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第1章 函数、极限、连续
把"谁跟着谁变"与"无限逼近"说清楚——全书地基
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定义 使表达式有意义的全体 x（分母≠0、根号内≥0、真数>0）
反函数▾
定义 对应关系倒着走，定义域值域互换，图像关于 y=x 对称
初等函数▾
定义 常数+五类基本初等函数经有限次四则与复合、一个式子写出
数列极限▾
定义 任意 ε>0，存在 N，n>N 时 |aₙ−A|<ε 全部成立
定义 左右两侧逼近各自的结果；极限存在 ⇔ 左右都存在且相等
两侧性格不同必分左右：分段接头 / 1/x / e^(1/x) / arctan(1/x)
七种未定式▾
定义 0/0、∞/∞、∞−∞、0·∞、1^∞、0⁰、∞⁰
定义 sin x/x→1（弧与弦）；(1+1/n)ⁿ→e（复利上界）
定义 u^v=e^(v ln u)；1^∞ 三步：写 1+α → 凑 → e^(lim αv)
定义 背 eˣ/sin x/cos x/ln(1+x) 四组展开当替换升级武器
连续▾
定义 lim f(x)=f(x₀)：有定义、极限存在、两者相等，三件同时成立
定义 可去（左右等）/跳跃（左右不等）/无穷（一侧→∞）/振荡（永久抖）
定义 闭区间+连续 ⇒ 有界、能取到最值、介值、零点（f(a)f(b)<0 有根）
圆点节点可点击折叠/展开；右上角字母块（如 B3、T2）是题目锚链，点击直达主章节题库对应题。术语节点展开可见一句话定义与要点。
配套题库 · 18 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
🙈 遮住答案（自测）
基础组
B1 求 f(x)={sqrt{x-1}}{lg(3-x)} 的定义域。
考点：定义域三安检（根号/分母/对数）——第1章§1.1 ｜ 讲义页详析→ B2 f(x)=sqrt{x-1}，g(x)=ln x，求 f(g(x)) 及其定义域。（链条安检）
考点：复合函数链条安检（两道门）——§1.2 ｜ 讲义页详析→ B3 limlimits_{xto 0}{1-cos 2x}{xsin 3x}。
考点：等价替换（乘除）——§3.3 ｜ 讲义页详析→ B4 limlimits_{xto 0}{sin(ax)}{sin(bx)}（abneq 0，用第一个重要极限结构）。
考点：第一个重要极限结构——§4.2 ｜ 讲义页详析→ B5 limlimits_{xtoinfty}left({x-1}{x+1}right)^x。
考点：1^∞ 三步通法——§4.3 ｜ 讲义页详析→ B6 f(x)={sin x}{x(x-1)}，求间断点并分类。
考点：间断点判类（分母为零≠无穷）——§6.2 ｜ 讲义页详析→ B7 证明方程 x^3-x-1=0 在 (1,2) 内至少有一根。
考点：零点定理答题模板——§6.3 ｜ 讲义页详析→ 进阶组
J1 limlimits_{xto 0}left(cos xright)^{frac{1}{x^2}}。
考点：1^∞（负号别丢）——§4.3 ｜ 讲义页详析→ J2 limlimits_{ntoinfty}left({1}{n^2+1}+{2}{n^2+1}+cdots+{n}{n^2+1}right)（先问：这串和能不能不…
考点：n 项和式先求和再取极限——§5.1 ｜ 讲义页详析→ J3 xto 0 时，是否存在常数 a 使 ax^3 与 e^{2x^2}-1-2x^2 是同阶无穷小（比的极限为非零常数）？若存在求出 a，若不存在说明理由；并回答…
考点：同阶=同次数辨析+泰勒首项——§3.2/§4.4 ｜ 讲义页详析→ J4 已知 limlimits_{xto 1}{x^2+ax+b}{x-1}=3，求 a,b。（脱帽法：分母趋于 0，分子必须被"锁"为 0）…
考点：反求参数脱帽法——第1章题库 ｜ 讲义页详析→ J5 limlimits_{xto 0}{tan x-sin x}{x^3}。（主项抵消警报题）
考点：主项抵消升阶——§3.3 ｜ 讲义页详析→ J6 f 在 [0,2] 连续，f(0)=2，f(2)=0，证明存在 xiin(0,2) 使 f(xi)=xi。
考点：构造 F=f−x + 验异号——§6.3 ｜ 讲义页详析→ J7 f(x)=begin{cases}{sin 2x}{x},&x0end{cases}，问 a,b 满足什么条件时 f 在 x=0 处（ⅰ）极限存在；（ⅱ）连续。…
考点：分段接头左右极限——§3.1/§6.2 ｜ 讲义页详析→ 挑战组
T1 a_1=2，a_{n+1}={1}{2}left(a_n+{2}{a_n}right)，证明 {a_n} 收敛并求极限。…
考点：递推数列三步（归纳/作差/取极限）——§5.2 ｜ 讲义页详析→ T2 某商品需求 q=120-2p（件，元）。生产固定成本 500 元，每件变动成本 15 元。写出利润关于价格 p 的函数并确定定义域；用零点定理证明：存在某价格使…
考点：建模三步+闭区间定理组合——§1.5/§6.3 ｜ 讲义页详析→ T3 f(x)={e^{frac{1}{x}}-1}{e^{frac{1}{x}}+1}，求 xto 0 时的左右极限并判断 x=0 是哪类间断点。…
考点：e^{1/x} 左右极限——§3.1 ｜ 讲义页详析→ T4 设 f 在 [a,b] 连续，f(a)=f(b)。证明存在 xiin(a,b) 使 f(xi)=fleft(xi+{b-a}{2}right)。（提示：构造 F…
考点：构造 F+两类讨论——§6.3 ｜ 讲义页详析→ 考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
极限存在 vs 函数在该点有定义 ：极限只管"逼近路上"，那一点没定义也照样有极限（$\frac{\sin x}{x}$ 在 0）
无穷小 vs 很小的数 ：无穷小是过程（→0），任何非零常数都不是
可去 vs 跳跃间断 ：都"左右极限存在"；相等=可去，不等=跳跃
无穷 vs 振荡间断 ：都"极限不存在"；冲向 ∞=无穷，永远抖=振荡
开 vs 闭区间 ：四大定理只认"闭+连续"，判断题换开区间就是错
乘除替换 vs 加减替换 ：乘除随便换；加减先验主项抵消，抵消必升阶
$f^{-1}$ vs $1/f$ ：前者是反函数（倒着走），后者是倒数
零点定理结论 ：只保证"至少一根"，唯一性要单调性（第2章）
单调有界答题 ：证存在（归纳+作差）之后必须"取极限解方程"求出值
$1^\infty$ 的前提 ：底确实 →1 且指数确实 →∞；"底趋于 1 但指数有限"不是
怎么用这张图（三步复习法）
① 先只看骨架 （点"只看骨架"按钮）：自问每一节讲什么，一句话说中要害；逐层展开对答案 ：说不出的那个节点，回主章对应节补 10 分钟；错题回图定位 ：做题错的每道题，回图找到它挂在哪个节点——那个节点就是你的弱项，把它的"要点"逐条变成自己的话。
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