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第3章 一元积分学
已知变化率求总量——求导的影子与总和
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定义F′=f 则 F 是 f 的原函数；不定积分=全部原函数 F+C
不定积分基本表▾
定义求导表倒着背：∫xⁿ、∫1/x、∫eˣ、∫sin、∫1/(1+x²) 等 10 条
定义认"谁的导数在场"：∫f(g(x))g′(x)dx 令 u=g(x)
定义根号三兄弟：√(a²−x²)↔sin、√(a²+x²)↔tan、√(x²−a²)↔sec
定义∫udv=uv−∫vdu；u 按"反对幂三指"挑
定义Φ(x)=∫ₐˣf：Φ′=f（面积变化率=此刻高度）→ 连续必有原函数
定义换元必换限不回代；奇偶对称（奇0偶倍）；区间再现 t=a+b−x
定义S=∫(上−下)dx；绕 x 轴 V=π∫y²dx（圆片叠加）、绕 y 轴柱壳 2π∫xydx
定义f̄=(1/(b−a))∫f——考纲明文；积分中值的 f(ξ) 就是它
定义∫₀^{π/2}sinⁿ 或 cosⁿ：奇 (n−1)!!/n!!；偶 ×π/2（点火）
p 判别▾
定义读出事地点的幂次：无穷远 p>1 收、瑕点 p<1 收
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配套题库 · 18 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
基础组
B1 int(2e^x+3cos x-{4}{x})dx。
考点：积分表直用——§1.1 ｜ 讲义页详析→
B2 int xsqrt{1+x^2}dx。（凑微分）
考点：凑微分——§2.1 ｜ 讲义页详析→
B3 int{dx}{x^2+2x+5}。（先配方再对表）
考点：配方+arctan——§1.1 ｜ 讲义页详析→
B4 int_0^{pi/2}cos^3xdx。（华里士）
考点：华里士奇数——§5.2 ｜ 讲义页详析→
B5 F(x)=int_x^{2x}{t}{1+t^2}dt，求 F'(x)。
考点：变限求导（拆限）——§4.2 ｜ 讲义页详析→
B6 求 y=x^2 与 y=2x 所围面积。
考点：面积（上−下）——§5.1 ｜ 讲义页详析→
B7 f(x)=begin{cases}x,&0le xle12-x,&1
考点：分段积分+平均值——§5.1 ｜ 讲义页详析→
进阶组
J1 int{dx}{sqrt{x}+sqrt[4]{x}}。（换元 x=t^4 全程）
考点：x=t⁴ 换元去根——§2.1 ｜ 讲义页详析→
J2 int{2x+3}{x^2+3x-10}dx。（分子凑分母导数+裂项）
考点：分子凑分母导数——§2.2 ｜ 讲义页详析→
J3 int_0^{ln2}sqrt{e^x-1}dx。（换元去根+回代）
考点：换元去根+回代——§2.1 ｜ 讲义页详析→
J4 int e^{sqrt x}dx。（换元+分部连环）
考点：换元+分部连环——§3 ｜ 讲义页详析→
J5 求 limlimits_{ntoinfty}left({n}{n^2+1}+{n}{n^2+2^2}+cdots+{n}{n^2+n^2}right)。（和式→…
考点：和式→定积分（欠条兑付）——§4.1 ｜ 讲义页详析→
J6 int_0^pi{xsin x}{1+cos^2x}dx。（区间再现战例）
考点：区间再现战例——§4.3 ｜ 讲义页详析→
J7 判断敛散并计算：int_0^{+infty}{dx}{x^2+4x+3}。
考点：反常先极限形式+裂项——§6 ｜ 讲义页详析→
挑战组
T1 求 int_0^2max(x^2,x)dx。（分段函数积分）
考点：分段函数积分（max）——§4 ｜ 讲义页详析→
T2 曲线 y=e^x、y=e^{-x} 与 x=1 围成的面积；并求该区域绕 x 轴旋转一周的体积。
考点：面积+旋转体——§5.1 ｜ 讲义页详析→
T3 设 f 连续且 int_0^{x^2-1}f(t)dt={x^2-1}{2}，求 f(3)。（变限方程）
考点：变限方程求导读值——§4.2 ｜ 讲义页详析→
T4 证明：int_0^{pi/2}{sin x}{sin x+cos x}dx={pi}{4}。（区间再现，不计算原函数）
考点：区间再现证等式（不算原函数）——§4.3 ｜ 讲义页详析→
考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
$\int f'$ vs $f$ vs 原函数：不定积分=全部原函数 F+C；+C 丢=错
换元后回代问题：不定积分必须回代；定积分换限后不回代
凑微分方向：认"谁的导数在场"；差常数倍可补系数
分部 u 的选择："反对幂三指"，靠前当 u；循环型移项解方程
定积分 vs 不定积分结果：定积分是数（代端点后 C 消掉）；不定积分带 C
对称性使用前提：区间 $[-a,a]$ 对称 + 函数奇偶，两条件都要
区间再现的敌人：只对 $\int_a^b$ 且变换 $a+b-x$；不要乱用到 $[0,\frac\pi2]$ 外不改限
反常积分第一步：先写极限形式再算；瑕点在中间要拆
p 判别方向：无穷远 p>1 收敛；瑕点 p<1 收敛——方向相反别记反
平均值 vs 中值定理：$\bar f=\frac{1}{b-a}\int$；积分中值的 $f(\xi)$ 就是它
怎么用这张图（三步复习法）
① 先只看骨架：自问每节讲什么；② 逐层展开对答案：说不出的节点回主章补 10 分钟；③ 错题回图定位：错题挂哪个节点，那里就是弱项。
⚠️ 看"都眼熟"不算会——判据：合上图能复述；闭卷能做对。此图是地图不是旅程。
间隔提示：+1 / +3 / +7 / +16 天闭卷复述第一层。
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版本：v1（2026-10-17）｜6 节 13 术语节点，与主章 18 题锚链互通｜反馈卡点即修图