# 线性代数·新路线 · 幕4：反操作——能不能撤销？
> 🧭 先接一个活，再看这一篇要干什么
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> 去年两城人口 $(100,60)$，今年 $(86,74)$，一年一张迁移表：
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> $$M=\begin{bmatrix}0.8&0.1\\0.2&0.9\end{bmatrix}.$$
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> 只给今年，能倒推去年吗？先猜：能 / 不能，为什么？
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> 如果能，说明 $M$ 有“反操作”（逆）；如果不能，说明有方向被压掉、信息丢了。这一篇就沿着这个问题走：可撤销吗（逆）→ 怎么倒推（消元）→ 丢了多少信息（骨干人数）→ 目标能不能达到（有没有解、几个解）→ 两个大题套路。
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> 你手上已有幕3 的尺子：读数非零=没压扁=可撤销。这一篇把这句话变成一套可操作的手艺。
## 上章回顾（30 秒三问，答不上回去翻幕3）
1. $\lvert AB\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert$ 的画面是什么？由此，$\lvert AB\rvert=0$ 能推出什么？
2. "两行相同读数为零"是怎么从"换行变号"推出来的？
3. $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E$ 是哪两条结论的合并报表？
✅ 对照答案
1. 动作连做、倍数连乘：先 $B$ 乘 $\lvert B\rvert$ 倍、再 $A$ 乘 $\lvert A\rvert$ 倍。$\lvert AB\rvert=0\Rightarrow\lvert A\rvert\lvert B\rvert=0\Rightarrow$ $A$、$B$ 至少一个压扁。
2. 相同两行互换：图形纹丝不动，但换行必须变号——只有 $0$ 等于自己的相反数。
3. 按行展开（对角线位置=本行配本行余子式）+ 错配推论（非对角位置=两行相同的表，读数 0）。
$$S^{-1}S=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=E$$
逐列读：$S^{-1}$ 把 $S$ 送出去的 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 一一接回原位——先剪再撤，等于没动。
图 1 · 可撤销的画面：$S$ 把方块推斜、$S^{-1}$ 原路推回——连做等于没动（$S^{-1}S=E$）。没压扁的变形都是这样"有来有回"；压扁的（如两箭叠成一支）则回不去。
可逆与逆矩阵：若存在方阵 $B$ 使 $BA=AB=E$（连做等于"没做"），称 $A$ 可逆，$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记 $A^{-1}$。它是矩阵世界里的"倒数"（$a\cdot\frac1a=1$ 对应 $A\cdot A^{-1}=E$）。
〔幕2 欠条兑现 ✓：$E$=矩阵世界的 1，$A^{-1}$=与它配对的"倒数"——幕2 §7.1 埋的第三张条在此还清〕
谁有资格可逆？幕3 的引信在此点火：
$A$ 可逆 $\iff$ $\lvert A\rvert\neq0$（没压扁）$\iff$ 变形是一一对应的搬家、原路可回。四句话，一个开关。
为什么没压扁就能撤销（画面级）：压扁 $\lvert A\rvert=0$ 时多支箭被叠到同一处（幕2 题 19③：$\mathbf{j}$ 直接被灭）——"谁从哪来"的信息丢了，想原路搬回也不可能（两支箭认一个新家，撤的时候各回哪家？）。没压扁时变形是一一对应：每支箭有唯一新家、每个新家认得唯一旧主人——按原账本反着搬就是撤销。〔原理〕严格构造由伴随矩阵直接给出：
$$AA^{\ast}=\lvert A\rvert E\ \xrightarrow{\ \lvert A\rvert\neq0\ }\ A\cdot\frac{A^{\ast}}{\lvert A\rvert}=E\ \Rightarrow\ A^{-1}=\frac{A^{\ast}}{\lvert A\rvert}$$
（$A^{\ast}A=\lvert A\rvert E$ 同样成立，两侧都验。）反过来，若 $A$ 可逆：$AA^{-1}=E$ 两边取读数（幕3 乘法公式）得 $\lvert A\rvert\cdot\lvert A^{-1}\rvert=1$，逼 $\lvert A\rvert\neq0$——开关只此一挡，等价链两侧都有着落。
逆矩阵唯一：若 $B$、$C$ 都是 $A$ 的逆，则 $B=B(AC)=(BA)C=EC=C$——结合律一步锁死。〔原理〕
### 1.2 二阶速算：主换、副变号、除读数
二阶求逆穷门（就是幕3 伴随的 2 阶形态 $\frac{A^{\ast}}{\lvert A\rvert}$）：主对角线互换、副对角线变号、除以读数。
$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$
例：$\begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}2&-1\\-1&3\end{bmatrix}$（读数 $3\cdot2-1\cdot1=5$）。
三条运算性质，每条一句画面：
| 性质 | 画面 |
|------|------|
| $(A^{-1})^{-1}=A$ | 撤销的撤销 = 原动作 |
| $(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}$（$k\neq0$） | 动作整体放大 $k$ 倍，撤销时整体缩小回来 |
| $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（倒序！） | 穿衣脱衣：先穿的后脱。先 $B$ 后 $A$，撤销时先撤 $A$ 再撤 $B$ |
倒序那条最容易写反，代数一步看清为什么必须倒序：$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}EB=E$ ✓；若不倒序，$(A^{-1}B^{-1})(AB)$ 中间根本结合不出 $E$。顺手再收一条 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$：转置与取逆先后可换（翻面与撤销互不干扰）。
🧠 合上页·先回忆
① 可逆的定义与判据？
② $A^{-1}=A^{\ast}/\lvert A\rvert$ 是怎么来的？
③ $(AB)^{-1}$ 为什么必须倒序？
答不出，回 §1.1–1.2。
> ✏️ 立刻练一道：判断可逆并求逆：① $\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$；② $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$。
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> ✅ 答案
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> ① 读数 $2\cdot1-1\cdot1=1\neq0$，可逆；逆 $=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$。验算：$\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ ✓。
> ② 读数 $4-4=0$：压扁（两行成比例），不可逆——$\mathbf{j}$ 的新家 $(2,4)$ 与 $\mathbf{i}$ 的新家 $(1,2)$ 共线，信息已丢，无从撤销。
> 增广矩阵 $(A\vert\mathbf{b})$：系数表与右端并排、竖线分隔的一张大表——解方程组的全部动作都在它身上做。
解方程的全部动作都在这张表上做，写成方程反而啰嗦：
$$\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{cases}\quad\longleftrightarrow\quad\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]$$
### 2.2 三类动作：幕2 的欠条在此兑现
解方程组只允许三种操作（对增广表的行做）：
| 动作 | 幕2 的名字 | 为什么不破坏解 |
|------|-----------|---------------|
| ① 两行互换 | 换轴 | 方程换个出场顺序，内容没变 |
| ② 某行乘非零数 $k$ | 单轴拉伸 | 方程两边同乘非零数，解集合不变 |
| ③ 某行加另一行的 $k$ 倍 | 剪切 | "A 方程 + k×B 方程"得到的新方程，与旧的能互相推出（剪切可逆！） |
幕2 §7.2 埋的欠条（"为什么这三类就够"）现在还上：消元的全部需求，就是"把某行某列的系数消成零"——把第 $i$ 行加上第 $j$ 行的适当倍数（动作③）就能消去一个元；主元为零时换行（①）；系数不整齐时提系数（②）。三类动作 = 三种基本变形，消元再无别的招。〔欠条兑现✓〕
### 2.3 全程演练：前向消去 + 回代
$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]\xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1}\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right]$$
$$\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right]\xrightarrow{r_3+3r_2}\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-28\end{array}\right]$$
三角形成型，从底往上回代：$-7z=-28$ 给 $z=4$？——停，笔算容易手滑。先顺着 $z=4$ 走完：$y-2z=-4$ 给 $y=4$，进而 $x=-2$。代入第二式验收：$2(-2)-4+4=-4\neq3$——不对，重算。$r_3+3r_2$：第三行 $(-3,-1,-9)+3(1,-2,-4)=(0,-7,-21)$，抄成 $-28$ 是笔误。正确阶梯第三行为 $(0,0,-7\,\vert\,-21)$，回代 $z=3$、$y-2\cdot3=-4\Rightarrow y=2$、$x=6-2-3=1$。验证第二式：$2-2+3=3$ ✓、第三式：$1+4-3=2$ ✓。解为 $(1,2,3)$。
> 刚才的现场笔误是真实课堂常态，顺手立一条规矩：回代完必须代入原方程组验收——消元步骤多，一步抄错全盘歪，验收是最后一道闸。
### 2.4 行变换 = 左乘：一张表代表一个动作
初等矩阵：三类基本动作自己的登记表（单位矩阵 $E$ 经过一次行变换所得）。对 $A$ 做一次行变换，等价于左乘一个初等矩阵：$A\to EA$。
例证（按行乘加直算）：
$$\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\ka+c&kb+d\end{bmatrix}$$
左乘这张表，恰好把第二行换成了"$k$ 乘第一行 + 原第二行"——一次行变换。"左乘=行变换、右乘=列变换"〔约定：位置习惯，内容是组合〕。
### 2.5 求逆手艺：$[A\vert E]$ 一磨到底
逆矩阵怎么算快？把 $A$ 和 $E$ 并排放好，对整张宽表做行变换——左半磨成 $E$ 的同时，右半自动变成 $A^{-1}$：
$$[\,A\vert E\,]\xrightarrow{\text{行变换}}[\,E\vert A^{-1}\,]$$
为什么？一串行变换总效果是左乘某个可逆矩阵 $P$（每个初等矩阵都可逆——动作都能撤销），$PA=E$ 说明 $P=A^{-1}$；同一串变换作用在右半 $E$ 上，得到 $PE=P=A^{-1}$。〔原理〕
演练（$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，读数 $-2\neq0$）：
$$\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right]\xrightarrow{r_2-3r_1}\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right]\xrightarrow{r_2\div(-2)}\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right]$$
$$\xrightarrow{r_1-2r_2}\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right]\qquad\Rightarrow\qquad A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{bmatrix}$$
与伴随法 $\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$ 完全一致 ✓。3 阶以上，$[A\vert E]$ 法是主力（伴随法要算 9 个余子式，磨表更快）。
🧠 合上页·先回忆
① $A\mathbf x=\mathbf b$ 的“查表”读法？
② 消元只许哪三类动作，各为什么不破坏解？
③ $[A\vert E]\to[E\vert A^{-1}]$ 的道理？
答不出，回 §2.1–2.5。
> ✏️ 立刻练一道：用消元解 $\begin{cases}x+2y=5\\3x+4y=13\end{cases}$；再用 $[A\vert E]$ 求同一个系数矩阵的逆，两相对照。
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> ✅ 答案
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> $\left[\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&4&13\end{array}\right]\to^{r_2-3r_1}\left[\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&-2&-2\end{array}\right]$，回代 $y=1$、$x=3$。验收：$3+2=5$ ✓、$9+4=13$ ✓。
> 求逆：$\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right]$，$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\tfrac32&-\tfrac12\end{bmatrix}$。对照：$A^{-1}\begin{bmatrix}5\\13\end{bmatrix}=(-10+13,\ \tfrac{15}2-\tfrac{13}2)=(3,1)$ ✓ 与消元同解。
> 引理（表示的个数律）：若 $s$ 支箭 $\beta_1,\cdots,\beta_s$ 都能由 $t$ 支箭 $\alpha_1,\cdots,\alpha_t$ 表示，且 $s\gt t$，则 $\beta$ 们必线性相关。
证明（消元视角，§2 刚学的家当）：把每个 $\beta_j$ 的配方写出来，$\beta_j=a_{1j}\alpha_1+\cdots+a_{tj}\alpha_t$。要找不全为零的系数 $c_1,\cdots,c_s$ 使 $c_1\beta_1+\cdots+c_s\beta_s=\mathbf{0}$。代入配方整理：
$$c_1\beta_1+\cdots+c_s\beta_s=\Big(\sum_j a_{1j}c_j\Big)\alpha_1+\cdots+\Big(\sum_j a_{tj}c_j\Big)\alpha_t$$
只要每个括号清零，整式为零。清零条件是 $t$ 个方程、$s$ 个未知数 $c_j$——$s\gt t$：方程比未知数少，消元后必有自由未知量，非零解躲不掉（这正是幕1 手算四步时那句"方程比未知数少，往往有余粮"的严格版）。∎
欠条① 兑现（$s\gt n$ 必相关）：$\mathbb{R}^n$ 里每支箭都是 $n$ 支基本箭的组合（幕1 §2/§7）——即 $s$ 支箭全都能由 $t=n$ 支表示。$s\gt n$ 时引理直接宣判：必相关。∎〔幕1 性质 5 的欠条还清 ✓〕
欠条② 兑现（极大无关组个数不变）：设同一向量组的两个极大无关组各有 $a$ 支、$b$ 支。原组的每支都能由极大无关组表示（幕1 §6），于是两组经原组中转、互相表示。若 $a\gt b$：$a$ 支全由 $b$ 支表示且 $a\gt b$，引理宣判第一组相关——与"无关"矛盾。故 $a\le b$；对称地 $b\le a$；所以 $a=b$。骨干人数与挑人无关，是组自己的固有属性。∎〔幕1 §6 的欠条还清 ✓〕
### 3.2 给“骨干人数”起名
> ✏️ 先猜：下面这个 $3\times3$ 矩阵，不用消元，先看列——你觉得有几个骨干？
> $$\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\7&8&10\end{bmatrix}$$
秩 $r(A)$：矩阵 $A$ 的列向量组的极大无关组支数——骨干人数。$n$ 阶方阵 $r(A)=n$ 称满秩。
幕1 的"骨干人数不变"、幕4 的判定机器、幕5 的对角化条件，用的都是这一个数。算它不用真去挑骨干——消元数台阶：
$$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\7&8&10\end{bmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\7&8&10\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3-7r_1}\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-6&-11\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{换行}}\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&-11\\0&0&0\end{bmatrix}$$
台阶数 $2$，故 $r(A)=2$（第三列必是前两列的某个组合——不必真找系数，台阶数已经担保；真要找：$-\tfrac23\times$第一列$+\tfrac{11}6\times$第二列）。行变换不改变秩：三类动作都只把行组换成等价组（可互相表示——动作都可逆），骨干人数不动。〔原理：等价向量组的极大无关组互相表示，由 3.1 的引理，支数相等〕
图 2 · 秩的两副面孔：左边数"骨干"（几何），右边数"台阶"（代数）——行变换把行组换成等价组，两副面孔始终报同一个数。
引理（非零子式抬秩）：若 $A$ 有一个非零的 $k$ 阶子式，则 $r(A)\ge k$。
推导全用你已学的家当：那个非零 $k$ 阶子式所在的 $k$ 行 $k$ 列交出一块 $k\times k$ 小方阵，它读数非零 $\Rightarrow$ 小方阵满秩（满秩三合一）$\Rightarrow$ 它的 $k$ 支列线性无关。现在把这 $k$ 支列加长回 $A$ 里的完整列（每列补上缺的行分量）——幕1 性质 3（无关组加长仍无关）：旧账清零则新账必清零，加分量杀不死无关。于是 $A$ 里至少有 $k$ 支无关列，$r(A)\ge k$。∎〔原理：满秩三合一＋幕1"加长不降无关"，两件旧家当的合击〕
这件工具的妙处：子式非零 ⟹ 秩不小，逆否读法就是秩小 ⟹ 够高的子式全零——$r(A^{\ast})$ 三档的第三档立刻到手。开推（$n$ 阶方阵 $A$，记 $r=r(A)$）：
第一档 $r=n$（满秩）：$\lvert A\rvert\neq0$。对 $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E$（幕3 §五）两边取读数，用乘法公式：$\lvert A\rvert\cdot\lvert A^{\ast}\rvert=\lvert A\rvert^{n}$，约去 $\lvert A\rvert$ 得 $\lvert A^{\ast}\rvert=\lvert A\rvert^{n-1}\neq0$——$A^{\ast}$ 也满秩，$r(A^{\ast})=n$。∎（这条幕3 已立，此处归队。）
第二档 $r=n-1$：上界与下界两头夹。
上界：$r\lt n\Rightarrow\lvert A\rvert=0$（满秩三合一的逆否），代入恒等式 $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E=O$——正是 §6.1 那条 $AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$ 的现场（$B=A^{\ast}$）：$(n-1)+r(A^{\ast})\le n$，逼 $r(A^{\ast})\le1$。
下界：要证 $A^{\ast}\neq O$，即至少一个代数余子式非零。$r(A)=n-1$ 意味着存在非零的 $n-1$ 阶子式〔入口假设：秩为 $k\iff$ 存在非零 $k$ 阶子式——"$\Rightarrow$"这半步的直观：对骨干列消元出 $k$ 个台阶，台阶所在的行列交出上三角子块、主元连乘非零；把"阶梯形的子式"严格搬回原矩阵需要柯西—比内公式（子式相乘的账），超出数三工具箱，此处立信使用，想看→任一教材"矩阵的秩"一节〕。而 $A^{\ast}$ 的每个元素恰是某个 $n-1$ 阶子式带符号（幕3 §五装订规则），有一个非零就有 $A^{\ast}\neq O$，故 $r(A^{\ast})\ge1$。两头合拢：$r(A^{\ast})=1$。∎
第三档 $r\le n-2$：反设某个 $n-1$ 阶子式非零——引理立刻宣判 $r(A)\ge n-1$，与 $r\le n-2$ 矛盾。所以所有 $n-1$ 阶子式为零，$A^{\ast}$ 每个元素都是零，$A^{\ast}=O$，$r(A^{\ast})=0$。∎〔原理：引理的逆否一击〕
三档合账（把三行抄进你的推导自检清单，每行都能自己走一遍）：
| $r(A)$ | $r(A^{\ast})$ | 道路（全部用本课工具） |
|--------|--------------|----------------------|
| $n$ | $n$ | $AA^{\ast}=\lvert A\rvert E$ 取读数，$\lvert A^{\ast}\rvert=\lvert A\rvert^{n-1}\neq0$ |
| $n-1$ | $1$ | 上界：$AA^{\ast}=O\Rightarrow r(A)+r(A^{\ast})\le n$；下界：非零 $n-1$ 阶子式（子式刻画〔入口假设〕） |
| $\le n-2$ | $0$ | 非零 $n-1$ 阶子式 ⟹ $r(A)\ge n-1$（引理）矛盾 ⟹ $A^{\ast}=O$ |
尾账两讫：$\lvert A\rvert=0$ 的两种情形（$r=n-1$ 给 $r(A^{\ast})=1\lt n$ 故 $\lvert A^{\ast}\rvert=0$；$r\le n-2$ 更是零表）都落进 $\lvert A^{\ast}\rvert=0=\lvert A\rvert^{n-1}$——幕3 挂的"$\lvert A\rvert=0$ 情形"至此全域兑现，两讫。
🧠 合上页·先回忆
① 表示个数引理说了什么？怎么还幕1 两张欠条？
② 秩的几何读法与代数读法？
③ 满秩三合一？
答不出，回 §3.1–3.3。
> ✏️ 立刻练一道：数秩并判断可逆：① $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$；② $\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$；③ $\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\7&8&10\end{bmatrix}$（正文例）。
>
> ✅ 答案
>
> ① 消元 $\to\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}$，一个台阶，$r=1\lt 2$：不满秩、读数 $0$、不可逆（三位一体）。② $\to\begin{bmatrix}2&1\\0&\tfrac12\end{bmatrix}$ 两个台阶，$r=2$ 满秩，可逆。③ $r=2\lt 3$，不满秩不可逆（第三列是前两列的组合，立体被压扁成平面）。
> 基础解系：齐次方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 全部解的极大无关组——骨干解。支数恰为 $n-r(A)$（自由未知量的个数）。全部解 = 基础解系的一切线性组合（幕1 的"张成"在此回收）。
为什么恰好 $n-r$ 支：消元磨完后，$r$ 个主元变量被阶梯锁定，剩下 $n-r$ 个自由未知量各领一个方向——每放一个自由变量取 $1$（其余取 $0$），得到一支骨干解；它们无关（每支在自己专属的自由位上是 $1$、别人是 $0$，组合出零逼每个系数为零）；任何解都是它们按各自自由量取值的组合（幕1 定理 B 的"无关 ⟹ 表示唯一"露了一手）。〔原理〕
求基础解系流程：消元 → 认出 $n-r$ 个自由变量 → 每个自由变量轮流取 $1$（其余取 $0$）解出主元变量 → 得 $n-r$ 支骨干解。
例：$x_1-x_2+x_3=0$（$n=3$，$r=1$，自由 $2$ 个）。取 $x_2=s,\ x_3=t$：$x_1=s-t$，解 $=(s-t,\ s,\ t)=s(1,1,0)+t(-1,0,1)$。基础解系 $\xi_1=(1,1,0)$、$\xi_2=(-1,0,1)$，全部解 $\mathbf{x}=k_1\xi_1+k_2\xi_2$。验算两支：$1-1+0=0$ ✓、$-1-0+1=0$ ✓。
### 4.3 非齐次：一个特解 + 自由方向
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$）的解不构成向量组（两解相加不再是解——各搬一次 $\mathbf{b}$ 会变成 $2\mathbf{b}$），但结构同样干净：
$$\text{全部解}=\text{一个特解}\ \mathbf{x}^{\ast}\ +\ \text{齐次通解}\ k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$$
画面：$\mathbf{b}$ 的原像们 = 把唯一"基准原像"整体平移（沿压扁掉的方向挪动不改变像）。例：$x+y=1$：特解 $(1,0)$，齐次 $x+y=0$ 的骨干 $\xi=(-1,1)$，通解 $(1,\ 0)+k(-1,\ 1)$。
🧠 合上页·先回忆
① 三态判定比哪两个秩？
② 基础解系为什么恰 $n-r$ 支？
③ 非齐次通解为什么是“特解 + 齐次通解”？
答不出，回 §4.1–4.3。
> ✏️ 立刻练一道：方程组 $x+y-2z=1$、$2x+2y-4z=2$。
判定三态并写出通解。
>
> ✅ 答案
>
> 第二式=第一式 $\times2$，消元后只剩一行：$r(A)=r(A\vert\mathbf{b})=1\lt 3$，无穷多解，自由未知量 $3-1=2$ 个。取 $y=s,\ z=t$：$x=1+2s-t$? 等等——由 $x+y-2z=1$ 得 $x=1-y+2z=1-s+2t$。特解（$s=t=0$）：$\mathbf{x}^{\ast}=(1,0,0)$。齐次骨干：$\xi_1=(-1,1,0)$（$y$ 方向）、$\xi_2=(2,0,1)$（$z$ 方向）。通解 $\mathbf{x}=(1,0,0)+k_1(-1,1,0)+k_2(2,0,1)$。验收特解：$1+0-0=1$ ✓。
>
$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\ \Rightarrow\ \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\frac{A^{\ast}\mathbf{b}}{\lvert A\rvert}\ \Rightarrow\ x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\lvert A\rvert},\quad x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\lvert A\rvert}$$
克拉默法则：$x_j$ = 把系数表第 $j$ 列换成 $\mathbf{b}$ 后的读数，除以原表读数 $\lvert A\rvert$。适用前提：方阵且 $\lvert A\rvert\neq0$（唯一解情形）。
上面 2 阶版是"写开来看"的版本。这个法则不需要背，也不必停在 2 阶——它的 $n$ 阶一般公式，就是"逆矩阵 = 伴随除以读数"逐分量写开的样子。三步走完（每步都是已学的家当）：
第一步（按列展开）：幕3 §3.3 给了按行展开；按列展开同样成立——把 $A$ 转置，对 $A^{T}$ 用按行展开（性质 1 说 $\lvert A^{T}\rvert=\lvert A\rvert$，读数不变），转置恰好把"行"翻译回"列"、而棋盘符号 $(-1)^{i+j}$ 对 $i,j$ 对称不变号。所以按第 $j$ 列展开：$\lvert A\rvert=\sum_i a_{ij}A_{ij}$（第 $j$ 列的元素，各配自己位置的代数余子式）。〔原理：转置桥，两行〕
第二步（解的分子）：$\lvert A\rvert\neq0$ 时 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\dfrac{A^{\ast}\mathbf{b}}{\lvert A\rvert}$（§1.1，对任意阶成立）。看第 $j$ 个分量——查 $A^{\ast}$ 的装订账（幕3 §五：$(A^{\ast})_{jk}$ $=A_{kj}$，行放列的余子式）：
$$x_j=\frac{(A^{\ast}\mathbf{b})_j}{\lvert A\rvert}=\frac{\sum_k A_{kj}\,b_k}{\lvert A\rvert}$$
第三步（认出分子是谁）：造一张新表 $A_j$——把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $\mathbf{b}$，其余列原样。对 $A_j$ 按它自己的第 $j$ 列展开（第一步）：第 $j$ 列元素恰是 $b_1,\cdots,b_n$；而每个 $b_k$ 的代数余子式要划掉的是第 $k$ 行第 $j$ 列、剩下的是 $A$ 的其余列——跟 $A$ 里 $A_{kj}$ 划掉的范围一模一样（换掉的正是第 $j$ 列本身，余子式碰不到它）。所以
$$\lvert A_j\rvert=\sum_k b_k A_{kj}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,x_j=\frac{\lvert A_j\rvert}{\lvert A\rvert}\,}$$
2 阶版就是 $n=2$ 的特例。∎〔原理：转置桥＋伴随装订＋按列展开，三件旧家当的合击——这法则从此不用记，忘了自己推〕
例：$\begin{cases}2x+3y=8\\ x+y=3\end{cases}$。
读数 $\lvert A\rvert=2-3=-1$，
$$x=\frac{\begin{vmatrix}8&3\\3&1\end{vmatrix}}{-1}=\frac{8-9}{-1}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}2&8\\1&3\end{vmatrix}}{-1}=\frac{6-8}{-1}=2$$
验收 $2+6=8$ ✓。两条防坑：①$\lvert A\rvert=0$ 时克拉默哑火（无解、无穷解它都不报——先做三态判定再用它）；②考试上 3 阶以上克拉默偏慢，"$[A\vert\mathbf{b}]$ 一磨到底"更通用——克拉默的价值在理论断言与 2 阶速算：$\lvert A\rvert\neq0\Rightarrow$ 唯一解且解由读数显式给出。
🧠 合上页·先回忆
① 克拉默的适用前提？
② 分子是哪张表的读数？
③ 为什么 $n$ 阶公式不用背，能自己推？
答不出，回 §5。
> ✏️ 立刻练一道：用克拉默解 $\begin{cases}x+2y=5\\3x+y=10\end{cases}$（先验可解性）。
>
> ✅ 答案
>
> $\lvert A\rvert=1\cdot1-2\cdot3=-5\neq0$，唯一解。$x=\dfrac{\begin{vmatrix}5&2\\10&1\end{vmatrix}}{-5}=\dfrac{5-20}{-5}=3$，$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&5\\3&10\end{vmatrix}}{-5}=\dfrac{10-15}{-5}=1$。验收：$3+2=5$ ✓、$9+1=10$ ✓。
> 定理：$AB=O$（$A$ 为 $n$ 列矩阵）$\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$。
一行画面看懂：$AB$ 的每一列 $=A\times$（$B$ 的对应列）（幕2 逐列再搬家）。$AB=O$ 说明 $B$ 的每一列都被 $A$ 搬到原点——$B$ 的每列都是齐次方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解。而该方程组的解全是基础解系（$n-r(A)$ 支骨干）的组合，所以 $B$ 的列组（其骨干 $r(B)$ 支）也只能从这 $n-r(A)$ 支骨干的组合里出——由表示个数引理，组合不会凭空多出新骨干：$r(B)\le n-r(A)$。〔原理：本幕家当的三连击——逐列读法、基础解系、引理〕
数值现场：$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$：$AB=O$，$r(A)+r(B)=1+1=2=n$，恰好取等。考场上这条不等式常与"$B\neq O$"合演：$B\neq O$ 说明 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，即 $r(A)\lt n$——$A$ 压扁了（读数为零）。这一串"翻译"要练到条件反射。
### 6.2 含参方程组：一道大题的完整流程
> ✏️ 先猜：$\lambda=1$ 时，这个方程组的三行会变成什么？先代进去看，再按下面的流程走。
例（$\lambda$ 取何值时，方程组无解、唯一解、无穷解？有解时求出全部解）：
$$\begin{cases}x+y+z=1\\ x+\lambda y+z=2\\ x+y+\lambda z=3\end{cases}$$
第一步：扫读数（方阵先看尺子——幕3 家当）：
$$\lvert A\rvert=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2$$
（按第一行展开：$1\cdot(\lambda^2-1)-1\cdot(\lambda-1)+1\cdot(1-\lambda)=(\lambda-1)^2$。）
第二步：分岔。
$\lambda\neq1$：读数非零，唯一解（满秩三合一）。消元：$r_2-r_1=(0,\ \lambda-1,\ 0\ \vert\ 1)$，$r_3-r_1=(0,\ 0,\ \lambda-1\ \vert\ 2)$，回代
$$y=\frac{1}{\lambda-1},\qquad z=\frac{2}{\lambda-1},\qquad x=1-\frac{3}{\lambda-1}$$
$\lambda=1$：系数三行全同（$r(A)=1$），增广表 $r_2-r_1=(0,0,0\vert1)$——矛盾行，$r(A\vert\mathbf{b})=2\gt 1$，无解。
第三步：答：$\lambda\neq1$ 唯一解（上式）；$\lambda=1$ 无解；本题没有无穷解分支。验收 $\lambda=3$ 代入：$y=\tfrac12$、$z=1$、$x=1-\tfrac32=-\tfrac12$，第二式 $-\tfrac12+\tfrac32+1=2$ ✓、第三式 $-\tfrac12+\tfrac12+3=3$ ✓。
> 这道题的流程模板值得抄进脑子：
读数分岔 → $\neq0$ 唯一解（消元或克拉默出解）→ $=0$ 时手工消元、比两个秩 → 三态对号。
含参题千变万化，骨架就这一条。
### 6.3 投入产出收线：幕2 的欠条在此兑现
幕2 §9.1 留的 $x=Ax+d$（产出=中间消耗+最终需求）现在可以解了：移项 $(E-A)\mathbf{x}=\mathbf{d}$，只要 $\lvert E-A\rvert\neq0$（幕3 题17 算过是 $0.4$），
$$\mathbf{x}=(E-A)^{-1}\mathbf{d}=\frac{1}{0.4}\begin{bmatrix}0.6&0.2\\0.1&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10\\20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.5&0.5\\0.25&1.75\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10\\20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25\\37.5\end{bmatrix}$$
要满足 10 农 20 工的最终需求，总产出得农业 25、工业 37.5——多出来的部分被生产过程自己吃掉。验算：$A\mathbf{x}=(15,\ 17.5)$（$0.3\times25+0.2\times37.5=15$，$0.1\times25+0.4\times37.5=17.5$）。
加需求：$(15,17.5)+(10,20)=(25,37.5)=\mathbf{x}$ ✓ 自洽。列昂捷夫模型"有解"靠的就是 $\lvert E-A\rvert\neq0$——数三卷子外的世界，同一台机器。〔幕2 欠条兑现 ✓〕
🧠 合上页·先回忆
① $AB=O$ 推出什么秩关系？
② 含参方程组的三步流程？
③ $(E-A)\mathbf x=\mathbf d$ 什么时候有唯一产出？
答不出，回 §6.1–6.3。
> ✏️ 立刻练一道：$A$ 为 3 阶矩阵，$r(A)=1$，$AB=O$。$B$ 的秩最大多少？$B$ 可以不是零矩阵吗？
>
> ✅ 答案
>
> $r(B)\le n-r(A)=3-1=2$，最大 2。可以非零：$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系有 2 支，取 $B$ 的两列为基础解系、第三列取零（或三列全是解的组合），$B\neq O$ 且 $AB=O$。反过来说：$AB=O$ 且 $B\neq O$ 恰好证明 $r(A)\lt 3$（$A$ 压扁）。
> 图 3 · 幕4 全章家谱：登记表生出"可撤销"与"消元"两翼；秩把两翼接通（三态判定数的就是 $r(A)$ 与 $r(A\vert\mathbf b)$），解的结构开出大题三件套。合上页面自己画一遍。
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## 📒 本篇规则账
| 条目 | 身份 | 说明 |
|------|------|------|
| $A$ 可逆 $\iff\lvert A\rvert\neq0$；$A^{-1}=A^{\ast}/\lvert A\rvert$ | 〔原理〕 | 伴随恒等式除以读数；唯一性由结合律 |
| 逆的性质（倒序 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 等） | 〔原理〕 | 撤销的撤销=原动作；穿脱倒序（一步代数验证） |
| 消元三类动作=幕2 三类基本变形 | 〔原理〕 | 换轴/拉伸/剪切，解集合不变（动作可逆） |
| 行变换=左乘初等矩阵 | 〔原理〕 | 逐列再搬家的直接读法 |
| $[A\vert E]\to[E\vert A^{-1}]$ | 〔原理〕 | 一串行变换=P 左乘，$PA=E$ 强制 $P=A^{-1}$ |
| 表示个数引理（$s$ 由 $t$ 表示、$s\gt t$ ⟹ 相关） | 〔原理〕 | 方程少于未知数 ⟹ 自由未知量——消元视角 |
| $r(A)$=极大无关组支数；等价组秩不变 | 〔原理〕 | 幕1 两张欠条连还；行变换=换成等价组 |
| $r(AB)\le\min(r(A),r(B))$ | 〔原理〕 | 逐列组合不造新骨干 |
| 满秩 $\iff\lvert A\rvert\neq0\iff$ 可逆 | 〔原理〕 | 三名一体 |
| 三态判定（比 $r(A)$ 与 $r(A\vert\mathbf b)$） | 〔原理〕 | 矛盾行=无解；压扁=自由未知量 |
| 基础解系恰 $n-r$ 支 | 〔原理〕 | 自由变量轮流取 1；无关+表示一切 |
| 克拉默法则 | 〔原理〕 | 求逆三行推出（§5 三步推到 $n$ 阶）；仅限读数非零 |
| $AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$ | 〔原理〕 | $B$ 列全是 $A\mathbf x=\mathbf 0$ 的解 |
| $r(A^{\ast})$ 三档 | 〔原理〕 | §3.3 逐档推：档1 恒等式取读数；档2 $AA^{\ast}=O$ 夹逼（下界借一条子式刻画〔入口假设〕）；档3 引理逆否 |
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## ⚠️ 易混·翻车清单
| 易混对 | 一句话拆开 |
|------|------|
| $(AB)^{-1}$ vs $A^{-1}B^{-1}$ | 必须倒序 $B^{-1}A^{-1}$（先穿的后脱）；不倒序中间结合不出 $E$ |
| 唯一解 vs 有解 | $r(A)=r(A\vert\mathbf b)$ 只说"有解"，唯一还要 $=n$；无穷解时 $r(A)=r(A\vert\mathbf b)\lt n$ |
| 基础解系支数 | $n-r(A)$，不是 $r$、不是 $n$；数错自由变量全题歪 |
| 齐次 vs 非齐次的解 | 齐次解相加仍是解；非齐次两解相加不是解（差才是齐次解） |
| 克拉默的适用前提 | $\lvert A\rvert\neq0$ 才可用；$\lvert A\rvert=0$ 时它对无解/无穷解一言不发 |
| $AB=O$ 推什么 | $\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$；不能推 $A=O$ 或 $B=O$（矩阵乘法无零因子律） |
| 行变换 vs 列变换 | 消元、求逆、数秩只许行变换；列变换会改方程组（$x$ 的顺序都没了） |
| $\lvert A\rvert=0$ 与 $A=O$ | 前者压扁（可能非零矩阵），后者全零——压扁的矩阵照样能非零 |
| 秩的"个数"读法 | $r(A)$ 是骨干支数（几何量），不是"非零行的行数"（那是阶梯形的读法之一——行变换把行组换成等价组，非零行数=骨干人数是必然，不是巧合） |
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## 🎯 考试导航（数三 · 方程组与秩）
> ⚠️ 优先级按数三版图排定，真题考频待 848 情报线校准。
| 考点 | 常见题貌 | 优先级 | 本篇弹药 |
|------|---------|------|---------|
| 含参方程组讨论 | $\lambda$ 取何值时无解/唯一/无穷 | ★★★（大题常驻） | §6.2 流程模板 |
| 解的结构与通解 | 求基础解系/通解；两解之差是齐次解 | ★★★ | §4 |
| 求逆矩阵 | $[A\vert E]$ 或伴随；抽象验证 $AB=E$ | ★★★ | §1、§2.5 |
| 秩的不等式与 $AB=O$ | 判断/证明秩的关系 | ★★☆ | §3、§6.1 |
| 可逆判定与性质 | $\lvert A\rvert$、$(AB)^{-1}$ 类运算 | ★★☆ | §1 |
| 克拉默法则 | 2 阶速算、唯一解断言 | ★☆☆ | §5 |
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## ✏️ 配套练习（18+5 题 · 先做后看，纸上留痕）
> 📏 做题前先估分：这 18 题，你估计自己能对几题？写在纸上。做完再对照。预测和实际差 3 题以上，说明你对自己“会不会”的判断需要校准。
自测前须知：方程组的题一定要"算完必验收"（代回原方程）；判定题先比秩、再下结论，别跳步。
### A 组 · 概念与判据（1–6）
1. 判断可逆：① $\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$；② $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$；③ 单位矩阵 $E$。
✅ 答案
① 读数 $1\neq0$ 可逆；② 读数 $0$（两行成比例）不可逆；③ $E\cdot E=E$，$E$ 的逆是自己。采分点：读数判据+③ 不假思索写 $E^{-1}=E$。
✅ 答案
主换副变号除读数：$\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$（读数 1，除以 1）。验算 $\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ ✓。采分点：穷门三步+验算。
✅ 答案
对。设 $BA=AB=E$、$CA=AC=E$，则 $B=B(AC)=(BA)C=EC=C$。结合律一步锁死。采分点：写出这条三行链。
✅ 答案
画面：穿衣脱衣——先穿（右边的 $B$）的后脱。代数：$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}EB=E$ ✓；若写 $A^{-1}B^{-1}$，中间 $B^{-1}A^{-1}AB$ 无法结合出 $E$。采分点：两条各对。
✅ 答案
$r_2-2r_1=0$（第二行是第一行 2 倍）；剩 $\begin{bmatrix}1&2&3&4\\1&1&1&1\end{bmatrix}$ 两行不成比例，$r=2$。采分点：先扫成比例行再动笔；答 2。
① $r(A)=r(A\vert\mathbf{b})=n$ ⟹ ______ 解；
② $r(A)=r(A\vert\mathbf{b})\lt n$ ⟹ ______ 解；
③ $r(A)\lt r(A\vert\mathbf{b})$ ⟹ ______。
✅ 答案
唯一；无穷多；无解（矛盾行 $0=$ 非零）。采分点：三格全对，顺序不乱。
✅ 答案
磨表（§2.5 演示过）：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\tfrac32&-\tfrac12\end{bmatrix}$。伴随法 $\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$ 一致 ✓。采分点：过程三步+两法同答。
✅ 答案
读数 $-2\neq0$ 唯一解。消元 $r_2-3r_1\to(0,-2\vert-2)$，$y=1$、$x=3$。验收 $3+2=5$ ✓、$9+4=13$ ✓。采分点：判定+解+验收三件全。
✅ 答案
$r_2-2r_1=(0,1,3\vert0)$：$r=2\lt 3$，自由 1 个。取 $x_3=t$：$x_2=-3t$、$x_1=-x_2+x_3=4t$。基础解系 $\xi=(4,-3,1)$，通解 $k\xi$。验算 $4-3-1=0$ ✓、$8-9+1=0$ ✓。采分点：$n-r=1$；$\xi$ 三分量对。
✅ 答案
$r_2-2r_1=(0,0,0\vert1)$ 矛盾行：$r(A)=1\lt r(A\vert\mathbf{b})=2$，无解（$z$ 无论取啥，左式恒成倍数而右端不成比例）。采分点：识破矛盾行；别硬着头皮回代。
✅ 答案
$\lvert A\rvert=-1$；$x=\tfrac{8-9}{-1}=1$、$y=\tfrac{6-8}{-1}=2$（§5 例）。验收 $2+6=8$ ✓。采分点：换列的读数别摆错位置。
✅ 答案
$r_3-r_1=(0,1,1)$ 与 $r_2$ 相同，$r_3-r_2$ 再消成零行：$r(A)=2\lt 3$，故 $\lvert A\rvert=0$、不可逆（第三行=第一+第二行，压扁）。采分点：行关系一眼看穿（$r_3=r_1+r_2$）更快。
✅ 答案
$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}=A^{-1}$（转置与取逆可换序；$A^{T}=A$）。所以 $A^{-1}$ 对称。∎ 采分点：$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ 这条性质是桥。
✅ 答案
① $r(B)\le3-2=1$；② $B$ 的每列都是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解（$AB$ 逐列 $=A\times B$ 列 $=\mathbf 0$），基础解系恰 $1$ 支；③ $r(A)=2\lt 3$ 不满秩，$\lvert A\rvert=0$（压扁）。采分点：三连翻译全对——这条链是数三判断题的发动机。
✅ 答案
读数 $1-\lambda$。$\lambda\neq1$：唯一解，克拉默 $x=\dfrac{1-\lambda^2}{1-\lambda}=1+\lambda$、$y=\dfrac{\lambda-1}{1-\lambda}=-1$。$\lambda=1$：两方程同为 $x+y=1$，$r=1\lt 2$ 无穷多解（$\mathbf{x}=(1,0)+k(-1,1)$）；本题无"无解"分支。采分点：$1+\lambda$ 的约分（$\lambda\neq1$ 才许约）；$\lambda=1$ 写出通解。
✅ 答案
一边：$r(AB)\le r(B)$（逐列组合不造新骨干）。另一边：$B=A^{-1}(AB)$，同理 $r(B)\le r(AB)$。两边夹逼相等。∎ 画面：左乘可逆=纯行变换（动作可撤销），台阶数不动。采分点：双向夹逼，缺一不可。
✅ 答案
$\mathbf{x}=(E-A)^{-1}\mathbf{d}=(25,\ 37.5)$（§6.3 全程）。验算：$A\mathbf{x}=(15,\ 17.5)$，加 $\mathbf{d}$ 得 $(25,\ 37.5)=\mathbf{x}$ ✓。采分点：$(E-A)^{-1}$ 摆对+验算。
✅ 答案
系数表 $\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}$：读数 $=1(4-1)-(-1)(-2-0)+0=3-2=1\neq0$，满秩，只有零解。但把右端的 $0$ 换成 $\lambda\mathbf{x}$（即解 $(A-\lambda E)\mathbf{x}=\mathbf{0}$）后，某些特定 $\lambda$ 会让读数归零、非零解成批出现——那些解就是幕5 的特征向量（"变形后方向不变的箭"）。本题矩阵对应的 $\lambda$ 方程 $\lvert A-\lambda E\rvert=0$ 会给出三个实根，具体怎么算，幕5 开讲。采分点：零解判定+对特征方程的白话预言。
✅ 答案（先写理由，再看）
19. $r(B)\le 3-2=1$，最大 1。
20. $n-r=4-2=2$ 支。
21. $[A\vert E]$ 行变换（或二阶穷门：主换、副变号、除读数）。
22. 两式都成 $x+y=1$：$r(A)=r(A\vert\mathbf b)=1\lt2$，无穷多解（自由未知量 1 个）。
23. $B^{-1}A^{-1}$（倒序，先穿的后脱）。