三问全顺，直接出发；有一问卡壳，就到 §1 的五类函数图版前站两分钟认认面孔——本章和整本书的每一页都踩在"函数"这块砖上。
为什么学：整门微积分只有一件事——研究变化。而"变化"要能被研究，先得回答两个更基本的问题：量与量之间怎么拴在一起（函数）？一个量无限逼近另一个量时，"逼近的终点"怎么说清楚（极限）？本章就是这两块地基。数三考卷上它很少单独出大题，但它是后面每一章的底层语言——第2章的导数是特殊极限，第3章的定积分是和式极限，第7章级数的收敛还是极限。地基不牢，全书晃动。
学什么：①函数怎么装箱（三要素与表示法、复合、倒放关系、分段与隐函数点名、建模）；②极限怎么说清"无限逼近"（ε-N / ε-δ）；③怎么算极限（四则、两个重要极限、等价替换、夹逼、单调有界）；④函数"断不断"怎么判定、怎么分类；⑤闭区间上"不断"函数的四个硬定理（有界、最值、介值、零点）。
学完会什么：拿到一道极限题能先判型再选武器（等价替换 / 两大极限 / 夹逼）而不是硬算；能判断并说清函数在哪里断、怎么断；能用零点定理证明"方程在某个区间里有根"。
可跳过什么（只可跳"超纲理论/应试技巧"，不跳任何结论的生成路径——核心结论的推导全在正文，见上方层级账）：用 ε-δ 定义写严格证明题的技巧（定义本身 §2.2/§3.1 讲透并要会用会读；数三从不考写证明）；一致连续（数三不考，出现即干扰项）；反三角恒等式的细节推导（认脸+特殊值会用即可；反三角的求导规则第2章有推导）。
🧱 知识层级账（地基 / 楼层 / 入口）——这张表告诉你：哪些是你已持有的砖、哪些本章带你亲手盖、哪些是"直接用、不必推"的公理入口。忘掉任何一条结论，都能顺着这张表找到重推的路。
| 层 | 清单 | 说明 |
|---|---|---|
| 〔地基·已学〕 | 高中函数三件套（$x$ 的活动范围/对应法则/值域）、五类基本函数的图像、不等式与绝对值运算、二项式定理（$(a+b)^n$ 展开）、排列组合 | 本章入口前你已持有的砖——§1 只是把它们装箱点名 |
| 〔推导·本章带你亲手走〕 | ε-N 应战结构（§2.2）｜极限唯一性与局部保号（取 ε=|A−B|/2、ε=A/2，§2.2）｜第一个重要极限 sin x/x=1（弦≤弧≤切线夹逼，§4.2）｜等价替换"乘除可换、加减验抵消"（§3.3）｜(1+1/n)^n 单调增+有上界（二项式两步，§4.2）｜数列版→函数版之桥（含负侧变形，§4.2 桥盒）｜1^∞ 三步通法（§4.3）｜夹逼三明治（三行 ε-N 证明，§5.1）｜递推数列三步打法（§5.2）｜断点排查分类（§6.2）｜零点定理用法（构造+验异号，§6.3）｜十大替换表再生（§4.4 回收盒） | 核心结论全部有生成路径——考场忘了任何一条，顺着讲义走过的路自己长回来 |
| 〔入口假设·直接用不必推〕 | 单调有界判据（§5.2"有界给范围、单调给方向"）本身——严格证明需实数完备性理论，超数三工具箱；闭区间四大定理本身（"笔不离纸"直观；严格证明同样需要完备性）；e 的具体数字（存在性已两步推得，数值 ≈2.718 只能查表）；泰勒展开式系数的来历（欠条→第2章中值定理一节兑付） | 标"为什么不推也行"：这些的严格证明都在大学数学系"数学分析"的工具箱里，考研全程用不到——直观+用法足矣 |
🗺 配套思维导图页：第1章思维导图（结构版：先看骨架，逐层展开）
共享单车前 15 分钟 1.5 元，之后每 15 分钟 1 元；你的手机套餐月租 29 元含 30GB，超出部分每 GB 5 元；银行复利让余额跟着时间滚。一个量跟着另一个量变——这件事你早就在用，数学只是给它一个名字和一套安检规则。这个"名字"就是函数：两个非空数集之间，每个 $x$ 只对应一个 $y$ 的对应法则。
对应法则的给出方式叫表示法（解析式、图像、表格——考试三种都出；分段式与由方程暗给的"隐函数"也算表示法，隐函数求导第2章见）。函数的三要素：定义域（$x$ 的活动范围，上面这张卡）、对应法则（$x$ 怎么变成 $y$）、值域（$y$ 能到的范围，由前两者推出）。
为什么"每个 $x$ 只对应一个 $y$"是铁律〔原理〕：函数是一部机器——塞进一个 $x$，必须吐出确定的一个 $y$。要是同一个 $x$ 有时吐 2 有时吐 3，这部机器就没法预测，后面所有"求极限、求导数"的操作都失去前提（导数要问"$x$ 动一点点，$y$ 动多少"，前提是每个位置的行为确定）。
复合的定义域有一条专门的规矩：$x$ 必须先通过 $g$ 的安检，而且 $g(x)$ 还必须落在 $f$ 的安检范围内——两道门都要过，缺一不可。像机场中转：第一程落地了还不够，中转站的安检你也得过，否则登不上第二程。
【例】$f(x)=\sqrt{1-x}$，$g(x)=\lg x$，求 $f(g(x))$ 的定义域。链条安检：第一道门 $x>0$；第二道门 $g(x)=\lg x$ 必须落在 $f$ 的定义域内，即 $1-\lg x\ge 0$，得 $x\le 10$。两道门取交集：$0<x\le 10$。
两句话防两个经典坑：①$f^{-1}$ 是倒着走的记号〔约定〕，不是 $\dfrac{1}{f}$——历史记号，全世界这么写，没有为什么；②一一对应才有反函数（每个 $y$ 要能倒推回唯一的 $x$），所以 $\sin x$ 全体实数上没有反函数，只在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 这一段上才有 $\arcsin x$——这段叫主值区间，也是约定〔约定〕。
四大性质（有界 / 单调 / 奇偶 / 周期）是函数的"性格档案"：奇偶性判断口诀先查定义域对称再验 $f(-x)$（定义域不对称的一律非奇非偶，如 $y=x^2, x\in[0,1]$）；奇×奇=偶、奇×偶=奇这类组合规律，推导一次就通：把 $-x$ 代进去看整体符号〔原理〕，不用死背。周期函数不一定有最小正周期（存在病态函数任意正数都是周期，连最小正周期都没有），这是选择题爱考的"想当然"点。
为什么要认脸：后面每章都在这五类脸上做手术——求导、积分、展开，全是对它们操作。认脸的要求不高：给定一个 $x$，你能报出 $y$ 大概在哪、走势朝哪。分段函数通常不是初等函数（它是几段拼的，写不成一个式子），这个身份判断在"分段函数求导"（第2章）会再回来。
考纲写着"会建立应用问题的函数关系"——三步就够：①设变量（谁是自变量 $x$？通常是你能控制或已知的量：产量、时间、价格）；②列关系（把经济语言翻译成等式：成本=固定+变动、收益=价格×销量）；③定定义域（产量非负、人数取整——真实世界自带约束，别丢）。
【例 1】某厂固定成本 2 万元，每生产 1 吨再花 0.3 万元，产品每吨卖 $p$ 万元，市场需求 $q=100-20p$ 吨。把利润写成产量的函数：设产量 $q$ 吨，收入 $p\cdot q=\dfrac{100-q}{20}\cdot q$，成本 $2+0.3q$，所以 $L(q)=5q-0.05q^2-0.3q-2=4.7q-0.05q^2-2$，定义域 $0\le q\le 100$（销量非负）。这份函数第2章拿去求最大利润——建模从来不是孤考点，它是经济应用大题的第一步。
【例 2】存入本金 $A_0$，年利率 $r$，一年内计息 $n$ 次，$t$ 年后余额 $A(t)=A_0\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$；让 $n\to\infty$（计息密到无穷）会得到什么？——这个问题先存着，它就是 §4 第二重要极限的出生场景〔欠条：到 §4 兑付〕。
公元 263 年，刘徽给《九章算术》作注，遇到一个躲不开的问题：圆的面积算不准。多边形有公式，圆没有——圆边是弯的，直尺量不了。他的办法：圆内接正六边形、十二边形、二十四边形……边数一路翻倍，面积一次次算出来，$S_6, S_{12}, S_{24}, \dots$ 每个都还差一点，但差得越来越少。他说"割之弥细，所失弥少"——割得越细，丢失越少，以至于"无所失"。
刘徽卡住的地方，正是极限要解决的问题：这一串数没有一个真等于圆面积（无论割多少边都还是多边形），但我们强烈感到它们"冲着圆面积去"。怎么把"冲着……去"说成一句可以检验的话？——这就是极限定义的来历：它不是天上掉下来的 ε 和 N，是为了审判"越来越近"这句话而生的尺子。
把这句天书翻译成人话——这是一场你出题我应战的游戏：你随便挑一个误差容忍度 $\varepsilon$（$0.1$？$0.001$？$10^{-100}$？随便，越刁钻越好），我都能报出一个门牌号 $N$：过了这道门，之后所有的 $a_n$ 与 $A$ 的距离全部小于你挑的 $\varepsilon$，一个漏网都不许有。你挑遍所有 $\varepsilon$ 我都接得住，才配说"极限是 $A$"。
两个必须懂的细节：①"之后所有"——前有限项不听话没关系（$N=10$ 时前 10 项乱跳也行），极限只管远方不管出身；②$\varepsilon$ 是"任意"给的，不是"存在"一个——一个 $\varepsilon$ 接得住不算本事，全部接得住才算。这两条正是选择题偷换概念的高发区（"存在 $\varepsilon$"“有无穷多项落进带内”都是错的表述）。
数列的下标 $n$ 只会往正无穷走一条路；函数的自变量 $x$ 是路上的车，可以六种方式逼近目标：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to+\infty$、$x\to-\infty$。定义只需把 ε-N 里的"$n>N$"换成"$x$ 进入目标的某个去心邻域"（$0<|x-x_0|<\delta$）——"去心"就是不要求 $x_0$ 那一点本身：极限关心的是"逼近路上的行为"，$x_0$ 处有没有定义、函数值是多少，一概不管〔原理：这正是极限与"断不断"的分界线▸预告：§6 兑现】。
什么时候必须分左右：$x_0$ 两侧表达式不同（分段函数接头处）、$\dfrac{1}{x}$ 型在 0 附近、$e^{1/x}$、$\arctan\dfrac{1}{x}$——凡是"两侧性格不同"的脸，都要分。判据为什么是"左右相等"〔原理〕：极限是"所有逼近路径达成一致"，左右两条路是最基本的两条，两条都到同一地点才可能全体一致；两条路到不了同一地点，极限必不存在。
先把身份摆正：无穷小不是一个数，是"正在奔向 0"的一段过程——任何非零常数都不是无穷小，无论多小（0.0000001 是个定死的数，不再变化）。为什么数学家要给"奔向零"单独起名？因为极限运算的全部难点都出在无穷小身上：$\lim f(x)=A$ 换个说法就是 $f(x)=A+\alpha$（$\alpha$ 为无穷小）——"求极限"="把主体部分抠出来，剩下的证明是无穷小"。这句话是全书反复使用的拆解术〔原理〕。
无穷大是无穷小的倒数面（倒数关系，$\alpha\to 0$ 则 $\dfrac{1}{\alpha}\to\infty$），但"无穷大×有界=未必无穷大"这类运算法则别背结论，每条都能用"过程拆解"现推。
替换原理一句话：乘除法里，无穷小因子可以换成它的等价无穷小〔原理：等价=比值趋于 1，乘除结构中比值 1 的因子整体替换不改变极限〕。常用替换表（$x\to 0$）：$\sin x\sim x$、$\tan x\sim x$、$\arcsin x\sim x$、$\arctan x\sim x$、$1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}$、$\ln(1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$、$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$、$a^x-1\sim x\ln a$、$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$。
| 原式（$x\to 0$） | 等价替换 | 使用场合 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $x$ | 乘除因子直接换；加减先验主项抵消（判据见下段） |
| $\tan x$ | $x$ | |
| $\arcsin x$ | $x$ | |
| $\arctan x$ | $x$ | |
| $1-\cos x$ | $\dfrac{x^2}{2}$ | |
| $\ln(1+x)$ | $x$ | |
| $e^x-1$ | $x$ | |
| $(1+x)^\alpha-1$ | $\alpha x$ | |
| $a^x-1$ | $x\ln a$ | |
| $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$ | $x$ |
加减法什么时候能换——可操作判据：先把每个无穷小替换到"最简等价形态"，看主项（最低阶项）是否抵消。不抵消 → 放心换；抵消（或可能抵消）→ 不能直接换，必须各展开到下一阶再比。例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$，若把 $\tan x,\sin x$ 都换成 $x$，分子成 0，这就是主项抵消警报——升一阶要用展开小抄（$x\to 0$）：$\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\cdots$，$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots$，$e^x-1=x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots$，$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\cdots$，$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots$（完整版与来历见 §4.4）。本题差为 $\dfrac{x^3}{2}$，故极限 $\dfrac{1}{2}$。加减法的替换错误不是"运气问题"，是有明确判据的〔原理：替换只保证比值→1，不保证差→0 的阶；抵消时差的阶决定一切〕。
极限四则 $\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g$ 等，前提是右边各极限存在且有限，除法分母极限非零。前提不满足时式子退化成 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$\infty-\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 七种未定式——未定式的意思是"四则法则失效，得先变形"，不是说极限不存在。七种未定式里最常考的三种：$\dfrac{0}{0}$（等价替换/重要极限）、$1^\infty$（§4.3 通法）、$\infty-\infty$（通分或有理化变成前两类）。
| 型 | 长相 | 第一反应 |
|---|---|---|
| $\dfrac{0}{0}$ | 因子比 | 等价替换 → 两大极限 → 泰勒（洛必达在第2章解锁） |
| $\dfrac{\infty}{\infty}$ | 多项式/根式比 | 同除最高次幂；抓大头（最高阶项定生死） |
| $\infty-\infty$ | 分式相减 | 通分或有理化 → 化成 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ |
| $0\cdot\infty$ | 乘积 | 把一个因子翻下去（$\dfrac{1}{\text{那个因子}}$） |
| $1^{\infty}$ | 幂指 | 三步通法（§4.3） |
| $0^{0}$ / $\infty^{0}$ | 幂指 | 取对数（$e^{v\ln u}$）化成 $0\cdot\infty$ |
第一个：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。它说的是"小角度的弧与弦合体"。为什么真：夹逼。单位圆里一小段弧 $x$，弦 $\sin x$，切线段 $\tan x$，几何上弦 ≤ 弧 ≤ 切线段（弦绷直最短、弧弯着稍长、切线出头最长），同除 $\sin x$ 得 $1\le\dfrac{x}{\sin x}\le\dfrac{1}{\cos x}$，$\cos x\to 1$ 把两边挤成 1〔原理〕。使用要领：认准 $\dfrac{\sin(\Box)}{\Box}$ 且 $\Box\to 0$ 的结构，方块可以是任何趋于 0 的表达式。
第二个：$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e$。它的出生场景就是 §1 存下的那笔钱：一年计息 $n$ 次的余额 $\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$，计息越密余额越大——那它会不会一路涨上天？不会，"单调递增+有上界"这两件事各有一个只用二项式定理的初等推导，亲手走一遍，$e$ 就不是天上掉的数了〔原理〕：
第一步·单调递增（$n$ 变大，数列变大）：二项式展开的通项是 $$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$ 从 $n$ 换成 $n+1$：①每个因子 $\left(1-\frac{j}{n+1}\right)>\left(1-\frac{j}{n}\right)$ 全体变大；②还多出一个正项（$k=n+1$ 项）。每一项都不变小、还添新项，所以 $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac1n\right)^n$。
第二步·有上界：上式每个因子 $\left(1-\frac{j}{n}\right)<1$，通项被砍成 $\frac{1}{k!}$；又 $k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge 1\cdot\underbrace{2\cdot2\cdots2}_{k-1\text{个}}=2^{k-1}$，所以 $\frac{1}{k!}\le\frac{1}{2^{k-1}}$。整体求和：$$\left(1+\frac1n\right)^n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3$$ （$k{=}0,1$ 两项各恰为 1，其余每项被等比数列压住，总和逼近 3 但到不了）——3 就是现成的天花板。
单调递增＋有上界 → 极限存在（这条判据 §5.2 正式讲），且被夹在 2 与 3 之间。这个被逼出来的确定实数，起名叫 $e$（$\approx2.718$）——$e$ 不是谁发明的，是这两步把它逼出来的。〔入口假设：$e$ 的具体数字没有闭式公式，只能数值逼近——数字本身查表〕
凡 $1^\infty$ 型，$\lim u^v$（$u\to 1$，$v\to\infty$）三步：① 写成 $\left(1+\alpha\right)^v$（$\alpha=u-1\to 0$）；② 凑结构 $=\left[(1+\alpha)^{1/\alpha}\right]^{\alpha v}$；③ 答案 $=e^{\lim \alpha v}$。推导链：$(1+\alpha)^{1/\alpha}\to e$（第二重要极限换元），剩下的指数 $\alpha v$ 取极限〔原理：$e^{(\cdot)}$ 具有"极限值=代入值"的性质▸预告：§6 正式命名，保证取极限可以穿进指数里〕。失效警报：仅当底数确实 $\to 1$ 且指数确实 $\to\infty$ 才是 $1^\infty$；底数趋于 1 但指数有限、或底数趋于别的数，都不是这个套路。另一端：若 $\lim\alpha v=\pm\infty$（不是有限数），答案就是 $e^{\pm\infty}$（即 $+\infty$ 或 $0$，按 $e^x$ 走向直接读）——传送带"内层极限存在且有限"的前提此时不满足，结论改按 $e^x$ 的单调走向读出。
【例】$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^x$。底 $\to 1$、指数 $\to\infty$，$1^\infty$ 无疑。$\alpha=\dfrac{x+2}{x-1}-1=\dfrac{3}{x-1}$，$\alpha v=\dfrac{3x}{x-1}\to 3$，答案 $e^3$。
复杂函数在一点附近可以展开成多项式——多项式只会加减乘，是最好算的函数。先背四个最常用的（$x\to 0$ 处，"麦克劳林展开"）：$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$ 以及通用项 $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots$。为什么长这样、凭什么可靠〔欠条：第2章中值定理一节兑付——泰勒公式本质是"高阶的拉格朗日"〕；本章只要求会当武器：等价替换遇到"主项抵消"时，升阶就靠它（§3.3 两道即练已经用过）。
展开到几阶——可操作规则：展开到分母的阶数为止（分母 $x^3$ 就展到 $x^3$ 项）；分子内部还有抵消嫌疑时，多展一阶保险。例如 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}$：$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\cdots$，$e^{-x^2/2}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{8}+\cdots$，分子 $=x^4\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{8}\right)+\cdots=x^4\cdot\dfrac{1-3}{24}+\cdots=-\dfrac{x^4}{12}+\cdots$，极限 $-\dfrac{1}{12}$。
| 替换 | 忘掉后怎么重推 |
|---|---|
| $\sin x\sim x$ | 第一重要极限本身（§4.2 弦弧夹逼） |
| $\tan x\sim x$ | $\tfrac{\tan x}{x}=\tfrac{\sin x}{x}\cdot\tfrac{1}{\cos x}\to1\cdot1=1$ |
| $\arcsin x\sim x$ | 反函数换元：令 $x=\sin t$（$t\to0$），$\tfrac{\arcsin x}{x}=\tfrac{t}{\sin t}\to1$——和 sin 镜像 |
| $\arctan x\sim x$ | 同上，令 $x=\tan t$，$\tfrac{\arctan x}{x}=\tfrac{t}{\tan t}\to1$ |
| $1-\cos x\sim\tfrac{x^2}{2}$ | 初等恒等式（不用泰勒）：$1-\cos x=\dfrac{\sin^2 x}{1+\cos x}$（由平方差 $(1-\cos)(1+\cos)=\sin^2$ 移项），分子 $\sim x^2$、分母 $\to2$ |
| $\ln(1+x)\sim x$ | 第二重要极限+对数穿墙：$\tfrac{\ln(1+x)}{x}=\ln(1+x)^{1/x}\to\ln e=1$（极限号可穿进对数——§6.1 传送带） |
| $e^x-1\sim x$ | 与上一条互为反函数镜像：令 $y=e^x-1$ 则 $x=\ln(1+y)$，$\tfrac{e^x-1}{x}=\tfrac{y}{\ln(1+y)}\to1$ |
| $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$ | 泰勒通用项（§4.4 四式之一，首项即答案） |
| $a^x-1\sim x\ln a$ | $a^x=e^{x\ln a}$，套上一条：$e^{x\ln a}-1\sim x\ln a$ |
| $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$ | 分子有理化：$\dfrac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to\dfrac{2x}{2}=x$ |
〔原理：等价=比值→1，所以每条替换的再生动作只有一个——"把比值写出来，化到两把主武器或一个初等恒等式上"。忘了表，就把这张路线表想起来，十条全部当场长回。〕
两头 $y_n,z_n$ 都收敛于 $A$，意思是它们都赢了应战游戏：任给 $\varepsilon>0$，过了某个 $N$，$A-\varepsilon<y_n$ 且 $z_n<A+\varepsilon$。而 $y_n\le x_n\le z_n$，把两串不等式接起来：$$A-\varepsilon<y_n\le x_n\le z_n<A+\varepsilon$$ 即 $|x_n-A|<\varepsilon$——中间数列被同一副三明治夹住，自动应战成功，极限也是 $A$。∎
使用核心是找面包：把目标数列放到两个"好算"的数列中间。n 项和式 $x_n=\dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{1}{n^2+2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2+n}$ 是标准场景：每一项放缩，$\dfrac{1}{n^2+n}\le\dfrac{1}{n^2+k}\le\dfrac{1}{n^2+1}$，于是 $\dfrac{n}{n^2+n}\le x_n\le\dfrac{n}{n^2+1}$，两头都 $\to 0$，夹出 $x_n\to 0$。放缩手感：分母取端值（最大/最小）造出可求和的面包。
递推数列 $a_{n+1}=f(a_n)$ 的固定打法三步：①证有界（数学归纳：首项有界+归纳传递）；②证单调（作差 $a_{n+1}-a_n$ 定号，或作商）；③两边取极限，解方程 $A=f(A)$。最易漏的是第三步求值——存在性证完必须把极限算出来才算完卷〔原理：递推关系在极限两侧同时取极限，靠的是收敛序列的四则保持性〕。【例】$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$：归纳证 $a_n<2$（上界）；$a_{n+1}^2-a_n^2=2a_n-a_n^2=a_n(2-a_n)\ge 0$ 且数列各项正，故递增；取极限 $A=\sqrt{2A}$ 得 $A=2$（舍 0）。
n 项和式的另一条路：形如 $\dfrac{1}{n}\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ 的和式，本质是定积分的定义（分割-求和-取极限）——这条武器本章不开〔欠条：第3章定积分定义一节兑付，到时你会认出"和式=种子，积分=果实"〕。现在遇到它，先试夹逼；夹不出再回来等第3章。
只看一侧就叫左连续 / 右连续（左极限$=f(x_0)$ / 右极限$=f(x_0)$），分段接头处要分侧查——与左右极限完全平行。一条马上能用的硬结论〔原理〕：基本初等函数在定义域上连续，经有限次四则与复合得到的初等函数，在其定义区间内连续（四则与复合都保连续，下一段的传送带就是机制）——考试判断连续性，先问"是不是初等函数+是否在定义区间内"，是就直接下结论。
三个条件各自卡一种病：没定义（分母为零处）、极限不存在（左右不等或振荡）、值不等于极限（分段接头错位）。连续是"极限"之上的附加品——极限不管那一点的值，连续偏要管，而且要对上号〔原理：§3.1 去心邻域伏笔的回收〕。复合函数的连续性走传送带：外层连续+内层极限存在，则 $\lim f(g(x))=f(\lim g(x))$——"极限号可以穿进连续函数里"〔原理：这正是 §4.3 里"先取指数后求极限可以交换"的根据，$e^{v\ln u}$ 中 $e^{(\cdot)}$ 连续，故极限穿墙而过〕。
真题选项的标准语言把它们分两档：第一类间断点=左右极限都存在（可去、跳跃）；第二类间断点=至少一侧不存在（无穷、振荡）。答卷用这四个名字作答。两点诚实交代：①"可去"在图6-1 没单独配图——因为它长得最正常：图像上只是抠掉一个点（或点放错位置），把值补成/改成极限值就修复（B6 的 $\sin x/x$ 在 0 处就是）；②第二类的"无穷/振荡"两种形态是对典型形态的命名，不是推理穷尽出来的——选择题按特征对号即可，不必纠结"还有没有第三种"。
判断流程两步：①找嫌疑点——分母为零处、分段接头处、$\lg/\arcsin$ 等定义域边界；②验口供——算左右极限，对号入座。
| 嫌疑点 | 验什么 | 归类规则 |
|---|---|---|
| 分母为零处 | 左右极限各自算 | 两侧极限存在且相等、但无定义或值不符 → 可去 |
| 分段接头处 | 两侧存在但不等 → 跳跃 | |
| $\lg$/$\arcsin$ 等定义域边界、$e^{1/x}$、$\sin\frac{1}{x}$ | 至少一侧为 $\infty$ → 无穷；永久抖动 → 振荡 |
最常见错误：见分母为零就报"无穷间断"——$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 0 处分母为零，但极限存在，是可去间断。口供优先于直觉。
连续函数拿到闭区间这张门票，立刻换来四条硬保证——注意"闭"字：开区间或无穷区间上都不成立，这是判断题最爱的坑〔原理：闭=端点在内=跑不掉；开区间的端点外是悬崖，函数可以在逼近悬崖时飘走（如 $\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 无界）〕：
| 定理 | 内容 | 考法 |
|---|---|---|
| 有界性 | 闭区间连续 → 有界 | 判断题：换开区间即错 |
| 最值 | 能取到最大最小值（不是无限逼近） | 判断题：换成"可以无限接近但取不到"即错 |
| 介值 | 介于最值间的任何值都被取到 | 证"存在 ξ 使 f(ξ)=C" |
| 零点 | $f(a)f(b)<0$ → 存在 ξ∈(a,b) 使 f(ξ)=0 | 证方程有根（介值的特例） |
零点定理的用法是构造+验证两件套：把方程根问题改写成 $F(x)=0$（移项构造 $F$），验证两端点异号、$F$ 连续，根的存在立刻落地。【例】证方程 $x\cdot 2^x=1$ 在 $(0,1)$ 内有根：$F(x)=x2^x-1$ 连续，$F(0)=-1<0$，$F(1)=1>0$，异号 → 有根。注意定理只保证存在，不保证唯一——唯一性要靠单调性（第2章）补证。
动笔前 30 秒：把"读着顺"当成"我懂了"是人人都会踩的圈套——眼熟不等于会做，判据只有两个：①合上资料能写出来；②没见过的题能做对。这 18 题务必遮住答案先做，做错的题写出"错在哪一步"。做极限题先走三问：什么型（未定式判型）？哪件武器（替换/两大极限/通法/泰勒/夹逼）？有没有陷阱（分左右？抵消？开区间）？基础 7 / 进阶 7 / 挑战 4，按序做；第二遍打乱做（交错练习）。每题考点标在答案里。
B1（考点：定义域）：根号 $x\ge 1$；$\lg$ 真数 $3-x>0$ 即 $x<3$；分母 $\lg(3-x)\neq 0$ 即 $x\neq 2$。定义域 $[1,2)\cup(2,3)$。采分点：$x=2$ 这道第三重安检必须单独点名。
B2（考点：复合定义域）：$f(g(x))=\sqrt{\ln x-1}$。第一道门 $x>0$；第二道门 $\ln x\ge 1$ 即 $x\ge e$。定义域 $[e,+\infty)$。
B3（考点：等价替换·乘除）：$1-\cos 2x\sim\dfrac{(2x)^2}{2}=2x^2$，$\sin 3x\sim 3x$，原式 $=\dfrac{2x^2}{x\cdot 3x}=\dfrac{2}{3}$。
B4（考点：第一重要极限）：$\dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}=\dfrac{\sin(ax)}{ax}\cdot\dfrac{bx}{\sin(bx)}\cdot\dfrac{a}{b}\to\dfrac{a}{b}$。（或等价替换 $\sin(ax)\sim ax$。）
B5（考点：$1^\infty$ 通法）：底 $\to 1$ 指数 $\to\infty$。$\alpha=\dfrac{x-1}{x+1}-1=\dfrac{-2}{x+1}$，$\alpha x=\dfrac{-2x}{x+1}\to -2$，答案 $e^{-2}$。
B6（考点：间断分类）：$x=0$：$\lim\dfrac{\sin x}{x(x-1)}=\lim\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{x-1}=1\cdot(-1)=-1$，极限存在但无定义 → 可去间断；$x=1$：趋于 $\dfrac{\sin 1}{0}$ 型，左右异号无穷 → 无穷间断。采分点：分母为零≠一律无穷，0 处就是可去。
B7（考点：零点定理）：$F(x)=x^3-x-1$ 在 $[1,2]$ 连续，$F(1)=-1<0$，$F(2)=5>0$，由零点定理至少存在 $\xi\in(1,2)$ 使 $F(\xi)=0$。采分点：构造 F、验连续、验异号，三步缺一不可。
J1（$1^\infty$ 三步）：$\alpha=\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$，$\alpha\cdot\dfrac{1}{x^2}\to-\dfrac{1}{2}$，答案 $e^{-1/2}$。采分点：$\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ 的负号别丢。
J2（和式先求和）：分子 $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$，原式 $=\dfrac{n(n+1)/2}{n^2+1}\to\dfrac{1}{2}$。采分点：n 项和式的第一反应是"能否求和"（等差/等比/裂项），求得了和就先求和再取极限；求不了和（比如分母各不相同且无公式）才退回夹逼。本题若硬用夹逼（放缩分母到 $n^2+n$ 与 $n^2+1$，两头都趋于 $\frac12$）也能夹出同一答案，但多绕一步——工具箱里先拿对的。
J3（同阶=同次数的辨析）：$e^{2x^2}=1+2x^2+\dfrac{(2x^2)^2}{2}+\cdots=1+2x^2+2x^4+\cdots$，所以 $e^{2x^2}-1-2x^2\sim 2x^4$，是四阶无穷小；它与 $ax^3$ 之比要么 0 要么 ∞，不存在非零常数极限——答案：不存在这样的 $a$；若把 $ax^3$ 改成 $ax^4$，则 $a=2$。采分点："同阶无穷小"必须同次数，泰勒展开到首项非零阶即读出阶数。
J4（脱帽法专门示范）：分母 $\to 0$ 而整体极限存在有限 ⇒ 分子必须 $\to 0$（否则比值爆炸）——"分母归零锁定分子归零"。故 $1+a+b=0$。于是变 $\dfrac{0}{0}$：$x^2+ax+b=(x-1)(x+c)$（其中 $c=1+a$），原式 $=\lim\limits_{x\to 1}(x+c)=1+c=3$，得 $c=2$，$a=1$，$b=-1-a=-2$。验算：$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ ✓。采分点：先锁分子→再因式分解→代值，三步写全。
J5（抵消升阶）：$\tan x-\sin x=x+\dfrac{x^3}{3}-(x-\dfrac{x^3}{6})+\cdots=\dfrac{x^3}{2}+\cdots$，答案 $\dfrac{1}{2}$。直接替换 $\tan x\sim x,\ \sin x\sim x$ 得 0，错——主项抵消。
J6（构造+零点）：令 $F(x)=f(x)-x$，$F$ 在 $[0,2]$ 连续，$F(0)=2-0=2>0$，$F(2)=0-2=-2<0$，异号，零点定理存在 $\xi\in(0,2)$ 使 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。采分点：目标式怎么来（移项构造 $F=f-x$）比计算本身更重要——"证 $f(\xi)=\xi$"类题一律构造差函数。顺带辨析：若题设是 $f(0)=0, f(2)=2$，结论反而不保证（$f(x)=x+x(2-x)$ 满足题设但 $f(x)-x>0$ 在 $(0,2)$ 内无根）——构造后"验异号"这步不是走形式。
J7（左右极限）：左 $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\sin 2x}{x}=2$；右 $\lim\limits_{x\to0^+}(2x+b)=b$。（ⅰ）极限存在 ⇔ $b=2$（与 $a$ 无关——$a$ 只是那一点的值）；（ⅱ）连续 ⇔ $b=2$ 且 $a=2$。采分点：极限存在不要求 $a$ 等于多少；连续才要求。
T1（单调有界全流程）：①有界：$a_{n+1}^2-2=\dfrac{(a_n^2-2)^2}{4a_n^2}\ge 0$ 且 $a_n>0$（归纳），故 $a_n\ge\sqrt 2$（$n\ge 2$）；②单调：$a_{n+1}-a_n=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}\le 0$（因 $a_n\ge\sqrt2$），递减有下界 → 收敛；③取极限 $A=\dfrac{1}{2}\left(A+\dfrac{2}{A}\right)$ ⇒ $A^2=2$ ⇒ $A=\sqrt2$（正值）。此即"算术-几何均值迭代求 $\sqrt2$"，计算机真在用。采分点：三步全走+舍根说明。
T2（建模+零点定理）：收入 $R(p)=p\cdot q=120p-2p^2$；成本 $C=500+15q=500+15(120-2p)=2300-30p$；利润 $L(p)=R-C=-2p^2+150p-2300$。定义域：$q\ge 0$ 且 $p\ge 0$ ⇒ $0\le p\le 60$。保本价存在：$L$ 在 $[0,60]$ 连续，$L(0)=-2300<0$，$L(60)=-2\cdot3600+9000-2300=-500<0$——两端同号，直接套零点定理失败！改验顶点：$L(30)=-1800+4500-2300=400>0$，故在 $[0,30]$ 上 $L(0)<0<L(30)$，零点定理存在 $\xi_1\in(0,30)$；在 $[30,60]$ 上 $L(30)>0>L(60)$，存在 $\xi_2\in(30,60)$——两个保本价。采分点：两端同号时不能硬套定理，要用最值/分段找异号区间——这正是"闭区间三定理组合使用"的常考套路（第2(三)最优化会再见）。
T3（e^{1/x} 标准）：$x\to 0^+$：$\dfrac{1}{x}\to+\infty$，令 $t=e^{1/x}\to+\infty$，式 $=\dfrac{t-1}{t+1}\to 1$；$x\to 0^-$：$t\to 0^+$，式 $\to\dfrac{-1}{1}=-1$。左右存在但不等 → 跳跃间断。
T4（构造+零点，经典）：$F(x)=f\left(x+\dfrac{b-a}{2}\right)-f(x)$ 在 $\left[a,\dfrac{a+b}{2}\right]$ 连续。$F(a)+F\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)+f(b)-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=f(b)-f(a)=0$。若两值均为 0，取 $\xi=\dfrac{a+b}{2}$ 即可（$F$ 恒为零时任取内点都成立）；否则一正一负，零点定理得 $\xi\in$ 开区间。∎采分点：构造 F、两值之和为零的代数恒等式、分两类讨论。
| 易混对 | 一句话分辨 |
|---|---|
| 极限存在 vs 函数在该点有定义 | 极限只管"逼近路上"，那一点没定义也照样有极限（$\frac{\sin x}{x}$ 在 0） |
| 无穷小 vs 很小的数 | 无穷小是过程（→0），任何非零常数都不是 |
| 可去 vs 跳跃间断 | 都"左右极限存在"；相等=可去，不等=跳跃 |
| 无穷 vs 振荡间断 | 都"极限不存在"；冲向 ∞=无穷，永远抖=振荡 |
| 开 vs 闭区间 | 四大定理只认"闭+连续"，判断题换开区间就是错 |
| 乘除替换 vs 加减替换 | 乘除随便换；加减先验主项抵消，抵消必升阶 |
| $f^{-1}$ vs $1/f$ | 前者是反函数（倒着走），后者是倒数 |
| 零点定理结论 | 只保证"至少一根"，唯一性要单调性（第2章） |
| 单调有界答题 | 证存在（归纳+作差）之后必须"取极限解方程"求出值 |
| $1^\infty$ 的前提 | 底确实 →1 且指数确实 →∞；"底趋于 1 但指数有限"不是 |
| 考点 | 题型 | 重要度 | 出题方式 |
|---|---|---|---|
| 极限计算（替换/两大极限/1^∞） | 填空/解答首问 | ★★★★★ | 几乎每年必考，常作大题第一步，嵌在第2/3章综合题里 |
| 无穷小比较与定参 | 选择/填空 | ★★★★ | 给阶数求参数，泰勒定参是高频变体 |
| 间断点判类 | 选择 | ★★★★ | 分段函数/含 e^{1/x}，最爱把"可去"伪装成"无穷" |
| 反求参数（脱帽法） | 选择/填空 | ★★★ | 已知极限反解常数 |
| 零点/介值定理 | 解答证明首问 | ★★★ | 证方程有根/存在 ξ；常与第2章单调性接力证唯一 |
| 递推数列极限 | 解答/选择 | ★★ | 单调有界三步，偶考 |
| 函数建模（建立函数关系） | 经济应用大题第一问 | ★★ | 考纲明文"会建立"，与第2(三)最优化连环 |
⚠️ 以上重要度是复习优先级（基于历年考法的大致印象），不是统计结果、不是今年预测。
合上资料，拿张白纸：先画"函数 → 极限 → 连续 → 闭区间定理"主链，再补两件武器箱（两大极限+准则）。画得出每个箱子里装什么，这章就成了。
| 规则 | 标注 | 一句话交代 |
|---|---|---|
| 函数定义"每个 x 唯一对应一个 y" | 〔原理〕 | 机器必须可预测，后续一切运算的前提（§1.1） |
| $f^{-1}$ 记号、$\arcsin$ 主值区间 | 〔约定〕 | 历史记号与人为限定的一段，靠用记（§1.3） |
| ε-N"任意 ε、存在 N、之后全部" | 〔原理〕 | 把"越来越近"变成可检验的应战游戏（§2.2） |
| 极限用"去心邻域"（不管那一点） | 〔原理〕 | 极限管过程不管位置——与连续的分界（§3.1/§6.1） |
| 左右极限相等 ⇔ 极限存在 | 〔原理〕 | 所有逼近路径达成一致，左右是最基本两条（§3.1） |
| 无穷小是过程不是数 | 〔原理〕 | 定死的常数不再变化，谈不上"趋于 0"（§3.2） |
| 等价替换：乘除随便换，加减验抵消 | 〔原理〕 | 替换只保证比值→1；抵消时差阶决定一切（§3.3） |
| 十大等价替换表 | 〔原理〕 | 每条都可由"比值→1"或泰勒验出，理解后成条件反射（§3.3） |
| $1^\infty$ 三步通法 | 〔原理〕 | 第二重要极限+连续穿墙（§4.3） |
| 泰勒展开到"分母的阶数"为止 | 〔原理〕 | 多余的高阶项进不了分母的门槛；抵消嫌疑多展一阶（§4.4） |
| 夹逼准则 | 〔原理〕 | ε-N 三行证明（正文推导盒，§5.1）——两头替中间打应战仗 |
| 单调有界必有极限 | 〔入口假设〕 | 直观：有界给范围、单调给方向，无处可逃；严格证明需实数完备性（超数三工具箱）——准则本身当公理入口，三步打法是可推导的（§5.2） |
| 四大定理只认"闭区间+连续" | 〔原理〕 | 闭=端点在内=跑不掉；开区间端点是悬崖（§6.3） |
| (1+1/n)^n 单调增+有上界→e 存在 | 〔原理〕 | 二项式展开两步初等推导（§4.2 推导盒）；e 的数值本身查表〔入口假设〕 |
| 极限唯一性/局部保号/局部有界 | 〔原理〕 | 挑 ε=|A−B|/2、A/2、1 三次应战，各一步推出（§2.2） |
| 十大等价替换表 | 〔原理〕 | 十条再生路线：两把主武器+反函数镜像+恒等变形（§4.4 回收盒）——忘了表能当场长回 |
| 泰勒公式为什么可靠 | 〔欠条〕 | 第2章中值定理一节兑付（§4.4 开出） |
| 洛必达法则 | 〔欠条〕 | 第2章导数学完开出并兑付（§4.4 提及） |
| 和式极限=定积分定义 | 〔欠条〕 | 第3章定积分定义一节兑付（§5.2 开出） |
〔欠条〕目前 3 张未还，还款人：第2章×2、第3章×1——都登记在对应章的"上章回顾"里，到时自动提醒。
第一遍（今天）：通读 + 做所有提取关卡 + 基础组 7 题（约 2 小时）。之后的每一遍都是闭卷提取而不是重看——重读式复习已被大量实验证明低效。
| 日期 | 动作（全部闭卷） | 通过线 |
|---|---|---|
| 10月18日（+1天） | 核心结论重推自测（拿章首层级账〔推导〕列逐条闭卷重推：sin x/x 夹逼、e 两步、替换表十条再生、保号三推）+ 基础组错题重做 | 正确率 ≥70% |
| 10月20日（+3天） | 进阶组+挑战组闭卷重做；合书画 §10 总结图 | 总结图主链+两武器箱齐全 |
| 10月24日（+7天） | 翻导图页：只看第一层骨架，口述每节讲什么再展开对答案 | 每节一句话说中要害 |
| 11月2日（+16天） | 18 题混合乱序测（配合第2章开局） | 正确率 ≥80%，错题回导图定位弱节点 |
下一章（第2章 一元微分学）：本章你学会了"用极限看清一个量的归宿"；下一章把镜头对准"一个量动一点点，另一个量跟着动多少"——导数就是一类特殊的极限（$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限）。本章开出三张欠条：泰勒公式来历与洛必达法则在第2章兑付，"和式极限=定积分定义"在第3章兑付（与 §11 规则账同口径）。
跨模块连线：①线代六幕：函数是"映射"，矩阵乘的也是映射（向量→向量）——"对应法则"这个抽象会在不同舞台反复登场；②848经济学：§1.5 的建模三步就是经济应用大题的第一问；下一章的"边际与弹性"直接建在本章函数素养上；③概率论：分布函数 $F(x)=P(X\le x)$ 就是一个函数——定义域全体实数、值域 [0,1]、单调不减，本章的性格档案直接套用。
在哪反馈：读到哪一节卡住（哪怕是"这句话没看懂"级别的卡），直接截图发给大管家——卡点清单会回流修订对应小节，修订后此处更新。
什么时候回看：+3 天延迟测试后，把错题对应的小节标出来；+16 天综合测后同。资料会在你的卡点上长出新一轮解释——这是它和普通 PDF 的唯一区别。
顺手再答一问（可再生率自检）：本章结论里，哪些你现在能自己推出来，哪些还是背的？报个名单给大管家（例如"e 的两步能推、替换表一半靠背"）——仍靠背的那几条，就是下一轮要重点重走推导路的。
版本：第1章 v2 可再生性改造（2026-10-26，v3.8 四件套）｜新增：章首知识层级账、e 存在性二项式两步推导、夹逼 ε-N 三行证明、唯一性/保号/有界三推、十大替换表再生路线、可跳过重判（推导不进可跳清单）、回访加可再生率自检｜底版：瘦身重写 v1（2026-10-17）14 件套+规则账全标注｜计算经 sympy 机器重算｜渲染双视口检查（430/900）｜反馈即修订