本章兑付第1章最后一张欠条——和式极限那条（§4 揭晓）。上一章的 16 条求导公式表，倒过来就是本章的武器库。
为什么学：导数回答"变化多快"，积分回答两件更大的事——已知变化率求总量（知道速度算路程、知道边际成本算总成本）和求不规则图形的面积/体积。数三卷面上积分计算题+应用题是绝对主力，且第4章微分方程、第6章二重积分全部踩在积分运算上。
学什么：①不定积分=求导的逆（积分表+换元+分部三大算法）；②区间上的总量问题（分割-求和-取极限一条定义、牛-莱公式解放计算、上下限会动的积分、对称与再现两大加速器）；③应用（面积/旋转体/均值/经济总量）；④反常积分（放到无穷与瑕点，p 判别）。
学完会什么：常见积分三步内选对方法；"会动的上限"求导条件反射；定积分应用题（面积/体积/平均值/经济）设出积分式；反常积分先写极限形式再算并判敛散。
可跳过什么：有理函数四次以上因式的拆分技巧（考纲内只到二次因式）；柯西-施瓦茨不等式的证明（记住结论和取法即可）；积分表超出常考范围的条目。 🗺 配套思维导图页：第3章思维导图（结构版）｜另有深化件：区间再现公式图解教程（专题页）
两个立刻要立住的观念：①+C 不是仪式是数学事实〔原理：$(F+C)'=F'$，导数抹掉了常数信息，逆运算无法找回，只能带着家族标记〕；②每条积分公式都靠求导验回〔原理：积分表不是新公式，是求导表镜像——$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 对不对？求导验：$\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$ ✓〕。连续函数必有原函数（§4.2 给出具体构造）。
线性性质 $\int(af+bg)dx=a\int f+b\int g$ 直接积分法就是"拆开对表"+适时改写（$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ 这类）。
原理一句话〔原理：微分形式不变性（第2章 §1.3）+链式法则倒放——$\int f(g(x))g'(x)dx$ 中 $g'(x)dx$ 恰是 $d(g(x))$，令 $u=g(x)$ 换成 $\int f(u)du$，对表收工〕。操作就是认亲：被积函数里谁的导数恰好（或差常数倍）在场，就凑谁。常用凑法：$xdx=\dfrac{1}{2}d(x^2)$；$\dfrac{dx}{x}=d(\ln|x|)$；$e^xdx=d(e^x)$；$\cos xdx=d(\sin x)$；$\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2d(\sqrt{x})$。
【例】$\int x e^{x^2}dx=\dfrac12\int e^{x^2}d(x^2)=\dfrac12e^{x^2}+C$——$x$ 在场正是 $x^2$ 的导数的一半。再如 $\int\dfrac{(\ln x)^2}{x}dx=\int(\ln x)^2d(\ln x)=\dfrac{(\ln x)^3}{3}+C$。
三角代换回代不用解角度，画助手三角形直读：令 $x=a\sin t$ 后三边为 $x、\sqrt{a^2-x^2}、a$，$\tan t=\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 等全部一图读出。【例全程】$\int\sqrt{a^2-x^2}dx$（$a>0$）：令 $x=a\sin t$，$dx=a\cos t\,dt$，原式 $=\int a\cos t\cdot a\cos tdt=a^2\int\dfrac{1+\cos 2t}{2}dt=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{4}\sin2t+C=\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$（$\sin2t=2\sin t\cos t=2\cdot\dfrac{x}{a}\cdot\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$，回代全靠三角形）。
流程四步〔原理：代数上任何真分式都能唯一拆成简单分式之和（部分分式定理），拆完每块都可积〕：①假分式（分子次数≥分母）先多项式除法；②分母因式分解；③按因式设拆分（一次因式给 $\dfrac{A}{x-a}$；二次不可拆因式给 $\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$；重因式逐次降幂各给一项）；④代值定系数、逐块积分。【例全程】$\int\dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2}dx$：设 $\dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}$；通分比系数得 $A=1,B=0,C=2$（代 $x=0$ 得 $A$，代 $x=1$ 得 $C$，再比 $x^2$ 项）；积分 $=\ln|x|-2\cdot\dfrac{1}{x-1}$ 的相反数？——逐块：$\int\dfrac{1}{x}dx=\ln|x|$，$\int\dfrac{0}{x-1}dx=0$，$\int\dfrac{2}{(x-1)^2}dx=-\dfrac{2}{x-1}$，合并 $\ln|x|-\dfrac{2}{x-1}+C$。
从乘法求导法则倒放〔原理：$(uv)'=u'v+uv'$ 移项积分得 $\int udv=uv-\int vdu$〕。核心决策只剩一个：谁当 $u$（被求导的），谁当 $dv$（被积掉的）。选法口诀"反、对、幂、三、指"（ILATE 的中文版）：越靠前的越当 $u$（求导会变简单的优先被求导）——反三角、对数、幂函数、三角、指数。
【标准例】$\int x\cos xdx$：幂在前三角在后？不——"反对幂三指"里幂排在三角前，所以 $u=x$（求导成 1，变简单）、$dv=\cos xdx$：原式 $=x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x+C$。
【对数例】$\int x e^xdx$：幂在指数前 → $u=x$：$=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$。$\int\ln xdx$：对数最优先当 $u$，$dv=dx$：$=x\ln x-\int x\cdot\dfrac1xdx=x\ln x-x+C$。
循环型全流程（旧版跳步处，此处一步不跳）：$\int e^x\sin xdx$。取 $u=\sin x,dv=e^xdx$：$=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$；对第二项再用一次，$u=\cos x$：$\int e^x\cos xdx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$（注意符号：$-\int vdu=-\int e^x(-\sin x)dx=+\int e^x\sin xdx$）。代回：原式 $=e^x\sin x-e^x\cos x-\text{原式}$，移项：$2\times$原式 $=e^x(\sin x-\cos x)$，原式 $=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$〔原理：两次分部回到自己，把"原式"当未知数解方程——这就是循环型；移项后右边要补 $C$〕。
逐句拆解：①分割——把不确定的曲边区域切成一小条一小条（每条近似矩形）；②求和——每条高取代表值 $f(\xi_i)$（可取左端、右端、任意点〔原理：连续函数切得足够细时"取谁当代表"的分歧归零（λ 管住最宽一条，与 ε-N 的"之后全部"同一个思想）），宽 $\Delta x_i$，全部加起来；③取极限——段数趋于无穷且每段趋于零（用最宽段 $\lambda$ 管住"一万条细长条"的漏洞），和的极限就是面积的精确值。第1章的 n 项和式 $\frac1n\sum f(\frac kn)$ 正是这里 $\Delta x=\frac1n$、$[a,b]=[0,1]$ 的特例——欠条兑付：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^nf\left(\dfrac kn\right)=\int_0^1f(x)dx$，从此和式极限有了第二条路。
代数面积：$x$ 轴下方的部分计入负值〔约定：定向——从 $a$ 到 $b$ 的"有向面积"，与定积分"交换上下限变号"配套〕。
可积的充分条件：闭区间上连续（或有限个第一类间断）即可积。性质四条常考：线性；区间可加 $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$；比较（$f\le g\Rightarrow\int f\le\int g$，同点不等号保持）；估值定理 $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$；积分中值定理 $\int_a^bf=f(\xi)(b-a)$（§5 给这个"平均"起名字）。
为什么 $\Phi'=f$〔原理：右端点从 $x$ 推到 $x+\Delta x$，面积多出的窄条高约 $f(x)$ 宽 $\Delta x$，$\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}\to f(x)$——"面积变化率=此刻高度"，第2章导数定义原样适用〕。由此：连续函数必有原函数（$\Phi$ 就是），且 $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$（$F$ 为任一原函数）——牛顿-莱布尼茨公式，总量=原函数在两端点的落差，定积分从"极限定义"解放成"找原函数代值"。
变限求导全家桶（条件反射级）：$\left(\int_a^x f(t)dt\right)'=f(x)$；$\left(\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt\right)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)$（链式）；$\left(\int_{\psi(x)}^{b}f(t)dt\right)'=-f(\psi(x))\psi'(x)$（上下限反转负号）；上下限都是函数就拆成两段〔原理：全是链式法则+区间可加性的组合，不是四条新公式〕；被积函数混 $x$ 时先提干净或换元（$\int_0^x xf(t)dt=x\int_0^xf(t)dt$ 提出去；$\int_0^x f(xt)dt$ 令 $u=xt$ 换掉）。
①换元必换限（$x=\varphi(t)$ 时把 $a,b$ 换成对应 $t$ 值，积完不回代）；②奇偶对称：$[-a,a]$ 上奇函数积分为 0、偶函数为 $2\int_0^a$〔原理：对折两半正负抵消/完全相同——对称性在积分上的直译〕；③区间再现$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$：令 $t=a+b-x$ 换元即得〔原理：倒着扫一遍区间，总量不变——不是新定理，是换元法的直接推论〕。
【区间再现标准战例】$\int_0^{\pi}x\sin xdx$：区间再现得原式 $=\int_0^\pi(\pi-x)\sin xdx$，两式相加 $2I=\pi\int_0^\pi\sin xdx=2\pi$，$I=\pi$——x 系数型专用（配合相加抵消）。分部积分的定积分版只是端点代入：$\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu$。
平面面积：$S=\int_a^b(\text{上}-\text{下})dx$（直角坐标；曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 所夹）。旋转体体积：绕 $x$ 轴 $V_x=\pi\int_a^by^2dx$〔原理：切成薄圆片，每片体积 $\pi r^2\cdot dx$，$r=$ 此处高度〕；绕 $y$ 轴用柱壳法 $V_y=2\pi\int_a^bx\cdot y\,dx$（以 $x$ 为半径的柱壳展开成薄板）。
经济应用两式（考纲"会解简单经济应用"的落点）：①已知边际求总量：$\int_{q_1}^{q_2}C'(q)dq=C(q_2)-C(q_1)$、$\int_0^q R'(t)dt=R(q)$（牛-莱直译）；②收益流现值（数三招牌）：连续收益流 $R(t)$ 按年利率 $r$ 贴现，总现值 $PV=\int_0^T R(t)e^{-rt}dt$〔原理：$t$ 年后的一元今天值 $e^{-rt}$ 元（第1章 §4.3 连续复利的倒数），把每时刻的收益逐一贴现再加总=定积分〕。【例】设备年恒定收益流 $R(t)=10$ 万元、$r=5\%$、用 10 年：$PV=10\int_0^{10}e^{-0.05t}dt=10\cdot\dfrac{1-e^{-0.5}}{0.05}\approx78.7$ 万元——比不贴现的 100 万少 21.3 万，这 21.3 万就是"钱的時間价值"。
经济含义直译：平均成本 $\bar C(q)=\dfrac{1}{q}\int_0^qC'(t)dt+\dfrac{C(0)}{q}$ 的主项就是"边际积回来再平均"；已知变化率求总量：$\int_{q_1}^{q_2}C'(q)dq=C(q_2)-C(q_1)$（牛-莱的经济版）。
$\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^ndx=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ 奇}\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 偶}\end{cases}$。为什么长这样〔原理：分部一次降两阶——$\int\sin^nx=-\sin^{n-1}\cos+\int(n-1)\sin^{n-2}\cos^2x=\cdots$ 归纳递推，奇数次递到 $\int\sin x=1$、偶数次递到 $\int_0^{\pi/2}1dx=\frac{\pi}{2}$，这就是"点火"名字的来历：隔一个点一个乘到底〕。使用范围只在 $[0,\frac{\pi}{2}]$，其他区间先对称化再平移。
两类：①无穷区间 $\int_a^{+\infty}f=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf$；②瑕积分（$b$ 为瑕点=函数无界点）$\int_a^bf=\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f$。一切反常积分第一步都是先写极限形式〔原理：定义如此——"无穷上的积分"这个说法本身需要极限来定义，跳过它直接套牛-莱是本题第一大错源〕；多瑕点要拆开分别判，一处发散全发散。
p 判别怎么选 p：比较对象是 $\dfrac{1}{x^p}$——看被积函数在"出事地点"（无穷远/瑕点）衰减/爆发的速度相当于几次幂〔原理：$\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^p}$ 当 $p>1$ 尾部围得拢（收敛）、$p\le1$ 围不拢；瑕点处反过来 $p<1$ 收敛。一眼读幂次：$\dfrac{1}{x\ln x}$ 发散（ln 拖慢衰减，比 $\frac1x$ 还慢）；$\dfrac{1}{x^2+x}$ 像 $\frac{1}{x^2}$ 收敛〕。【计算全程】$\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx=\lim\limits_{t\to\infty}\int_0^txe^{-x}dx=\lim\left([-xe^{-x}]_0^t+\int_0^te^{-x}dx\right)=\lim(-te^{-t}-e^{-t}+1)=1$（分部+极限，每步落纸）。
动笔前 30 秒：把"读着顺"当成"我懂了"是人人都会踩的圈套——判据只有两条：合上资料写得出；没见过的题做得对。积分题选法三问：能直接对表吗？谁的导数在场（凑微分）？乘积结构分部还是根号换元？定积分先看对称与区间再现再动笔。基础 7 / 进阶 7 / 挑战 4，按序做，第二遍打乱。
B1：$2e^x+3\sin x-4\ln|x|+C$。
B2：$x\,dx$ 凑 $\dfrac12d(1+x^2)$：$\dfrac12\int\sqrt{1+x^2}d(1+x^2)=\dfrac13(1+x^2)^{3/2}+C$。
B3：$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$，$=\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}+C$。
B4：奇数次 $n=3$：$\dfrac{(n-1)!!}{n!!}=\dfrac{2!!}{3!!}$；双阶乘是"隔个乘"：$3!!=3\cdot1$、$2!!=2$，故 $=\dfrac23$ ✓。
B5：拆限 $\int_x^1+\int_1^{2x}$：$F'(x)=2\cdot\dfrac{2x}{1+4x^2}-\dfrac{x}{1+x^2}=\dfrac{4x}{1+4x^2}-\dfrac{x}{1+x^2}$。
B6：交点 $(0,0),(2,4)$；$S=\int_0^2(2x-x^2)dx=4-\dfrac83=\dfrac43$。
B7：$\int_0^1xdx+\int_1^2(2-x)dx=\dfrac12+\dfrac12=1$；$\bar f=\dfrac{1}{2}\cdot1=\dfrac12$。
J1：令 $x=t^4$，$dx=4t^3dt$，$\sqrt{x}=t^2,\sqrt[4]x=t$：$\int\dfrac{4t^3}{t^2+t}dt=4\int\dfrac{t^2}{t+1}dt=4\int\left(t-1+\dfrac{1}{t+1}\right)dt=2t^2-4t+4\ln|t+1|+C$，回代 $=2\sqrt x-4\sqrt[4]x+4\ln(\sqrt[4]x+1)+C$。
J2：分母导数 $2x+3$ 恰是分子！$=\ln|x^2+3x-10|+C$。辨析：先看分子是否凑得出分母导数，再谈拆分。
J3：令 $\sqrt{e^x-1}=t$，$x=\ln(1+t^2)$，$dx=\dfrac{2t}{1+t^2}dt$：$\int_0^1t\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}dt=2\int_0^1\left(1-\dfrac{1}{1+t^2}\right)dt=2-2\cdot\dfrac{\pi}{4}=2-\dfrac{\pi}{2}$。
J4：令 $\sqrt x=t$，$=2\int te^tdt=2(t-1)e^t+C=2(\sqrt x-1)e^{\sqrt x}+C$。
J5：$=\dfrac1n\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{1+(k/n)^2}\to\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}=\dfrac{\pi}{4}$。（第1章 §5 的欠条正式兑付——和式极限的定积分之路。）
J6：区间再现 $I=\int_0^\pi\dfrac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}dx$，相加 $2I=\pi\int_0^\pi\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}dx=2\pi\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}dx$（对称），令 $u=\cos x$：$=2\pi\left[-\arctan u\right]_1^0=2\pi\cdot\dfrac\pi4=\dfrac{\pi^2}{2}$，故 $I=\dfrac{\pi^2}{4}$。
J7：分母 $=(x+1)(x+3)$，与 $\dfrac{1}{x^2}$ 同阶收敛。裂项 $\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}=\dfrac12\left(\dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+3}\right)$，原式 $=\dfrac12\lim\limits_{t\to\infty}\left[\ln\dfrac{x+1}{x+3}\right]_0^t=\dfrac12\left(\lim\limits_{t\to\infty}\ln\dfrac{t+1}{t+3}-\ln\dfrac13\right)=\dfrac12\left(0+\ln3\right)=\dfrac{\ln3}{2}$。
T1：分界 $x^2=x\Rightarrow x=0,1$；$[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，$[1,2]$ 上 $x^2\ge x$：$\int_0^1xdx+\int_1^2x^2dx=\dfrac12+\dfrac{7}{3}=\dfrac{17}{6}$。
T2：$S=\int_0^1(e^x-e^{-x})dx=e+\dfrac{1}{e}-2$。绕 $x$ 轴：大圆减小圆，$V=\pi\int_0^1(e^{2x}-e^{-2x})dx=\pi\left[\dfrac{e^{2x}}{2}+\dfrac{e^{-2x}}{2}\right]_0^1=\dfrac{\pi}{2}(e^2+e^{-2}-2)$。
T3：两边求导（变限+链式）：$f(x^2-1)\cdot 2x=x$。$x\neq0$ 时 $f(x^2-1)=\dfrac12$——对一切 $x\neq0$ 成立，即 $f$ 在 $(-1,0)\cup(0,+\infty)$ 上恒为 $\dfrac12$。令 $x^2-1=3$（$x=2$）：$f(3)=\dfrac12$。自洽核验：$f\equiv\dfrac12$ 时原式左边 $=\dfrac12(x^2-1)=$ 右边 ✓（含 $x=0$ 处）。采分点：求导后"对一切 $x$"这个量词是关键——它把 $f$ 在整段区间上的值全部钉死。
T4：区间再现 $I=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$（$a+b-x=\frac\pi2-x$ 使 sin/cos 对调）。两式相加 $2I=\int_0^{\pi/2}1dx=\dfrac\pi2$，$I=\dfrac\pi4$。∎（全程没算一个原函数——再现公式的威力。）
| 易混对 | 一句话分辨 |
|---|---|
| $\int f'$ vs $f$ vs 原函数 | 不定积分=全部原函数 F+C；+C 丢=错 |
| 换元后回代问题 | 不定积分必须回代；定积分换限后不回代 |
| 凑微分方向 | 认"谁的导数在场"；差常数倍可补系数 |
| 分部 u 的选择 | "反对幂三指"，靠前当 u；循环型移项解方程 |
| 定积分 vs 不定积分结果 | 定积分是数（代端点后 C 消掉）；不定积分带 C |
| 对称性使用前提 | 区间 $[-a,a]$ 对称 + 函数奇偶，两条件都要 |
| 区间再现的敌人 | 只对 $\int_a^b$ 且变换 $a+b-x$；不要乱用到 $[0,\frac\pi2]$ 外不改限 |
| 反常积分第一步 | 先写极限形式再算；瑕点在中间要拆 |
| p 判别方向 | 无穷远 p>1 收敛；瑕点 p<1 收敛——方向相反别记反 |
| 平均值 vs 中值定理 | $\bar f=\frac{1}{b-a}\int$；积分中值的 $f(\xi)$ 就是它 |
| 考点 | 题型 | 重要度 | 出题方式 |
|---|---|---|---|
| 换元与分部计算 | 解答/填空 | ★★★★★ | 一切的地基；根号型/循环型是显性考点 |
| 变限积分求导 | 选择/填空+大题首问 | ★★★★★ | 与洛必达/极限/微分方程合流 |
| 定积分应用（面积/旋转体/平均值） | 解答 | ★★★★ | 平均值为数三专属小考点 |
| 反常积分敛散与计算 | 选择/填空 | ★★★ | p 判别+先极限形式 |
| 对称/区间再现 | 渗透计算 | ★★★★ | 不会=慢人一倍且易错 |
| 和式极限（定积分定义） | 选择/填空 | ★★★ | $\frac1n\sum f(k/n)$ 型一眼转积分 |
⚠️ 以上重要度是复习优先级（基于历年考法印象），不是统计结果、不是今年预测。
合上资料画主线：不定积分（求导影子+三大算法）→ 定积分（分割求和取极限→牛-莱解放）→ 变限（Φ′=f 互逆）→ 应用与反常。每箱补细节。
| 规则 | 标注 | 一句话交代 |
|---|---|---|
| +C 不能丢 | 〔原理〕 | 导数抹掉常数，逆运算只能带家族标记（§1.1） |
| 积分表=求导表倒背 | 〔原理〕 | 每条靠求导验回，不是新公式库（§1.1） |
| 凑微分=微分形式不变性倒放 | 〔原理〕 | 认"谁的导数在场"（§2.1） |
| 三角代换三兄弟配对 | 〔原理〕 | 勾股关系直读，助手三角形回代（§2.1） |
| 有理函数先除后拆 | 〔原理〕 | 部分分式定理保证可拆（§2.2） |
| 分部 u 选"反对幂三指" | 〔原理〕 | 求导变简单的优先被求导（§3） |
| 循环型移项解方程 | 〔原理〕 | 两次分部回到自己，原式当未知数（§3） |
| 定积分=分割求和取极限 | 〔原理〕 | 面积逼出来的定义；和式欠条兑付（§4.1） |
| 代数面积（下方计负） | 〔约定〕 | 有向面积的定向规定，配套交换上下限变号（§4.1） |
| Φ′(x)=f(x) | 〔原理〕 | 面积变化率=此刻高度（§4.2） |
| 换元必换限且不回代 | 〔约定〕 | 定积分换元的操作规程，源自定义在新区间（§4.3） |
| 奇偶对称（奇=0 偶=2倍） | 〔原理〕 | 对折两半正负抵消/重合（§4.3） |
| 区间再现 t=a+b−x | 〔原理〕 | 倒着扫一遍总量不变，换元法直接推论（§4.3） |
| 旋转体=圆片叠加 π∫y²dx | 〔原理〕 | 薄圆片体积求和（§5.1） |
| 平均值=积分÷长度 | 〔原理〕 | 积分中值定理的平均高度（§5.1） |
| 华里士公式 | 〔原理〕 | 分部降两阶递推出来，奇偶分支不同终点（§5.2） |
| 反常积分先写极限形式 | 〔原理〕 | 定义本身要求，直接套牛-莱是第一大错源（§6） |
| p 判别（远 p>1 收/瑕 p<1 收） | 〔原理〕 | 尾部围拢与否的幂次直觉（§6） |
〔欠条〕本章兑付第1章"和式=定积分"（§4.1 已销账）；本章新开 1 张：三角代换的一般理论（C* 变换）超出考研需要，欠条不设——直接声明"数三不考"。
第一遍（今天）：通读 + 全部即练 + 基础组（约 2.5 小时）。之后闭卷提取。
| 日期 | 动作（全部闭卷） | 通过线 |
|---|---|---|
| 次日（+1） | 背诵点+积分表默写（10 条）+基础组错题 | 积分表 9/10 以上 |
| +3 天 | 进阶+挑战组闭卷；合书画 §10 主线图 | 主线图四箱细节齐 |
| +7 天 | 导图页骨架口述；换元/分部/再现三选法自查 | 三选法各举一例 |
| +16 天 | 18 题乱序测（配合第4章开局） | ≥80%，错题回导图定位 |
下一章（第4章 微分方程与差分方程）：本章你掌握了"已知导数求原函数"，下一章处理"导数与函数混在一个方程里"的未知函数——解方程=求积分的连环应用。一阶线性方程的积分因子法，本质就是本章凑微分的升级版。
跨模块连线：①第2章：变限求导+洛必达在本章合流成综合题主力；②第6章：华里士公式是极坐标二重积分的常客（第6章已把它当"回忆卡"，本章是正式出生地）；③848经济学：已知边际求总量、平均成本、消费者剩余全是本章积分；④概率论：连续型分布的密度积分出分布函数、期望=积分——本章是概率论的直接地基。
在哪反馈：读到哪一节卡住，直接截图发给大管家——卡点清单会回流修订对应小节，修订后此处更新。
什么时候回看：+3 天延迟测试后，把错题对应的小节标出来；+16 天综合测后同。资料会在你的卡点上长出新一轮解释——这是它和普通 PDF 的唯一区别。
版本：第3章 一元积分学（数三·瘦身重写版） v1（2026-10-17）｜14 件套齐备 + 规则账全标注｜计算经 sympy 机器重算（V2 日志）｜渲染双视口检查（430/900）｜题目按考纲考点自编对标，无直接引用原文真题故不标年份｜反馈即修订