立辨析——§4.1 J7 罚球命中率 0.6，罚 5 次：恰好 3 中？至少 1 中？
答案
C(5,3)·0.6³·0.4²=10×0.216×0.16=0.3456；至少 1 中=1−0.4⁵=1−0.01024=0.98976。
考点：伯努利三板斧——§4.3 J8 掷两枚均匀硬币：A="甲正面"，B="乙正面"，C="两枚同面"。验证 A、B、C 两两独立但不相互独立。
答案
两两：P(AB)=1/4=P(A)P(B)（A、C 与 B、C 同理，如同面含"双正"1/4=P(C)P(A)=1/2×1/2）；但 P(ABC)=P(双正)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)——C 由 A、B 完全决定，三者不相互独立。
考点：两两独立≠相互独立——§4.2 J9 两市独立供水，甲正常率 0.9，乙 0.8。(1) 至少一市正常；(2) 恰好一市正常。
答案
(1) 1−0.1×0.2=0.98。(2) 0.9×0.2+0.1×0.8=0.18+0.08=0.26（互斥拆两块）。
考点：独立性与对立事件——§4 ｜ 讲义 挑战组
T1 患病率 0.1%，灵敏度 99%，假阳率 5%。查出阳性，真病概率？先说量级再算数。
答案
约 2%（先验太低，先说量级防吓自己）：P=(0.001×0.99)/(0.001×0.99+0.999×0.05)=0.00099/0.05094≈1.9%。1000 人里 1 真 vs 约 50 假阳——阳性大军九成是陪跑。
考点：贝叶斯基数效应——§3.3 T2 三门问题：你选 1 号门，主持人（知情）开 3 号门露出羊。换 2 号门中奖概率？
答案
换=2/3。贝叶斯：P(开3)=1/3×1/2+1/3×1+1/3×0=1/2；P(车在2|开3)=(1/3)/(1/2)=2/3。主持人知情地开门才有这份信息量。
考点：贝叶斯（知情信息）——§3.3 T3 元件甲可靠率 0.9、乙 0.8，独立。并联系统可靠率？串联呢？并联多花一个元件买到什么？
答案
并联（至少一个工作）=1−0.1×0.2=0.98；串联（都工作）=0.9×0.8=0.72。从 0.72 到 0.98——小概率相乘更小，这就是冗余设计的数学红利。
考点：独立+求逆（可靠性）——§4.2 T4 信源发 0/1 各半；发 0 误收为 1 概率 0.02，发 1 误收为 0 概率 0.01。收到 1，真发 1 概率？
答案
(0.5×0.99)/(0.5×0.99+0.5×0.02)=0.495/0.505≈0.980。
考点：全概率+贝叶斯（通信版）——§5.3 计6 T5 三事件 A、B、C：把"至多一个发生"和"恰好两个发生"各翻译成事件运算（先用对偶律，再拆互斥块）。
答案
至多一个发生="至少两个发生"的反面=¬(AB∪AC∪BC)；也可拆互斥块：$A\bar B\bar C\cup\bar A B\bar C\cup\bar A\bar B C\cup\bar A\bar B\bar C$（恰好一个的三块+都不发生）。恰好两个发生=$AB\bar C\cup A\bar B C\cup\bar A BC$（三块互斥相加）。先翻译后计算——翻译对了公式自然浮出来。
考点：考试翻译器+对偶律——§1.2 考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
互斥 vs 独立 ：互斥=无公共样本点（水火不容）；独立=概率恰等于积（各过各的）。正概率互斥⟹必不独立
对立 vs 互斥 ：对立=互斥+并满全空间。"非黑即白"才叫对立，"黑与白"只是互斥
概率 0 ≠ 不可能 ：几何概型单点概率 0 但可发生；古典概型（有限）里才等价
条件概率的方向 ：P(A|B) 与 P(B|A) 是两回事——"阳性中真病率"≠"病人中阳性率"
全概率 vs 贝叶斯 ：由因推果（求结果）用全概率；执果索因（已知结果反推原因）用贝叶斯
完备事件组 ：两两互斥＋并起来=Ω，两条缺一不可；份额和应为 1（自检）
"至多 k 个" = 补"至少 k+1 个" ：正难则反，几乎永远走求逆
"恰好一个" ≠ "至少一个" ：恰好=互斥拆块逐段加；至少=并（或求逆）
两两独立 ≠ 相互独立 ：反例掷两硬币；相互独立要任意子集都过积公式
古典概型口径 ：分子分母必须同口径（都分次序或都不分），混用必错
怎么用这张图（三步复习法）
① 先只看骨架 （点"只看骨架"按钮）：自问每一节讲什么，一句话说中要害；逐层展开对答案 ：说不出的那个节点，回正文对应节补 10 分钟；错题回图定位 ：做题错的每道题，回图找到它挂在哪个节点——那个节点就是弱项，把它的"要点"逐条变成自己的话。
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