考研数学 · 线性代数 · 新路线五幕 · 知识导图
这门课被重排成五幕：先认识对象（向量），再学操作（矩阵），然后造尺子（行列式），
学反操作（逆与方程组），最后找不变方向（特征值）——问题先于工具，每件工具都从问题里长出来。
这张图管宏观：每个带 ● 的词是术语（点开有一句话要点），每幕的 📖 读正文 徽章直接跳进对应篇章。
① 建骨架：用"展开到小节"档从幕1 扫到幕5，只看结构（1 分钟）； ② 查术语：点开背不稳的 ● 节点，一句话要点就长在图里；③ 自测：切"只看各幕"档， 合上页复述每幕有什么——说不出的回正文补；④ 做题归幕：拿到题先问"它考哪一幕"， 用那一幕的弹药拆解。图可拖动（按住空白拖）、可缩放（右上角）。定义与推导永远回正文——这张图管地图。
线性代数研究"均匀变形"：对象是向量，操作是矩阵，行列式量面积倍数，
逆与秩管撤销和求解，特征值找不变方向。
尺子（行列式）必须在变形（矩阵）之后才量得着东西；可撤销（逆）必须先知道"压扁没压扁"才有判据；
不变方向（特征值）要用尺子发通行证、用基础解系定形——所以必须按这个顺序长进脑子。
旧教材行列式开头，尺子先于它量的东西到货，正是当年"压根不知道在干什么"的病根。
| 全课三问（幕2 §一 埋下） | 在哪回收 | 一句话答案 |
|---|---|---|
| 压扁了吗？ | 幕3 + 幕4 | 尺子读数 |A|=0；或台阶不满 r(A)<n——双判据互认（满秩 ⟺ 读数非零） |
| 可撤销吗？ | 幕4 | 没压扁 ⟺ 可逆 A⁻¹ 存在 ⟺ 方程组对任意右端有唯一解——四件大事一个开关 |
| 哪些方向转不歪？ | 幕5 | 解 |A−λE|=0 找 λ；每个 λ 名下的基础解系就是不变方向的族 |
| 一件工具 | 出生地 | 后来在哪返场 |
|---|---|---|
| 行列式（尺子） | 幕3 量面积倍数 | 幕4 判可逆；幕5 特征方程 + 正定主子式连测——两度返场 |
| 秩（骨干人数） | 幕1 埋（个数不变）→ 幕4 正名 | 三态判定的判官；对角化条件（n 支无关向量）的判官 |
| 基础解系 | 幕4（齐次解的骨干） | 幕5 特征向量族的定形器——幕1 定理B 从头用到尾 |
| 剪切（基本动作） | 幕2 §一 图 → 三类动作 | 幕3"加行不变"的画面；幕5"不可对角化"的反例——串场全剧的角色 |
| 题型 | 归哪幕 | 拆题第一步 |
|---|---|---|
| 含参方程组讨论 | 幕4 §6 | 方阵先算读数分岔：≠0 唯一解；=0 手工消元、比两个秩 |
| 求逆 / 解矩阵方程 | 幕4 §1-2 | 小表伴随穷门，大表 [A|E] 一磨到底；算完乘回去验收 |
| 秩的证明 / AB=O | 幕4 §3、§6 | 翻译成"谁是谁的解、谁是骨干"再动笔 |
| 二次型化标准形 + 正定含参 | 幕5 §5 | 写对称阵 A；正交变换系数=特征值；正定三判挑顺手的用 |
每学完一幕回这页看一次图（新分支亮不亮）；全课学完切"只看各幕"档闭卷复述； 848 真题到手后，每道线代题先在图上"归幕"再动笔。图管宏观、正文管推导、题管验收——三层各司其职。