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第2章 一维随机变量及其分布
把样本点换成数，给概率建"累计账户"——全书语言层
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随机变量▾
定义X: Ω→R，给每个样本点发一个数（骨子里是函数）
离散（可列）vs 连续（充满区间）→ 决定记账工具
定义F(x)=P(X≤x)：从 −∞ 累计到 x 的概率总量
四性质（充要）：单调不减 / 0≤F≤1 / 两端 0 与 1 / 右连续
取款四件套：P(a<X≤b)=F(b)−F(a)；单点=跳跃高
分布律▾
定义P(X=xₖ)=pₖ，pₖ≥0 且 Σpₖ=1（逐点记账）
定义n 重独立重复的成功次数：C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ
无记忆性 P(X>k+m|X>k)=P(X>m)——等待无资历
泊松近似二项：n 大 p 小 np 适中，B(n,p)≈P(np)
定义F(x)=∫f(t)dt；P(a<X<b)=曲线下面积
密度≠概率：可大于 1（U(0,0.5) 密度恒 2）；单点概率 0
归一性 ∫f=1 求参数；求导/积分实现 f↔F 互转
定义U(a,b) 概率=长度比；E(λ) 密度 λe^(−λx)，P(X>t)=e^(−λt)
定义钟形曲线：μ 定位置，σ 定胖瘦；记号第二参数=方差
标准化 Z=(X−μ)/σ：任意正态→N(0,1)，面积不变
必背 Φ 值：1.645→0.95；1.96→0.975；Φ(−x)=1−Φ(x)
3σ 法则：±1σ 68.3% / ±2σ 95.4% / ±3σ 99.7%
定义每个 x 代入 g 求 y；不同 x 映到同一 y 时概率相加
定义F_Y(y)=P(g(X)≤y)→翻译回 X 的范围→用 F_X 表达→求导
定义g 单调可导有反函数 h：f_Y(y)=f_X(h(y))·|h′(y)|
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配套题库 · 20 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
基础组
B1掷骰子 X 为点数：写出 F(2.5)、F(4)、P(2<X≤5)、P(X=3)。
答案
F(2.5)=2/6=1/3；F(4)=4/6=2/3；P(2<X≤5)=F(5)−F(2)=5/6−2/6=1/2；P(X=3)=F(3)−F(3⁻)=1/6（跳跃高）。
B2X~N(3,4)：P(X<1)？先说 σ。
答案
σ=2（第二参数是方差！）。P(X<1)=Φ((1−3)/2)=Φ(−1)=1−Φ(1)≈0.1587。
B3命中率 0.3 射 10 次：恰好 3 中？至少 1 中？
答案
C(10,3)·0.3³·0.7⁷=120×0.027×0.0824≈0.267；至少 1 中=1−0.7¹⁰≈0.972。
B4一页书平均 1.5 个错字（泊松）：恰 1 个？至少 1 个？
答案
1.5·e^(−1.5)≈0.335；1−e^(−1.5)≈0.777。
B5f(x)=kx（0≤x≤2，其余 0）：求 k、P(1<X<2)、F(x)。
答案
∫₀²kx dx=2k=1→k=1/2；P(1<X<2)=∫₁²x/2 dx=1/2；F(x)=0(x<0)、x²/4(0≤x<2)、1(x≥2)。
B6X~U(0,10)：P(2<X<5)？P(X=5)？X~E(0.5)：P(X>4)？
答案
3/10=0.3；0（单点无质量）；e^(−0.5×4)=e⁻²≈0.135。
B7X∈{−1,0,1}，p={0.2,0.5,0.3}，Y=X²：写 Y 的分布律。
答案
P(Y=0)=0.5；P(Y=1)=0.2+0.3=0.5（并值加概率）。
B8一次伯努利试验（成功率 p）的"成功与否"记为 X：X 服从什么分布？分布律？它和二项分布什么关系？
答案
0-1 分布 B(1,p)：P(X=1)=p、P(X=0)=q。它是 n=1 的二项分布——二项是"n 次独立 0-1 的求和"（第4章证明这一点）。
B9下列命题正确的是（A）密度必 ≤1（B）连续型单点概率必为 0（C）概率为 0 的事件必为不可能事件（D）分布函数必连续
答案
（B）。（A）反例 U(0,0.5)（密度可到 2）；（C）第 1 章几何概型判例（概率 0 但可发生）；（D）离散型分布函数阶梯右连续而非连续。
进阶组
J1F(x)=0(x<0)、x(0≤x<1)、1(x≥1) 是分布函数吗？是哪个分布的？
答案
是：单调不减、端点 0/1、各段右连续——U(0,1) 的分布函数。
J2X~N(μ,σ²) 且 P(X≤2)=0.5、P(X≤4)=Φ(1)。求 μ、σ。
答案
μ=2（概率 0.5 的分界点=对称轴）；(4−2)/σ=1→σ=2。
J3100 个产品各以 0.02 概率独立为次品：恰好 1 件次品的精确概率与泊松近似各是多少？
答案
精确：100×0.02×0.98⁹⁹≈0.2706；近似：P(2) 的 2e⁻²≈0.2707（四位小数吻合）。
J4每次接通客服概率 0.7：第 3 次才首次接通？3 次内接通？
答案
几何：0.3²×0.7=0.063；0.7+0.21+0.063=0.973。
J5设备每小时平均故障 2 次（泊松）：1 小时内 P(X=0)、P(X=1)、P(X≤1)？
答案
e⁻²≈0.135；2e⁻²≈0.271；0.406。
J6ATM 平均每天 4 次（泊松流），间隔 T~E(λ=4/天)：间隔超过半天的概率？
答案
P(T>0.5)=e^(−4×0.5)=e⁻²≈0.135（单位统一成天）。
J7X~U(0,2)，Y=X²：求 f_Y(y) 并验算归一。
答案
0<y<4：F_Y(y)=P(X≤√y)=√y/2，求导 f_Y=1/(4√y)；∫₀⁴dy/(4√y)=1 ✓。
挑战组
T1X~N(5,4)：P(3<X<7)、P(X>9) 各是多少？3σ 口径下 68.3% 区间是哪个？
答案
σ=2：P(3<X<7)=P(|Z|<1)≈0.683；P(X>9)=1−Φ(2)≈0.0228；±1σ 区间=(3,7)。
T2X~E(1)，Y=e^X：求 f_Y(y)（两法）。
答案
y>1：分布函数法 F_Y=1−1/y，f_Y=1/y²；公式法 h=ln y，e^(−ln y)·(1/y)=1/y² ✓。
T3X~U(0,1)，Y=2X+1：Y 服从什么分布？用两法求 f_Y。
答案
U(1,3)：F_Y=(y−1)/2（1<y<3），f_Y=1/2。线性变换=给均匀分布搬家。
T4设连续型 X 的密度 f(x) 满足：f(x)=k|x|（−1<x<1）。(1) k？(2) P(0<X<0.5)？(3) 说明 P(X=0.5)=0 但 X 总会取到某个值——矛盾吗？
答案
(1) 2k∫₀¹x dx=k=1→k=1（注意对称翻倍：2×(k/2)=k）；(2) ∫₀^0.5 x dx=0.125；(3) 不矛盾——单点是零宽区间，质量 0；但概率 1 地落在某处（可列个零测集之并仍可能承载全部质量的说法不对——确切说：全体单点各自概率 0，但"落到某个点"是必然事件，因为它是不可列无穷并，可加性管不了它）。
T5X 服从指数分布，已知 P(X>1)=e^(−2)。(1) 求 λ；(2) 已知 X>1，求 P(X>3|X>1)；(3) 求均值间隔（提示：E(X)=1/λ，第4章兑现）。
答案
(1) e^(−λ)=e^(−2)→λ=2；(2) 无记忆性：P(X>2)=e^(−2×2)=e^(−4)≈0.0183；(3) 1/λ=0.5（时间单位）。"给生存概率反求 λ"是指数分布的常客题型。
考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
密度 vs 概率：f(x) 可大于 1（线密度不是质量）；只有面积（积分）才是概率
N(μ,σ²) 第二参数：是方差不是标准差；标准化时除的是 σ=√方差
P(a<X≤b) vs P(a≤X<b)：连续型相等；离散型差端点单点质量
无记忆性：几何与指数独家；"等了多久"不影响"还要等多久"
二项 vs 泊松：二项数"n 次里成几次"；泊松数"单位时间来几件"。n 大 p 小时后者替前者
几何 vs 二项：几何等"首次"（等待次数）；二项数"总数"（成功次数）
Φ(−x)=1−Φ(x)：负值查表先翻正；对称轴两侧尾巴等重
必背 Φ 值：1.645→0.95、1.96→0.975、2.33→0.99、Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772
正态概率 0.5 的位置：P(X≤μ)=0.5——对称轴就是中位数
公式法前提：g 单调可导有反函数；不单调退回分布函数法分区间
怎么用这张图（三步复习法）
① 先只看骨架（点"只看骨架"按钮）：自问每一节讲什么，一句话说中要害；
② 逐层展开对答案：说不出的那个节点，回正文对应节补 10 分钟；
③ 错题回图定位：做题错的每道题，回图找到它挂在哪个节点——那个节点就是弱项。
⚠️ 判据只有两条：合上图能复述每节要害；闭卷能做对题。
间隔提示：+3 天 / +16 天回来闭卷复述第一层（配合正文§6.4 回访口）。
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