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第4章 思维导图：一图看全章，一页定位弱节点
这是第4章正文（学习版）的结构版。
思维导图 · 一图看全章
第4章 微分方程与差分方程
把含导数的方程解成普通函数
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定义y′=f(x)g(y) 移成 dy/g(y)=f(x)dx 两边各积各的（=换元积分法）
定义y′=f(y/x)：令 u=y/x（y=xu，y′=u+xu′）化可分离
定义y′+p(x)y=q(x)：乘积分因子 μ=e^∫pdx，左边恰成 (μy)′
伯努利方程▾
定义y′+py=Qyⁿ（边缘）：除 yⁿ 令 z=y^{1−n} 化线性
定义设 y=e^{rx} 代入 → 特征方程 r²+pr+q=0；指数求导不变形，方程自己筛选 r
两实根 C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x}；重根 (C₁+C₂x)e^{rx}；复根 e^{αx}(C₁cosβx+C₂sinβx)
定义按自由项长相设特解；与齐次解同型=撞车，乘 x 再试
差分▾
定义Δy_t=y_{t+1}−y_t；离散时间（月度/年度数据）的语言
定义齐次解 (−a)^t（迭代的压缩写法）；特解按自由项猜+撞车乘 t
定义y′=ky → y=Ce^{kt}（分离变量积出；C=初值）；连续复利是特例
定义dT/dt=−k(T−T₀)：差多少补多少；价格动态调整=一阶差分
定义f=x+∫f 型：求导→解方程→回代原式定 C（三步，第三步最易漏）
圆点节点可点击折叠/展开；字母块是题目锚链。
配套题库 · 16 题（同源于讲义页 · 考点定位 · 遮住先做）
基础组
B1 解 y'=xy，y(0)=2。
考点：可分离+初值——§2 ｜ 讲义页详析→
B2 解 y'+3y=e^{-3x}（用积分因子）。
考点：积分因子——§2 ｜ 讲义页详析→
B3 解 y'+{1}{x}y={sin x}{x}，y(pi)=1。
考点：线性+初值——§2 ｜ 讲义页详析→
B4 求 y''-5y'+6y=0 的通解。
考点：两实根特征——§3.1 ｜ 讲义页详析→
B5 求 y''+4y'+4y=0 的通解（重根）。
考点：重根通解——§3.1 ｜ 讲义页详析→
B6 求 y''+2y'+5y=0 的通解（复根）。
考点：复根通解——§3.1 ｜ 讲义页详析→
进阶组
J1 解 y'={y}{x}+tan{y}{x}（齐次型，令 u=y/x）。
考点：齐次型 u=y/x——§2 ｜ 讲义页详析→
J2 解 xy'=y+x^2e^x（先化标准形认型）。
考点：化标准形认线性——§2 ｜ 讲义页详析→
J3 求 y''+y'=2x 的通解（特解设 Ax+B 还是 x(Ax+B)？先判断撞车）。
考点：特解 k=1（λ=0 撞车）——§3.2 ｜ 讲义页详析→
J4 求 y''-y=4e^x 的通解（撞车型）。
考点：撞车乘 x——§3.2 ｜ 讲义页详析→
J5 解 y_{t+1}-13y_t=3^t，y_0=1（差分，撞车判断）。
考点：差分不撞车特解——§4 ｜ 讲义页详析→
J6 某商品价格满足 P_{t+1}=0.5P_t+6（单位元），求均衡价格 bar P 与 P_t（P_0=20），并判断收敛性。
考点：差分均衡与收敛——§4/§5 ｜ 讲义页详析→
挑战组
T1 设 f 连续可导且满足 f(x)=x+int_0^x f(t),dt，求 f(x)。（变限积分方程三步全流程）
考点：变限方程三步——§5.2 ｜ 讲义页详析→
T2 某银行账户以连续复利计息，年名义利率 5%。初始存入 1 万元，且每年以 0.2 万元/年的速率连续存入。写出余额 A(t) 满足的方程并求解。
考点：连续复利+存入建模——§5.1 ｜ 讲义页详析→
T3 求 y''+4y=4sin 2x 的通解（撞车+特解系数全流程）。
考点：sin 型撞车全流程——§3.2 ｜ 讲义页详析→
T4 市场上某商品需求 Q_d=8-2P、供给 Q_s=P-1，价格按 P_{t+1}=P_t+0.6(Q_d(P_t)-Q_s(P_t)) 调整。求均衡价格 bar…
考点：价格调整震荡收敛——§5.2 ｜ 讲义页详析→
考前速查 · 易混对照 + 最容易记错的话
通解 vs 特解：通解带任意常数（个数=阶）；初始条件定出的是特解
齐次方程 vs 齐次型 y′=f(y/x)：前者"右边为0"；后者"y 与 x 齐次"，名字撞车但完全不同
分离变量丢解：除以 g(y) 后补验 g(y)=0 的常数解
重根通解：第二个解乘 x：(C₁+C₂x)e^{rx}，别写成两件同款相加
撞车判据：所设特解与齐次解同型才乘 x/t；只看 λ 是不是特征根
差分齐次解符号：标准形 y_{t+1}+ay_t=b 的齐次解是 (−a)^t——符号在 a 上
差分撞车：自由项 b^t 且 b 恰等于 −a 时乘 t；与微分方程判据不同（那边看 λ）
变限积分方程：求导后必须回代原式定常数（信息在求导中降级）
特解试形式 k 的取值：k=λ 作为特征根的重数（0/1/2，二重根撞车乘 x²）
经济建模翻译：速度正比→y′=ky；差额修正→冷却型；离散调价→差分
怎么用这张图（三步复习法）
① 只看骨架自问每节讲什么；② 逐层展开对答案，说不出的回主章补；③ 错题回图定位弱项。
⚠️ 看"都眼熟"不算会——判据：合上能复述；闭卷能做对。
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