# 线性代数·新路线 · 幕3：尺子——面积变成了几倍？
> 🧭 先接一个活，再看这一篇要干什么
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> 幕2 题 19 你算过三个面积倍数：剪切 $1$ 倍、拉伸 $2$ 倍、压扁 $0$ 倍。先猜：这三个数，能不能直接从矩阵的四个数字里读出来？
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> 这一篇就造这把尺子：给每张登记表配一个读数（面积/体积倍数）。读数非零 = 没压扁；读数为零 = 压扁。幕4 的“可撤销吗”、幕5 的“特征方程”，开关都在这把尺子上。
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> 你手上已有幕2 的三类基本动作（换轴/拉伸/剪切）和初中割补法；这一篇不引入新地基，只把“面积变了多少”算成一个数。
## 上章回顾（30 秒三问，答不上回去翻幕2）
1. 矩阵的两条读法（列组合 / 行乘加）各是什么？$AB$ 的第 $j$ 列等于什么？
2. 为什么 $AB\neq BA$？$(AB)^T$ 等于什么、为什么要倒序？
3. 幕2 题 19：三个变换 $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$ 各把单位方块的面积变成多少？
✅ 对照答案
1. 列组合：$A\alpha=x\cdot$第 1 列 $+y\cdot$第 2 列（理解用）；行乘加：第 $i$ 个新坐标 = 第 $i$ 行逐乘 $\alpha$ 相加（计算用）。$AB$ 的第 $j$ 列 $=A\times$（$B$ 的第 $j$ 列）——逐列再搬家。
2. 动作连做顺序影响效果（先剪后转 $\neq$ 先转后剪）；$(AB)^T=B^TA^T$，因为行列表列的身份对调，必须倒序。
3. 面积分别变为 $1$ 倍（斜而不缩）、$2$ 倍（横向拉宽）、$0$ 倍（$\mathbf{j}$ 被搬到原点，压扁成线）。
行列式 $\det(A)$ 或 $|A|$：变换 $A$ 把单位图形（方块/立方体）的面积（体积）缩放的倍数——一个属于每张登记表的读数。
名字里的"行列"指的是它从登记表的行与列中算出来；"式"说的是有固定算法。但请你先把名字放一边，记住它量的东西：面积倍数。名字是壳，读数是魂。
### 1.2 二阶读数为什么是 $ad-bc$：一次割补
登记表 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 把单位方块的两条边（$\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$）搬到 $(a,c)$ 与 $(b,d)$，方块变成这两支箭围成的平行四边形。它的面积是几？割补一遍：
图 1 · 二阶行列式=平行四边形面积。左：$(3,1)$ 与 $(1,2)$ 围成的平行四边形，数格与外框减空白都得 $5=3\times2-1\times1$。右：一般式——外框 $(a+b)(c+d)$，减去空白合计 $ac+bd+2bc$，展开恰得 $ad-bc$。
左边数格子验证：平行四边形内部整格 $2$ 个 + 边角拼合 $3$ 个 = $5$，与 $ad-bc=3\times 2-1\times 1=5$ 一致。右边的减法版：外框 $(a+b)(c+d)$ 挖空白 $ac+bd+2bc$，展开恰好 $ad-bc$。再看推直版（幕2 剪切的威力再现，主推导）：保持面积不变地做水平剪切，把 $\mathbf{j}$ 的新家 $(b,d)$ 推成竖直的 $(0,d)$，同一剪切把 $\mathbf{i}$ 的新家推到 $\bigl(a-\tfrac{bc}{d},\ c\bigr)$——平行四边形被推成直边的矩形：宽 $\tfrac{ad-bc}{d}$、高 $d$，
$$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$$
〔原理：剪切不改面积（幕2 题 19①），推直后宽度直接可读——不是规定〕从此每个二阶读数张口就来：
$$\det\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=1\quad\text{（剪切：斜而不缩）}$$
$$\det\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}=6\quad\text{（各轴各拉）}$$
$$\det\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=0\quad\text{（压扁）}$$
### 1.3 读数可能是负的：翻面记账
算一道 $\det\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=0\times0-1\times1=-1$。面积怎么可能是 $-1$ 倍？看图：这个变换把 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 互换（换轴/镜像）——面积确实没变（$1$ 倍），但整张图翻了个面：原来 $\mathbf{i}$ 转向 $\mathbf{j}$ 是逆时针，翻面后变成顺时针。数学家跟"负号"签的合同是：
定向：$\mathbf{i}$ 转向 $\mathbf{j}$ 的旋向（逆时针/顺时针）。变形若把旋向翻转（镜像类动作），读数记负号——面积大小照旧是读数的绝对值倍。$\det<0$ = 翻了面，仅此而已。
"面积倍数带个符号"初看别扭，第二节你会看到这个符号买来了什么（换行变号的画面）。先把立场站稳：读数的绝对值 = 面积缩了几倍；负号 = 翻了面。
🧠 合上页·先回忆
① 行列式量的是什么？
② 二阶为什么是 $ad-bc$（割补一句话）？
③ 负读数是什么意思？
答不出，回 §1.1–1.3。
> ✏️ 立刻练一道：直算三个读数并各配一句几何含义：① $\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}$；② $\begin{bmatrix}2&0\\0&\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}$；③ $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$。
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> ✅ 答案
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> ① $12-2=10$：面积 10 倍，没翻面。② $1$：横拉 2 倍纵缩一半，面积不变（没翻面）——注意"面积不变"不等于"没变形"！③ $4-4=0$：两行成比例（$\mathbf{j}$ 新家 $(2,4)=2\times(1,2)$ 与 $\mathbf{i}$ 新家共线），平面被压扁成一条线。
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图 2 · 性质 7 的画面：剪切不改面积。$S$ 把 $\mathbf{j}$ 推到 $(1,1)$、$S^2$ 推到 $(2,1)$——平行四边形越来越斜，但底（$\mathbf{i}$ 方向长 1）与高（竖直距离 1）纹丝不动，读数恒为 1。"一行加另一行的 $k$ 倍"就是剪切，所以消元时敢随便加。
顺带把三条"伪性质"钉死（判断题最爱拿它们碰瓷）：
| 伪性质 | 反例 |
|--------|------|
| $\lvert A+B\rvert=\lvert A\rvert+\lvert B\rvert$？ | 反例：$A=E$，$B=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$。$\lvert A+B\rvert=4$，而 $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=2$。加法没有好性质，别想当然 |
| $\lvert kA\rvert=k\lvert A\rvert$？ | 是 $k^n\lvert A\rvert$（每行提一次 $k$，共 $n$ 行）——上面刚验证过 |
| 换两行不变号、变号记反？ | 自己换一行算一遍立正：$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2$，$\begin{vmatrix}3&4\\1&2\end{vmatrix}=+2$ |
🧠 合上页·先回忆
不看表，复述七条性质，并各配一幅画面：换行、拉伸、相同行、加行、转置……
说不出来，回表格找那一行。
> ✏️ 立刻练一道：只用性质（不许展开算），说明 $\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\7&8&10\end{vmatrix}=0$。
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> ✅ 答案
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> 第二行恰好是第一行的 $2$ 倍：提出公因子 2（性质 5），剩下 $\begin{vmatrix}1&2&3\\1&2&3\\7&8&10\end{vmatrix}$ 两行相同，归零（性质 3），零的 2 倍还是零。几何：第二行与第一行成比例 ⟹ 两支箭共线 ⟹ 立体压扁成面。采分点：提因子→两行相同→0 的链条，一步不跳。
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$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$
拿经典题算一道：
$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}=(1\cdot5\cdot10+2\cdot6\cdot7+3\cdot4\cdot8)-(3\cdot5\cdot7+1\cdot6\cdot8+2\cdot4\cdot10)=230-233=-3$$
〔约定：对角线法则是 3 阶专属的速算记号，只在 3 阶碰巧对称好看。〕4 阶起立即失效——4 阶行列式的完全展开有 $4!=24$ 项，沙路只画得出 6 项，漏掉的 18 项不会凭空消失。所以本课立场：沙路当 3 阶速算用，高阶一律走第五节的化三角，两条正道互不干扰。
### 3.3 按行展开：把大数表拆成小数表
> ✏️ 先猜：3 阶行列式按第一行展开，三个“小行列式”是怎么从大表里划出来的？先用手比划一遍。
余子式 $M_{ij}$：划掉第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的 $(n-1)$ 阶行列式；代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$（棋盘格正负号）。
高阶的另一条正路是按行展开。以 3 阶为例，把第一行的每一项配上它的余子式（划掉所在行与列剩下的低一阶行列式）与交替符号（$+$、$-$ 相间，叫代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$）：
$$|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$$
直觉版解释（够用即可）：体积对每一行可以"分摊记账"——第一行的三个数各自带一块小面积，符号棋盘格来自翻面次数的奇偶。这里划一条诚实的边界〔入口假设：展开定理本身的严格理论（"多线性展开"——每一行独立分摊、符号系统为什么恰好是棋盘格）超出数三工具箱，本课不推它，理由：①上面 3 阶例子里沙路与展开两条路算出同一个数，就是它的工作现场验证，足够建立信任；②数三只考"会用它拆阶"，不考证明。想看推导→任一教材"行列式按行展开定理"一节〕。你只需会用它拆阶——而且幕4 §5 会带着它（的列版）推出克拉默法则，到时它是生产工具，不是背诵对象。例：
$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&10\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&10\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=1(2)-2(-2)+3(-3)=-3$$
与沙路答案一致 ✓（这本身就是展开定理的现场验证）。
按行展开还有一条重要推论（证明同样从略、会认会用）：用别行的代数余子式乘本行元素，和为零——$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+a_{i3}A_{j3}=0\ (i\neq j)$。直觉：这相当于把"第 $j$ 行的小面积"错配给"第 $i$ 行的数"，算出来的是一张有两行相同的表的读数，当然是 0。它马上就是下一节那张装订表的发动机。
🧠 合上页·先回忆
① 三阶有哪两条正路？
② 沙路为什么 4 阶起失效？
③ 按行展开的符号怎么定？
答不出，回 §3.1–3.3。
> ✏️ 立刻练一道：分别用沙路与按第一行展开计算 $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&3&2\\0&1&2\end{vmatrix}$，两条路对答案。
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> ✅ 答案
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> 沙路：正项 $2\cdot3\cdot2+0\cdot2\cdot0+1\cdot1\cdot1=12+0+1=13$；负项 $1\cdot3\cdot0+2\cdot2\cdot1+0\cdot0\cdot2=0+4+0=4$；差 $=9$。
> 展开：$2\begin{vmatrix}3&2\\1&2\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}=2(4)+0+1(1)=9$ ✓ 两条路一个答案。
>
$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}\xrightarrow[{}]{r_2-4r_1,\ r_3-7r_1}\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-11\end{vmatrix}\xrightarrow[{}]{r_3-2r_2}\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&1\end{vmatrix}$$
每一步都是"一行加另一行的倍数"（性质 7，读数不动），一步换行都没有，所以：
$$|A|=1\times(-3)\times1=-3$$
与沙路一致 ✓。4 阶及以上的数值表，化三角是主力打法；稀疏或有结构的表用按行展开降阶——沙路失效处，由这两条接管。
### 4.3 乘法公式：$|AB|=|A|\,|B|$
幕2 埋的遗产现在兑现：动作连做，面积倍数连乘。先 $B$：面积乘 $|B|$ 倍；再 $A$：又乘 $|A|$ 倍。合计倍数 $=|A|\cdot|B|$。倍数这种数，天生就该连乘。数值验证：
$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$（$|A|=-2$），$B=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}$（$|B|=6$）。
$$AB=\begin{bmatrix}4&6\\10&12\end{bmatrix}$$
等一下——顺手示范一个高频笔误：把矩阵的方括号 $[\ ]$ 手滑写成行列式的竖线 $|\ |$，写的还是同一张表，读者的眼睛却会把它读成"一个数"。规矩记牢：方括号是登记表（一支队伍），竖线是读数（一个数）。继续算：
$AB=\begin{bmatrix}4&6\\10&12\end{bmatrix}$，$|AB|=48-60=-12$；而 $|A|\cdot|B|=(-2)\times6=-12$ ✓。
这条公式三大用途先认脸（幕4、幕5 反复用）：①连做整体判压扁：$|AB|=0\iff|A|=0$ 或 $|B|=0$（两场都完好，连做不会压扁；有一场压扁，连做必压扁）；②推 $\lvert A^k\rvert=\lvert A\rvert^k$；③马上推下一节那张装订表的读数。〔原理：在"$\lvert A\rvert$=面积倍数"这一定义下，"连做=倍数连乘"就是完整推导（先 $B$ 缩 $|B|$ 倍、再 $A$ 缩 $|A|$ 倍，合计 $|A||B|$ 倍），上面数值又对上了账。唯一借的入口假设是：高维"体积"这个对象本身能严格定义（测度论的地盘）——数三不碰测度，画面版推导够用且方向完全正确〕
🧠 合上页·先回忆
① 三角矩阵的读数为什么是对角线乘积？
② 化三角时换行/倍乘/加行各要不要记账？
答不出，回 §4。
> ✏️ 立刻练一道：用化三角计算 $\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\3&5&8\end{vmatrix}$，再用沙路对答案。
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> ✅ 答案
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> $r_2-2r_1$、$r_3-3r_1$：$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{vmatrix}$；$r_3-2r_2$：$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{vmatrix}$，读数 $=1\times1\times1=1$。沙路：正项 $1\cdot3\cdot8+1\cdot4\cdot3+1\cdot2\cdot5=46$，负项 $1\cdot3\cdot3+1\cdot4\cdot5+1\cdot2\cdot8=45$，差 $=1$ ✓。
> 伴随矩阵 $A^{\ast}$：把每个位置的代数余子式算出来，转置着装订：$(A^{\ast})_{ij}=A_{ji}$（第 $i$ 行放的是第 $i$ 列的代数余子式——位置要转置，别装反）。
二阶的伴随有穷门：主对角线互换、副对角线变号。$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$：$A^{\ast}=\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$（就是"对角互换、负号甩到对面"）。
装订成表后有一条一验就灵的恒等式：
$$AA^{\ast}=A^{\ast}A=|A|E$$
拿上面的例子亲手乘一遍（左边方向）：
$$AA^{\ast}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$$
$$=\begin{bmatrix}4-6&-2+2\\12-12&-6+4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&0\\0&-2\end{bmatrix}=(-2)E$$
结果正是 $|A|E$（$|A|=4-6=-2$）✓。
对角线上为什么恰好是 $|A|$？——正是"按行展开"（用本行元素配本行余子式）；非对角位置为什么是 0？——正是"错配别行"推论（相当于算一张两行相同的表）。$AA^{\ast}=|A|E$ 就是展开定理与错配推论的合并报表，没有新东西。〔原理：来自展开定理，上节已立信〕
顺手赚一条推论（两边取行列式，用乘法公式）：$|A|\cdot|A^{\ast}|=|A|^n$，当 $|A|\neq0$ 时约去 $|A|$：
$$|A^{\ast}|=|A|^{n-1}$$
（$|A|=0$ 的情形幕4 讲秩之后一并收尾。）
🧠 合上页·先回忆
① 伴随矩阵怎么装订（为什么转置）？
② $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E$ 怎么来的？
③ 它和 $A^{-1}$ 什么关系？
答不出，回 §5。
> ✏️ 立刻练一道：$A=\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}$。写 $A^{\ast}$，验证 $AA^{\ast}=|A|E$，并求 $|A^{\ast}|$。
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> ✅ 答案
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> $A^{\ast}=\begin{bmatrix}4&-1\\-3&2\end{bmatrix}$。$AA^{\ast}=\begin{bmatrix}8-3&-2+2\\12-12&-3+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}$，而 $|A|=8-3=5$ ✓。$|A^{\ast}|=8-3=5=|A|^{2-1}$ ✓。
>
图 3 · 幕3 全章家谱：登记表（幕2）生出"面积倍数"之问，割补给出读数，性质与手艺让它可算，乘法公式与伴随矩阵把它接向幕4。合上页面自己画一遍。
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## 📒 本篇规则账
| 条目 | 身份 | 说明 |
|------|------|------|
| $\lvert A\rvert$=面积（体积）倍数；二阶 $ad-bc$ | 〔原理〕 | 割补推导（外框 $ad$ 挖空白 $bc$），不是规定 |
| 负读数=翻面（定向翻转） | 〔原理〕 | 面积大小照旧，旋向反了记负号 |
| 转置不变 $\lvert A^T\rvert=\lvert A\rvert$ | 〔原理〕 | 二阶一步直算对上；画面=换记账姿势不重画图形（题 13 三阶复验） |
| 换行变号 / 两行相同归零 / 全零行为零 | 〔原理〕 | 翻面；"又不变又变号"逼出 0；全零行=新家同层共线（零列=箭被灭，另一路） |
| 公因子提出；$\lvert kA\rvert=k^n\lvert A\rvert$ | 〔原理〕 | 一支箭拉 $k$ 倍面积乘 $k$；$n$ 支各拉则 $k^n$ |
| 拆行（对每一行线性） | 〔原理〕 | 同底平行四边形高度分摊 |
| 加行不变 | 〔原理〕 | =剪切，幕2 已证面积不动——幕4 消元的营业执照 |
| 三角读数=对角乘积 | 〔原理〕 | 逐层独立结算（对角阵"各轴各拉"的推广） |
| 沙路（对角线法则） | 〔约定·速算〕 | 3 阶专属记号，4 阶失效（$4!=24$ 项只画得出 6 项） |
| 按行展开、错配别行为零 | 〔原理·会用水位〕 | 拆阶用法有现场验证（沙路与展开两路同答）；展开定理本身的证明（多线性理论）超数三 →〔入口假设〕，§3.3 已交代为什么够用 |
| $\lvert AB\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert$ | 〔原理〕 | "面积倍数"定义下的完整推导=倍数连乘+数值对账；高维体积严格定义（测度）是唯一入口假设 |
| $A^{\ast}$ 装订（转置）与 $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E$ | 〔原理〕 | 展开定理+错配推论的合并报表 |
| $\lvert A^{\ast}\rvert=\lvert A\rvert^{n-1}$ | 〔原理〕 | 两边取行列式、乘法公式移项 |
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## ⚠️ 易混·翻车清单
| 易混对 | 一句话拆开 |
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| $\lvert kA\rvert$ vs $k\lvert A\rvert$ | 差 $k^{n-1}$ 倍：每行各提一次 $k$，$n$ 行共 $k^n$（2 阶矩阵 $\lvert 2A\rvert=4\lvert A\rvert$） |
| $\lvert A+B\rvert$ vs $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert$ | 毫无关系。行列式对加法没有好性质（反例：$E$ 与剪切阵） |
| 换行变号 vs 换列变号 | 都变号（转置不变+换行变号 ⟹ 换列也变号）——但"行加行的倍数"不变号，两件事别串 |
| 两行相同 vs 两行成比例 | 都归零：成比例先提公因子（性质 5），剩下两行相同（性质 3）；比例为 0 即零行，性质 4 直接归零 |
| 沙路的适用范围 | 只 3 阶。4 阶用沙路 = 必错（漏 18 项）；高阶走化三角 |
| $\lvert AB\rvert=0$ | ⟺ $A$、$B$ 至少一个压扁（乘积为零）；不能断定是哪一个、更不能两个都压扁 |
| 方括号 vs 竖线 | $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 是一张表（队伍），$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$ 是一个数（读数） |
| $A^{\ast}$ 的装订方向 | 第 $i$ 行放第 $i$ 列的代数余子式（要转置）；装反了 $AA^{\ast}\neq\lvert A\rvert E$ |
| $\det=1$ 的变形都一样吗 | 不一样：剪切与"横 2 纵 ½"读数都是 1，变形天差地别——尺子只有一个数，问方向找幕5 |
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## 🎯 考试导航（数三 · 行列式）
> ⚠️ 优先级按数三版图角色排定，真题考频待 848 情报线校准。
| 考点 | 常见题貌 | 优先级 | 本篇弹药 |
|------|---------|------|---------|
| 高阶行列式计算 | 4-5 阶数值表求值 | ★★★ | 化三角（§4） |
| 性质运用与抽象计算 | $\lvert kA\rvert$、$\lvert A^{\ast}B\rvert$ 型；比较大小 | ★★★ | §2 性质表+伪性质反例 |
| 按行展开求余子式/代数余子式 | 给 $n$ 阶表问某 $A_{ij}$、错配求和 | ★★☆ | §3.3+§5 |
| 三阶速算 | 直接给 3 阶数值 | ★★☆ | 沙路+化三角互验 |
| $\lvert AB\rvert$ 与压扁判断 | 判断题/求参数使压扁 | ★★☆ | §4.3+题 12 |
| 二阶几何读数 | 变换面积倍数（概念题） | ★☆☆ | §1 |
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## ✏️ 配套练习（18+5 题 · 先做后看，纸上留痕）
> 📏 做题前先估分：这 18 题，你估计自己能对几题？写在纸上。做完再对照。预测和实际差 3 题以上，说明你对自己“会不会”的判断需要校准。
自测前须知：每题动笔再点答案；行列式的手感是"先扫性质再动手"——动笔前默问一遍：有没有公因子？有没有成比例的行？能不能一步剪平？
### A 组 · 概念与直算（1–6）
1. 直算并各配一句几何含义：① $\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}$；② $\begin{vmatrix}-1&2\\3&5\end{vmatrix}$；③ $\begin{vmatrix}4&6\\2&3\end{vmatrix}$。
✅ 答案
① $8-3=5$：面积 5 倍，未翻面。② $-5-6=-11$：面积 11 倍且翻了面（负号）。③ $12-12=0$：两行成比例，压扁。采分点：数值+含义各半。
✅ 答案
$6$。横轴拉 3 倍、纵轴拉 2 倍，各轴独立结算，面积 $3\times2=6$ 倍（对角矩阵读数=对角积的最小现场）。采分点：读数+几何解读。
✅ 答案
前者 $4-6=-2$，后者 $6-4=2$，恰好相反 ✓。画面：两支新家互换登记顺序，平行四边形翻面，旋向反转记负。采分点：算出+变号原因（翻面）。
✅ 答案
公式：$35-35=0$。性质：把相同的两行互换，表格纹丝不动，但换行必须变号——只有 0 等于自己的相反数。几何：两支新家共线，平面压扁成线。采分点：性质版推理链（互换⟹不变又变号⟹0）。
✅ 答案
$\lvert A\rvert=3-2=1$；$\lvert 2A\rvert=\begin{vmatrix}2&4\\2&6\end{vmatrix}=12-8=4=2^2\cdot1$；$2\lvert A\rvert=2$。差因：$\lvert 2A\rvert$ 是每行都提出 2（共 2 行，$2^2$），$2\lvert A\rvert$ 只提一次。采分点：$k^n$ 与 $k$ 的区分。
✅ 答案
错。对角线法则只覆盖 3 阶完全展开的 $3!=6$ 项；4 阶完全展开有 $4!=24$ 项，沙路画出的 6 项连零头都不够。4 阶起用化三角（或按行展开降阶）。采分点：$n!$ 项数说法或等价理由。
✅ 答案
正项 $2\cdot3\cdot2+0\cdot2\cdot0+1\cdot1\cdot1=13$；负项 $1\cdot3\cdot0+2\cdot2\cdot1+0\cdot1\cdot2=0+4+0=4$；$\lvert A\rvert=13-4=9$。采分点：六项齐全、正负分组正确。
✅ 答案
第一列顶上已是 2，无需换行。$r_2-\tfrac{1}{2}r_1$：第二行变 $(0,\ 3,\ \tfrac{3}{2})$；$r_3-\tfrac{1}{3}r_2$：第三行变 $(0,\ 0,\ \tfrac{3}{2})$，得上三角 $\begin{vmatrix}2&0&1\\0&3&\tfrac32\\0&0&\tfrac32\end{vmatrix}$，读数 $=2\cdot3\cdot\tfrac32=9$ ✓。全程只用性质 7（无换行，无需变号）。采分点：全程性质 7、对角连乘。
✅ 答案
第二行=第一行 $\times2$：提公因子 2（性质 5）后两行相同（性质 3），读数 $2\times0=0$。几何：三支新箭里有两支共线，立体压扁。采分点：提因子→相同→0 链条。
✅ 答案
$\lvert A\rvert=1$（剪切），$\lvert B\rvert=6$。$AB=\begin{bmatrix}4&6\\1&3\end{bmatrix}$，$\lvert AB\rvert=12-6=6=1\times6$ ✓。含义：先 $B$ 面积 6 倍、再 $A$ 不变，连做共 6 倍。采分点：四样齐全+一句连乘含义。
✅ 答案
$\lvert 3A\rvert=3^3\cdot2=54$；$\lvert -A\rvert=(-1)^3\cdot2=-2$（每行提 $-1$，共 3 次）；$\lvert A^2\rvert=\lvert A\rvert^2=4$；$\lvert A^{\ast}\rvert=\lvert A\rvert^{3-1}=4$。采分点：四条各对（$-2$ 不是 $+2$ 最易错）。
✅ 答案
$A-\lambda E=\begin{bmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{bmatrix}$，$\lvert A-\lambda E\rvert=(2-\lambda)^2-1=0$，解 $\lambda=1$ 或 $\lambda=3$。这个"把某个数从登记表对角线里抠掉、令读数为零"的方程，就是幕5 的主角（特征方程）——你现在已经会算它的二阶版。采分点：展开、解对两个根。
✅ 答案
$A$ 按第一行展开：$1\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}+0+2\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}$，算得 $1+2(-2)=-3$。
$A^T=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\2&1&1\end{bmatrix}$ 按第一行展开：$1\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}+0+2\begin{vmatrix}0&1\\2&1\end{vmatrix}$，算得 $1+2(-2)=-3$ ✓ 两个读数相等。采分点：两边独立算出相同值。
✅ 答案
设第 1 行 $=$ 第 2 行 $+$ 第 3 行。按拆行性质（性质 6）：
$\lvert A\rvert=\begin{vmatrix}\text{第2行}\\ \text{第2行}\\ \text{第3行}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\text{第3行}\\ \text{第2行}\\ \text{第3行}\end{vmatrix}$。第一个表 1、2 行相同，第二个表 1、3 行相同，都为零，和为零。∎ 采分点：拆行一次+两行相同两次引用，链条完整。
✅ 答案
$\lvert 2A^T\rvert=2^3\lvert A^T\rvert=8\times2=16$（数乘在前、转置不变）；$\lvert A\rvert^3=8$；$\lvert 2A^{\ast}\rvert=2^3\lvert A^{\ast}\rvert=8\times\lvert A\rvert^2=8\times4=32$。采分点：运算律逐层剥（数乘→转置→伴随），顺序不乱。
① 若 $\lvert AB\rvert=0$，能否断定 $\lvert A\rvert=0$ 或 $\lvert B\rvert=0$？
② 能否断定两个都为零？
③ 已知 $\lvert A\rvert=2$、$\lvert B\rvert=3$，求 $\lvert AB^2\rvert$。
✅ 答案
① 能：$\lvert AB\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert=0$，实数乘积为零则至少一个为零。② 不能：反例 $\lvert A\rvert=0$、$\lvert B\rvert=5$。③ $\lvert AB^2\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert^2=2\times9=18$。采分点：①②的逻辑区分（"至少一个"vs"每个"）；③连乘用对。
✅ 答案
$E-A=\begin{bmatrix}0.7&-0.2\\-0.1&0.6\end{bmatrix}$。两对角相乘：$0.7\times0.6=0.42$，而 $(-0.2)\times(-0.1)=0.02$。
故 $\lvert E-A\rvert=0.42-0.02=0.4\neq0$。含义：变形 $E-A$ 没压扁（面积 0.4 倍）——按幕3 结尾的引信，"没压扁"将在幕4 翻译成"方程 $x-Ax=d$ 有唯一解"：任意给需求 $d$，总产出 $x$ 都唯一存在。经济系把这条称为模型"有解"，幕后靠山就是这个 0.4。采分点：算对 0.4+连线到"唯一解"。
✅ 答案
（a）$\lvert S\rvert=1$、$\lvert T\rvert=1$、$\lvert P\rvert=4-4=0$。（b）只有 $P$（两行成比例 ⟹ 两支新家共线 ⟹ 压扁成线）。（c）不同：$S$ 把方块剪斜、$T$ 横拉竖缩——读数都是 1，变形完全两样。局限：行列式只把整场变形压缩成一个数，"面积守恒"内部还分"怎么扭"；分辨方向要幕5 的特征值（每个方向一个数）。（d）可撤销（存在逆矩阵）：没压扁 ⟺ 这场变形是一一对应的搬家 ⟺ 有办法原路搬回。证明在幕4。采分点：（a）三数；（b）比例行；（c）举出两变形差异+点出"一个数的尺子"局限；（d）猜对方向。
✅ 答案（先写理由，再看）
19. $1\cdot4-2\cdot3=-2$。
20. 上三角：对角线乘积 $2\cdot4\cdot7=56$。
21. $\lvert AB\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert=3\times(-2)=-6$。
22. $0$：两行相同，换行后图形不变但必须变号，只有 $0=-0$。
23. $\lvert 2A\rvert=2^3\lvert A\rvert=8\times2=16$。