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第2章 一元微分学
它跑多快？方向哪儿变？——数三的心脏
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定义差商的极限 f′(x₀)=lim Δy/Δx；某点是一个数（切线斜率），逐点收集成导函数
微分▾
定义dy=f′dx：增量的线性主部；Δy=dy+o(Δx)
定义三类来历：定义直推（幂/三角/对数）、第1章极限直送（指数）、反函数得（反三角）
负号专项：arccos 带 −、arctan 分母 1+x²
定义(uv)′=u′v+uv′；(u/v)′=(u′v−uv′)/v²——分子顺序：上导乘下减上乘下导
定义两边对 x 求导，凡遇 y 补乘 y′；公式 −Fx/Fy 就是移项
定义dy/dx=y′(t)/x′(t)；二阶=先对 t 求导再除一次 x′(t)
定义(uv)⁽ⁿ⁾=ΣC(n,k)u⁽ᵏ⁾v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾；组合数=二项式同源计数
定义分界点之外公式直代；分界点回定义求左右导数（先连续后可导）
定义结论 ξ 换 x 移项，倒推找原函数；商型/积型/差型三原型
定义各阶导数吻合锁死系数 f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!；拉格朗日余项=高阶拉格朗日
展开三档：求极限看分母阶 / 求 f⁽ⁿ⁾(0) 展到 n / 证明配余项
洛必达法则▾
定义lim f/g=lim f′/g′；柯西中值定理的直接推论
定义f′>0 增、<0 减；极值候选=驻点∪不可导点，变号确认
凹凸与拐点▾
定义f″>0 下凸（国内叫"凹"，约定）；拐点=两侧 f″ 变号，写坐标
定义铅直（分母零处）/水平（一侧躺平）/斜 y=ax+b（a=lim f/x, b=lim(f−ax)）
定义六步：定义域→奇偶周期→一阶→二阶→渐近线→连线
定义C′(q)=MC、R′(q)=MR；多造一单位的近似增量
MR=MC 不是背诵：L′=R′−C′ 置零一步推出
定义EQ/EP=(dQ/dP)·(P/Q)；需求版加负号=读法约定
|Ed|>1 降价增收、<1 涨价增收（dR/dP=Q(1−Ed) 推出）
定义建模三步（设变量→列函数→定域）+驻点+二阶验证
定义单调试起→凹凸→中值→泰勒（选择树按长相分流）
定义存在=零点/罗尔；个数=驻点切单调分区逐段验端点
圆点节点可点击折叠/展开；字母块（如 B5、T4）是题目锚链，点击直达主章节题库对应题。术语节点展开可见一句话定义与要点。
配套题库 · 21 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
基础组
B1 用定义求 f(x)={1}{x} 在 x=2 处的导数。
考点：定义求导——§1.2 ｜ 讲义页详析→
B2 y=x^2 e^x+sin 2x，求 y'。
考点：四则+复合——§2.2/2.3 ｜ 讲义页详析→
B3 y=ln(1+sin^2 x)，求 y'。（三层复合扒洋葱）
考点：链式三层——§2.3 ｜ 讲义页详析→
B4 x y=e^{x+y}，求 y'。
考点：隐函数（xy 乘法）——§2.4 ｜ 讲义页详析→
B5 x=t-sin t, y=1-cos t，求 {dy}{dx} 与 {d^2y}{dx^2}。
考点：参数二阶（再除一次）——§2.4 ｜ 讲义页详析→
B6 f(x)=begin{cases}x^2,&xle 0 ax+b,&x>0end{cases}，求使 f 在 x=0 可导的 a,b。…
考点：分段分界点回定义——§2.6 ｜ 讲义页详析→
B7 曲线 y=ln x 上哪一点的切线平行于直线 y=2x+1？写出切线方程。
考点：切线（在点）——§1.2 ｜ 讲义页详析→
B8 求 y=x^3-3x^2+1 的单调区间与极值。
考点：单调极值——§4.1 ｜ 讲义页详析→
进阶组
J1 y=(sin x)^{ln x}（x>0 且取 sin x>0 的段），求 y'。（对数求导）
考点：对数求导（幂指）——§2.4 ｜ 讲义页详析→
J2 求 y={1}{x^2-3x+2} 的 y^{(n)}。（裂项+归纳）
考点：裂项+归纳——§2.5 ｜ 讲义页详析→
J3 用莱布尼茨公式求 y=x^2e^{2x} 的 y^{(n)} 与 y^{(n)}(0)。
考点：莱布尼茨+Yn(0)——§2.5 ｜ 讲义页详析→
J4 f(x)=x e^x，写出 f^{(n)}(0) 并说明与泰勒展开的关系。
考点：泰勒系数↔高阶导——§3.3 ｜ 讲义页详析→
J5 求 limlimits_{xto0}{cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}。（泰勒定档：分母四阶）
考点：泰勒定档四阶——§3.3 ｜ 讲义页详析→
J6 求 y={(x+1)^3}{x-1} 的渐近线全套。
考点：渐近线（次数判断）——§4.3 ｜ 讲义页详析→
J7 设需求 Q={100}{P}，求 P=10 处需求价格弹性并判断涨价能否增收；再问收入何时最大。
考点：弹性恒 1+收入不变——§5.2 ｜ 讲义页详析→
J8 证明：当 x>0 时 ln(1+x)>{x}{1+x}。（单调法完整书写）
考点：单调法证不等式——§6.1 ｜ 讲义页详析→
挑战组
T1 设 f 在 [0,1] 连续、(0,1) 可导，f(1)=0，证明存在 xiin(0,1) 使 f'(xi)=-{f(xi)}{xi}。（积型倒推）…
考点：积型辅助函数——§3.2 ｜ 讲义页详析→
T2 设 f 在 [a,b] 上二阶可导，证明存在 xi 使 f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(xi)}{2}(b-a)^2。（泰勒在端点展开）…
考点：泰勒端点展开——§3.3 ｜ 讲义页详析→
T3 讨论方程 ln x=ax（a>0）的根的个数（按 a 分情况）。
考点：方程根按参数分类——§6.2 ｜ 讲义页详析→
T4 某垄断厂商需求 q=90-2p，成本 C=300+10q。求利润最大的价格与产量，并求该价格下的需求弹性，验证它大于 1。（三问全流程）
考点：经济三问全流程——§5 ｜ 讲义页详析→
T5 完整描绘 y={x^2}{x-1} 的图形（六步流水线逐步写出）。
考点：图像描绘六步——§4.4 ｜ 讲义页详析→
考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
连续 vs 可导：可导必连续；连续未必可导（尖点/抖动）；一元里可导⇔可微
$f'(x_0)$ vs $[f(x_0)]'$：前者是先求导再代值（一般非零），后者对常数求导恒为 0
左右导数 vs 导数的左右极限：是两个概念！左右导数用定义差商算；$f'$ 在 $x_0$ 处甚至可能无定义
驻点 vs 极值点：极值点⊆驻点∪不可导点；驻点未必极值（$x^3$ 在 0）
$f''=0$ vs 拐点：拐点看两侧 $f''$ 变号；$x^4$ 的 $f''(0)=0$ 但不是拐点
罗尔三条件：闭连续+开可导+端点等高，缺一不可（各配一个反例）
洛必达失效：导数比极限不存在≠原极限不存在（$x+\sin x$ 型），停手换法
泰勒展开点：信息多的点（已知值/导数处、对称中心）；求极限通常在 0
弹性符号：需求律保证 $dQ/dP<0$；负号是读法约定；比较只看绝对值与 1
极值 vs 最值：极值是局部概念（极大可小于极小）；最值含端点比较
怎么用这张图（三步复习法）
① 先只看骨架：自问每一节讲什么，一句话说中要害；
② 逐层展开对答案：说不出的节点，回主章对应节补 10 分钟；
③ 错题回图定位：错题挂哪个节点，那个节点就是弱项——把它的"要点"变成自己的话。
⚠️ 看"都眼熟"不算会——判据只有两条：合上图能复述每节要害；闭卷能做对题。此图是地图不是旅程。
间隔提示：+1 / +3 / +7 / +16 天回来闭卷复述第一层（配合主章复习日程）。
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