第1章还开了三张欠条，其中两张——"那组展开式为什么可靠"与"导数版求极限武器"——本章 §3 兑付；第三张（和式极限）第3章兑付。
为什么学：第1章学会了"看清一个量奔向哪"，本章回答更锋利的问题——它跑多快？跑的方向在哪儿变？导数是数三的绝对心脏：卷面上直接考求导与导数应用的分数常年过半，而积分（第3章）、微分方程（第4章）、多元（第5章）全建立在求导的逆运算或推广上。这一章学不透，后面每章都在沙地上盖楼。
学什么：①导数与微分是什么（概念区）；②怎么求（工具箱：16 公式、四则、链式、隐函数/参数/对数三特殊、高阶、分段）；③凭什么（费马→罗尔→拉格朗日→柯西四大中值定理+泰勒+洛必达）；④干什么用（读函数：单调极值凹凸渐近线图像；经济：边际弹性最优化；证明：不等式与方程根）。
学完会什么：任意初等函数求导不假思索；中值证明题会构造辅助函数；经济应用大题（边际/弹性/最优化）三问全流程拿满；不等式证明会选法。
可跳过什么：柯西定理的独立证明（用链条图理解即可，考试直接用它构造）；参数方程二阶导的二次推导（记原理一次就够）；曲率（数三不考）。 🗺 配套思维导图页：第2章思维导图（结构版：先看骨架，逐层展开）
高速上导航报"当前车速 106 km/h"——可是速度=路程÷时间，"这一瞬间"的时间是零，路程也是零，$0\div 0$ 算不出任何数。瞬时速度在字面上根本不存在，它是被"逼"出来的：取一小段时间 $\Delta t$，算平均速度 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$；让 $\Delta t$ 越取越小，平均速度节节逼近一个稳定的数——这个稳定值就定义为瞬时速度。眼熟吗？这就是第1章的极限：$v_{瞬}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$〔原理：导数=差商的极限，全章一切皆由此生〕。
两件事一开始就分清（往届最容易混的第一课）：$f'(x_0)$ 是一个数（那一点的瞬时率/切线斜率）；把每个 $x$ 的导数值收集成一张表，这张表本身又是 $x$ 的函数——导函数 $f'(x)$。就像车速仪表：某一瞬的读数是数，整段行程的读数记录是函数。左右导数的极限式必须会写：$f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$（右侧同理），且极限必须存在且有限才叫可导——$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to\infty$ 不是"导数为无穷"，是不可导（竖直切线）。
几何意义为什么恰是切线斜率〔原理〕：差商 $\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 正是割线 $PQ$ 的斜率；$\Delta x\to 0$ 时 $Q$ 滑向 $P$，割线的极限位置就是切线——差商的极限=切线斜率，一个式子两副面孔。切线方程 $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$，法线斜率是它的负倒数（垂直=斜率乘积 $-1$）。
可导 ⇒ 连续〔原理：$\Delta y=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x$，前者趋于有限数、后者趋于 0，乘积极限为 0，函数值不跳〕；反过来不成立——连续只是"不断"，可导还要"不尖不抖"：
可微是另一个角度说同一件事：$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（$A$ 与 $\Delta x$ 无关）就叫在一点可微。
可微 ⇔ 可导（一元函数里两个词通用，$A$ 就是 $f'(x_0)$）；形式不变性：不管 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy=f'(u)\,du$ 都成立〔原理：链式法则保证复合后导数相乘，恰好维持这个记号的形状——它让你"不用问 u 是谁"照写微分〕。微分的实战用途：误差估计与近似计算——$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$（如 $\sqrt{4.02}\approx 2+\dfrac{1}{4}\cdot 0.02=2.005$）。
| 来历 | 代表（推导示范） | 同族成员 |
|---|---|---|
| 定义直推 | $(x^n)'=nx^{n-1}$：$\lim\dfrac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$ 二项展开，只剩 $n x^{n-1}$；$(\sin x)'=\cos x$ 用第一个重要极限加化和差 | $x^n$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln x$ |
| 第1章极限直接送 | $(e^x)'=e^x$：$\lim\dfrac{e^{Δx}-1}{Δx}=1$（等价替换） | $e^x$、$a^x(=a^x\ln a)$ |
| 反函数公式得 | $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$：$\dfrac{1}{(\sin y)'}=\dfrac{1}{\cos y}$，$\cos y=\sqrt{1-x^2}$（主值区间取正） | $\arcsin$、$\arccos$、$\arctan$、$\arccot$ |
| 十六公式速查（$C'=0$ 与 $(x^n)'$ 之外十二个） | |||
|---|---|---|---|
| $(x^n)'=nx^{n-1}$ | $(\sin x)'=\cos x$ | $(\cos x)'=-\sin x$ | $(\tan x)'=\sec^2x$ |
| $(\cot x)'=-\csc^2x$ | $(\sec x)'=\sec x\tan x$ | $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ | $(a^x)'=a^x\ln a$ |
| $(e^x)'=e^x$ | $(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ | $(\ln x)'=\dfrac1x$ | $(C)'=0$ |
| $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $(\arccos x)'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ | $(\arccot x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$ |
四个反三角的负号与分母是最高频记忆坑：$\arccos$ 带$-$、$\arctan$ 分母是 $1+x^2$、$\arcsin$ 分母带根号——记不住就现场用反函数公式 30 秒重造〔原理：反函数求导 $=\dfrac{1}{\text{原函数在该点的导数}}$，几何=关于 $y=x$ 翻转后斜率取倒数〕，这比背错强。
$(uv)'=u'v+uv'$ 可以一步推出来〔原理：给 $u,v$ 同一个 $\Delta x$，$\Delta(uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v+\Delta u\Delta v$，末项除以 $\Delta x$ 后是两个无穷小之积→0〕；除法口诀：$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-u v'}{v^2}$——分子=上导乘下减上乘下导，顺序别反（反了符号全错，这是历年最高频的计算丢分点）。
$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$——外层导数乘内层导数〔原理：复合的变化率=各段变化率的连乘，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ 取极限〕。操作口诀从外到内扒洋葱：$y=\sin(x^2 e^x)$，外层 $\sin$ 得 $\cos(\Box)$，中层 $x^2e^x$ 用乘法，内层无复合——$\cos(x^2e^x)\cdot(2xe^x+x^2e^x)$。漏乘内层导数是链式第一大错，写一步检查一层。
隐函数求导：方程 $F(x,y)=0$ 把 $y$ 藏在式子里，不必解出来——两边对 $x$ 求导，凡遇 $y$ 都当成 $y(x)$ 用链式法则补乘 $y'$，然后解出 $y'$。【例】$x^2+y^2=25$：$2x+2y\,y'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x}{y}$。公式法 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}$ 的负号来历就是这一步移项〔原理：不是天上规定的，是"把含 $y'$ 的项移到一边"的机械结果〕。
参数方程：$x=x(t),y=y(t)$，一阶 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$（两个变化率相除〔原理：$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\Delta y/\Delta t}{\Delta x/\Delta t}$〕）。二阶导为什么"再除一次"：$\dfrac{dy}{dx}$ 仍然是 $t$ 的函数，对它再求导要对 $t$ 求，然后再除以 $x'(t)$ 回到 $x$ 的世界：$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\right)}{x'(t)}$——不是新公式，是同一条原理用了两遍〔原理〕。
对数求导法：幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 两边取对数，指数落下来变乘积——"降维打击"。$y=x^{\sin x}$：$\ln y=\sin x\ln x$，两边求导 $\dfrac{y'}{y}=\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$，解出 $y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。适用两种脸：幂指型、多因子乘除开方（取对数后乘除变加减）。
高阶导数就是"对导数再求导"。三个常用途径：①直接归纳：$y=\dfrac{1}{x-1}$，$y^{(n)}=\dfrac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$（求两三阶找规律，数学归纳确认）；②拆分后套已知：有理函数先裂项，$\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)$；③莱布尼茨公式（$(uv)^{(n)}=\sum C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$）：为什么有组合数〔原理：每求一次导，$u+v$ 各自"挨一刀"或"不挨"，$n$ 刀分给两边的方式数正是二项式系数——和 $(a+b)^n$ 展开同一个计数〕。实战里 $v=x^2$ 这类三阶后归零，公式瞬间截断：$f^{(n)}(0)=n!\times$（展开式中 $x^n$ 的系数）。
规则一句话：分界点之外用公式直代，分界点处回到定义求左右导数。为什么不能在分界点直接套公式〔原理：公式求出的只是"该段解析式延拓过来"的导数，而分界点真正的导数要看两侧表达式换班时的行为——只有定义能同时看到两侧〕。【例】$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le 1\\ ax+b,&x>1\end{cases}$ 在 $x=1$ 可导，求 $a,b$。左右导数：$f'_-(1)=2$（$x^2$ 段），$f'_+(1)=a$（线性段）；可导要求 $a=2$；再要连续（可导⇒连续）：$1=2+b$ 得 $b=-1$。先连续后可导是这类题的固定检查顺序。
四条定理不是并列的四件事，是一条推导链——理解链条，四条全免费：
| 定理 | 内容 | 怎么来的 | 考法 |
|---|---|---|---|
| 费马引理 | 极值点若可导，则导数为 0 | 极值点两侧函数值都不超过它，差商左右异号，夹逼出极限只能为 0 | 辅助函数的"内芯" |
| 罗尔定理 | $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f(a)=f(b)$ ⇒ 存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$ | 闭区间必有最值（第1章定理）；最值在内即用费马 | 证明题主力：证"存在 ξ 使 f′(ξ)=0 型" |
| 拉格朗日 | 去掉等高端点条件 ⇒ 存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ | 把弦"压平"：构造 $F(x)=f(x)-$弦，$F$ 满足罗尔 | 证不等式/双 ξ 题基础 |
| 柯西 | 两个函数版本：$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ | 拉格朗日的参数化（把曲线看成参数方程） | 与拉格朗日配合出"双中值 ξ,η"题 |
拉格朗日是全家枢纽，改写成 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 最有用：函数的整体改变量被某点的导数代理〔原理：这就是"用局部信息管全局"——中值定理的全部价值在此〕。罗尔三条件缺一不可的反例要备齐：$|x|$ 在 $[-1,1]$（在 0 不可导，端点等高）；$f(x)=x$ 于 $[0,1)$ 并补定义 $f(1)=0$（在 1 不连续，且端点等高）；$f(x)=x$ 在 $[0,1]$（连续可导但端点不等高）——各差一条都拿不到水平切线。
中值证明题的真正考点是构造辅助函数 $F$。别背六大套路表，学倒推法：把要证的结论中 $\xi$ 全部换成 $x$，移项成"$F'(x)=0$ 该成立"的样子，再问"谁的导数是这个式子"——找原函数。三个原型覆盖绝大多数题：
| 原型 | 结论长相 | 构造 |
|---|---|---|
| 商型 | 出现 $f'(\xi)g(\xi)=f(\xi)g'(\xi)$ 类 | $F=\dfrac{f}{g}$（商的导数分子恰为该式） |
| 积型 | 出现 $f'(\xi)+\lambda f(\xi)$ 类 | $F=e^{\lambda x}f(x)$（乘积求导后提取公因式） |
| 差型（对称型） | $f'(\xi)=$ 与两端点值组合 | $F=f(x)-$弦（拉格朗日的构造原样搬） |
【例】设 $f$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导且 $f(0)=f(1)$，证存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)+(2\xi-1)f(\xi)=0$。移项 $f'+(2x-1)f=0$——积型：$F=e^{x^2-x}f(x)$，验 $F(0),F(1)$ 同值（罗尔得手）。套路是倒推的产物，不是背诵的清单〔原理〕。
为什么系数长那样、为什么可靠〔原理：这就是"高阶的拉格朗日"〕：想用多项式模仿 $f$，要求在 $x_0$ 处各阶导数全部吻合——$n$ 阶多项式有 $n+1$ 个系数，恰好由"函数值、一阶导、…、$n$ 阶导都相同"这 $n+1$ 个条件锁死，解出来系数必是 $\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$；而拉格朗日余项正是拉格朗日定理对余项函数再用一次的产物（$n=0$ 时泰勒退化为拉格朗日本身）。第1章让你背的四个展开式，来历至此兑付。
展开到几阶——三档决策（考研最高频痛点，规则化）：
| 场景 | 展开到几阶 | 信号词 |
|---|---|---|
| 求极限（分母 $x^m$） | 展到 $x^m$ 项；分子内部有抵消嫌疑多展一阶 | "$\frac{0}{0}$ 且等价替换后仍看不清" |
| 求 $f^{(n)}(0)$ | 展到 $x^n$ 项，$f^{(n)}(0)=n!\times$ 系数 | "求 n 阶导数值" |
| 证明题（证 $f$ 与多项式的大小/高阶联系） | 按结论需要的阶数展，配拉格朗日余项 | "存在 ξ / 不等式含高阶导" |
常用展开速查（$x_0=0$）：$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots$；$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots$；$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\cdots$；$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}\cdots$；$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2\cdots$；$\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\cdots$（第1章小抄的正式版）。【例】（选点逻辑）证"$e^x\ge 1+x$"：把 $e^x$ 在 $0$ 展开（题目哪点信息多在哪个点展），得 $e^x=1+x+\dfrac{e^\xi}{2}x^2\ge 1+x$，一步收官。
为什么成立〔原理：柯西中值定理的直接推论——$\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$，$x\to a$ 时 $\xi$ 被夹着也趋于 $a$〕。五种其他未定式的转化各一行：$0\cdot\infty$ 把一个因子翻下去；$\infty-\infty$ 通分或有理化；$1^\infty/0^0/\infty^0$ 取对数化 $0\cdot\infty$。两个使用纪律：①循环识别——典型如 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}$：洛一次得 $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，再洛又回到 $\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{1}$——结构绕回自身，洛必达永远出不了圈；停手用初等变形（分子有理化/同除最高次）一步得 1。遇"导不净"就是换工具的信号（抓大头/等价替换）；②每导一次都要重新验型——不是 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ 就不能导（$\lim\dfrac{x+\sin x}{x}$ 导后 $\dfrac{1+\cos x}{1}$ 极限不存在，但原极限=1 存在——条件③不满足时洛必达失效但原极限可能仍在，换别法）。
$f'>0$ 区间上单增、$f'<0$ 单减〔原理：拉格朗日——任取两点，$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，导数符号直接决定差的符号〕。极值判别两版：第一充分条件（导数过候选点变号：正转负=极大，负转正=极小）；第二充分条件（$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$=极小，$<0$=极大；$f''(x_0)=0$ 时失效退回第一版）。候选点有两类：$f'=0$ 的驻点 和 $f'$ 不存在的尖点——漏第二类是经典丢分。注意"严格单调"与"单调不减"的措辞差（$f'\ge 0$ 且等号不连成段仍单增，如 $x^3$）。
最值三步：找候选（驻点+不可导点+端点）→ 逐一算值 → 比大小。开区间或无穷区间上还要看趋势（极限/渐近线）才能下"有没有最值"的结论。
定义从"弦与曲线的位置"出发：任取两点，弦在曲线上方=下凸（国内教材口径叫"凹"，$f''>0$；国际口径相反，考试一律按国内〔约定〕）。为什么 $f''>0$ 就弦在上〔原理：$f''>0$ 即 $f'$ 单增，曲线越走越仰，弦连首尾自然被托在上方——把 $f'$ 当新函数套一次单调性判别〕。拐点=凹凸性切换的点：候选是 $f''=0$ 或 $f''$ 不存在的点，确认要看两侧 $f''$ 变号（$f''=0$ 不一定是拐点，$x^4$ 在 0 处）。拐点是"点"要写坐标 $(x_0,f(x_0))$，只写 $x$ 值扣分。
| 类型 | 求法 | 来历 |
|---|---|---|
| 铅直 | $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ 的 $x_0$（嫌疑：分母零、$\ln$ 真数零、无界点） | 竖着跑向天 |
| 水平 | $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=C$（两侧分别查） | 横着躺平 |
| 斜 $y=ax+b$ | $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$，$b=\lim[f(x)-ax]$（两个极限都要存在） | $x$ 很大时 $f(x)\approx ax+b$：先除 $x$ 提出斜率，再减去 $ax$ 看剩余是否稳定 |
斜渐近线的 $a,b$ 公式不是规定〔原理："$f(x)$ 与 $ax+b$ 之差趋于 0"翻译成极限语言就是这两个式子——同一句话的两次提取〕。同一侧有水平就无斜（互斥）；两侧可以各有一条不同渐近线。
【完整示范】$y=\dfrac{x}{x^2-1}$（定义域 $x\neq\pm1$；奇函数画右半）；$y'=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}<0$ 恒成立（单减，无极值）；$y''=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$：$x>0,>1$ 段 $f''>0$ 下凸、$0<x<1$ 段 $f''<0$ 上凸，拐点 $(0,0)$；铅直 $x=\pm1$、水平 $y=0$；过原点。成图：右半从 $y=0$（$x\to+\infty$）爬升穿过原点（凸转凹）后在 $x=1$ 前冲向 $+\infty$——六步全用上，一道题把本节串完。
利润最大化条件 $MR=MC$ 不是背诵结论，一步就推出来〔原理〕：$L(q)=R(q)-C(q)$，$L'=R'-C'=MR-MC$；令 $L'=0$ 即 $MR=MC$；$L''=R''-C''<0$（二阶验证）确认是最大——经济含义：最后一单位的收入恰好抵住成本，再多造一单位就开始亏，少造一单位就少赚。
负号从哪来〔原理〕：需求律——价格涨需求跌，$\dfrac{dQ}{dP}<0$，弹性天然为负；经济学为了"读起来是正数"人为加了负号（谁也没法改变符号，只能约定读法〔约定〕）。涨价还是降价增收，一栏推导：$R=P\cdot Q(P)$，$\dfrac{dR}{dP}=Q+P\dfrac{dQ}{dP}=Q(1+\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q})=Q(1-E_d)$（不带负号版）——所以 $E_d>1$ 时 $\dfrac{dR}{dP}<0$（涨价伤收入→降价增收），$E_d<1$ 时涨价增收，$E_d=1$ 收入对价格不敏感（收入最大的价格恰在此处）〔原理：一阶导符号的翻译，不是口诀〕。
固定套路接第1章建模：设变量→列目标函数（注意代入约束消元）→求导找驻点→二阶验证→答经济问题。【完整例】需求 $q=100-2p$，成本 $C=50+6q$。利润关于价格：$L(p)=p(100-2p)-50-6(100-2p)=-2p^2+112p-650$；$L'=-4p+112=0\Rightarrow p=28$；$L''=-4<0$ 最大；$L(28)=918$。二阶验证一步不能省（一阶只说"驻点"，二阶才说"最大"）——如果目标函数是价格与销量互相牵制的，务必先代入消元成一个变量再求导。
| 看到什么 | 用什么法 | 模板 |
|---|---|---|
| "对一切 $x$ 恒成立"+两边可导 | 单调性法 | 移项设 $F$，证 $F(端点)\ge 0$ 且 $F'\ge0$（或分段讨论符号） |
| 式子含 $f''$ 或"下凸"气质（两边取平均与中点比） | 凹凸法 | 凸不等式 $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\le\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ |
| 含 $f'(\xi)$、"区间内存在"字样 | 中值定理法 | 拉格朗日把差写成 $f'(\xi)(b-a)$ 再放缩 |
| 含高阶导/多项式比较/"证明 f≥其泰勒多项式" | 泰勒法 | 在信息多的点展开，用余项符号定向 |
选择树的顺序=从上到下试〔原理：单调法最通用先试；凹凸与中值看长相特征；泰勒是高阶信号〕。【例】证 $\sin x\le x$（$x\ge0$）：设 $F=x-\sin x$，$F'=1-\cos x\ge0$，$F(0)=0$ ⇒ $F\ge0$——单调法一行半收官。
存在：零点定理（第1章）或罗尔（移项后能构造出 $F'$ 结构）。唯一/个数：单调性+分区——把定义域按 $f'$ 符号切成单调段，每段至多一根，段数×每段存在性=根总数。【完整例】讨论 $x^3-3x+1=0$ 的根的个数：$f'=3x^2-3$，驻点 $x=\pm1$；三段单调 $(-\infty,-1)\uparrow,(-1,1)\downarrow,(1,+\infty)\uparrow$；算关键值 $f(-2)=-1<0,f(-1)=3>0,f(1)=-1<0,f(2)=3>0$——每段各有一根，共 3 根。模板：驻点切分区→每段验端点异号→计数。
动笔前 30 秒：把"读着顺"当成"我懂了"是人人都会踩的圈套——判据只有两条：合上资料写得出；没见过的题做得对。这 21 题遮住答案先做，做错的题写出"错在哪一步"。求导题先问三句：结构是几层复合？有没有特殊脸（幂指/隐/参/分段）？分界点要不要回定义？中值题先问：结论里 $\xi$ 挂在谁的导数上，怎么倒推 $F$？基础 8 / 进阶 8 / 挑战 5，按序做；第二遍打乱做（交错）。
B1（考点：定义求导）：$f'(2)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac12}{\Delta x}=\lim\dfrac{-\Delta x}{\Delta x(4+2\Delta x)}=-\dfrac14$。采分点：通分要干净，负号别丢。
B2（四则+复合）：$y'=2xe^x+x^2e^x+2\cos 2x$。
B3（链式三层）：$y'=\dfrac{2\sin x\cos x}{1+\sin^2x}=\dfrac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$。
B4（隐函数）：两边求导 $y+xy'=e^{x+y}(1+y')$，$(x-e^{x+y})y'=e^{x+y}-y$，$y'=\dfrac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y}}$（可再用原式代 $e^{x+y}=xy$ 化简为 $\dfrac{y(x-1)}{x(1-y)}$）。采分点：乘积的 $xy$ 别忘乘法法则。
B5（参数）：一阶 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$；二阶 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\dfrac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^2}=\dfrac{\cos t-1}{(1-\cos t)^2}$——分子与分母约掉一个 $(1-\cos t)$，得 $-\dfrac{1}{1-\cos t}$；再除 $\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t$：$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{-1}{(1-\cos t)^2}$。采分点：最后"再除一次"必须有。
B6（分段求导）：左导 $=0$（$x^2$ 段在 0 处导数为 0），右导 $=a$，可导要求 $a=0$；连续要求 $b=0$（$f(0)=0$，右极限 $=b$）。$a=b=0$。采分点：先连续后可导两步都写。
B7（切线）：$\dfrac{1}{x}=2\Rightarrow x=\dfrac12$，点 $(\tfrac12,-\ln 2)$；切线 $y+\ln 2=2(x-\tfrac12)$ 即 $y=2x-1-\ln 2$。
B8（单调极值）：$y'=3x(x-2)$；$(-\infty,0)\uparrow,(0,2)\downarrow,(2,+\infty)\uparrow$；极大 $y(0)=1$，极小 $y(2)=-3$。
J1（幂指）：$\ln y=\ln x\cdot\ln\sin x$，$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{\ln\sin x}{x}+\ln x\cdot\cot x$，$y'=(\sin x)^{\ln x}\left(\dfrac{\ln\sin x}{x}+\ln x\cot x\right)$。
J2（裂项归纳）：$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$；$\left(\dfrac{1}{x-a}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$；$y^{(n)}=(-1)^n n!\left[\dfrac{1}{(x-2)^{n+1}}-\dfrac{1}{(x-1)^{n+1}}\right]$。
J3（莱布尼茨）：$(x^2)^{(k)}$ 在 $k\ge3$ 归零，$y^{(n)}=x^2\cdot 2^n e^{2x}+n\cdot 2x\cdot 2^{n-1}e^{2x}+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot 2^{n-2}e^{2x}=e^{2x}\left(2^n x^2+2^n n x+2^{n-2}n(n-1)\right)$。令 $x=0$：$y^{(n)}(0)=2^{n-2}n(n-1)$（$n\ge2$；$n=1$ 时公式失效，直接算 $y'(0)=0$）。
J4（泰勒与高阶导互查）：$xe^x=x+x^2+\dfrac{x^3}{2}+\cdots$，$x^n$ 系数 $\dfrac{1}{(n-1)!}$，故 $f^{(n)}(0)=n!\cdot\dfrac{1}{(n-1)!}=n$。采分点：会双向翻译——展开系数↔高阶导数值。
J5（泰勒定档）：分母 $x^4$，展到四阶：$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\cdots$，$e^{-x^2/2}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{8}+\cdots$，分子 $=x^4\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{3}{24}\right)=-\dfrac{x^4}{12}$，极限 $-\dfrac{1}{12}$。（与第1章 §4.4 同题复现且两章答案已核对一致——第1章用表，本章要会"选档"。）
J6（先判次数再看渐近线）：铅直：$x=1$（分母为零，两侧冲向无穷）。斜渐近线的前提是"分子比分母高一次"——本题分子三次、分母一次，高两次：多项式除法 $(x+1)^3\div(x-1)=x^2+4x+7$ 余 $8$，即 $f(x)=x^2+4x+7+\dfrac{8}{x-1}$，商是二次多项式（抛物线主体）；用公式验：$a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\infty$ 不存在——无斜渐近线、无水平。采分点：除法商到二次就是"无斜渐近线"的信号；斜渐近线只属于"高一次"的分式。
J7（弹性+收入）：$E_d=-\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}=-(-\dfrac{100}{P^2})\cdot\dfrac{P}{100/P}=1$ 恒为 1（双曲线弹性恒 1）；$P=10$ 处 $E_d=1$：涨降价都不增收。收入 $R=PQ=100$ 常数——与公式 $\dfrac{dR}{dP}=Q(1-E_d)=0$ 一致。
J8（单调法）：设 $F(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}$（$x>0$），$F(0)=0$；$F'=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{x}{(1+x)^2}>0$，故 $F(x)>F(0)=0$。∎采分点：端点值+导数符号+单调结论三段全。
T1（积型）：结论改写 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$ 即 $(xf(x))'|_{x=\xi}=0$。取 $F(x)=xf(x)$：$F(0)=0$，$F(1)=1\cdot f(1)=0$，罗尔 ⇒ 存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$。∎采分点：认出积型+验两端同值。
T2（泰勒在端点展开）：在 $a$ 展开 $f(b)$（信息在 $a$：$f(a),f'(a)$ 已知）：$f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\dfrac{f''(\xi)}{2}(b-a)^2$，$\xi\in(a,b)$——拉格朗日余项即结论。∎采分点：选展开点＝已知信息多的点。
T3（方程根+参数）：设 $F(x)=\dfrac{\ln x}{x}-a$（$x>0$）。$F'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$：$0<x<e$ 增、$x>e$ 减，最大值 $F(e)=\dfrac{1}{e}-a$。①$0<a<\frac1e$：最大值>0，且 $x\to0^+$ 时 $F\to-\infty$、$x\to+\infty$ 时 $F\to-a<0$，两侧各穿过一次：2 根；②$a=\frac1e$：1 根（$x=e$ 处相切）；③$a>\frac1e$：最大值<0：0 根。采分点：分界值 $1/e$ 两边趋势都要验。
T4（经济三问）：$L(p)=p(90-2p)-300-10(90-2p)=-2p^2+110p-1200$；$L'=-4p+110=0\Rightarrow p=27.5$，$L''=-4<0$ 最大；$q=90-55=35$，$L(27.5)=\dfrac{625}{2}=312.5$。弹性：$E_d=2\cdot\dfrac{27.5}{35}=\dfrac{55}{35}=\dfrac{11}{7}\approx1.57>1$ ✓（利润最大价处弹性大于 1——一般结论：$MR=P(1-\frac1{E_d})=0$ 时 $E_d=1$ 是收入最大价，垄断厂商在弹性大于 1 段定价）。采分点：二阶验证+弹性复核都不能少。
T5（六步流水线）：①定义域 $x\ne1$；无奇偶。②$y'=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$：驻点 $x=0,2$。逐段符号：$x<0$ 时 $x(x-2)=负\times负=正$，$0<x<1$ 与 $1<x<2$ 时 $=正\times负=负$，$x>2$ 时 $=正\times正=正$——$(-\infty,0)\uparrow,(0,1)\downarrow,(1,2)\downarrow,(2,+\infty)\uparrow$。极值：极大 $y(0)=0$（导数正转负）、极小 $y(2)=4$（负转正）。③$y''=\dfrac{2}{(x-1)^3}$：$x<1$ 上凸、$x>1$ 下凸，无 $y''=0$ 点，无拐点（$x=1$ 不在定义域）。④铅直 $x=1$；斜：除法 $y=x+1+\dfrac{1}{x-1}$，读出 $y=x+1$；无水平。⑤过 $(0,0)$（极大点）、极小点 $(2,4)$。⑥两支位置：$y-(x+1)=\dfrac{1}{x-1}$——右支（$x>1$）此差恒正，在渐近线上方：从 $x=1^+$ 的 $+\infty$ 降到极小 $(2,4)$ 再沿 $y=x+1$ 上方爬升；左支（$x<1$）差恒负，在渐近线下方：从 $-\infty$ 沿 $y=x+1$ 下方爬升穿过原点（极大）冲向 $x=1^-$ 的 $+\infty$。
| 易混对 | 一句话分辨 |
|---|---|
| 连续 vs 可导 | 可导必连续；连续未必可导（尖点/抖动）；一元里可导⇔可微 |
| $f'(x_0)$ vs $[f(x_0)]'$ | 前者是先求导再代值（一般非零），后者对常数求导恒为 0 |
| 左右导数 vs 导数的左右极限 | 是两个概念！左右导数用定义差商算；$f'$ 在 $x_0$ 处甚至可能无定义 |
| 驻点 vs 极值点 | 极值点⊆驻点∪不可导点；驻点未必极值（$x^3$ 在 0） |
| $f''=0$ vs 拐点 | 拐点看两侧 $f''$ 变号；$x^4$ 的 $f''(0)=0$ 但不是拐点 |
| 罗尔三条件 | 闭连续+开可导+端点等高，缺一不可（各配一个反例） |
| 洛必达失效 | 导数比极限不存在≠原极限不存在（$x+\sin x$ 型），停手换法 |
| 泰勒展开点 | 信息多的点（已知值/导数处、对称中心）；求极限通常在 0 |
| 弹性符号 | 需求律保证 $dQ/dP<0$；负号是读法约定；比较只看绝对值与 1 |
| 极值 vs 最值 | 极值是局部概念（极大可小于极小）；最值含端点比较 |
| 考点 | 题型 | 重要度 | 出题方式 |
|---|---|---|---|
| 求导计算（复合/隐/参/分段） | 渗透所有题 | ★★★★★ | 从不单独考，是一切的地基；分段与参数二阶是显性考点 |
| 洛必达/泰勒求极限 | 填空/解答首问 | ★★★★★ | 与第1章武器合流出题 |
| 中值定理证明（辅助函数） | 解答压轴一问 | ★★★★ | "存在 ξ 使…"倒推构造 |
| 单调极值凹凸渐近线 | 选择/填空+解答 | ★★★★ | 渐近线最易漏铅直/忘查两侧 |
| 经济应用（边际/弹性/最优） | 解答大题 | ★★★★ | 数三招牌，三问连环（建模→最优→弹性） |
| 不等式证明/方程根 | 解答 | ★★★ | 单调法为主，根的个数按参数讨论 |
| 高阶导数（莱布尼茨/归纳） | 填空 | ★★ | $f^{(n)}(0)$ 用泰勒系数翻译 |
⚠️ 以上重要度是复习优先级（基于历年考法印象），不是统计结果、不是今年预测。
合上资料画四层：概念（导数=差商极限/切线/微分）→ 工具箱（16 公式+四把钥匙+分段回定义）→ 定理（中值链+泰勒+洛必达）→ 应用（读函数/经济/证明）。每层能补出细节框，这章就成了。
| 规则 | 标注 | 一句话交代 |
|---|---|---|
| 导数=差商的极限 | 〔原理〕 | 瞬时率是平均率的极限（§1.1） |
| 切线斜率=导数 | 〔原理〕 | 割线极限位置（§1.2） |
| 可导⇒连续（逆不真） | 〔原理〕 | $\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x$ 两无穷小之积（§1.3） |
| 一元可导⇔可微、$dy=f'dx$ | 〔原理〕 | 线性主部+高阶零头分解（§1.3） |
| 微分形式不变性 | 〔原理〕 | 链式法则维持记号形状（§1.3） |
| 16 求导公式的来历分三类 | 〔原理〕 | 定义直推/极限直送/反函数得（§2.1） |
| 除法口诀"上导乘下减上乘下导" | 〔原理〕 | 可由乘法+链式推出，顺序错=符号错（§2.2） |
| 隐函数遇 $y$ 补 $y'$ | 〔原理〕 | $y$ 是 $x$ 的函数，链式法则的义务（§2.4） |
| 参数二阶"再除一次 $x'(t)$" | 〔原理〕 | $dy/dx$ 仍是 $t$ 的函数（§2.4） |
| 幂指函数取对数求导 | 〔原理〕 | 指数落下来，降维（§2.4） |
| 莱布尼茨组合数 | 〔原理〕 | n 刀分配计数=二项式展开同源（§2.5） |
| 分段分界点回定义 | 〔原理〕 | 只有定义能同时看到两侧换班（§2.6） |
| 中值链费马→罗尔→拉格朗日→柯西 | 〔原理〕 | 一条推导链，后者由前者构造而得（§3.1） |
| 辅助函数=倒推找原函数 | 〔原理〕 | 结论 ξ 换 x 移项，认商/积/差原型（§3.2） |
| 泰勒系数 $\dfrac{f^{(k)}}{k!}$ | 〔原理〕 | 各阶吻合条件唯一锁死系数（§3.3）——第1章欠条①已兑 |
| 泰勒展开三档决策 | 〔原理〕 | 求极限看分母阶/求 f⁽ⁿ⁾ 展到 n/证明配余项（§3.3） |
| 洛必达三条件 | 〔原理〕 | 柯西中值定理的直接推论（§3.4）——第1章欠条②已兑 |
| "凹凸"的国内口径 | 〔约定〕 | 国内"凹"=下凸（f″>0），与国际相反；考试按国内（§4.2） |
| 斜渐近线 $a,b$ 公式 | 〔原理〕 | "f 与 ax+b 之差趋于 0"的两次提取（§4.3） |
| MR=MC 利润最大条件 | 〔原理〕 | $L'=R'-C'$ 置零一步推出（§5.1） |
| 需求弹性加负号 | 〔约定〕 | 需求律使弹性天然为负，加负号为读正数（§5.2） |
| 弹性与收入关系（>1 降价增收） | 〔原理〕 | $\frac{dR}{dP}=Q(1-E_d)$ 的符号翻译（§5.2） |
| 不等式四法选择树 | 〔原理〕 | 从单调试起，按长相特征分流（§6.1） |
〔欠条〕本章兑付 2 张（泰勒来历、洛必达——均已销账），新开 0 张；下一章将兑付"和式极限=定积分定义"（第1章欠的）。
第一遍（今天）：通读 + 全部即练 + 基础组 8 题（约 3 小时，本章最重）。之后每遍闭卷提取，不重读。
| 日期 | 动作（全部闭卷） | 通过线 |
|---|---|---|
| 次日（+1） | 背诵点自测 + 基础组错题重做 | 正确率 ≥70% |
| +3 天 | 进阶组+挑战组闭卷 + 合书画 §10 四层图 | 四层图细节框齐全 |
| +7 天 | 导图页只看骨架口述每节 + 16 公式默写（三类来历各写一个推导） | 公式默写 14/16 以上 |
| +16 天 | 21 题乱序混合测（配合第3章开局） | ≥80%，错题回导图定位 |
下一章（第3章 一元积分学）：本章你练就了"求导"这件兵器，下一章问它的逆问题——已知导数，找原函数（积分）；再进一步，把无穷多个小量加起来（定积分）——第1章欠的最后一张欠条"和式极限=定积分定义"在那里兑付。本章 2.1 的 16 公式表倒着背，就是下一章的积分公式表。
跨模块连线：①第1章：导数是特殊极限（差商极限），泰勒/洛必达两欠条本章已兑；②线代六幕："局部线性近似"与线性代数"用线性变换近似非线性"同一思想；③848经济学：§5 三件套（边际=导数、弹性=相对导数、MR=MC 一阶条件）就是微观厂商理论的数学骨架，848 微观"生产者理论"章同源；④概率论：密度函数的分布函数求导关系（$F'=f$）用的正是变限积分求导（第3章预告）。
在哪反馈：读到哪一节卡住（哪怕是"这句话没看懂"级别的卡），直接截图发给大管家——卡点清单会回流修订对应小节，修订后此处更新。
什么时候回看：+3 天延迟测试后，把错题对应的小节标出来；+16 天综合测后同。资料会在你的卡点上长出新一轮解释——这是它和普通 PDF 的唯一区别。
版本：第2章 一元微分学（数三·瘦身重写版·合并） v1（2026-10-17）｜14 件套齐备 + 规则账全标注｜计算经 sympy 机器重算（V2 日志）｜渲染双视口检查（430/900）｜题目按考纲考点自编对标，无直接引用原文真题故不标年份｜反馈即修订