变形前
原点
横向基本方向
纵向基本方向
正方形格子
整体推歪
变形后：剪切（歪推）
原点
横向基本方向：没动
纵向方向：被推歪了
格子歪了，但仍平行、仍均匀
图 1 · 剪切：整张网格被"歪推"。三条判据全部成立——直线仍是直线、原点没动、格线仍平行等距（这幅推的是半格）。
配着图自己验一遍三判据：直线仍直（没一条被掰弯）、原点没动、格子仍是平行等距的斜格——剪切合格。
顺手再亲手追踪一条
不合格 的：规则 $(x,y)\to(x+1,\ y)$（全图右移一格）。追踪 $(0,0)$ 和 $(2,3)$：$(0,0)\to(1,0)$，$(2,3)\to(3,3)$——
原点动了 ，判据② 现场失败。记住这个反例：它看着"均匀"（直线还是直线、网格还是平行等距的格子），却因为原点挪窝被踢出局——它叫
平移 ，第二节你会看到它的代数死因。
> 📌
本节手艺（全课通用） ：认识任何新变换，三步——写规则、追几个点、过三判据。别跳步：亲手追过点的规则，才算你的规则。
最后看一眼全课路线图。一场均匀变形，这门课从三个角度追问它——
>
全课三问 ：①
压扁了吗 （有没有方向被叠没？）→ 幕3 造一把尺子量它；②
可撤销吗 （推歪了能不能推回来？）→ 幕4；③
哪些方向转不歪 （变形里只被拉伸的"主干"方向）→ 幕5。本篇先把"变形"记成一张账——三问，都是查这本账的三种方式。
---
## 二、"线性"的两条规则：从画面到算式
> ✏️
先猜 ：什么样的搬家规则才算“线性”？用幕1 的两招说一句：它必须保住哪两件事？
上一节你用眼睛和方格纸检查"均匀"。但维数一高，图画不出、眼睛用不上——判据必须变成
算式 。怎么变？先拿一台具体的机器试一遍。
体检第一项（加法） 。机器 $T$：每点 $(x,y)$ 搬到 $(2x,\ x+y)$。取两支箭 $\mathbf{u}=(1,2)$、$\mathbf{v}=(3,1)$：
- 先合并再搬：$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(4,3)$，$T(4,3)=(8,\ 7)$；
- 先搬再合并：$T(1,2)=(2,\ 3)$，$T(3,1)=(6,\ 4)$，相加得 $(8,\ 7)$。
对上了 ——这台机器"先合并再搬 = 先搬再合并"。
体检第二项（数乘） ：$T(2\mathbf{u})=T(2,4)=(4,\ 6)$，而 $2\,T(\mathbf{u})=2\cdot(2,3)=(4,\ 6)$——也对上。两条体检都过的机器，有正式名字：
线性变换 ：一条搬家规则 $T$，把每支箭搬到新家，且不破坏幕1 的两招 ——
两条规则各配一句白话：①"两个人搭伙走，跟各自走到再会合，效果一样"；②"先放大镜再看，跟先看再放大，倍数不丢"。
为什么这两条就够换来上一节的三判据？ 挑两条现场推，你就信了：
-
原点不动 ：零向量是 $0\cdot\alpha$（任何箭乘 0 都缩成零箭）。由规则②，$T(\mathbf{0})=T(0\cdot\alpha)=0\cdot T(\alpha)=\mathbf{0}$——原点想动都动不了，规则替你锁死了。〔原理〕
-
直线仍是直线 ：一条直线上的点，全是"起点箭 $\alpha$ 加上方向箭 $\mathbf{d}$ 的 $t$ 倍"：$\alpha+t\mathbf{d}$（$t$ 取遍实数）。用两条规则搬它：$T(\alpha+t\mathbf{d})=T(\alpha)+T(t\mathbf{d})=T(\alpha)+t\,T(\mathbf{d})$——还是"某支箭 + 某方向箭的 $t$ 倍"，
还是一条直线 （万一 $T(\mathbf{d})=\mathbf{0}$，整条线缩进一个点——上一节说过的压扁极端，规矩没破）。整条直线被"两个端点的去向"完全决定，这就是"均匀"的含金量。〔原理〕
反过来问一句：保住了两招，幕1 的连招（线性组合）会不会漏保？不会——组合不过是"数乘几次、再加起来"，每一步都被规则罩着，所以
保两招，就保住了一切组合 。至于"看着均匀"却破坏两招的规则——有，上一节末你亲手追踪过的平移就是；这正是三判据里"原点不动"要单列一条的原因。于是
"线性"= "不糟蹋幕1 那两招" ，幕1 第二节末埋的伏笔在这里正式兑现。
> 📌
反例警示（考研选择题常客） ：把全平面每支箭
向右平移一格 ——直线还是直线、网格还是平行等距的格子，均匀得不能再均匀，是线性变换吗？
不是。 查规则②：原点被它搬到了 $(1,0)$，可线性变换必须 $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$。这记警钟的通用打法：
遇到"是不是线性变换"，先验 $T(\mathbf{0})$ 是否为零——一票否决 ，再验两招。（三判据里"原点不动"单列一条，就是防这类李鬼——上一节你亲眼见过它骗过前两条判据。）
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §1.1–1.2。
> ✏️
立刻练一道 ：判断下列规则哪些是线性变换（$\alpha=(x,y)$）：① $T(\alpha)=(2x,\ x+y)$；② $T(\alpha)=(x+1,\ y)$；③ $T(\alpha)=(x^2,\ y)$。
>
>
✅ 答案
>
> ① 是：$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})$ 与 $T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ 逐分量都是 $(2(x_1{+}x_2),\ (x_1{+}x_2)+(y_1{+}y_2))$，数乘同样过——两招全保。
> ② 不是：$T(\mathbf{0})=(1,0)\neq\mathbf{0}$，一票否决（这就是"向右平移一格"）。
> ③ 不是：$T(2\alpha)=(4x^2,\ 2y)$，而 $2T(\alpha)=(2x^2,\ 2y)$，横向是平方 不是伸缩——数乘被破坏（$x^2$ 把"拉长 2 倍"放大成"拉长 4 倍"）。
>
---
## 三、魔法兑现：基向量的去向决定一切
第二节开头的机器还要一台一台试。其实有快得多的手艺——先玩一票大的。
给一条新规则：每点 $(x,y)$ 搬到 $(2x+y,\ y)$。不谈整张图，只给你两条情报：
- 横向一小步 $\mathbf{i}=(1,0)$，被搬到 $(2,0)$；
- 纵向一小步 $\mathbf{j}=(0,1)$，被搬到 $(1,1)$。
问：$(3,2)$ 被搬到哪？ （拿笔。提示：$(3,2)$ 就是"横向 3 步 + 纵向 2 步"，每一步各自按新走法折算、再合并。）
✅ 对一下
3 个横向步，每步走到 $(2,0)$：合计 $(6,0)$；2 个纵向步，每步走到 $(1,1)$：合计 $(2,2)$；合并 $(6,0)+(2,2)=(8,\ 2)$。直接代入规则验：$(2\times3+2,\ 2)=(8,\ 2)$ ✓。
你刚才动用了几条情报？
两个箭头的去向，4 个数 ——算出了无穷多个点里随便一个的去向。这不是巧合，是定理。先把主角请回来：$\mathbf{i}=(1,0)$、$\mathbf{j}=(0,1)$（幕1 说过它们"不多不少刚好铺满"平面，是标准骨干；教材叫它们
基向量 ，两个名字混用，认得即可）。
任何一支箭 $\alpha=(x,y)$，按幕1 第三节就是它们的线性组合：
$$\alpha=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}$$
现在让线性变换 $T$ 上场。它保两招，所以"先组合、再整体搬"等于"先各自搬、再组合"：
$$T(\alpha)=T(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})=x\,T(\mathbf{i})+y\,T(\mathbf{j})$$
读三遍这条式子，它是全课被使用最多的一句话：
任何箭的去向，都由两根基本箭的去向组合而成——组合系数就是原坐标 $(x,y)$ 。想知道全平面被搬成什么样，只需要知道两个新家：$T(\mathbf{i})$ 和 $T(\mathbf{j})$。〔原理〕
这就是"魔法"的真相：不是魔法，是
均匀性把无穷多个点的信息压缩成两个箭头（4 个数）的记账 。无穷对有限——这一步压缩，就是线性代数能算的根本原因。
拿第一节的老朋友验证手感：剪切（图 1 的主角，"$\mathbf{i}$ 不动，$\mathbf{j}$ 被推向右：$T(\mathbf{j})=\mathbf{i}+\mathbf{j}$"）。那么 $(3,2)$ 去哪？
$$T(3,2)=3\,T(\mathbf{i})+2\,T(\mathbf{j})=3(1,0)+2(1,1)=(5,\ 2)$$
横向被"拉"了 2 格的斜——跟图 1"越高推得越远"的读法一致（图里推的是半格，这里推满一格，规矩相同），但这次没看图，纯算。
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §2。
> ✏️
立刻练一道 ：某线性变换 $T$ 把 $\mathbf{i}$ 搬到 $(3,1)$、把 $\mathbf{j}$ 搬到 $(-2,1)$。（a）$(-1,2)$ 被搬到哪？（b）哪些箭搬家前后是同一支箭（不动点）？
>
>
✅ 答案
>
> （a）$T(-1,2)=-1(3,1)+2(-2,1)=(-7,\ 1)$。
> （b）要 $T(x,y)=(x,y)$：$x(3,1)+y(-2,1)=(3x-2y,\ x+y)=(x,y)$，按分量 $\begin{cases}3x-2y=x\\ x+y=y\end{cases}$，第二式给 $x=0$，代回第一式 $-2y=0$，故 $y=0$——只有零箭不动。这个变换又拧又拉，除了原点谁都挪了窝。
>
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## 四、给新家建一张登记表
> ✏️
先猜 ：只给你两根基本箭的新家，能不能还原整张图的去向？为什么？
两个新家定了，变形就定了——那把新家坐标
按队列入册 ，就是本课主角的登场式。
矩阵 ：把 $n$ 根基本箭的新家坐标依次排成的数表——第 $j$ 列 = 第 $j$ 根基本箭的新家。$m$ 行 $n$ 列的矩阵（$m\times n$）描述"从 $n$ 维空间往 $m$ 维空间的搬家"。平面内变形是 $2\times 2$。
剪切的登记表：$T(\mathbf{i})=(1,0)$ 进第一列，$T(\mathbf{j})=(1,1)$ 进第二列——
$$S=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}$$
第一列 $(1,0)$ 是 $\mathbf{i}$ 的新家，第二列 $(1,1)$ 是 $\mathbf{j}$ 的新家。
读矩阵先读列 ，一列一支新家，这是登记表的本源读法〔约定：按列入册是历史习惯，但要读出内容〕。
### 4.1 查表组合：一张表乘一支箭
登记表怎么用？把第三节那条核心式子装进表中：
$$S\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+y\\ y\end{bmatrix}$$
矩阵乘向量 $A\alpha$：取 $\alpha$ 的坐标当组合系数 ，把 $A$ 的各列组合起来——$\alpha$ 的新家。$2\times2$ 时：$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+by\\ cx+dy\end{bmatrix}$。
注意最后一步出现了另一个版本：$(ax+by,\ cx+dy)$——
新家的第 1 个坐标 = 第 1 行逐个乘 $(x,y)$ 再相加 。这不是第二条规则，是同一次组合的另一种记账：$A$ 的第 1 行 $(a,b)$，恰好是两个新家（两列）的
第 1 层坐标 ，组合时第 1 层自然要合账。于是"乘向量"有了两种读法，考场上两种都要快：
| 读法 | 口径 | 白话 |
|------|------|------|
| 列组合（本源） | $x\cdot$第 1 列 $+y\cdot$第 2 列 | 坐标=配方，查表组合出新家 |
| 行乘加（速算） | 第 $i$ 个新坐标 = 第 $i$ 行 $\cdot(x,y)$ | 每层坐标各自合账 |
两种读法算出的数永远一样——因为它们只是同一条组合式的横读与竖读。
理解走列（组合是本质），计算走行（逐层合账顺手） ，这是幕1"几何与代数是一枚硬币两面"在本篇的又一次上演。
搬家前：标准网格与两根基本箭
原点
î=(1,0)
ĵ=(0,1)
单位方块，面积 1
搬家后：剪切 S=[1 1; 0 1]
原点
î 不动 (1,0)
ĵ 新家 (1,1)
方块斜成平行四边形（虚线=斜格方向）
图 2 · 矩阵=新家登记表。右图第一列 $(1,0)$：$\mathbf{i}$ 原地不动；第二列 $(1,1)$：$\mathbf{j}$ 被推向右一格——这就是剪切。方块跟着斜成平行四边形，因为它的四个角都是"组合"，组合跟着新家走。（图中 î、ĵ 即正文 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$。）
验一遍手感 ：$S(3,2)$。列组合读法：$3(1,0)+2(1,1)=(3,0)+(2,2)=(5,2)$；行乘加读法：$(1\cdot3+1\cdot2,\ 0\cdot3+1\cdot2)=(5,2)$。两条路一个答案，且与第二节 $T(3,2)=(5,2)$ 一致——$S$ 就是那场剪切的登记表本人。
> 📌
了解级：矩阵不一定方的 。$3\times2$（三行两列）= 平面的两根基本箭被搬进三维房间（每支新家 3 个坐标）；$2\times3$ = 三维空间的影子投到纸面。数三主考 $2\times2$、$3\times3$ 方阵，但
形状含义（行数=新家维数，列数=原空间基向量数） 要认得——它让你一眼看出一个矩阵在"几维到几维"之间搬家。
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §3–4。
> ✏️
立刻练一道 ：写出下面两个变换的登记表：（a）逆时针转 90°（提示：$\mathbf{i}$ 搬到哪？$\mathbf{j}$ 呢？）；（b）沿横向拉长 2 倍、纵向不动。
>
>
✅ 答案
>
> （a）转 90°：$\mathbf{i}=(1,0)$ 竖着躺到 $(0,1)$；$\mathbf{j}=(0,1)$ 横着躺到 $(-1,0)$。登记表：
> $$R=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$$
> （b）$\mathbf{i}\to(2,0)$、$\mathbf{j}\to(0,1)$：
> $$D=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$$
> 两张表都先问"两根基本箭去哪"，答案按列入册——登记表从来不是背出来的，是查出来的。
>
---
## 五、动作连做：两张表合一张
> ✏️
先猜 ：先做 $B$ 再做 $A$，与先做 $A$ 再做 $B$，结果一样吗？先拿 §1 的拉伸/剪切试一个。
一场变形接着另一场，是最自然的提问：先剪切、再旋转，合起来等于一场什么变形？答案应该是又一张登记表——两张表怎么
合并成一张 ？
先立一条记号上的约定，考场全靠它防晕：
约定 ：$AB$ 作用在箭 $\alpha$ 上时写作 $A(B\alpha)$——写在右边的先动 （先 $B$ 后 $A$），像穿衣服：内衣先穿、写在式子右边。
为什么这样约定？因为 $AB\alpha$ 要跟函数套娃 $f(g(x))$ 一个脾气：括号从里往外生效。〔约定〕——这是记号层的习惯，不是数学必然；但全人类统一用它，你只需条件反射"右先左后"。
### 5.1 复合的登记表：一列一列推
复合 $AB$ 也是线性变换（两场都保两招，连着做当然还保），所以它也有登记表。
复合的登记表怎么从两张旧表算出来？ 回到登记表的定义：逐列问"基本箭的新家在哪"。
$AB$ 的第 $j$ 列 = $AB$ 把第 $j$ 根基本箭搬到哪 = "$B$ 先把第 $j$ 根基本箭搬走，$A$ 再接着搬" = $A\,(B\ \text{的第}\ j\ \text{列})$。而 $B$ 把第 $j$ 根基本箭搬到 $B$ 的第 $j$ 列（登记表的定义）！于是：
>
$AB$ 的第 $j$ 列 = 把 $B$ 的第 $j$ 列这支箭，再用 $A$ 搬一次（= $A$ 乘上 $B$ 的第 $j$ 列）。
新表的一列，就是"旧表的列再过一道 A"——复合=逐列再搬家。〔原理，本节心脏〕
拿数值走一遍（$A$ 用剪切 $S$，$B$ 用旋转 $R$，下同）：
$$B\text{ 的第 1 列是 }(0,1)，\quad A(0,1)=0\cdot(1,0)+1\cdot(1,1)=(1,1)$$
$$B\text{ 的第 2 列是 }(-1,0)，\quad A(-1,0)=-1\cdot(1,0)+0\cdot(1,1)=(-1,0)$$
所以 $AB$（先转再剪）的第一列 $(1,1)$、第二列 $(-1,0)$：
$$SR=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$$
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §4–5。
> ✏️
立刻练一道 ：$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$（交换两轴）。算 $AB$、$BA$、$ABA$。
>
>
✅ 答案
>
> 逐列再搬家：
> $$AB=\begin{bmatrix}2&1\\3&0\end{bmatrix}\qquad BA=\begin{bmatrix}0&3\\1&2\end{bmatrix}$$
> （验算 $AB$ 第 1 列：$A$ 乘 $B$ 第 1 列 $(0,1)$：$0\cdot(1,0)+1\cdot(2,3)=(2,3)$ ✓。）
> $ABA=(AB)A$：用刚算出的 $AB$ 逐列再搬 $A$ 的列。$A$ 的第 1 列 $(1,0)$：$AB(1,0)=1\cdot(2,3)+0\cdot(1,0)=(2,\ 3)$；$A$ 的第 2 列 $(2,3)$：$AB(2,3)=2\cdot(2,3)+3\cdot(1,0)=(7,\ 6)$。所以
> $$ABA=\begin{bmatrix}2&7\\3&6\end{bmatrix}$$
> （三场连做：先 $A$、再换轴、再 $A$——右先左后。）
>
---
## 六、速算长相与顺序的脾气
"逐列再搬家"是理解用的；真算起来，一列一列组合偏慢。把它翻译成速算记账——教材开篇就教的"前行乘后列"，就是从这长出来的。设 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，$B$ 的第 $j$ 列是 $(u,v)$，则 $A$ 搬这支箭：
$$u\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}+v\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}au+bv\\ cu+dv\end{bmatrix}$$
看清楚新坐标怎么来的：
第 1 层 = $A$ 第 1 行 $(a,b)$ 逐乘 $(u,v)$ 再相加；第 2 层 = $A$ 第 2 行逐乘再相加 。而 $(u,v)$ 是 $B$ 的第 $j$ 列。于是复合表的第 $(i,j)$ 格：
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}=\text{（$A$ 第 $i$ 行）}\cdot\text{（$B$ 第 $j$ 列）}$$
教材开篇就教的"前行乘后列"，
不是谁规定的速记法，是"复合 = 逐列再搬家"这件事在速算记账下的长相 。幕1 回访口预告的"乘法规则自动长出来"，就是这一步。验算：上面 $SR$ 用行乘加再算一遍——第 (1,1) 格：$S$ 第 1 行 $(1,1)$ 点 $R$ 第 1 列 $(0,1)$：$1\cdot0+1\cdot1=1$ ✓；第 (2,2) 格：$(0,1)\cdot(-1,0)=0$ ✓。两条路完全一致。
维度匹配 从此不再是死规矩：$A$ 是 $m\times n$（收 $n$ 维箭），$B$ 的每列必须正好是 $n$ 维箭（$B$ 得是 $n\times p$），乘出 $m\times p$（新家 $m$ 维、$p$ 列）。"中间对中间"（中间两个数必须相等、两头定形状）是登记表口径的必然。
顺序的脾气：先剪后转 ≠ 先转后剪。 同是剪切加旋转，顺序一换，终形不同——看图：
先剪切，再旋转（记作 RS）
原点
第①步：方块→斜方块
第②步：整体竖起
角点 (1,1)：先→(2,1)，再→(−1,2)
先旋转，再剪切（记作 SR）
原点
第①步：方块竖躺
第②步：再推斜
角点 (1,1)：先→(−1,1)，再→(0,1)
图 3 · 连做的顺序不可交换。同一个角点 $(1,1)$：先剪后转落在 $(-1,2)$，先转后剪落在 $(0,1)$——两场终形不同（蓝 vs 红），所以 $RS\neq SR$。灰色虚影是各自的中间一步。
代数对账（用登记表算，不靠眼睛）。算 $RS$——
"先剪后转" = 剪切先动 = 写在右边 = $S$ 在右、$R$ 在左 ，逐列问"$S$ 的列再过 $R$"。$S$ 的列：$(1,0)$、$(1,1)$；$R(1,0)=(0,1)$，$R(1,1)=(-1,1)$：
$$RS=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{bmatrix}\qquad\text{另一边 }SR=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\ \text{（5.1 节刚算过）}$$
> ⚠️
防晕提示（全课第一大坑） ：读式先拆"谁先动"——先做的动作写在
右 边。"先剪后转"四个字，剪在前，$S$ 就在右。凡见 $AB$，默念一遍"右先左后"再动笔。
两表确实不同。再各乘一个 $(1,1)$ 验证：$RS(1,1)=(-1,2)$（图 3 左的角点 ✓）、$SR(1,1)=(0,1)$（图 3 右 ✓）。
矩阵乘法不交换（$AB\neq BA$ 一般成立） ——不是教材的恐吓，是"穿衣顺序影响效果"的记账事实。数三选择、填空都爱在这设坑：凡是见到 $AB$，先默念"右先左后"。
> ⚠️
顺带收三条运算律 （都能用"动作"一句话说清，不用背）：
> -
结合律 $(AB)C=A(BC)$：三场连做，怎么打括号都是同一场——动作顺序没变，括号只是分组记账。
> -
分配律 $A(B+C)=AB+AC$：先做"和变换"再 $A$，等于分别做过再相加——保两招的直接推论。
> -
没有交换律 ：$AB=BA$ 一般不成立（上图）；个别对能交换（如两个对角矩阵互相；还有下一节登场的那张"什么都不做"的表 $E$，它跟谁都换），那是例外不是规矩。
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §5–6。
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## 七、不动、基本动作与连做 $n$ 次
### 7.1 什么都不做的登记表
$\mathbf{i}\to(1,0)$、$\mathbf{j}\to(0,1)$——两根基本箭各回各家，全平面纹丝不动。这张表就是“什么都不做”的登记表：
$$E=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$
单位矩阵 $E$（有的书写 $I$）：恒等变换的登记表——对角线全 1、其余全 0。任何方阵与它相乘都不变：$AE=EA=A$（跟"不动"连做，等于没做；非方阵时左右两侧的 $E$ 尺寸不同，精神一样）。它是矩阵世界里的 1。
$AE=EA=A$ 不用背：$E$ 乘任何箭，箭不动（每列原样），所以逐列再搬家的结果就是原表。
$E$ 之于矩阵乘法，正如 1 之于数的乘法 ——这个类比幕4 讲"逆矩阵"时会变成主角（什么矩阵配当"倒数"？）。
### 7.2 三类基本动作（幕4 的伏笔）
平面上的变形千变万化，但有三样最简单的"标准动作"值得认脸——它们是幕4 消元法的全部家当，先把登记表挂出来〔欠条：为什么"只这三样就够"，幕4 消元一节还〕：
| 动作 | 登记表 | 效果 |
|------|--------|------|
| ① 换轴（翻转） | $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ | $\mathbf{i}\leftrightarrow\mathbf{j}$，全图照镜子 |
| ② 单轴拉伸 | $\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}$ | 横向拉 $k$ 倍，纵向不动 |
| ③ 剪切 | $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ | $\mathbf{j}$ 被推向右一格 |
### 7.3 同一动作连做 $n$ 次
先看一个"当下就要连做"的真实场景。两座城，每年甲城人口的 $20\%$ 迁去乙城、乙城人口的 $10\%$ 迁来甲城。今年两城人口 $(100,\ 60)$（列=来源城市），迁移表 $M=\begin{bmatrix}0.8&0.1\\ 0.2&0.9\end{bmatrix}$。明年人口就是一次查表组合：
$$M\begin{bmatrix}100\\60\end{bmatrix}=100\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}+60\begin{bmatrix}0.1\\0.9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}80+6\\ 20+54\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}86\\74\end{bmatrix}$$
（每年一张同样的迁移表。）
问：20 年后两城各多少人？ ——把 $M$ 连做 20 次再乘今年人口：$M^{20}\begin{bmatrix}100\\60\end{bmatrix}$。"同一动作连做 $n$ 次"，经济、人口、市场份额的动态模型里天天要算。
方幂 $A^k=A A\cdots A$（$k$ 个连乘）= 同一场动作连做 $k$ 次。约定 $A^0=E$（做零次=不动）。
剪切连做 （每一层再推一格）：
$$S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\ \to\ S^2=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\ \to\ S^3=\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\ \to\ \cdots\ \to\ S^n=\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}$$
算一遍 $S^2$ 扎实手感（逐列再搬家）：$S$ 的第 1 列 $(1,0)$ 过 $S$ 不动 → $(1,0)$；第 2 列 $(1,1)$ 过 $S$：$S(1,1)=(2,1)$。所以 $S^2$ 列为 $(1,0),(2,1)$ ✓。$\mathbf{j}$ 每被推一次就再倒一格——
几何预言代数 ：连剪 $n$ 次，右上角那个数必然是 $n$。
对角矩阵连做 （各轴各拉各的，互不打扰）：
$$D=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\ \to\ D^2=\begin{bmatrix}4&0\\0&9\end{bmatrix}\ \to\ D^n=\begin{bmatrix}2^n&0\\0&3^n\end{bmatrix}$$
对角矩阵的方幂好算得离谱：
对角线直接取幂 。因为 $D$ 不把 $\mathbf{i}$ 推向 $\mathbf{j}$ 的方向（列里没有"串门"的分量），连做时横向始终只管横向——每根轴的拉伸各自连乘。
> 💡
埋一条大伏笔（幕5 的全部动机） ：一般的 $A$ 连做十次，要老老实实乘十遍；$D$ 连做十次，只要两个数各自十次方。
如果一场复杂变形，换一套基本箭（一套"斜坐标"）来描述就变成纯拉伸，那它连做 $n$ 次就一步到位 ——"找那套斜坐标"就是幕5 的特征向量，"换套记账"就是幕5 的对角化。现在只需记住：对角矩阵的方幂便宜，这个便宜幕5 要赚大钱。
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §7。
> ✏️
立刻练一道 ：$D=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$。算 $D^3$、$D^5$；再算 $D^3\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 并用"查表组合"说一句几何含义。
>
>
✅ 答案
>
> $D^3=\begin{bmatrix}8&0\\0&27\end{bmatrix}$，$D^5=\begin{bmatrix}32&0\\0&243\end{bmatrix}$（对角线逐个取幂）。
> $D^3(1,1)=1\cdot(8,0)+1\cdot(0,27)=(8,\ 27)$：连做三次"横拉 2 纵拉 3"后，对角线上的箭 $(1,1)$ 被搬到 $(8,27)$——横向 2³ 倍、纵向 3³ 倍，两轴互不干涉。
>
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## 八、翻面与对称：登记表照镜子
### 8.1 把表翻个面
> ✏️
先猜 ：把表翻个面，乘法顺序会怎样？先写 $(AB)^T=?$，再往下看。
先看一个数据表的日常：两商品×两门店的销量，"每列一家店"挂成 $X=\begin{bmatrix}5&0\\ 3&4\end{bmatrix}$（第一列=甲店卖了 5 件商品一、3 件商品二）；哪天报表系统要求"每列一种商品"，同一张表就得挂成 $\begin{bmatrix}5&3\\ 0&4\end{bmatrix}$——行列身份对调，表沿对角线翻了个面。这个"翻面"，天天发生在换报表口径的时候。
转置 $A^T$：登记表沿主对角线（左上到右下）翻面——第 $i$ 行变第 $i$ 列。$(A^T)_{ij}=A_{ji}$。
转置在纯几何上是什么动作，要等幕5 讲完"内积/正交"才有干净的画面（那时它叫"伴随"）；在那之前把它当
记账操作 学——翻面、行列表列互换。〔约定+欠条：几何身份幕5 补〕
四条运算律，前三条一眼（翻回去、分开翻、翻面提系数）：
$$(A^T)^T=A\qquad (A+B)^T=A^T+B^T\qquad (kA)^T=kA^T$$
第四条是考点制造机：$(AB)^T=B^TA^T$——
顺序必须翻 。一句推导看懂就不必背：$(AB)^T$ 的第 $(i,j)$ 格 = $AB$ 的第 $(j,i)$ 格 = $A$ 第 $j$ 行 $\cdot$ $B$ 第 $i$ 列。而"$B$ 第 $i$ 列"翻面后正是 $B^T$ 的第 $i$
行 ，"$A$ 第 $j$ 行"翻面后正是 $A^T$ 的第 $j$
列 ——行乘列的身份对调，所以乘法必须以 $B^T$ 打头。〔原理〕
### 8.2 翻面不变的登记表
对称矩阵 ：$A^T=A$，即 $a_{ij}=a_{ji}$（沿对角线翻面，表不变）。
生活里的对称表遍地是：$n$ 个城市两两距离表（甲到乙 = 乙到甲）、资产收益率相关表。对称矩阵在幕5 有专场（实对称矩阵的特征值全是实数、必可对角化——那时它从"记号习惯"升格为"主角"），本篇先把两条运算性质算清楚：
- $A$、$B$ 对称 $\Rightarrow$ $A+B$、$kA$ 对称（翻面分配，各自不变）。✓
- $A$、$B$ 对称，$AB$
未必对称 ：$(AB)^T=B^TA^T=BA$，要它等于 $AB$，得 $A$、$B$ 能交换。反例（题 17 会再算一遍）：
$$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ AB=\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}0&2\\1&0\end{bmatrix}=BA$$
- 但 $A$ 对称 $\Rightarrow$ $A^2=A\cdot A$ 对称：$(A^2)^T=(AA)^T=A^TA^T=AA=A^2$。
对称矩阵的任何次幂仍对称 ——数三判断题的常客，两条性质（上一条的"未必"与这一条的"必然"）配对记。
🧠 合上页·先回忆 答不出，回 §8–9。
> ✏️
立刻练一道 ：判断对错：① $(ABC)^T=C^TB^TA^T$；② $A$ 对称则 $A^3$ 对称；③ $A$、$B$ 都对称则 $AB$ 对称。
>
>
✅ 答案
>
> ① 对：连乘翻面，全部倒序（两次使用 $(AB)^T=B^TA^T$：$(ABC)^T=((AB)C)^T=C^T(AB)^T=C^TB^TA^T$）。
> ② 对：$(A^3)^T=(AA^2)^T=(A^2)^TA^T=A^2A=A^3$（或幂的转置=转置的幂）。
> ③ 错：反例见 8.2——$(AB)^T=BA\neq AB$ 一般成立。
>
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## 九、经济里的矩阵 + 全章家谱
### 9.1 投入产出：经济联动终于有了记账
经济系统里最常见的一种"一视同仁的搬家"：各部门按
固定比例 消耗上游产品——炼 1 吨钢吃 0.5 吨煤、产 1 吨煤耗 0.02 吨钢，比例对谁都一样。幕1 末尾说过"产出是向量、消耗是线性组合"——现在两块积木都到齐，正式拼起来。
两部门经济（农业、工业）。每生产 1 单位农产品要消耗 $0.3$ 单位农产品、$0.1$ 单位工业品；每生产 1 单位工业品要消耗 $0.2$ 单位农产品、$0.4$ 单位工业品。这些比例排成
消耗系数表 （每列=该部门每单位产出的消耗配方）：
$$A=\begin{bmatrix}0.3 & 0.2\\ 0.1 & 0.4\end{bmatrix}$$
今年总产出 $\mathbf{x}=(100,\ 50)$（农业 100、工业 50）。下一轮生产要消耗掉多少？
$$A\mathbf{x}=100\begin{bmatrix}0.3\\0.1\end{bmatrix}+50\begin{bmatrix}0.2\\0.4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30+10\\ 10+20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}40\\30\end{bmatrix}$$
消耗量也是一支向量（农 40、工 30），且
正是查表组合 ——"各部门按固定比例联动"翻译成代数就是一句 $A\mathbf{x}$。列昂捷夫投入产出模型的核心方程 $\mathbf{x}=A\mathbf{x}+\mathbf{d}$（产出 = 中间消耗 + 最终需求）从这一天起对你不再是天书：左边是产出向量，右边第一项是"产出被生产过程吃掉的部分"（查表组合），第二项是老百姓拿到的部分。这个方程怎么解出 $\mathbf{x}$，是幕4 的正戏（移项后会遇到"能不能除以矩阵"这个大问题）——伏笔先埋〔欠条：幕4〕。
再给一个一行钱的例子：两种商品价格 $p=(2,\ 3)$，两家店各卖了 $5$、$0$ 件和 $0$、$4$ 件，销量表 $X=\begin{bmatrix}5&0\\0&4\end{bmatrix}$（每列一家店），则两店营业额：
$$pX=(2,\ 3)\begin{bmatrix}5&0\\0&4\end{bmatrix}=(2\cdot5+3\cdot0,\ 2\cdot0+3\cdot4)=(10,\ 12)$$
行向量乘矩阵，同样是"查表组合"——$1\times2$ 乘 $2\times2$，中间的 2 对上，天经地义。
### 9.2 全章一张图：操作的家谱
幕1 的对象：向量 + 两招（加法、数乘）
（箭头=数对；步数可合并、可伸缩）
线性变换 = 不破坏两招的搬家规则
（T(u+v)=T(u)+T(v)，T(kα)=kT(α)）
魔法规定：基向量去向决定一切
（T(α)=xT(î)+yT(ĵ)：无穷压成 4 个数）
矩阵 = 新家登记表（列 = 新家）
（m 行 n 列：n 维进，m 维出）
乘向量 = 查表组合
（理解走列、计算走行）
乘矩阵 = 动作连做
（右先左后；AB≠BA）
E·方幂·转置·对称
（不动/连做/翻面；(AB)ᵀ=BᵀAᵀ）
图 4 · 幕2 全章家谱：幕1 的两招长出"线性"的定义，基向量去向长出矩阵，登记表长出全部运算。合上页面，自己画一遍。
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## 📒 本篇规则账
| 条目 | 身份 | 说明 |
|------|------|------|
| 变换 = 每个点按同一规则搬家 | 〔定义〕 | 认识变换三步手艺：写规则、追点、过三判据（§一） |
| 三判据：直线仍是直线 / 原点不动 / 网格平行等距 | 〔定义〕 | "均匀"的画面判据；§二 把它翻译成两条代数规则（两条等价） |
| 线性变换 = 保持加法与数乘 | 〔原理〕 | "线性"就是幕1 两招的护身符；组合（连招）自动全保 |
| $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$（原点锁死） | 〔原理〕 | 数乘规则的直接推论——判线性变换的一票否决项 |
| $T(\alpha)=xT(\mathbf{i})+yT(\mathbf{j})$ | 〔原理〕 | 全课最常用的一句：基向量去向决定一切 |
| 矩阵按列登记（第 $j$ 列=第 $j$ 根基本箭的新家） | 〔约定〕 | 记法是历史习惯；"列=新家"是它的内容 |
| $AB$ 右先左后 | 〔约定〕 | 与函数套娃 $f(g(x))$ 同脾气 |
| 前行乘后列 $c_{ij}=$（$A$ 第 $i$ 行）$\cdot$（$B$ 第 $j$ 列） | 〔原理〕 | 从"复合=逐列再搬家"自动长出，不是人为规定 |
| $AB\neq BA$（一般） | 〔原理〕 | 动作顺序影响效果；能交换是例外 |
| 结合律、分配律 | 〔原理〕 | 连做可括号 / 保两招的直接推论 |
| $(AB)^T=B^TA^T$（顺序翻） | 〔原理〕 | 行列表列身份对调，一句推导 |
| $E$（对角全 1）与 $A^0=E$ | 〔约定〕 | "矩阵世界的 1"与"做零次=不动" |
| 三类基本动作（换轴/拉伸/剪切）足以搭建消元 | 〔欠条〕 | 幕4 消元一节还 |
| 对角矩阵方幂便宜 → 换套记账的动机 | 〔欠条〕 | 幕5 特征值与对角化收线 |
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## ⚠️ 易混·翻车清单
| 易混对 | 一句话拆开 |
|------|------|
| 画面"均匀" vs 线性 | 平移看着均匀（直线、平行网格都在），但 $T(\mathbf{0})\neq\mathbf{0}$——不是线性变换；先验原点一票否决（§一 亲手追踪过） |
| "变换" vs "变换的矩阵" | 变换是搬家规则（机器），矩阵是它的登记表（4 个数）；规则一台、表一张，一一对应 |
| $AB$ 谁先动 |
右先左后 ：$AB\alpha=A(B\alpha)$，写在右边的 $B$ 先动 |
| 行读 vs 列读 | 理解走列（新家组合），计算走行（逐层合账）——两条路答案必然一致 |
| $(AB)^T$ vs $A^TB^T$ | 转置连乘必须
倒序 ：$B^TA^T$；不倒序的两个矩阵一般根本对不上口径 |
| 对称×对称 | $A+B$、$kA$、$A^k$ 都对称；$AB$ 未必——除非 $AB=BA$ |
| $E$ vs 全 1 矩阵 | $E$ 是对角线全 1、别处全
0 ；全 1 的矩阵乘向量会把两行信息搅在一起，别当 1 用 |
| 矩阵的行数 vs 列数 | 行数=
新家 坐标维数，列数=
原空间 基向量个数（$3\times2$：平面→三维） |
| $A^2$ 的意义 | 同一动作连做两遍，不是"每个元素平方"（$S^2$ 右上角是 2，不是 1） |
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## 🎯 考试导航（数三 · 矩阵）
> ⚠️ 下表是复习优先级（按数三知识版图中本篇的角色排的），真题考频待 848 情报线收集后校准。
| 考点 | 常见题貌 | 优先级 | 本篇弹药 |
|------|---------|------|---------|
| 矩阵运算与运算律 | 给 $A$、$B$ 算 $AB$、$A^2$、$ABA$；判断运算律 | ★★★ | §4–§6 两种读法+逐列再搬家 |
| $AB\neq BA$ 相关判断 | 判断题/举反例 | ★★★ | §六 图 3 + 数值对账 |
| 转置运算律 | 化简 $(ABC)^T$ 类；判断对称性 | ★★☆ | §8 一句推导 |
| 方幂计算 | 求 $A^n$（对角或可化为对角） | ★★☆（幕5 后升为 ★★★） | §7.3 对角直取幂 |
| 对称矩阵性质 | 判断 $AB$、$A^k$ 对称性 | ★★☆ | §8.2 两条配对 |
| 线性变换概念 | 判 $T$ 是否线性、写变换矩阵（数一题型，此处作全课框架自用） | ★☆☆ | §一–§二 |
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## ✏️ 配套练习（19+5 题 · 先做后看，纸上留痕）
> 📏
做题前先估分 ：这 19 题，你估计自己能对几题？写在纸上。做完再对照。预测和实际差 3 题以上，说明你对自己“会不会”的判断需要校准。
自测前须知 ：每题先动笔再点开答案；连续两题卡壳，回对应节重走推导/回忆框。老规矩——
读着顺不等于学会，合上页面做得出才算 。
### A 组 · 概念与判据（1–7）
1. （动手追踪·§一 的手艺）规则 $T$：每点 $(x,y)$ 搬到 $(x+y,\ y)$。在方格纸上追踪 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$、$(2,3)$，标出新家；然后检验三判据各过没过。这个变换叫什么名字？
✅ 答案
新家依次是 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(2,1)$、$(5,3)$。三判据全过：直线仍直、原点不动、格子变成平行的斜格。它是剪切 ——图 1 的主角，这次是你亲手造出来的。采分点 ：五个新家全对；能逐条报三判据。
2. 判断："把平面上每支箭向右平移一格"是线性变换吗？给出你的判据。
✅ 答案
不是。$T(\mathbf{0})=(1,0)\neq\mathbf{0}$，而线性变换必须 $T(\mathbf{0})=0\cdot T(\alpha)=\mathbf{0}$（数乘规则锁死原点）。采分点 ：先验原点一票否决；能写出 $T(\mathbf 0)=\mathbf 0$ 的来历。
3. 线性变换 $T$ 满足 $T(\mathbf{i})=(3,1)$、$T(\mathbf{j})=(-2,1)$。（a）写出 $T$ 的登记表；（b）求 $T(2,1)$；（c）$T(x,y)$ 的一般公式？
✅ 答案
（a）按列入册：$\begin{bmatrix}3&-2\\1&1\end{bmatrix}$。（b）$2(3,1)+1(-2,1)=(4,\ 3)$（查表：$T\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\cdot2-2\cdot1\\1\cdot2+1\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$）。（c）$T(x,y)=(3x-2y,\ x+y)$。采分点 ：列=新家；会用组合算新家。
4. 判断对错："矩阵 $\begin{bmatrix}5&7\\6&8\end{bmatrix}$ 的第二列 $(7,8)$，是 $\mathbf{j}$ 搬家后的新家。"
✅ 答案
对。第 $j$ 列 = 第 $j$ 根基本箭的新家：第二列属于 $\mathbf{j}$；第一列 $(5,6)$ 才是 $\mathbf{i}$ 的新家。采分点 ：列的归属（按列读表，不按行）。
5. 判断："对任意两个二阶方阵 $A$、$B$，都有 $AB=BA$。"若错，举一个具体反例。
✅ 答案
错。反例：$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$（剪切），$B=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$（旋转）：$AB=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 而 $BA=\begin{bmatrix}0&-1\\1&1\end{bmatrix}$，不等（§六 全套现成（图 3））。采分点 ：判错+具体算出的反例（背一个带图形的反例性价比极高）。
6. 用"动作"语言解释：为什么 $AE=EA=A$？
✅ 答案
$E$ 是恒等变换（什么都不做）的登记表。"先做 $A$ 再不动"或"先不动再做 $A$"，效果都等于只做 $A$——逐列再搬家时，$E$ 的每列原样奉还，组合系数不变。采分点 ：$E$=矩阵世界的 1；能从"不动"说出 $AE=EA$。
7. 判断下列矩阵是否对称：$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$。对称的条件用元素写出来是什么？
✅ 答案
$A$ 对称（$a_{12}=a_{21}=2$，翻面不变）；$B$ 不对称（$b_{12}=2\neq 3=b_{21}$）。条件：$a_{ij}=a_{ji}$ 对所有 $i\neq j$ 成立（等价于 $A^T=A$）。采分点 ：对称=沿主对角线翻面不变。
### B 组 · 手算（8–13）
8. $A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$，$\alpha=(3,4)$。用"列组合"和"行乘加"两种读法各算一遍 $A\alpha$。
✅ 答案
列组合：$3(1,0)+4(2,1)=(3,0)+(8,4)=(11,\ 4)$；行乘加：$(1\cdot3+2\cdot4,\ 0\cdot3+1\cdot4)=(11,\ 4)$。一致 ✓。采分点 ：两条路都走通，答数一致。
9. $A=\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$（又一台剪切型机器）。算 $AB$、$BA$，并核对 $AB\neq BA$。
✅ 答案
$AB$：第 1 列 $=A\cdot(1,1)^{T}=1(1,0)+1(2,3)=(3,3)$；第 2 列 $=A\cdot(0,1)^{T}=(2,3)$。$AB=\begin{bmatrix}3&2\\3&3\end{bmatrix}$。
$BA$：第 1 列 $=B\cdot(1,0)^{T}=(1,\ 1)$；第 2 列 $=B\cdot(2,3)^{T}=2(1,1)+3(0,1)=(2,\ 5)$。$BA=\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}$。确实不等。采分点 ：列法或行法任选但结果对；核对不等。
10. $A=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\end{bmatrix}$（$2\times3$），$B=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\3&0\end{bmatrix}$（$3\times2$）。先查维度，再算 $AB$。
✅ 答案
$(2\times3)(3\times2)=2\times2$，中间的 3 对上。逐格行乘列：$c_{11}=1\cdot1+0\cdot0+2\cdot3=7$；$c_{12}=1\cdot2+0\cdot1+2\cdot0=2$；$c_{21}=0\cdot1+1\cdot0+1\cdot3=3$；$c_{22}=0\cdot2+1\cdot1+1\cdot0=1$。$AB=\begin{bmatrix}7&2\\3&1\end{bmatrix}$。采分点 ：先查维度再动笔；四个格子算对。
11. $D=\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}$。算 $D^3$、$D^5$，并写出 $D^n$ 的一般式。
✅ 答案
$D^3=\begin{bmatrix}27&0\\0&8\end{bmatrix}$，$D^5=\begin{bmatrix}243&0\\0&32\end{bmatrix}$，$D^n=\begin{bmatrix}3^n&0\\0&2^n\end{bmatrix}$。对角矩阵连做=各轴各自连乘，互不打扰。采分点 ：对角线直取幂+一句为什么。
12. 用第 9 题的 $A$、$B$ 验证 $(AB)^T=B^TA^T$（三样都亲手算）。
✅ 答案
$AB=\begin{bmatrix}3&2\\3&3\end{bmatrix}$（上题），$(AB)^T=\begin{bmatrix}3&3\\2&3\end{bmatrix}$。$B^T=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$，$A^T=\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}$，$B^TA^T$：第 1 列 $=B^T\cdot(1,2)^{T}=1(1,0)+2(1,1)=(3,2)$；第 2 列 $=B^T\cdot(0,3)^{T}=3(1,1)=(3,3)$，得 $\begin{bmatrix}3&3\\2&3\end{bmatrix}$ ✓ 相等。采分点 ：三步都算；顺序倒了（$A^TB^T$）就验不出。
13. 剪切 $S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ 作用在三角形（顶点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$）上。三个顶点各被搬到哪？画出（或说出）新三角形。
✅ 答案
$S(0,0)=(0,0)$（原点锁死）；$S(1,0)=1\cdot(1,0)+0\cdot(1,1)=(1,0)$（$\mathbf{i}$ 不动）；$S(0,1)=(1,\ 1)$（$\mathbf{j}$ 被右推）。新三角形顶点 $(0,0),(1,0),(1,1)$——直角顶点从左下搬到右下，三角形斜躺。采分点 ：逐点查表组合；原点不动。
### C 组 · 性质与综合（14–19）
14. $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$。算 $A^2$、$A^3$，归纳 $A^n$，并用"动作"解释右上角那个数的来历。
✅ 答案
$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$，$A^3=\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}$，$A^n=\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}$。解释：每剪切一次，$\mathbf{j}$ 被向右多推一格——第 $n$ 次连做后 $\mathbf{j}$ 的新家是 $(n,1)$，右上角的 $n$ 正是 $\mathbf{j}$ 被累计推过的格数。采分点 ：算对+几何解释（"格数"与"右上角"对上）。
15. $T$ 是线性变换，已知 $T(\alpha)=(1,2)$、$T(\beta)=(0,1)$。求 $T(3\alpha-2\beta)$——不许写登记表。
✅ 答案
$T(3\alpha-2\beta)=3T(\alpha)-2T(\beta)=3(1,2)-2(0,1)=(3,\ 4)$。线性变换保两招，组合系数原样穿透——这正是"线性"两字的算力。采分点 ：系数穿透（两招各用一次）。
16. 判断对错：① $(A+B)^T=A^T+B^T$；② $(kA)^T=kA^T$；③ $(AB)^T=A^TB^T$。
✅ 答案
① 对（翻面对加法分配）。② 对（翻面不改系数）。③ 错 ——必须倒序 $(AB)^T=B^TA^T$（行列表列身份对调；不倒序连口径都对不上）。采分点 ：③ 是本题的题眼，倒序+一句为什么。
17. $A$、$B$ 都对称。判断：$AB$ 一定对称吗？若不一定，举反例，并给出"$AB$ 对称"的充要条件。
✅ 答案
不一定。$(AB)^T=B^TA^T=BA$，而 $BA$ 未必等于 $AB$。反例：$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$：$AB=\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}$ 而 $BA=\begin{bmatrix}0&2\\1&0\end{bmatrix}$，$AB$ 不对称（$1\neq2$ 在错位上）。充要条件：$AB$ 对称 $\iff (AB)^T=AB \iff BA=AB$（两矩阵可交换）。采分点 ：推导链 $(AB)^T=BA$、具体反例、充要条件三件套。
18. （经济）两商品价格 $p=(2,3)$。两家门店销量：甲店卖商品一 5 件、商品二 0 件；乙店卖商品一 0 件、商品二 4 件。用矩阵乘法一次算出两家店的营业额，并说明这次乘法"中间维度"为什么对得上。
✅ 答案
销量按列登记 $X=\begin{bmatrix}5&0\\0&4\end{bmatrix}$（列=店），营业额 $pX=(2\cdot5+3\cdot0,\ 2\cdot0+3\cdot4)=(10,\ 12)$。口径：$p$ 是 $1\times2$（两商品价格），$X$ 每列是 2 维（一家店对两商品的销量）——$p$ 收 2 维箭，正好对上。采分点 ：列=店的组织方式+维度解释+答数。
19. （综合·幕3 预热）三个变换把单位方块（面积 1）分别变成什么图形？面积各变为多少倍？① $S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$；② $D=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$；③ $P=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$。
✅ 答案
看新家即可（方块跟着基本箭走）。① $\mathbf{j}\to(1,1)$：方块斜成平行四边形，底 1 高 1，面积仍 1 （斜而不缩）。② $\mathbf{i}\to(2,0)$：横向拉宽一倍，面积 2 。③ 第一列 $(1,1)$：$\mathbf{i}$ 被搬到对角线上；第二列 $(0,0)$：$\mathbf{j}$ 被直接缩没 （搬到原点）！一支箭被灭，全平面的像只能挤在 $\mathbf{i}$ 新家那条线上——方块被压扁成一条线段，面积 0 （§一 三判据旁注的"压扁"正是它）。三个数字 1、2、0 就是"这场变形把面积乘了几倍"——下一幕（幕3）要造的那把尺子（行列式），量的正是这个倍数：$S$ 的读数 1、$D$ 的读数 2、$P$ 的读数 0。采分点 ：三图形+三倍数；③ 识破"两箭同家=压扁"。
### D 组 · 混合辨别（20–24 · 只判用哪条工具，不硬算）
20. $T(x,y)=(2x,y)$ 的登记表是什么？
21. $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，$AB$ 与 $BA$ 相等吗？
22. $(AB)^T=?$
23. 剪切 $S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$，$S^3=?$
24. 哪个矩阵“什么都不做”？
✅ 答案（先写理由，再看）
20. $\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$（横坐标翻倍、纵坐标不动）。
21. 不等：$AB=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}$。
22. $B^TA^T$（顺序翻）。
23. $\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}$（每层再推一格，连推三次）。
24. 单位矩阵 $E$。
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## 📅 复习节奏表
| 时点 | 动作 | 看什么 |
|------|------|--------|
| 学完当天 | 合上页面画"家谱图"（图 4）+ 合上页回答各节回忆框 | 全篇 |
| 第 3 天 | 回访口四问（闭卷）+ 重做错题 | 见下方回访口 |
| 第 7 天 | 只看规则账与易混清单，任选 4 题重做（建议 5、9、12、17） | 规则账+易混表 |
| 第 14 天 | 做 D 组混合辨别（20–24）+ 重做错题；遮住答案说理由 | D 组+错题 |
| 幕3 学完后 | 回看题 19：三个面积倍数与行列式读数是否对上 | 题 19 |
| 幕4 学完后 | 回收三张欠条：消元家当（三类基本动作）、x=Ax+d 的解法、E 与"倒数"（逆矩阵） | §7.2、§9.1、§7.1 |
| 幕5 学完后 | 回收另三张：对角化动机、转置的几何身份、对称矩阵专场 | §7.3、§8.1、§8.2 |
> 复习方式一律
闭卷提取 （默写/重做），不要"重读一遍"。
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## 📮 回访口（学完三天后回来）
合上页面，凭记忆回答四问（答不出的回来翻，翻完再答一遍）：
1. （动手）规则"每点 $(x,y)$ 搬到 $(x+y,\ y)$"：$(2,3)$ 被搬到哪？这个变换叫什么？
2. 线性变换的两条规则是什么？为什么它们锁死了原点？（$T(\mathbf 0)=\mathbf 0$ 怎么来的？）
3. "$AB$ 的第 $j$ 列等于什么？"——用这一句推出"前行乘后列"的规则。
4. 为什么 $AB\neq BA$？$(AB)^T$ 为什么必须倒序？
下一幕预告 + 跨模块连线 ：幕3 造
尺子 ——行列式。本篇题 19 已摸到它的体温：剪切面积不变（读数 1）、拉伸翻倍（读数 2）、两箭同家压扁（读数 0）。行列式就是"面积/体积倍数"的登记数字，你会看到它的每条性质都有画面：两行相同=压扁（读数 0）、换行变号=定向翻转、动作连做=倍数连乘（本篇 §五 的直接遗产）。而"$|A|\neq0$ ⟺ 没压扁 ⟺ 变形可撤销"，是幕4 逆矩阵的判据——尺子先于撤销登场，顺序别乱。
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> 🧭
关于本路线的顺序 ：新路线只守一条铁律——
问题先于工具、对象先于操作 ：先认识箭头（幕1）、亲手搬家（本篇 §一），再谈矩阵和运算；幕3-5 每件工具都在它的问题登场之后出场。原 8 章线代（行列式起头的旧顺序）已转为本地参考资料。