第4章 · 微分方程与差分方程

先看一万块

你存一万块，年利率 5%，连续复利。十年后多少钱？

这不是一个套公式的题。关键在"连续"两个字：钱不是在每年年底才长一次，而是每一个瞬间都在按当时的余额长大。余额是 1 万时，一年长 500；余额长到 1.5 万时，一年就长 750。增长速度跟着余额走。

可余额本身是多少，你现在还不知道。你只知道它的变化规律：

A′(t) = 0.05 · A(t)

这就是微分方程：未知的不是一个数，是一个函数；给你的不是它的值，是它变化的规律。A 是要求的功能，A′ 是它的导数，方程把两者绑在一起。

怎么解？把 A 挪到一边、t 挪到另一边：

dA / A = 0.05 dt

两边积分：ln|A| = 0.05t + C′，所以 A = C e^{0.05t}。C 由初始存款定：A(0) = 1，所以 C = 1，

A(t) = e^{0.05t}

十年后 A(10) = e^{0.5} ≈ 1.6487 万元。

回头看这个解：它是一个函数族 C e^{0.05t}，C 取不同的值就是不同的存款起点；初始条件 A(0)=1 从族里挑出一条。这就是微分方程的两个基本词：

通解：含任意常数、能代表一族解的解；一阶方程的通解含一个任意常数，二阶含两个。
特解：用初始条件把常数定下来之后的那一条。

方程里最高阶导数是几阶，就叫几阶方程。A′=0.05A 是一阶；弹簧的 y″+y=0 是二阶。

还有个图景值得看一眼：一阶方程 y′=f(x,y) 在平面上每一点都写着"此处斜率应为多少"。解曲线就是全程服从这些斜率指令走出来的路——同一个指令场里有无数条互不相交的路（通解），初始条件决定你从哪一条出发。这就是方向场。

钱在长。可如果每年还往账户里存钱呢？

一 · 每年再存一点：一阶线性与积分因子

假设除了 5% 的利息，你还以每年 0.2 万元的速率连续存入。余额的变化 = 利息 + 存入：

A′ = 0.05A + 0.2，　A(0) = 1

这个方程不能直接"分离变量"吗？其实可以（把 0.05A+0.2 除过去），但更一般的看法是：它属于一阶线性微分方程，标准形

y′ + p(x)y = q(x)

这里 p = −0.05，q = 0.2。解这类方程有一件统一的武器：积分因子。

想法很朴素：能不能乘上一个函数 μ(x)，让左边恰好变成某个乘积的导数？

μy′ + μpy = (μy)′ = μy′ + μ′y

比对两边，要求 μ′ = μp。这本身是一个可分离方程：dμ/μ = p dx，解出

μ(x) = e^{∫p(x)dx}

乘上它之后，方程变成 (μy)′ = μq，两边积分就完了：

y = e^{−∫p dx} ( ∫ q e^{∫p dx} dx + C )

回到存款：p = −0.05，μ = e^{−0.05t}。乘上去：

(A e^{−0.05t})′ = 0.2 e^{−0.05t}

积分：A e^{−0.05t} = −4 e^{−0.05t} + C，所以 A = C e^{0.05t} − 4。代 A(0)=1：C = 5，

A(t) = 5 e^{0.05t} − 4

验算：A′(t) = 0.25 e^{0.05t}；0.05A + 0.2 = 0.25 e^{0.05t} − 0.2 + 0.2 = 0.25 e^{0.05t} ✓。十年后 A(10) = 5e^{0.5} − 4 ≈ 4.2436 万元——比自己长（1.6487）多出 2.59 万，就是每年存 0.2 万连续滚十年的结果。

积分因子不是天上掉的公式，是"想让左边打包成一个导数"倒推出来的。忘了公式，就现场设 μ、比对、解 μ′=μp，三步回去。

这是"钱一直长"的世界。可现实里很多增长有上限——病毒会感染完所有人，新产品会占满市场。那时方程长什么样？

二 · 长到有上限：可分离变量与 logistic

设人口（或感染人数、产品用户数）为 P(t)，环境最多容纳 M。增长速度和"当前数量"成正比，也被"还剩多少空间"卡住：

dP/dt = k P (M − P)

这就是阻滞增长（logistic）模型。它是可分离变量方程：右边能写成"只含 P"乘"只含 t"（这里只含 P），把 P 挪到一边：

dP / [P(M − P)] = k dt

左边用部分分式拆开：1/[P(M−P)] = (1/M)(1/P + 1/(M−P))。积分：

(1/M) [ ln P − ln(M−P) ] = kt + C

整理：ln[P/(M−P)] = kMt + C′，所以 P/(M−P) = C e^{kMt}。解出 P，并把常数重新记作 C：

P(t) = M / (1 + C e^{−kMt})

t=0 时 P(0)=M/(1+C)，C 由初始数量定。曲线先慢、中间快、最后贴着 M 爬——这就是"有上限的增长"。

这里有个丢解陷阱：分离时把 P(M−P) 除了下去，默认它不为 0。可 P≡0 和 P≡M 也是解（代回两边都是 0），被除法扔掉了。所以分离变量做完，要单独验一遍"分母为 0"的常数解。

可分离方程要求右边能拆成"只含 x"乘"只含 y"。如果拆不开，但右边只跟 y/x 有关呢？

三 · 只知道比值：齐次型与换元

看这种方程：

y′ = f(y/x)

右边不单独看 x 或 y，只看它们的比值。比如 y′ = y/x + tan(y/x)。既然方程只关心比值，那就把比值当成新变量：令 u = y/x，即 y = xu。求导：

y′ = u + x u′

代回：u + x u′ = f(u)，所以 x u′ = f(u) − u——这是一个关于 u 的可分离方程。这就是齐次型方程的解法（这里的"齐次"指 y 与 x 同次，和"齐次线性方程右边为 0"不是一回事，名字撞车）。

做一遍 y′ = y/x + tan(y/x)：令 u=y/x，x u′ = tan u，分离：

du / tan u = dx / x　→　ln|sin u| = ln|x| + C′　→　sin u = Cx

回代 u=y/x：sin(y/x) = Cx。这就是通解（隐式）。

为什么这个换元一定有效？因为右边只依赖比值，比值就是这件事的"天然坐标"。换元不是技巧，是顺着方程的结构走。

齐次型也是特殊型。如果方程是一般的 y′ + p(x)y = q(x)，或者带 y 的幂呢？

四 · 一般的一阶线性，和一个边缘变种

一般的一阶线性方程，上一节的积分因子就是通法：

y = e^{−∫p dx} ( ∫ q e^{∫p dx} dx + C )

例：y′ + 2xy = 2x e^{−x²}。p=2x，μ=e^{x²}。乘上去：(e^{x²}y)′ = 2x，积分得 e^{x²}y = x² + C，所以

y = (x² + C) e^{−x²}

还有一个边缘变种，数三考纲没列、真题偶尔见：伯努利方程

y′ + p(x)y = Q(x) yⁿ

两边除以 yⁿ，令 z = y^{1−n}，则 z′ = (1−n)y^{−n}y′，方程变成

z′ + (1−n)p z = (1−n)Q

——关于 z 的一阶线性。解出 z 再回代 y = z^{1/(1−n)}。换元的动机只有一个：把 yⁿ 这块石头搬走。

一阶方程到这里齐了。可现实里很多量不是"速度"，是"加速度"：弹簧被拉开会往回弹，电流会来回振荡。描述它们的方程，是二阶的。

五 · 有惯性、会震荡：二阶常系数齐次

弹簧振子：位移 y(t)，回复力正比于位移，阻尼正比于速度。写成方程：

y″ + p y′ + q y = 0　（p、q 为常数）

这叫二阶常系数齐次线性方程。怎么解？试一个指数函数 y = e^{rx}——因为指数求导后形状不变，是唯一能让"导数组合等于 0"保持形状的函数。代进去：

e^{rx}(r² + p r + q) = 0

e^{rx} 永不为零，所以只要 r 满足

r² + p r + q = 0

e^{rx} 就是解。这个二次方程叫特征方程，它的根叫特征根。

特征根有三种情形，对应三种运动形态：

三种都不是背的，是解出来的：两个不同根给出两个线性无关的 e^{rx}；重根时两个解重合，乘 x 造出第二个（代回可验证）；复根用欧拉公式 e^{iβx} = cos βx + i sin βx 翻译回实函数。

高于二阶怎么办？特征方程升到三次、四次，先试有理根（±1、±2、常数因子之比），拆出一个实根后降次；通解仍是各根的 e^{rx} 线性组合，重根照样乘 x，复根照样写成 e^{αx}(C₁cos+C₂sin)。比如 y‴ − y = 0：r³−1 = (r−1)(r²+r+1)，r = 1 和 −1/2 ± (√3/2)i，通解 y = C₁e^x + e^{−x/2}(C₂cos(√3x/2) + C₃sin(√3x/2))。

还有一类二阶方程，系数不是常数，但缺一个变量，可以降阶：① y″=f(x,y′)（缺 y）：令 p=y′，方程变成 p′=f(x,p)，一阶；② y″=f(y,y′)（缺 x）：令 p=y′，且 y″=p·dp/dy，方程变成 p·dp/dy=f(y,p)；③ y″=f(x)：直接积分两次。数三要求低、真题偶见，会认型即可。

齐次方程描述的是"没人碰它，自己怎么动"。如果外面一直有东西推它呢？

六 · 外力来了：非齐次与待定系数

方程右边多了一项：

y″ + p y′ + q y = f(x)

这叫非齐次。解的结构是一条定理：

通解 = 齐次通解 y_h + 一个特解 y*

为什么？设 L(y)=y″+py′+qy 是线性算子。L(y_h)=0，L(y*)=f，则 L(y_h+y*)=0+f=f。反过来，任何两个解的差都满足齐次方程。所以只要找到一个特解，加上齐次通解就是全部。

特解怎么找？待定系数法：按自由项 f(x) 的长相设一个形式，代回去定系数。规则是——

f 是 n 次多项式 → 设 y* = x^k Q_n(x)；
f 是 e^{λx} 乘多项式 → 设 y* = x^k e^{λx} Q_n(x)；
f 是 sin/cos → 设 y* = x^k (A sin + B cos)。

其中 k 是 λ 作为特征根的重数（多项式型看 λ=0 是不是根；sin/cos 型看 ±iω 是不是根）。k 取 0、1、2——这就是"撞车"规则：

自由项和某个齐次解同型 → 乘 x；
同型且是重根 → 乘 x²。

为什么撞车要乘 x？因为同型函数会被齐次算子清零。比如 y″+y=sin x，齐次解含 sin x；设 y*=A sin x 代进去，左边恒为 0，永远凑不出 sin x。乘一个 x，函数变成"x 乘 sin x"，求导会生出 cos x 这类异类项，方程才有得抓。

连续时间的方程讲完了。可经济数据往往不是连续的——GDP 按季、价格按月、账单按年。如果时间是一格一格跳的，方程长什么样？

七 · 按年记账：差分方程

离散时间里，"变化"不再用导数，用差分：

Δy_t = y_{t+1} − y_t

含 y_{t+k} 的方程叫差分方程。最简单的一阶常系数线性差分方程：

y_{t+1} = a y_t + b

不用背公式，迭代出来：y₁=ay₀+b，y₂=a²y₀+ab+b，……，y_t = a^t y₀ + b(1+a+⋯+a^{t−1})。后面那串是几何级数：

y_t = a^t y₀ + b(1−a^t)/(1−a)　(a≠1)

把均衡点（不动点）记作 y* = b/(1−a)，可以写成更好看的形式：

y_t = (y₀ − y*) a^t + y*

|a|<1 时 a^t→0，序列收敛到 y*；|a|>1 发散；a<0 时每步翻符号，收敛也是震荡着收敛。

自由项是 b^t 时，设特解 A b^t；b 等于齐次根时撞车，乘 t。这和微分方程的撞车同源：不动点被齐次解占了，就让它匀速漂移。

差分方程的解是数列，不是函数；e^{rx} 换成 r^t，其余结构一一对应。这就是"离散版的同一出戏"。

八 · 综合题枢纽：从文字到方程

最后一块：题目不给方程，给一段话，让你自己列。翻译表只有几条：

"增长速度正比于当前量" → y′ = k y（复利、人口、衰变）。
"变化率正比于与环境的差" → y′ = −k(y − y₀)（冷却、回归均衡）。
"增长有上限" → y′ = k y(M − y)（logistic）。
"按年/按月调整" → 差分方程。
"加速度/回复力" → 二阶方程。

还有一类综合题，方程藏在积分里：

f(x) = x + ∫₀ˣ f(t) dt

两边求导（右边用变限积分求导）：f′(x) = 1 + f(x)，即 f′ − f = 1——一阶线性。解：μ=e^{−x}，(e^{−x}f)′ = e^{−x}，e^{−x}f = −e^{−x} + C，f = Ce^x − 1。

别忘了第三步：回代原式定 C。求导是有损操作，原式在 x=0 处还保留着信息：f(0) = 0 + 0 = 0，所以 C=1，

f(x) = e^x − 1

验算：右边 = x + ∫₀ˣ(e^t−1)dt = x + (e^x−1−x) = e^x−1 ✓。三步——求导、解方程、回代定 C——第三步最易漏。

其他经济模型：连续复利 A=A₀e^{rt}；冷却 T=T₀+Ce^{−kt}；价格离散调整 P_{t+1}=P_t+λ(Q_d−Q_s)。列方程时先问"这句话说的是变化率、差值还是离散调整"，再对号入座。

九 · 收官：一张认型树

拿到一个方程，先别急着算，先认型：

一阶？ → 能分离变量？→ 分离；
右边只含 y/x？→ 令 u=y/x；
y 与 y′ 都一次？→ 一阶线性，积分因子；
出现 yⁿ？→ 伯努利，令 z=y^{1−n}。

二阶常系数？ → 齐次？→ 特征方程，三情形；
非齐次？→ 先求齐次通解，再按自由项设特解，撞车乘 x。

离散？ → 差分：齐次 a^t + 特解 + 初始条件。
积分里藏着 f？ → 求导化成微分方程，最后回代原式定 C。

整章一条线：变化率 → 微分方程 → 分离变量（钱一直长）→ 积分因子（还有存入）→ logistic（有上限）→ 齐次换元（只看比值）→ 二阶特征根（有惯性）→ 待定系数（外力）→ 差分（按年记账）→ 回代定 C（综合题）。忘掉哪一步，回到"这句话说的是什么变化"重推。

合上页面，自测三问

① 不看笔记，能不能从"想把左边打包成 (μy)′"推出积分因子 μ=e^{∫p dx}？

② 能不能说出特征根三种情形各自对应什么运动形态，并各写一个例子？

③ 拿到 f(x)=x+∫₀ˣf(t)dt，能不能走完求导、解方程、回代定 C 三步？

附录 A · 知识层级账

附录 B · 规则账

附录 C · 易混与考试导航

重要度是复习优先级，不是真题统计，也不是预测。

附录 D · 复习日程

回访口

读完在任何一处卡住，发"第4章 + 小节号 + 一句描述"——卡点多的节会被优先重修。

再报一句：哪些结论你现在能自己推出来？哪些还是背的？后者是下一轮重写的靶子。